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什麼是區塊設計？它在數學中的神秘角色到底是什麼？
在數學的組合設計中，區塊設計是一種包含了集合及其子集（稱為區塊）的 incidencia 結構，這些子集的選取符合一定條件，旨在使整個區塊集合表現出對稱性和均衡性。區塊設計具有廣泛的應用，包括實驗設計、有限幾何學、物理化學、軟體測試、密碼學與代數幾何等領域。一般來說，提到的區塊設計通常指的是平衡不完全區塊設計（BIBD），這是一種特別的2設計，其歷史上是受到最為深入研究的類型，主要應用於實驗設計。
區塊設計展示了元素的組合和排列，開啟了數學中的許多神秘面向。
區塊設計的基本概念
在數學上，如果某個設計是平衡的（直到 t），則意味著原始集合的所有 t 子集在相等數量的區塊中出現。當 t 未指定時，通常假定 t=2，這意味著每對元素在相同數量的區塊中出現且設計是成對平衡的。對於 t=1，則每個元素出現在同樣數量的區塊中（這稱為重複數），此設計稱為正則設計。此外，所有區塊大小相同的設計被稱為均勻或正確的。本文探討的設計都是均勻的，且區塊設計的基礎不是均勻的，則被稱為成對平衡設計（PBDs）。
正則均勻設計
最基本的“平衡”設計（t=1）稱為戰術配置或1設計。在幾何中，對應的 incidencia 結構被稱為配置。這種設計既均勻又正則：每個區塊包含 k 個元素，每個元素包含在 r 個區塊中。設計中的元素數量 v 和區塊數量 b 之間存在關係，關係式為 bk = vr，即元素出現的總數。每一個具有常數行與列和的二元矩陣都是正則均勻區塊設計的 incidencia 矩陣。
成對平衡均勻設計（2設計或BIBD）
給定一個有限集合 X（元素稱為點）以及整數 k、r、λ ≥ 1，一個稱為2設計（或BIBD）的設計 B 將成為 X 的 k 元素子集的集合，稱為區塊。在這設計中，任一 x 在 X 中都包含在 r 個區塊，而任意兩個不同點 x 和 y 在 X 中也都被包含在 λ 個區塊。這裡的條件意味著任一 x 在 X 中包含在 r 個區塊是不必要的，這可以從之前的推導中看出。我們可以將該設計稱為(v, k, λ)-設計或(v, b, r, k, λ)-設計。
正因不完美的平衡性存在，區塊設計展現了組合數學的神秘與美妙。
對稱性2設計（SBIBD）
在所有2設計中，當區塊及點的數量相等，則此設計稱為對稱設計。這類設計以最少的區塊數來滿足其他2設計的要求，且在對稱設計中，r=k，並且 b=v。這其中，任何兩個不同的區塊在 λ 點處有交集。Ryser定理提供了對稱設計的條件。
實例與應用
一個獨特的(6,3,2)-設計具有 10 個區塊，並且每個元素被重複 5 次。使用符號 0-5 表示，這些區塊為以下三元組：012，013，024，035，045，125，134，145，234，235。與之對應的 incidencia 矩陣為一個具有 v×b 的二元矩陣。這些區塊設計的示例不僅豐富多元，還涵蓋了從數學到實際應用的各種領域。
那麼，區塊設計的發展與應用能否為我們在複雜系統中提供新的思考方式？
