Language
Country/Area
No result found
لغز حجم الدائرة وعمقها: ما هي أفضل طريقة لحساب الحدود؟
في نظرية التعقيد الحسابي، تعد الدوائر الحسابية هي النموذج القياسي لحساب كثيرات الحدود. الدوائر الحسابية قادرة على أخذ المدخلات من المتغيرات أو الأرقام وحساب نتيجة التعبير المحسوب مسبقًا من خلال الجمع أو الضرب. يتيح لنا هذا النموذج أن نفهم ميتافيزيقيًا مدى تعقيد حساب كثيرات الحدود.
السؤال الأساسي للدائرة هو "كيفية حساب كثيرة الحدود بأكثر الطرق فعالية؟"
تتكون الدائرة الحسابية من رسم بياني حلقي موجه. وتسمى كل عقدة في الرسم البياني بدرجة صفر بوابة الإدخال ويتم تصنيفها على أنها متغير أو عنصر في المجال. البوابات الأخرى هي بوابات الجمع أو بوابات الضرب. الصيغة الحسابية هي دائرة تكون فيها الدرجة الخارجية لكل بوابة واحدة، مما يشكل شجرة موجهة. هناك مقياسان مهمان لتعقيد الدوائر: الحجم والعمق. حجم الدائرة يشير إلى عدد البوابات، أما العمق فيشير إلى طول أطول مسار موجه في الدائرة.
تمتلك الدوائر الحسابية طريقة طبيعية لحساب كثيرات الحدود. تحسب بوابة الإدخال كثيرة الحدود المسمى؛ وتحسب بوابة الجمع مجموع كثيرات الحدود المحسوبة من قبل أبنائها، وتحسب بوابة الضرب حاصل ضرب كثيرات الحدود المحسوبة من قبل أبنائها. بأخذ الشكل كمثال، تحسب بوابة الإدخال x1 وx2 و1 على التوالي، وتحسب بوابة الجمع x1 + x2 وx2 + 1، وتحسب بوابة الضرب قيمة (x1 + x2) x2 (x2 + 1) .
نظرة عامة
عندما نواجه كثيرة الحدود f، فإن السؤال هو ما هي أفضل طريقة لحسابها - على سبيل المثال، لحساب الحد الأدنى لحجم دائرة الوحدة. يتكون هذا السؤال عادة من جزأين. الجزء الأول هو العثور على دائرة تحسب متعدد الحدود، وهو ما يسمى تعقيد الحد العلوي؛ والجزء الثاني هو إثبات أن الدوائر الأخرى لا يمكنها تحقيق أداء أفضل، وهو ما يسمى تعقيد الحد الأدنى.
على الرغم من أن المهمتين مرتبطتان ارتباطًا وثيقًا، إلا أن إثبات الحد الأدنى يكون أكثر صعوبة بشكل عام لأنه يجب مناقشة جميع الدوائر في وقت واحد.
من المهم أن نلاحظ هنا أننا مهتمون بالحساب الرسمي لكثيرات الحدود، وليس بالوظائف التي تحددها كثيرات الحدود. على سبيل المثال، ضع في الاعتبار متعدد الحدود x2 + x في مجال ثنائي يمثل متعدد الحدود هذا دالة صفرية في هذا المجال، ولكنه ليس متعدد الحدود صفرًا. وهذا أحد الفروق بين دراسة الدوائر الحسابية ودراسة دوائر بولينجر، وهو أحد أسباب كون تعقيد بولينجر أكثر صعوبة من التعقيد الحسابي.
الحد الأعلى
في دراسة حساب تعقيد كثيرات الحدود، تم اكتشاف بعض الدوائر أو الخوارزميات الذكية. على سبيل المثال، تستخدم خوارزمية ضرب مصفوفة Strassen الشهيرة حجم دائرة يبلغ حوالي n2.807، مما يقلل بشكل كبير من التعقيد مقارنة بـ n3 البسيط. قصة أخرى رائعة تدور حول حساب محدد مصفوفة n × n. على الرغم من أن طريقة الحساب الأصلية كانت تتطلب دائرة بحجم n!، إلا أننا نعلم أنه يمكن حساب المحدد بدائرة متعددة الحدود، على الرغم من عمقها. الدائرة خطية مع n.
في الوقت نفسه، توجد تحديات مماثلة لحساب حجم الدوائر الدائمة لمصفوفات n × n، حيث يبلغ حجم الدائرة المثالية حوالي 2n.
الحد الأدنى
معرفتنا الحالية بإثبات الحدود الدنيا محدودة للغاية. على سبيل المثال، غالبًا ما يتطلب حساب كثيرات الحدود ذات الدرجات الكبيرة دوائر كبيرة؛ على سبيل المثال، يتطلب كثير الحدود من الدرجة 2^2n حجم دائرة يبلغ حوالي 2n. تكمن المشكلة الرئيسية في إثبات الحدود الدنيا لكثيرات الحدود ذات الدرجة الصغيرة، وخاصة أحجام كثيرات الحدود n.
تتمثل المشكلة الرئيسية المفتوحة حاليًا في العثور على كثيرة حدود صريحة بحيث يتجاوز حجم الدائرة المطلوبة لحسابها مستوى كثيرات الحدود.
الجبر P وNP
إن المشكلة المفتوحة الأكثر إثارة للاهتمام في نظرية التعقيد الحسابي هي مشكلة P مقابل NP. بشكل تقريبي، السؤال هو ما إذا كان تحديد حل لمشكلة ما يمكن أن يكون سهلاً مثل إثبات وجودها. اقترح فاليانت تشبيهًا جبريًا لمشكلتي VP وVNP، والذي يتضمن العلاقة بين حجم كثير الحدود وحجم الدائرة.
التبسيط العميق
أحد المعايير المهمة لفهمنا لحسابات كثيرات الحدود هو عمل Valiant وSkyum وBerkowitz وRackoff. لقد أظهروا أنه إذا كان متعدد الحدود من الدرجة r يحتوي على دائرة بالحجم s، فإن متعدد الحدود لديه أيضًا دوائر متعددة الحدود بالحجم r و s.
تعتبر هذه النتيجة خاطئة نظرًا لنتائج مماثلة ضمن إعدادات بولينجر. إحدى النتائج الطبيعية لهذه النتيجة هي أن محاكاة الدوائر التي تتضمن كثيرات الحدود هي صيغ صغيرة نسبيًا؛ في هذه الحالة، متعدد الحدود من الدرجة r لدائرة ذات حجم s سيتطلب صيغة الحجم s^ (O(log(r))).
الملخص
يعد تصميم الدوائر الحسابية وحجمها وعمقها من العناصر الأساسية لحساب كثيرات الحدود، ولا تمثل دراسة هذه العناصر تحديًا نظريًا في الرياضيات فحسب، ولكنها ترتبط أيضًا ارتباطًا وثيقًا بالتطبيقات العملية. وفي هذه الحسابات المعقدة، فإن ما إذا كان بإمكاننا إيجاد طرق أكثر كفاءة لحل المشكلات الأكبر سيكون أحد اتجاهات البحث المستقبلي.
