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為什麼整數的集合被稱為 Z？這個符號背後的故事是什麼？
整數的集合被簡單地表示為 Z，這個符號的由來與德文中的一個詞有關，這讓許多人感到好奇。這篇文章將探討 Z 的起源，以及其在數學世界中的意義。
整數的定義與特性
整數的定義並不複雜。整數是由零、所有的正整數（如 1、2、3 等）和它們的負數（如 -1、-2、-3 等）組成的集合。整數的集合是一個無窮大的集合，可以用符號 Z 表示。
整數被視為可以無需小數部分來書寫的實數，例如 21、4、0 和 -2048 都是整數。
Z 的符號來源於德文單詞“Zahlen”，意指“數字”。這個標記是由數學家大衛·希爾伯特所引入的，這一用法在《Algèbre》（1947年）一書中首次被合法化。隨著時間的推移，這個符號成為了數學界對整數的共同表達。
Z 的歷史背景
整數的名稱與其意義有著密切的歷史聯繫。拉丁語“integer”意為“完整的”或“未被觸及的”，這恰如其分地反映了整數的性質。最早的整數定義主要集中在自然數的範疇，而非負數的引入則是出於實用性考量。
整數的概念隨著時間的推移擴展，不再僅僅包含正數，還包括負數。近代數學家如列昂哈德·歐拉，早在1765年的《代數元素》中，就已經將整數定義為正整數和負整數的總和。
在19世紀末的數學發展中，喬治·康托爾引入了無限集合的概念，這使得整數集合的表達從實數域走向了集合論領域，這也是為何在此之前“整數集合”一詞鮮有使用的原因。
數學屬性及結構
整數 Z 的結構是相當穩固的。整數在加法和乘法運算下是封閉的，其中兩個整數的和或積依然是整數。例如，整數的加法性質使得整數在該運算下能夠形成一個阿貝爾群。
整數的結構是一種基本的環，這一特性使它成為數學中的關鍵主體。
不過，整數並不在除法上運算封閉，因此 1 除以 2 並不會得到一個整數。這強調了整數在數學格局中的獨特性。然而，它們具有的另一特性是以餘數的方式定義了整數的除法，稱為歐幾里得除法。
整數的序理性質
整數 Z 亦是一個完全有序的集合，其元素的排列顯示了明確的大小關係。這使得整數不僅僅是一組數字，而是有序的系統，並且這一排序適配其他運算，如如果 a < b 且 c < d，那麼 a + c < b + d 這樣的關係便成立。
整數是唯一的非平凡的完全有序阿貝爾群，其正值元素則是良序的。
整數的這些性質使它們在數學的各個領域中成為重要的研究對象，無論是在數論、代數還是集合論中，整數都展現出了其獨特的價值。
結論
Z 這個符號的選擇與整數所蘊含的歷史和數學意義密切相關。它讓我們不僅了解數字的本質，還了解了數學發展的脈絡和進程。這是否使你思考到數學符號背後隱藏的更深層次的意義與故事呢?
