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了解交通流的奧秘：如何用數學模型解決擁堵問題？
在交通工程領域，交通流的研究涉及旅客（包括行人、騎自行車者、駕駛者及其車輛）與基礎設施（包括高速公路、標誌及交通控制裝置）之間的互動，旨在理解並發展一個最佳的交通網絡，以實現交通的高效流動和最小化擁堵問題。雖然交通流分析的基礎可以追溯到1920年代，由Frank Knight研究的交通均衡開始，並在1952年得到Wardrop的進一步發展，然而，至今為止，仍然沒有一種普遍滿意的理論能夠一致地適用於現實世界的條件。
儘管計算技術已有所進步，但對於真實交通流的預測，仍需結合經驗與理論技巧，來預測交通並識別擁堵區域。
目前的模型考慮到如車輛使用率和土地變化等變數，交通流受到車輛之間複雜互動的影響，展現聚集形成與震盪波的傳播等行為。關鍵的交通流變數包括速度、流量和密度，這些變數是相互關聯的。在自由流動的交通中，特徵是每條車道每英里少於12輛車，但當密度增加時，交通會變得不穩定，並可能導致持續的停走式行駛，這在擁堵現象中尤為明顯。
各種模型和圖表，如時空圖，幫助可視化和分析這些動態。交通流分析可以從不同的尺度來進行，包括微觀（個別車輛行為）、宏觀（類似流體動力學模型）和介觀（針對車輛分佈的概率函數）。常用的經驗方法，如《公路容量手冊》中所提到的，通常被工程師採用來建模和預測交通流，並考慮燃油消耗和排放等因素。
流量（q）表示在一段時間內通過某一參考點的車輛數量，而其相反是車輛間的間隔（h），即第i輛車通過某一參考點與第(i+1)輛車之間的時間。
1955年，Lighthill和Whitham提出的運動波模型是交通流理論的基石，描述了交通波的傳播及瓶頸的影響。瓶頸無論是靜態還是動態，對交通流的干擾及道路容量的減少影響顯著。根據聯邦公路管理局的統計，40%的擁堵都是因為瓶頸造成的。
經典的交通流理論包括Lighthill-Whitham-Richards模型及各類車輛跟隨模型，這些模型描述了車輛在交通流中的互動。另一種理論是Kerner的三相交通理論，它認為瓶頸的能力範圍是多樣的，而不是單一的數值。
此外，Newell-Daganzo合流模型和車輛跟隨模型進一步細化了我們對交通動態的理解，在現代交通工程和模擬中具有重要作用。
交通流的特性
交通流通常沿著一維通道受到限制（例如行駛車道）。時空圖以圖形方式顯示隨時間變化沿著一條通道的車輛流動。時間顯示在水平軸上，距離顯示在垂直軸上。每輛車的個體軌跡在時空圖中表示為個別的軌跡線，這對於顯示和分析特定路段的交通流特徵尤其有用。
交通流理論中，速度（v）、密度（k）及流量（q）這三個主要變數的關係主要關注於不間斷的交通流。
速度是每單位時間內走過的距離，然而在實際操作中，通常是採取樣本來測量某一地區的平均速度。兩種定義的平均速度，包括時間均值速度與空間均值速度。在時空圖中，車輛的瞬時速度等於其軌跡的斜率。密度（k）則被定義為每單位交通道路上所容納的車輛數量，其逆數是間隔（s）。
分析方法
分析者主要從三個方式著手解決交通流問題，對應於物理學的三種觀察規模：微觀尺度、宏觀尺度和介觀尺度。微觀尺度上，每輛車輛都被視為個別的，通常會為每輛車寫出一個微分方程式；宏觀尺度下，則使用部分微分方程來平衡一些重要的總量；而在介觀尺度下，則定義一個函數，表示在某一時間和位置的車輛運行速度的概率。
在交通流分析中，除了理論模型外，經驗分析（例如觀察和數學擬合曲線）也占據重要的地位。美國的交通規劃者常用《公路容量手冊》作為主要參考文獻，這本手冊由美國國家科學院的交通研究委員會編輯，推薦使用整段時間的延誤/流量函數來建模交通流，並考慮排隊效應。
在許多歐洲地區，交通設計通常採取混合經驗的方法，結合宏觀、微觀和介觀特徵，加上模擬交通模式，來應對瞬時的擁堵高峰。透過這些模型，我們可以總結出各類車輛在交通網絡上的時間與油耗，進而進行更完善的交通預測。
考慮到交通流的復雜性，是否有更好的方式來加以應對和改善我們的交通管理系統呢？
