A Contemporary Model Description of Magnetism
ССовременное модельное описание магнетизма
В. Ю. Ирхин18 февраля 2021 г.
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .16.1. Полярная модель и модель Хаббарда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.1.1. Атомное представление и метод многоэлектронных операторов (5); 6.1.2. Элек-тронный спектр в модели Хаббарда и переход металл—изолятор (13); 6.1.3. Ферромаг-нетизм сильно коррелированных d-систем (21).6.2. s—d(f) обменная модель и модель Андерсона . . . . . . . . . . . . . .306.2.1. Электронные состояния в s—d обменной модели (36); 6.2.2. s—d обменная мо-дель с узкими зонами и t-J модель (42); 6.2.3. Сопротивление магнитных переходныхметаллов (38); 6.2.4. s—f обменная модель и свойства редкоземельных металлов (48);6.2.5. Эффект Кондо (51); 6.2.6. Свойства аномальных f-соединений (57).Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Введение
Проблема двойственной природы электронных состояний в кристалле, проявляющихкак зонные, так и атомные черты, — до сих пор одна из центральных в физике твер-дого тела. Особенно существенна эта проблема для описания поведения d -электронов.В частности, именно в переходных металлах, их сплавах и соединениях наблюдаетсястоль важное явление сильного магнетизма, обусловленное формированием локальныхмагнитных моментов вследствие межэлектронного взаимодействия.Уже в 20—30-е годы ХХ века были достигнуты первые успехи теории металлов врамках новой квантовой механики — после открытия статистики Ферми. В рамках при-ближения свободных электронов, а затем одноэлектронной зонной теории — в работахПаули, Блоха, Вильсона, Пайерлса, Зоммерфельда — было дано объяснение парамаг-нетизма, поведения теплоемкости и кинетических свойств [1]. Однако для описанияферромагнетизма и ряда других явлений (например, перехода металл—изолятор) этипредставления оказались недостаточными. С другой стороны, попытки использоватьдля магнитных металлов модель Дирака—Гейзенберга, основанную на атомной кар-тине локализованных спинов, также не дали хороших результатов (в частности, она1 a r X i v : . [ c ond - m a t . s t r- e l ] F e b ыла не в состоянии объяснить дробные значения магнитных моментов). Таким обра-зом, потребовался определенный синтез модели Гейзенберга и одноэлектронной зонноймодели.В 1934 году была предложена полярная модель Шубина и Вонсовского [2],а в 1946 году — s — d обменная модель [3, 4]. Обе эти модели сыграли исключительноважную роль в теоретическом описании d - и f -металлов и их соединений.Работы Шубина и Вонсовского по полярной модели [2] были опубликованы в пре-стижном английском журнале Proceedings of the Royal Society и (в более подробномизложении) в харьковском журнале Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion, выходив-шем на немецком языке; их русский перевод можно найти в книге [5]. В этих ста-тьях была намечена программа на много лет вперед, которая целиком не выполненадо сих пор: построение систематической теории металлов, позволяющей рассматриватьих электрические и магнитные свойства одновременно, и выбор подходящей системыприближений.В данной главе рассмотрена эволюция идей многоэлектронных моделей, которыебыли заложены и развиты в работах С. В. Вонсовского, его коллег и учеников.Мы ограничимся модельными аспектами теории металлов, хотя в настоящее времяшироко используются как первопринципные зонные расчеты, так и попытки их комби-нации с многоэлектронными моделями (что позволяет значительно улучшить учет кор-реляционных эффектов). Изложение будет придерживаться классических теоретико-полевых методов (преимущественно метода двухвременных запаздывающих функцийГрина, в том числе для многоэлектронных операторов). Во время написания первыхработ Шубина и Вонсовского этих наглядных аналитических методов, основанных напредставлении вторичного квантования, еще не было (под рукой был только громозд-кая техника слэтеровских детерминантов), и их последующее применение позволилосущественно продвинуться в понимании многоэлектронных эффектов. Следует такжеотметить, что, несмотря на имеющиеся принципиальные трудности (в особенности такназываемая «проблема знака», обусловленная фермиевской статистикой), в последнеевремя достигнуты существенные успехи в прямых численных расчетах многоэлектрон-ных систем квантовым методом Монте-Карло (см., например, [6]). Они, однако, покадалеко не достаточны, чтобы заменить аналитические модельные подходы.Данная глава в значительной мере продолжает и дополняет фундаментальный об-зор [7], где сопоставляются локализованные и делокализованные аспекты поведенияэлектронов в переходных металлах и их сильнокоррелированных соединениях. Теоре-тическое изложение по возможности сопровождается примерами реальных физическихсистем. Более подробно физические свойства переходных металлов и систем с сильнымикорреляциями на их основе рассмотрены в книге [8].В разделе 1 приводится формулировка полярной модели Шубина—Вонсовского и еечастного случая — модели Хаббарда. С использованием формализма углового момен-2а проведено рассмотрение вырожденных атомных состояний, которое существенно вслучае d - и f -электронов. Обсуждаются атомное представление, спектр электронныхсостояний, переход металл—изолятор и ферромагнетизм в системах сильнокоррелиро-ванных электронов.В разделе 2 рассмотрена s — d ( f ) обменная модель Вонсовского, ее обобщения, част-ные случаи и применения к различным физическим ситуациям. Более подробно обсуж-даются редкоземельные металлы, сильные полуметаллические ферромагнетики, решет-ки Кондо. В работах [2] Шубин и Вонсовский поставили своей целью одновременно описатьширокий круг явлений в твердом теле, включая магнетизм и электропроводность. По-лярная модель была предложена ими как синтез гомеополярной модели Гейзенберга,описывающей систему локализованных моментов, и подхода Слэтера для описания мно-гоэлектронной системы металла. В кристалле, где на атом приходится один электрон(или в простейшем примере молекулы водорода, рассмотренном Гайтлером и Лондо-ном), это означает учет полярных состояний — двоек и дырок, т. е. дважды занятых ипустых узлов. В исходной формулировке модели были учтены перескоки электронов сузла на узел и все типы межэлектронного взаимодействия.Дальнейшее развитие полярная модель получила в работах Боголюбова [9], которыйвывел ее гамильтониан через последовательное разложение по интегралу перекрытияатомных волновых функций в представлении вторичного квантования. В простейшемслучае невырожденной зоны его можно записать в виде H = (cid:88) ν (cid:54) = ν ,σ t ν ν c † ν σ c ν σ + 12 (cid:88) ν i σ σ I ν ν ν ν c † ν σ c † ν σ c ν σ c ν σ . (1)Здесь t ν ν и I ν ν ν ν — матричные элементы одноэлектронного переноса и меж-электронного взаимодействия. В частности, V ν ν = I ( ν ν ν ν ) — кулоновское взаи-модействие на разных узлах (ответственное, например, за зарядовое упорядочение), J ν ν = − I ( ν ν ν ν ) — «прямое» обменное взаимодействие (этот член получается пере-становкой (обменом) спиновых индексов).Новый импульс многоэлектронной теории кристалла придали идеи Хаббарда[10—13], выделившего в своей модели наиболее существенную часть кулоновского вза-имодействия — сильное отталкивание электронов на одном узле U = I ( νννν ) . В случаеневырожденной зоны ее гамильтониан запишется как H = (cid:88) k σ t k c † k σ c k σ + U (cid:88) i c † i ↑ c i ↑ c † i ↓ c i ↓ , (2)3де t k — зонный спектр. Модель Хаббарда широко использовалась для рассмотре-ния ферромагнетизма коллективизированных электронов, перехода металл—изолятори других физических явлений. Несмотря на очевидную простоту, эта модель содержиточень богатую физику и ее строгое исследование является весьма трудной проблемой.Поскольку в случае сильных корреляций теория возмущений не работает, Хаббардиспользовал метод двухвременных запаздывающих функций Грина, разработанный Бо-голюбовым и Тябликовым. Предложенная им схема расцепления на разных узлах позво-лила получить формальный переход от зонной к атомной картине. Стартуя с атомногопредела, Хаббард нашел интерполяционное решение, описывающее как атомный, так изонный пределы для s -состояний [10]; затем он рассмотрел простую модель вырожден-ных зон [11]. В то же время интерполяционное описание оказалось в значительной мереиллюзорным. (в частности, корреляционное расщепление в спектре сохраняется присколь угодно малых U , неудовлетворительно описываются ферромагнитные решения).В третьей работе Хаббарда [12] рассмотрено улучшенное расцепление — одноузель-ное приближение, аналогичное теории неупорядоченных сплавов, позволяющее учестьодноузельные корреляции и поправки на резонансное уширение и рассеяние. Оно поз-волило, в частности, получить переход металл—изолятор. Однако и ему присущи недо-статки — переоценка затухания, отсутствие фермижикостного поведения.В работе [13] Хаббард предложил общий формализм многоэлектронных X -операторов (атомное представление), который позволяет учесть внутриатомные вза-имодействия в нулевом приближении (этот метод детально обсуждается в обзоре [14] имонографии [8]).В отсутствие стандартного малого параметра стандартные диаграммные подходыздесь оказались неприменимыми, а успех нестандартных диаграммных техник [15] —весьма ограниченным в силу неоднозначности их правил.В работах [16—18] методом уравнений движения было развито разложение по обрат-ному координационному числу /z , которое позволило последовательно учесть вкладыспиновых и зарядовых флуктуаций, а также фермиевских возбуждений, однако онотакже встретилось с рядом трудностей в случае парамагнитного состояния.Второе дыхание модель Хаббарда получила после открытия высокотемператур-ных сверхпроводников, поскольку позволяла описать движение носителей тока в медь-кислородных плоскостях.Для описания электронных состояний в CuO -плоскостях перовскитов могут бытьиспользованы и более сложные многозонные модели, например так называемая модельЭмери: H = (cid:88) k σ [ εp † k σ p k σ + ∆ d † k σ d k σ + V k ( p † k σ d k σ + d † k σ p k σ )] + U (cid:88) i d † i ↑ d i ↑ d † i ↓ d i ↓ , (3)где ε и ∆ — положения p - и d -уровней для Cu- и O-ионов соответственно. k -зависимость4атричных элементов p — d гибридизации для квадратной решетки имеет вид V k = 2 V pd (cid:113) sin k x + sin k y . (4)При | V pd | (cid:28) ε − ∆ гамильтониан (3) приводится каноническим преобразованием [19] кмодели Хаббарда с сильным кулоновским отталкиванием и эффективными интеграламиперескока Cu—Cu t eff = V pd ε − ∆ . (5) Вывод и анализ уравнений полярной модели для случая s -зоны был дан в ориги-нальных работах [2] и далее в статьях и обзорах [7, 20]. Здесь мы обсудим более общийслучай вырожденных электронных состояний на узле, поскольку такое вырождениеважно для переходных металлов и их соединений. Однако вначале, как и в работахШубина и Вонсовского [2], рассмотрим многоэлектронные (МЭ) волновые функции ипроцедуру вторичного квантования для систем с сильными межузельными кулоновски-ми корреляциями.При переходе к стандартному представлению вторичного квантования МЭ волновыефункции кристалла Ψ( x . . . x N ) ( x = { r i s i } , s i — спиновые координаты) выбираютсяв виде линейных комбинаций слэтеровских определителей. Последние составляются изодноэлектронных волновых функций ψ λ ( x ) ( λ = { νγ } , ν — индексы ячеек в решетке, а γ — одноэлектронные наборы квантовых чисел): Ψ( x . . . x N ) = (cid:88) λ ...λ N c ( λ . . . λ N )Ψ λ ...λ N ( x . . . x N ) , (6)где Ψ λ ...λ N ( x . . . x N ) = ( N !) − / (cid:88) P ( − P P (cid:89) i ψ λ i ( x i ) , (7)а P пробегает всевозможные перестановки x i . Разложение (6) справедливо при условии,что система функций ψ λ полная [9]. Представление вторичного квантования вводитсяпутем использования одноэлектронных чисел заполнения n λ в качестве новых перемен-ных: Ψ( x . . . x N ) = (cid:88) { n λ } c ( . . . n λ . . . )Ψ { n λ } ( x . . . x N ) . (8)Тогда величина c ( . . . n λ . . . ) играет роль новой волновой функции. Одноэлектронныеоператоры рождения и уничтожения Ферми определяются следующим образом: a λ c ( . . . n λ . . . ) = ( − η λ n λ c ( . . . n λ − . . . ) , † λ c ( . . . n λ . . . ) = ( − η λ (1 − n λ ) c ( . . . n λ + 1 . . . ) , (9)причем η λ = (cid:88) λ (cid:48) >λ n λ (cid:48) , a † λ a λ = ˆ n λ . Теперь попробуем обобщить этот метод, вводя для одноузельной (атомной) задачиквантовые числа электронных групп.C физической точки зрения ясно, что межэлектронные корреляции наиболее важ-ны для электронов одной и той же атомной оболочки (эквивалентных электронов).Современная теория атомных спектров базируется на формализме Рака для угловыхмоментов (см., например, [21]). Эта мощная математическая методика (отметим, чтоона может быть обобщена на случай кристаллического поля, расщепляющего атомныетермы [22]) вводит представление многоэлектронных квантовых чисел
Γ = { SLµM } вместо одноэлектронных γ = { lmσ } , причем S = (cid:88) i s i , L = (cid:88) i l i суть полные спиновый и орбитальный угловые моменты, а µ и M — их проекции. Тогдамногочисленные возможные комбинации наборов γ для частично занятой оболочки за-меняются наборами Γ . Общее количество МЭ состояний то же самое, но энергетическоевырождение снято, так что в большинстве физических задач можно сохранить толькосамый низкий МЭ терм. Согласно правилам Хунда, он соответствует максимальным L и S . В рамках такого подхода проблема электростатического взаимодействия в систе-ме сводится к вычислению нескольких интегралов Слэтера F ( p ) , которые могут бытьрассчитаны с использованием атомных волновых функций [23] или определены из экс-периментальных данных.Объединяя электроны на каждом узле в решетке ( Λ = { ν Γ } ), получим Ψ( x . . . x N ) = (cid:88) { N λ } c ( . . . N λ . . . )Ψ { N λ } ( x . . . x N ) . (10)В случае конфигурации эквивалентных электронов l n с одинаковым орбитальным кван-товым числом МЭ волновая функция электронной группы определяется следующимрекуррентным соотношением (см. [21]): Ψ Γ n ( x . . . x N ) = (cid:88) Γ n − ,γ G Γ n Γ n − C Γ n Γ n − ,γ Ψ Γ n − ( x . . . x n − ) ψ γ ( x n ) , (11)где C — коэффициенты Клебша—Гордана. В случае LS -связи используем обозначения C Γ n Γ n − ,γ ≡ C L n M n L n − M n − ,lm C S n µ n S n − µ n − , σ , (12)6де суммирование по γ = { lmσ } (опускаем для краткости главное квантовое число) сто-ит вместо суммирования по одноэлектронным орбитальным проекциям m и спиновымпроекциям σ , но не по l . Величины G Γ n Γ n − ≡ G S n L n α n S n − L n − α n − называются генеалогическимикоэффициентами ( α — дополнительные квантовые числа, которые отличают различныесостояния с совпадающими S , L , например, число «сеньорити», введенное Рака). Онине зависят от проекций момента импульса, а величины ( G Γ n Γ n − ) имеют смысл вкладовтерма Γ n − в формирование терма Γ n .Если добавленный электрон принадлежит другой оболочке, можно записать Ψ Γ n ( x . . . x n ) = n − / (cid:88) i, Γ n − ,γ ( − n − i C Γ n Γ n − ,γ Ψ Γ n − ( x . . . x i − , x i − . . . x n − ) ψ γ ( x i ) , (13)так что, в отличие от случая эквивалентных электронов, здесь дополнительная анти-симметризация необходима. Следует иметь в виду, что такое представление МЭ функ-ций и операторов, которые описывают несколько электронных оболочек, работает втеории твердого тела лишь при условии, что взаимодействие между оболочками вели-ко по сравнению с зонными энергиями.Волновая функция всего кристалла (10) может быть теперь получена как антисим-метризованное произведение МЭ функций для электронных групп. По аналогии с (11),(13) можно ввести МЭ операторы рождения для электронных групп [24]. Для эквива-лентных электронов и при добавлении электрона из другой оболочки соответственноимеем A † Γ n = n − / (cid:88) Γ n − ,γ G Γ n Γ n − C Γ n Γ n − ,γ a † γ A † Γ n − , A † Γ n = (cid:88) Γ n − ,γ C Γ n Γ n − ,γ a † γ A † Γ n − . (14)Антисимметрия функций | Γ n (cid:105) = A † Γ n | (cid:105) обеспечивается антикоммутацией ферми-операторов. Используя соотношения ортогональности для коэффициентов Клеб-ша—Гордана и генеалогических коэффициентов, легко получить (cid:104) | A Γ (cid:48) A † Γ | (cid:105) = δ ΓΓ (cid:48) .Однако при m < n имеем A Γ (cid:48) m A † Γ n | (cid:105) (cid:54) = 0 . Поэтому операторы (14), (14) удобны толькодля работы с конфигурациями с фиксированным числом электронов (скажем, в гомео-полярной модели Гайтлера—Лондона). Для рассмотрения проблемы с перемещениемэлектронов между оболочками или узлами удобно определить новые МЭ операторырождения, которые содержат проекционные множители, введенные в [14, 25]: ˜ A † Γ = A † Γ (cid:89) γ (1 − ˆ n γ ) . (15)Формально произведение в (15) идет по всем допустимым одноэлектронным состояни-ям γ . Однако в силу тождества a † γ ˆ n γ = 0 достаточно сохранить только те γ , которыене входят в соответствующие произведения операторов в A Γ . Теперь получаем ˜ A Γ ˜ A † Γ = δ ΓΓ (cid:48) (cid:89) γ (1 − ˆ n γ ) , ˜ A Γ ˜ A Γ (cid:48) = ˜ A † Γ (cid:48) ˜ A † Γ = 0 ( | Γ (cid:105) (cid:54) = 0) . (16)7аким образом, можно прийти к представлению МЭ чисел заполнения N Γ на данномузле: ˜ A Γ | Γ (cid:48) (cid:105) = δ ΓΓ (cid:48) | (cid:105) , ˜ A † Γ | Γ (cid:48) (cid:105) = δ Γ (cid:48) | Γ (cid:105) , ˜ A † Γ ˜ A Γ = ˆ N Γ , ˆ N Γ | Γ (cid:105) = δ ΓΓ (cid:48) | Γ (cid:105) , (cid:88) Γ ˆ N Γ = 1 . (17)Подчеркнем, что, вводя МЭ операторы, которые зависят от всех одноэлектронныхквантовых чисел (как занятых, так и свободных состояний), мы делаем следующий шагв квантово-полевом описании после обычного вторичного квантования. В принципе оновозможно и за пределами одноатомной задачи. Здесь снова (как и при обсужденииполярной модели) полезно рассмотрение простых модельных систем типа молекулы во-дорода, а также сравнение с приближениями типа Хартри—Фока (в точном смысле, каконо используется в атомной теории). Вообще говоря, следует использовать многоэлек-тронные волновые функции, которые не сводятся к слэтеровским детерминантам и нефакторизуются на одноэлектронные.При практических вычислениях удобно перейти от МЭ операторов рождения и уни-чтожения к X -операторам Хаббарда X (Γ , Γ (cid:48) ) = ˜ A † Γ ˜ A Γ (cid:48) , которые переводят состояние Γ (cid:48) в состояние Γ . Такие операторы впервые были предложены в [13] аксиоматическимспособом как обобщенные проекционные операторы: X (Γ , Γ (cid:48) ) = | Γ (cid:105)(cid:104) Γ (cid:48) | , (cid:88) Γ X (Γ , Γ) = 1 , (18)где | Γ (cid:105) — точные собственные состояния гамильтониана. При этом произвольный опе-ратор ˆ O , действующий на электроны на данном узле i , выражается через X -операторытак: ˆ O = (cid:88) ΓΓ (cid:48) (cid:104) Γ | ˆ O | Γ (cid:48) (cid:105) X (Γ , Γ (cid:48) ) . (19)Использование введенных выше операторов электронных конфигураций позволяетполучить явные выражения для X -операторов через одноэлектронные операторы: X (Γ ,
0) = ˜ A † Γ , X (Γ , Γ) = ˆ N Γ . (20)Например, рассмотрим простейший случай s -электронов, где γ = σ = ± ( ↑ , ↓ ) , Γ =0 , σ, и | (cid:105) — свободное состояние (дырка), а | (cid:105) — дважды занятое синглетное состо-яние на узле. Тогда X (0 ,
0) = (1 − ˆ n ↑ )(1 − ˆ n ↓ ) , X (2 ,
2) = ˆ n ↑ ˆ n ↓ , X (2 ,
0) = a †↑ a †↓ ,X ( σ, σ ) = ˆ n σ (1 − ˆ n − σ ) , X ( σ, − σ ) = a † σ a − σ ,X ( σ,
0) = a † σ (1 − ˆ n − σ ) , X (2 , σ ) = − σa †− σ ˆ n σ . (21)8ак следует из (16), правила умножения, постулированные Хаббардом [13], имеютвид X (Γ , Γ (cid:48) ) X (Γ (cid:48)(cid:48) , Γ (cid:48)(cid:48)(cid:48) ) = δ Γ (cid:48) Γ (cid:48)(cid:48) X (Γ , Γ (cid:48)(cid:48)(cid:48) ) . (22) X -операторы можно подразделить на операторы бозе- и ферми-типа: они соответ-ственно меняют количество электронов на узле на четное и нечетное число, а на разныхузлах решетки коммутируют и антикоммутируют. На одном узле X -операторы облада-ют значительно более сложной алгеброй (точнее говоря, супералгеброй) коммутацион-ных и антикоммутационных соотношений, чем фермиевские и бозевские операторы [26].Имеются попытки использовать соответствующие динамические симметрии за преде-лами атомной задачи [27].Из (14) получаем представление a † γ = (cid:88) n n / (cid:88) Γ n Γ n − G Γ n Γ n − C Γ n Γ n − ,γ X (Γ n , Γ n − ) . (23)В частности, для s -электронов a † σ = X ( σ,
0) + σX (2 , − σ ) . (24)В работах Шубина и Вонсовского было использовано квазиклассическое приближе-ние. Оно по существу состоит в замене X -операторов с-числовыми функциями, опре-деляющими амплитуду вероятности пребывания узла в состоянии однократно занятогоузла, двойки или дырки: X i (+ , → ϕ ∗ i Ψ i , X i (2 , − ) → Φ ∗ i ψ i , X i (2 , → Φ ∗ i Ψ i (25)с дополнительным условием | ϕ i | + | ψ i | + | Φ i | + | Ψ i | = 1 . Это соответствует определению полной энергии системы из вариационного принципа сволновой функцией φ = (cid:89) i ( ϕ ∗ i X i (+ ,
0) + ψ ∗ i X i ( − ,
0) + Φ ∗ i X i (2 , ∗ i ) | (cid:105) . (26)Она смешивает возбуждения бозевского и фермиевского типа, а потому не удовлетво-ряет принципу Паули. Тем не менее, квазиклассическое приближение позволяет грубоописать переход металл—изолятор, что и было проделано впоследствии рядом авторов(см. обзор [7]). Так, в работе Карона и Пратта [28] было даже рассмотрено среднее поледля фермионов, так что фактически на с-числа заменялись не X -операторы, а обычныефермиевские операторы. 9редвосхищая работы Хаббарда, уравнения квазиклассического приближения [2]дают изменение ширины энергетической полосы, а также относительного расположе-ния различных полос в зависимости от числа двоек и магнитного момента (соответству-ющие результаты в представлении X -операторов рассмотрены ниже). В работах [2],также впервые, по существу введено атомное представление, в дальнейшем детальноразработанное в работах [13, 14, 25, 26].Более строгим и последовательным оказался вариационный метод Гутцвиллера, см.[29]. Соответствующая волновая функция может быть записана как Ψ = (cid:89) i [1 − (1 − ˆ n i ↑ ˆ n i ↓ )] | ψ (cid:105) , (27)где вариационный параметр g ( < g < ) учитывает уменьшение вероятности состоя-ний с большим числом двоек, | ψ (cid:105) — волновая функция некоррелированного состояния.В связи с теорией двумерных высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) Ан-дерсон [30] выдвинул идею разделения спиновых и зарядовых степеней свободы электро-на, используя для X -операторов представление вспомогательных («auxiliary», «slave»)бозевских и фермиевских операторов c † iσ = X i ( σ,
0) + σX i (2 , − σ ) = s † iσ e i + σd † i s i − σ . (28)Здесь s † iσ — операторы рождения для нейтральных фермионов (спинонов), e † i , d † i — опе-раторы рождения для заряженных бесспиновых бозонов. Физический смысл таких воз-буждений можно объяснить следующим образом. Рассмотрим решетку с одним электро-ном на узле с сильным хаббардовским отталкиванием, так что каждый узел нейтрален.В основном состоянии резонирующих валентных связей (resonating valence bonds, RVB)каждый узел принимает участие в одной связи. Когда связь нарушается, появляютсядва неспаренных узла, которые обладают спинами, равными / . Соответствующие воз-буждения (спиноны) не заряжены. Вместе с тем, пустой узел (дырка) в системе несетзаряд, но не спин.Для полузаполненной зоны присутствуют только спинонные возбуждения с кинети-ческой энергией порядка | J | . При допировании системы дырками возникают носителизаряда, которые описываются операторами холонов e † i . В простейшей бесщелевой вер-сии гамильтониан системы для квадратной решетки может быть представлен в виде H = (cid:88) k (4 tφ k − ζ ) e † k e k + 4 (cid:88) k (∆ + tδ ) φ k ( s † k σ s †− k − σ + s k σ s − k − σ ) + . . . , (29)где φ k = (1 / k x + cos k y ) , ∆ — параметр порядка состояния RVB, который опреде-лен аномальными средними спинонных операторов, причем δ = (cid:104) e † e (cid:105) — концентрациядырок, ζ — химический потенциал. Таким образом, возникает состояние спиновой жид-кости с подавленным дальним магнитным порядком. При этом в чисто спиновых (недо-пированных) системах вследствие существования фермиевской поверхности спинонов10оявляются малый энергетический масштаб J и большой линейный член в удельнойтеплоемкости с γ ∼ / | J | (некоторые экспериментальные данные указывают на присут-ствие T -линейного члена в непроводящей фазе медь-кислородных систем).Позже были развиты более сложные варианты теории RVB, которые используюттопологическое рассмотрение и аналогии с дробным квантовым эффектом Холла (см.,например, [15, 31]). Эти идеи привели к довольно необычным и красивым результатам.Например, показано, что спиноны могут подчиняться дробной статистике, т. е. волно-вая функция системы приобретает комплексный коэффициент при перестановке двухквазичастиц.В однородной RVB-фазе (uRVB) χ ij = χ для всех связей и вещественно, а щель ∆ ij =0 , так что спектр f -фермионов имеет вид E k = − J χ (cos k x + cos k y ) . Однако имеютсяфазы с более низкой энергией, включая d -волновой сверхпроводник [31]. В приближениисреднего поля в t — J модели в представлении вспомогательных бозонов c † iσ → X i ( σ
0) = f † iσ b i , соответствующее теории U( ). Здесь можно ввести спаривания χ ij = (cid:88) σ (cid:104) f † iσ f jσ (cid:105) , ∆ ij = (cid:104) f i ↑ f j ↓ − f i ↓ f i ↑ (cid:105) . (30)Более сложные спин-жидкостные фазы получаются при учете SU( )-инвариантности t — J гамильтониана, что позволяет устранить ряд трудностей теории U( ) [31].Исходя из конкретной физической задачи и ситуации, используются различныепредставления для операторов Хаббарда. В работе [34] было предложено представлениечетырех бозонов p iσ , e i , d i , которые осуществляют проектирование на однократно заня-тые состояния, дырки и двойки соответственно. В результате гамильтониан Хаббардапринимает вид H = (cid:88) ijσ t ij f † iσ f jσ z † iσ z jσ + U (cid:88) i d † i d i , z iσ = e † i p iσ + p † i − σ d i , (31)причем накладываются дополнительные ограничения (cid:88) σ p † iσ p iσ + d † i d i + d † i d i = 1 , f † iσ f iσ = p † iσ p iσ + d † i d i . Это представление позволило качественно воспроизвести ряд прежних результатов (на-пример, как и квазиклассическое приближение (25), получить описание перехода ме-талл—изолятор по Гутцвиллеру).Для описания допированных купратов было предложено также представление фер-миевских допонов d † iσ [32, 33], X i (0 , − σ ) = − σ √ (cid:88) σ (cid:48) d † iσ (cid:48) (1 − n i − σ (cid:48) )[ Sδ σσ (cid:48) − ( S i σ σ (cid:48) σ )] , (32)11де σ = ± , n iσ = d † iσ d iσ , причем для подсистемы локализованных спинов S = 1 / могут быть использованы как фермиевское спинонное представления, так и бозонноепредставление Швингера. Учет гибридизации между допонами и фермиевскими спино-нами дает описание в рамках эффективной двухзонной модели [32]. Переписывая (32)как X i (0 , σ ) = ( d † i ↓ f † i ↑ − d † i ↑ f † i ↓ ) f iσ (33)и вводя голонный оператор e i = f i ↑ d i ↓ − f i ↓ d i ↑ , мы возвращаемся к представлению Ан-дерсона (28).В работе [35] было предложено представление, содержащее два сорта фермиевскихоператоров — холонов e i и дублонов d i , которые соответствуют дыркам и двойкам: X i (+ ,
0) = e i (1 − d † i d i )(1 / s zi ) , X i ( − ,
0) = e i (1 − d † i d i ) s − i ,X (2 , − ) = d † i (1 − d † i d i ) s + i , X (2 , +) = d † i (1 − d † i d i )(1 / s zi ) . (34)При этом операторы физических спинов связаны с псевдоспиновыми операторами s αi соотношением S i = s i (1 − d † i d i − e † i e i ) . Ранее рассматривались различные частные случаиэтого представления, соответствующие пределу больших U ( t — J модели, см. обзор [36]).В дальнейшем были предложены также суперсимметричные представления [37]. Отме-тим, что в теоретико-полевых подходах оказалось полезным обобщение обычной моделиХаббарда на N «цветов», которое позволяет выполнить /N -разложение по обратнойкратности вырождения.При увеличении силы корреляций в МЭ системах происходит смена статистикиэлементарных возбуждений с зонной на атомную, которая проявляется как переходметалл—изолятор (формирование хаббардовских подзон). Формальное описание тако-го перехода оказывается крайне сложным. Для решения этой проблемы, в частности,предлагалось смешивание базиса из обычных одноэлектронных и многоэлектронных X -операторов, а также использовалось конструкция башни симметрии [27].Операторы спинового и углового момента в чисто локализованных системах такжемогут быть представлены через X -операторы. Учитывая выражения для матричныхэлементов углового момента, находим для циклических компонент вектора I = S , L , J I + = (cid:88) M γ I ( M ) X ( M + 1 , M ) , I z = (cid:88) M M X ( M, M ) , γ I ( M ) = (cid:112) ( I − M )( I + M + 1) . (35)Использование операторов Хаббарда дает возможность простым способом получитьглавные результаты теории гейзенберговских магнетиков. В частности, этот формализмпозволяет учесть сильную одноионную магнитную анизотропию в нулевом приближе-нии [8, 38]. Гамильтониан модели Гейзенберга с произвольной одноузельной анизотро-пией имеет вид H = (cid:88) ij J ij S i S j + H a . (36)12 представлении X -операторов гамильтониан анизотропии принимает диагональныйвид. В случае анизотропии типа легкая ось имеем H a = − (cid:88) i [ ϕ ( S zi ) + HS zi ] = − (cid:88) iM [ ϕ ( M ) + HM ] X i ( M, M ) , (37)где H — магнитное поле. Удобно ввести коммутаторные функции Грина G q ( ω ) = (cid:104)(cid:104) S + q | S −− q (cid:105)(cid:105) ω , G q M ( ω ) = (cid:104)(cid:104) X q ( M + 1 , M ) | S −− q (cid:105)(cid:105) ω . (38)Запишем уравнение движения, в котором выполним простейшее расцепление, соответ-ствующее расцеплению Тябликова на различных узлах решетки ( ω − H − ϕ ( M + 1) + ϕ ( M ) + 2 J (cid:104) S z (cid:105) ) G q M ( ω ) == γ S ( M )( N M +1 − N M )[1 + J q G q ( ω )] , (39)где N M = (cid:104) X ( M, M ) (cid:105) . После суммирования по M получаем G q ( ω ) = Φ S ( ω )1 − J q Φ S ( ω ) , Φ S ( ω ) = (cid:88) M γ S ( M )( N M +1 − N M ) ω − H − ϕ ( M + 1) + ϕ ( M ) + 2 J (cid:104) S z (cid:105) . (40)Спектр возбуждений определяется полюсом (40) и содержит S ветвей. Выраже-ния (39), (40) позволяют вычислить числа заполнения N M и получить самосогласован-ное уравнение для намагниченности. Еще более интересными оказываются результатыв случае анизотропии типа легкая плоскость и кубических кристаллов [38].Современные исследования квантовых двумерных антиферромагнетиков с локали-зованными спинами (см., например, [39]) демонстрируют очень красивую физику; приэтом фазовая диаграмма является очень богатой — она включает как магнитоупорядо-ченные фазы, так и состояние спиновой жидкости. Интересно, что эта проблема сво-дится к двумерному бозе-газу в магнитном поле [15]. Обсудим теперь полный гамильтониан многоэлектронной системы кристалла. Дляперехода к представлению вторичного квантования в случае вырожденных электрон-ных зон можно использовать приближение сильной связи, предполагая, что зоны про-исходят из атомных волновых функций ϕ lmσ ( x ) = ϕ lm ( r ) χ σ ( s ) = R l ( r ) Y lm (ˆ r ) χ σ ( s ) , (41)где s — спиновая координата, R l — радиальная волновая функция, Y — сферическаягармоника, ˆ r = ( θ, φ ) , l и m — орбитальное и магнитное квантовые числа. Тогда га-мильтониан примет вид (2) с заменой ν i → ν i l i m i . Следует, однако, иметь в виду, что13томные функции не удовлетворяют условию ортогональности для различных узлов ν ,которое должно выполняться для процедуры вторичного квантования.Проще всего использовать процедуру ортогонализации, предложенную Боголюбо-вым [9]. С точностью до первого порядка по перекрытию атомных функций ортогона-лизованные функции имеют вид ψ νlm ( r ) = ϕ νlm ( r ) − (cid:88) ν (cid:48) (cid:54) = ν (cid:88) l (cid:48) m (cid:48) ϕ ν (cid:48) l (cid:48) m (cid:48) ( r ) (cid:90) ϕ ∗ ν (cid:48) l (cid:48) m (cid:48) ( r (cid:48) ) ϕ νlm ( r ) d r (cid:48) . (42)Запишем гамильтониан в многоэлектронном представлении, учитывая одноузель-ное кулоновского отталкивание и межузельный перенос электронов (что соответствуетмодели Хаббарда): H = (cid:88) ν Γ E Γ X ν (Γ , Γ) ++ (cid:88) ν (cid:54) = ν (cid:88) Γ n Γ n − Γ n (cid:48) Γ n (cid:48)− B ν ν (Γ n Γ n − , Γ n (cid:48) Γ n (cid:48) − ) X ν (Γ n Γ n − ) X ν (Γ n (cid:48) Γ n (cid:48) − ) . (43)В пренебрежении зависимостью энергии терма от МЭ квантовых чисел имеем E Γ = 12 n ( n − F (0) ( ll ) , (44)где F ( p ) — интегралы Слэтера. Учет таких вкладов с p = 2 , , . . . дают зависимостьэнергии термов от МЭ квантовых чисел S , L в соответствии с правилом Хунда.Многоэлектронные интегралы переноса содержат вклад, связанный с матричнымиэлементами электростатического взаимодействия для ν (cid:54) = ν , ν = ν (ср. (1)). В част-ности, для s -зон (в модели (1)) имеем H = U (cid:88) ν X ν (2 ,
2) + (cid:88) ν ν σ { t (00) ν ν X ν ( σ, X ν (0 , σ ) + t (22) ν ν X ν (2 , σ ) X ν ( σ,
2) ++ σt (02) ν ν [ X ν ( σ, X ν ( − σ,
2) + X ν (2 , − σ ) X ν (0 , σ )] } , (45)где U = I νννν = F (0) (00) — параметр Хаббарда, t (00) ν ν = t ν ν , t (22) ν ν = t ν ν + 2 I ν ν ν ν ,t (02) ν ν = t (20) ν ν = t ν ν + I ν ν ν ν (46)суть интегралы переноса для дырок и двоек и интеграл рождения дырок и двоек; в со-ответствии с (42) I ν ν ν ν = ˜ I ν ν ν ν − U (cid:90) ϕ ν ( r ) ϕ ν ( r ) d r , (47)14де интегралы ˜ I вычисляются для атомных функций ϕ .Зависимость интегралов переноса от атомных МЭ термов может быть менее три-виальной, если использовать при решении атомной проблемы более сложные подходы,чем в разделе 1.1. Например, общее приближение Хартри—Фока (см. [21]) дает ради-альные одноэлектронные функции, которые явно зависят от атомных термов. В неко-торых вариационных подходах многоэлектронной атомной теории (см. [40]) МЭ вол-новые функции не факторизуются на одноэлектронные. Поэтому интегралы переносадолжны быть вычислены с использованием МЭ волновых функций, как обсуждалосьвыше. В частности, для s -зон интегралы (46) могут отличаться даже в пренебреже-нии межатомным кулоновским взаимодействием и неортогональностью. Кроме этого,может потребоваться многоэлектронный подход, который принимает во внимание вза-имодействие различных электронных оболочек.Приведем еще выражение для параметра прямого обмена в случае невырожденнойзоны [41] (в общем случае матричные элементы обменного и кулоновского взаимодей-ствия могут быть выражены через коэффициенты Клебша—Гордана [8, 42]): J ν ν = − I ν ν ν ν = ˜ J ν ν + 2 γ ν ν L ν ν −
12 ( U + Q ν ν ) γ ν ν , (48)где ˜ J ν ν = − ˜ I ν ν ν ν , L ν ν = ˜ I ν ν ν ν , γ ν ν = (cid:90) d r ϕ ∗ ν ( r ) ϕ ν ( r ) . (49)Кроме «потенциального» обмена типа (48) рассмотрим «кинетическое» обменноeвзаимодействие, которое появляется во втором порядке теории возмущений по переносу.В приближении (44) имеем ˜ H = (cid:88) ν ν (cid:26) ¯ t ν ν ( ll F (0) ( ll ) (cid:27) { n n + 4( S S ) − (2 l + 1)( n + n ) } . (50)Этот механизм приводит к антиферромагнитному взаимодействию, т. к. выигрыш вкинетической энергии достигается при антипараллельной ориентации спинов электро-нов. Численные расчеты (см., например, [4]) показывают, что при реалистических меж-атомных расстояниях данный вклад, как правило, преобладает над ферромагнитнымпотенциальным обменом. Таким образом, модель локализованных спинов не объясняетферромагнетизм металлов группы железа.Теперь запишем гамильтониан модели Хаббарда с сильными корреляциями в болеепростом виде H = (cid:88) k mσ t k a † k lmσ a k lmσ + (cid:88) i Γ E Γ X i (Γ , Γ) . (51)Здесь мы не учитываем зависимость интегралов переноса от m , т. е. пренебрегаем эф-фектами кристаллического поля. Такое приближение позволяет в простейшем случае15ассмотреть эффекты многоэлектронной термовой структуры в спектре. Разумеется,оно является не слишком реальным, поскольку орбитальные моменты в твердом телеобычно в значительной степени заморожены [8, 14].Рассмотрим одноэлектронную функцию Грина. Согласно (23), G k γ ( E ) = (cid:104)(cid:104) a k γ | a † k γ (cid:105)(cid:105) E = (cid:88) n Γ n Γ n − n / G Γ n Γ n − C Γ n Γ n − ,γ (cid:104)(cid:104) X k (Γ n − , Γ n ) | a † k γ (cid:105)(cid:105) E . (52)В уравнении движения для функции Грина в правой части (52) выполним простейшеерасцепление, которое соответствует расцеплению на разных узлах решетки «Хаббард-I» [10, 11, 13]. В результате получим [25] G k γ ( E ) = Φ γ ( E )1 − t k Φ γ ( E ) , Φ γ ( E ) = (cid:88) n Γ n Γ n − n (cid:16) G Γ n Γ n − C Γ n Γ n − ,γ (cid:17) N Γ n + N Γ n − E − E Γ n + E Γ n − . (53)Отметим, что выражения (53) имеют структуру, которая напоминает (40) и легко обоб-щается с учетом одноузельного кристаллического поля (см. также [11]). Используя для E Γ приближение (44), можно просуммировать генеалогические коэффициенты в (53).Тогда зависимость от МЭ квантовых чисел L , S исчезает, что соответствует приближе-нию [11].В отсутствие магнитного и орбитального упорядочения числа заполнения N Γ в (53)не зависят от проекции спина и мы имеем Φ γ ( E ) = (cid:88) n Γ n Γ n − n l ] ([ S n − ][ L n − ]) − (cid:16) G Γ n Γ n − (cid:17) N Γ n + N Γ n − E − E Γ n + E Γ n − (54)( [ A ] = 2 A + 1 ). Спектр возбуждений определяется уравнением − t k Φ γ ( E ) = 0 . Та-ким образом, межузельный электронный перенос ведет к размытию каждого переходамежду атомными уровнями в хаббардовскую подзону. Эти подзоны разделены корре-ляционными щелями. В частности, для s -зоны мы получаем спектр, который содержитв ферромагнитной фазе четыре подзоны: E , k σ = 12 (cid:104) t k + U ∓ (cid:112) ( t k − U ) + 4 t k U ( N − σ + N ) (cid:105) . (55)Выражение (55)может быть также переписано через одноэлектронные числа заполне-ния, поскольку N σ + N = n σ , N σ + N = 1 − n − σ . В отличие от приближения Харт-ри—Фока—Стонера E k σ = t k + U n − σ , зависимость спектра от чисел заполнения не сво-дится к постоянному сдвигу подзон. Спектр приближения «Хаббард-I» имеет наиболеепростой вид в случае больших U , когда E k σ = (1 − n − σ ) t k , E k σ = t k n − σ + U. (56)16ожно предположить, что в действительности некоторые подзоны плохо определеныиз-за большого затухания.Для иллюстрации рассмотрим простой пример насыщенного хаббардовского ферро-магнетика с малой концентрацией носителей тока (двоек) c , где вычисление дает [43] G k ↓ ( E ) = E − t k + (1 − c ) (cid:34)(cid:88) q n k + q E − t k + ω q (cid:35) − − (57)( ω q — частота магнонов). Таким образом, некоторые энергетические знаменатели заме-няются резольвентами и соответствующие состояния имеют неквазичастичную приро-ду. При малых значениях c функция Грина (57) не имеет полюсов ниже уровня Ферми.Однако с увеличением c функция Грина приобретает спин-поляронный полюс ниже E F и насыщенный ферромагнетизм разрушается [44].Выражение (57) можно сравнить с соответствующим результатом для парамагнит-ной фазы в приближении «Хаббард-III» (ср. (63)) G k ( E ) = E − t k + 1 − c (cid:34)(cid:88) q G q ( E ) (cid:35) − − . (58)В отличие от (57), уравнение (58) не содержит фермиевские функции, так что некоге-рентные (неквазичастичные) состояния не исчезают на E F . Подобная ситуация всегдаимеет место в приближении «Хаббард-III» [12, 17, 18], где затухание на уровне Фермиконечно (см. (64), (58)).В случае двумерной модели новые интерпретации хаббардовских подзон могут бытьполучены в рамках топологических подходов [45]. В частности, для киральной спиновойжидкости возбуждение в приближении среднего поля получается добавлением спинонав зону проводимости. Однако это возбуждение все еще не физическое, т. к. спинон взоне проводимости нарушает ограничение (cid:80) σ (cid:104) f † iσ f iσ (cid:105) = 1 . Дополнительная плотностьспинонов может быть устранена введением вихревого потока калибровочного поля. Φ = − π (cid:88) i (cid:32)(cid:88) σ (cid:104) f † iσ f iσ (cid:105) − (cid:33) . Поэтому физические квазичастицы — это спиноны, одетые π -вихрем, которые несутспин / . В то же время спинон, который несет заряд калибровочного поля, имеетдробную (семионную) статистику, являясь связанным состоянием заряда и вихря [46].При отключении потенциала решетки валентная зона в киральном спиновом состояниисреднего поля становится первым уровнем Ландау, так что «уровни Ландау», возникаю-щие в «электромагнитном» калибровочном поле, соответствуют хаббардовским подзо-нам. Таким образом, мы имеем орбитальное квантование во внутреннем калибровочном17оле, которое определяет корреляционную структуру зон. После включения потенциа-ла кристаллической решетки уровни Ландау превращаются в узкие коррелированныеполосы; в этом смысле зоны Хаббарда являются зонами спинонов.Флуктуационные поправки к электронным функциям Грина приближения«Хаббард-I» были получены в работах [43, 47—49] в рамках формального разложенияпо /z ( z — число ближайших соседей). Они выражаются через одночастичные числазаполнения и спиновые и зарядовые корреляционные функции χ − σσ q = (cid:104) S − σ − q S σ q (cid:105) = (cid:104) X − σσ − q X σ − σ q (cid:105) , κ q = (cid:104) X − q X q (cid:105) ,χ zz q = (cid:104) δ ( X − q + X σσ − q ) δ ( X q + X σσ q ) (cid:105) , δA = A − (cid:104) A (cid:105) . (59)Формальную проблему, связанную с нарушения аналитических свойств в этом разло-жении [17, 18], удалось решить переходом к локаторному представлению функций Гри-на [49]. Соответствующий результат имеет вид G k σ ( E ) = 1 F k σ ( E ) − t k , F k σ ( E ) = b k σ ( E ) a k σ ( E ) , (60) a k σ ( E ) = N + N σ E + N − σ + N E − U + (cid:18) E − E − U (cid:19) (cid:88) q t q ×× (cid:32) − En q − σ + U ( (cid:104) c † q − σ X − σ q (cid:105) − χ − σσ k + q ) E − E ( t q + U ) + U t q ( N + N − σ ) + En q − σ + U ( σ (cid:104) X σ − q c q − σ (cid:105) + κ k + q ) E + E ( t q − U ) − U t q ( N σ + N ) −− U χ zz k + q E − E ( t q + U ) + U t q ( N + N σ ) (cid:19) , (61) b k σ ( E ) = 1 − (cid:18) E − E − U (cid:19) (cid:88) q t q (cid:32) En q − σ − U (cid:104) c † q − σ X − σ q (cid:105) E − E ( t q + U ) + U t q ( N + N − σ ) ++ En q − σ + σU (cid:104) X σ − q c q − σ (cid:105) E + E ( t q − U ) − U t q ( N σ + N ) (cid:19) . (62)Эти выражения могут быть использованы для анализа электронного спектра и различ-ных фазовых переходов в модели Хаббарда; при этом корреляционные функции долж-ны находиться самосогласованно. К сожалению, такое исследование пока до конца невыполнено, поскольку оно сталкивается с вычислительными трудностями.Для парамагнитной фазы щель в спектре (55) сохраняется при сколь угодно ма-лых U . Чтобы описать переход металл—изолятор, который имеет место при U ∼ W ( W — ширина зоны), требуются более сложные самосогласованные приближения для18лектронных функций Грина. Первое описание такого типа было предложено Хаббар-дом [12]; более простое приближение использовалось Зайцевым [26].Выражение «Хаббард-III» для одноэлектронной функции Грина в случае наполови-ну заполненной зоны может быть представлено в виде [18] G k ( E ) = [ E − t k − Σ( E )] − , (63)причем электронная собственная энергия определяется самосогласованно через точнуюрезольвенту: Σ( E ) = U R ( E ) (cid:20) E ) R ( E ) + ER ( E ) (cid:18) − (cid:19)(cid:21) − , R ( E ) = (cid:88) k G k ( E ) , (64)где Ψ = 3 / — нормированный квадрат полного спина на узле. Выражение (64) вы-полняется также для классической ( S → ∞ ) s — d обменной модели, если мы положим Ψ = 1 / , U → | IS | . Тогда формула (64) упрощается и совпадает с результатом при-ближения когерентного потенциала (CPA) в теории неупорядоченных сплавов.Недостатки приближений [12, 26] (нарушение аналитических свойств функций Гри-на, несамосогласованное описание термодинамических свойств) обсуждаются в ра-ботах [17, 18] с точки зрения /z -разложения. Правильное описание перехода Мот-та—Хаббарда является важной физической проблемой. В последнее время здесь широкоиспользуется приближение бесконечной размерности пространства d , которое строитсяв рамках динамической теории среднего поля (DMFT) [50]. При этом исходная пробле-ма сводится к эффективной однопримесной модели Андерсона с нетривиальной дина-микой, где остается взаимодействие электронов только на одном узле, погруженном втермостат свободных фермионов, параметры которого определяются самосогласован-ным образом. Это приближение позволяет получить трехпиковую структуру плотно-сти состояний, включая кондовский пик на уровне Ферми. Оно может быть формальнообобщен на произвольные решетки. Такой подход может давать два фазовых перехо-да: при U > U c нарушается фермижидкостная картина, а при U > U c > U c системапереходит в изоляторное состояние.Учет фермиевских возбуждений в рамках /z -разложения был выполнен в рабо-те [48]. Использование локаторного представления для функции Грина (60) позволилополучить правильные аналитические свойства и воспроизвести трехпиковую структуру.Используя (61), (62) и пренебрегая импульсной зависимостью корреляционных функ-ций, самосогласованный результат для обратного локатора F ( E ) = b ( E ) /a ( E ) можнозаписать в виде a ( E ) = 1 + 34 U E (cid:88) q t q G q ( E ) + 2 UE (cid:88) q t q G q ( E ) n q , ( E ) = F ( E ) + 2 UE (cid:88) q t q G q ( E ) n q , (65)где n q — точные числа заполнения. Соответствующая эволюция электронного спектрав зависимости от параметра взаимодействия показана на рисунке 1.Рис. 1: Плотность состояний в модели Хаббарда для затравочной полуэллиптическойзоны при различных значениях U/W [48] ( W — ширина зоны)Современное теоретическое понимание парамагнитного состояния Мотта и непре-рывных переходов металл—изолятор при нулевой температуре использует подход вспо-могательных частиц, вводящий разделение (деконфайнмент) спиновых и зарядовыхстепеней свободы электрона. При этом заряд присваиваются бозону, который не име-ет щели и конденсируется в металлической фазе, но приобретает щель в изоляторе.Таким образом, переход в металл описывается как бозе-эйнштейновская конденсациязаряженных бозонов, связанных с калибровочным полем [51].Представление (31) позволяет также учесть формирование верхней и нижней хаб-бардовской подзоны как некогерентного вклада — связанного состояния спинона и го-лона [52].Альтернативная картина моттовского перехода, которая была развита в рамках по-лярной модели, — связывание носителей тока противоположного знака (двоек и дырок)в бестоковые элементарные возбуждения — экситоны особого типа; в основном состо-янии происходит их конденсация [53, 54]. Важно отметить, что причиной этих явленийявляется не дальнодействующее кулоновское взаимодействие (как в полупроводниках),а флуктуации полярности. Сами экситоны в вариационном приближении типа Харт-ри—Фока соответствуют антиферромагнитным (АФМ) спиновым волнам, а щель имеетслэтеровскую природу [54]. Обобщение этого приближения (например, вариационноерассмотрение состояния, в котором формируются экситоны с разными квазиимпульса-ми) сталкивается с математическими трудностями и является нерешенной задачей.20ассмотрим электронный спектр антиферромагнетика Хаббарда с сильными корре-ляциями. Появление АФМ упорядочения приводит к расщеплению затравочной элек-тронной зоны на две слэтеровские подзоны E α,β k = θ k ∓ (cid:113) τ k + U ¯ S , θ k = t k + Q / + t k − Q / , τ k = t k + Q / − t k − Q / . (66)Величина ¯ S = (cid:88) k (cid:104) c † k ↑ c k + Q ↓ (cid:105) , которая определяет АФМ расщепление, может быть получена из самосогласованногоуравнения. Если кулоновское взаимодействие достаточно сильно, вся энергетическаязона расщеплена, так что щель возникает во всех направлениях. В частности, в случаеодного электрона на атом происходит переход металл—изолятор. Если для данноговектора Q выполняется условие «нестинга» t k − E F = E F − t k + Q , то щель в спектресохраняется при произвольно малом U . Соответствующие вычисления в обобщенномприближении Хартри—Фока и в подходе вспомогательных бозонов (31) были проведеныв работах [58—60].В рамках этой картины выражение для спектра спиновых волн и спин-волновыепоправки к спектру (66) были получены в работе [55]. В отличие от стонеровскогоферромагнетика, в антиферромагнитной фазе удается получить интерполяцию междупределами слабой и сильной связи. d -систем Природа магнетизма металлических систем d -электронов и магнитных изоля-торов, описываемых моделью Гейзенберга, существенно отличается. Хотя в обоихслучаях для магнитной восприимчивости выполняется закон Кюри—Вейсса, он необязательно связан с существованием локализованных моментов. В частности, со-всем иную природу закон Кюри—Вейсса имеет в слабых зонных магнетиках, гдеразвитые спиновые флуктуации имеются лишь в узкой области q -пространства.В то же время в сильных зонных магнетиках флуктуации имеются в широкойобласти волновых векторов и приводят к образованию локальных магнитных мо-ментов (ЛММ), т. е. к неоднородности спиновой плотности в реальном простран-стве.Для стандартных подходов в теории магнетизма коллективизированных электронов(зонные расчеты, спин-флуктуационные теории) наиболее трудны системы, в которыхсильные межэлектронные корреляции приводят к радикальной перестройке электрон-ного спектра — формированию хаббардовских подзон. Это оксиды и сульфиды пере-ходных металлов с большой энергетической щелью, например M e
O (
M e = Ni, Co, Mn),21iS [56], базовые системы для медь-оксидных высокотемпературных сверхпроводни-ков La CuO и YBa Cu O . При низких температурах последние антиферромагнитны,так что щель можно было бы трактовать как слэтеровскую, т. е. связанную с АФМупорядочением. Однако щель сохраняется и в парамагнитной области и имеет поэтомуприроду Мотта—Хаббарда. Расщепление Хаббарда возникает и в некоторых металли-ческих ферромагнетиках, в частности, в твердом растворе Fe − x Co x S , имеющем струк-туру пирита, CrO [56]. Спонтанное спиновое расщепление выше точки Кюри, котороев некоторых экспериментах наблюдается в металлах группы железа, также может бытьинтерпретировано с точки зрения хаббардовских подзон.Хаббардовское расщепление противоречит картине ферми-жидкости — в частности,теореме Латтинджера о сохранении объема под поверхностью Ферми: каждая из двухподзон, возникающих из зоны свободных электронов, содержит одно электронное состо-яние на спин. Таким образом, энергетический спектр коллективизированной электрон-ной системы с ЛММ, в противоположность слабым коллективизированным магнетикам,существенно отличается от энергетического спектра нормальной ферми-жидкости.Проблема описания ЛММ и вывод закона Кюри—Вейсса — ключевой момент теориисильного ферромагнетизма коллективизированных электронов. В теориях спиновыхфлуктуаций [57] ЛММ вводится по существу со стороны (например статическое при-ближение в интеграле по траекториям, которое соответствует замене трансляционно-инвариантной системы разупорядоченной системой со случайными магнитными поля-ми).С другой стороны, «многоэлектронная» (атомная) картина описывает ЛММ есте-ственным образом. Роль сильных электронных корреляций в формировании ЛММ мо-жет быть качественно показана следующим способом. Если внутриузельное отталки-вание Хаббарда U достаточно велико, то электронный спектр содержит хаббардовскиеподзоны однократно и двукратно занятых состояний. При n < число пар мало и стре-мится к нулю при U → ∞ . Тогда однократно занятые состояния составляют ЛММ, апустые узлы (дырки) являются носителями тока.Картина ферромагнетизм в модели Хаббарда с сильными корреляциями суще-ственно отличается от стонеровской. Поэтому условие существования ферромагнетиз-ма не должно совпасть с критерием Стонера, который соответствует неустойчивостинемагнитной ферми-жидкости относительно малой спиновой поляризации. Еще одинпринципиальный момент: обычное расцепление Хартри—Фока в одноэлектронном пред-ставлении не описывают образование локальных моментов, поскольку не учитываеткорректно формирования «двоек», т. е. дважды занятых состояний на узле. Эта труд-ность является принципиальной — она указывает на смену статистики от зонной катомной при увеличении взаимодействия. Неадекватность одноэлектронного подходав случае больших U может быть показана рассмотрением случая малых электронныхконцентраций n [61]. Разложение электронной функции Грина по числам заполнения22осителей тока. в одноэлектронном представлении дает число двоек, которое ведет себяв этом пределе как /U . Тогда теорема Гелмана—Фейнмана N = ∂ E /∂U дает расходи-мость энергии основного состояния E : E ( U ) − E (0) = ∞ (cid:90) N ( U ) dU ∼ ln U. (67)Эта расходимость указывает на формирование хаббардовских подзон и неправильностьодноэлектронной картины при больших U . С другой стороны, вычисление в представ-лении операторов Хаббарда [61] дает правильную асимптотику N ∼ /U . Таким об-разом, возникает неперестановочность предельного перехода U → ∞ с разложением подругим малым параметрам. Эта проблема пока остается неразрешенной. Следует отме-тить, что такой недостаток не играет большой роли для насыщенного ферромагнитногосостояния, где образование двоек запрещено и описания на языках слэтеровских и хаб-бардовских подзон совпадают, поскольку, как видно из (56), спектры в обоих подходахтождественны.В простейшем приближении «Хаббард-I» (см. (56)) магнитное упорядочение естьрезультат сужения и расширения спиновых подзон (а не постоянного спинового рас-щепления, как в теории Стонера). Однако оказалось, что эта картина Хаббарда такжене дает удовлетворительных результатов. В частности, Хаббард [10] не нашел магнит-ных решений для простых затравочных плотностей состояний (хотя ситуация можетизмениться в случае вырожденных d -зон [62]). Метод X -операторов проясняет причинуэтой неудачи: соответствующие выражения для функций Грина при больших U (cid:104)(cid:104) X k ( σ | X − k (0 σ ) (cid:105)(cid:105) E = c + N σ E − t k ( c + N σ ) (68)( ε k = − t k ) нарушают кинематические соотношения (22), т. к. при (cid:104) S z (cid:105) (cid:54) = 0 невозможноодновременно удовлетворить тождества (cid:88) k (cid:104) X − k (0 σ ) X k ( σ (cid:105) = (cid:104) X (00) (cid:105) = N = c (69)для обеих проекций спина σ .Более успешным оказывается критерий неустойчивости насыщенного ферромагне-тизма, связанный с появлением спин-поляронного полюса для функции Грина со спи-ном вниз ниже уровня Ферми [44, 49] (ср. (57)). В отличие от приближения «Хаббард-I» и «Хаббард-III», использование выражений для функций Грина (60)—(62), которыесодержат фермиевские функции распределения, позволяет качественно правильно по-лучить магнитную фазовую диаграмму и описать насыщенное и ненасыщенное ферро-магнитное состояние [49]. Первая критическая концентрация носителей тока, соответ-ствующая неустойчивости насыщенного ферромагнетизма, составляет для различныхрешеток около — значение, которое было ранее получено различными методами.23трогое исследование ферромагнетизма в модели Хаббарда с U → ∞ выполнил На-гаока [63]. Он доказал, что основное состояние для простой кубической и OЦК-решеткив приближении ближайших соседей с числом электронов N e = N + 1 ( N — число узловв решетке) обладает максимально возможным полным спином, т. е. является насыщен-ным ферромагнетиком. То же верно для ГЦК- и ГПУ-решеток с интегралом переноса t < , N e = N + 1 , или t > , N e = N − . (Для других комбинаций знаков основноесостояние является более сложным из-за расходимости плотности состояний на грани-це зоны.) Физический смысл теоремы Нагаока довольно прост. Для N e = N , U = ∞ каждый узел однократно занят и движение электронов невозможно, так что энергиясистемы не зависит от спиновой конфигурации. При введении избыточного электрона(или дырки) его кинетическая энергия будет минимальна при однородном ферромаг-нитном спиновом упорядочении, поскольку оно не препятствует их движению. Нужно,однако, отметить, что доказательство теоремы Нагаока использует нетривиальные то-пологические соображения. В частности, оно не работает в одномерном случае, когдазависимость кинетической энергии от спиновой конфигурации отсутствует, посколькунет замкнутых траекторий [63].В случае полузаполненной зоны ( N e = N ), | t | (cid:28) U основное состояние антиферро-магнитно из-за кинетического обменного взаимодействия Андерсона порядка t /U (см.(50)). Оно возникает из-за увеличения кинетической энергии при виртуальных пере-ходах электрона на соседние узлы, которые возможны при условии, что электрон наданном узле имеет противоположное направление спина. В системах с конечным U и N e (cid:54) = N имеет место конкуренция между ферро- и антиферромагнитным упорядочени-ем. Из вычисления энергии спиновой волны [63], следует, что ферромагнетизм сохра-няется при условии | t | /U < κ | N e − N ) | /N, (70)где константа κ ∼ зависит от структуры кристаллической решетки. В то же время ан-тиферромагнетизм устойчив только при N e = N . В ранних работах предполагалось, чтов промежуточной области формируются скошенные магнитные структуры [64]. Одна-ко численные расчеты [65, 66] показывают, что энергетически более выгодно фазовоерасслоение на антиферромагнитные и ферромагнитные области. Такое явление, по-видимому, наблюдается в некоторых сильнолегированных магнитных полупроводниках,причем все носители тока локализуются только в ферромагнитных областях [67].В отличие от обычного критерия Стонера, приближение Хартри—Фока с учетомнеколлинеарных антиферромагнитных флуктуаций [66] дает удовлетворительное со-гласие с пределом сильных корреляций.Фазовая диаграмма модели Хаббарда для квадратной решетки в приближение сред-него поля показана на рисунке 2. Видно, что ферромагнетизм возникает только приочень больших, даже нереалистических значениях U . Ситуация существенно меняется24ри наличии особенностей ван-Хова вблизи уровня Ферми. На рисунке 3 видно, чтовведение даже небольшого переноса вторых соседей t (cid:48) приводит к резкой асимметриифазовой диаграммы относительно половинного заполнения зоны. В области n < , вкоторой химический потенциал пересекает особенность ван-Хова, ферромагнитное со-стояние возникает для умеренных U . Аналогичной ситуации можно ожидать для трех-мерных решеток.Рис. 2: Фазовая диаграмма основного состояния двумерной модели Хаббарда в прибли-жении ближайших соседей [66]; сплошные линии — границы фаз, пунктирные линии —без учета фазового расслоения. Фазы обозначены в соответствии с их волновым век-тором, ФМ, АФМ и ПМ — ферромагнитная, антиферромагнитная и парамагнитнаяфазыДля фазовой диаграммы может иметь существенное значение еще одно обстоятель-ство: кинетическое антиферромагнитное обменное взаимодействие (50) содержит вкла-ды, обусловленные поправками неортогональности (второй член в (47)). Учитывая (48),получаем выражение для эффективного обменного параметра J eff = J + 2 (cid:0) t (02) (cid:1) /U = ˜ J − γt + 2( t + L ) /U (71)(члены порядка γ U в выражение для J eff сокращаются). Таким образом, антиферро-магнитное взаимодействие остается конечным даже в пределе U → ∞ [41]. Первыетри члена в (71) совпадают с соответствующим результатом для двухузельной пробле-мы (молекулы водорода) [68] и дают антиферромагнитное обменное взаимодействие.В пределе больших U главный вклад в J eff принимает вид J eff (cid:39) γ | t | , (72)25ис. 3: Фазовая диаграмма основного состояния квадратной решетки с t (cid:48) /t = 0 . [66],закрашенные области — области фазового расслоения, пунктирные линии — границыфаз без учета расслоения, штрих-пунктирная линия — граница расслоения в пределебольшого взаимодействия U по Вишеру [65]где предполагается, что t отрицательно. Мы видим, что в случае N e < N отношение J eff к ширине зоны пропорционально параметру перекрытия (а не | t | /U (cid:28) γ , как в обычномрассмотрении).По аналогии с рассмотрением Нагаока [63] можно записать критерий ферромагне-тизма κc | t ( λλ ) | > J eff , где λ = 0 для N e < N и λ = 2 для N e > N . В предположении γ (cid:29) | t | /U (cid:29) γ этот критерий принимает вид κc > (cid:40) J eff / (2 | t | ) (cid:39) γ, N e < N,J eff / ( γU ) (cid:39) | t | /U, N e > N (73)и существенно видоизменяется для N e < N . Таким образом, неортогональность приво-дит к появлению косвенного антиферромагнитного взаимодействия в узких зонах, при-чем ферромагнитный обмен, обусловленный движением носителей тока, более сильноподавляется в случае «дырочной» проводимости ( N e < N ), чем «электронной». Этообстоятельство может иметь значение для фазовой диаграммы меднооксидных перов-скитов и аналогичных систем.Для рассмотрения проблемы ферромагнитного упорядочения в узких зонах с экс-периментальной точки зрения подробнее обсудим систему Fe − x Co x S . Ее электроннаяструктура довольно проста: все электроны, ответственные и за проводимость, и за маг-нетизм, принадлежат одной и той же узкой e g -полосе. CoS — ферромагнитный металлс сильными корреляциями, FeS — диамагнитный изолятор.26кспериментальные исследования магнитных свойств Fe − x Co x S выполнены в [70].Наиболее интересная особенность — возникновение ферромагнетизма при удивительномалых электронных концентрациях n = x < . . Магнитный момент равняется µ B вшироком концентрационном интервале . < n < . , причем магнитное состояние ненасыщено при n < . . Однако, в отличие от обычных слабых коллективизированныхферромагнетиков, нет никаких признаков обменного усиления восприимчивости Пауливыше T C , а закон Кюри—Вейсса хорошо выполняется при произвольных электронныхконцентрациях, причем константа Кюри пропорциональна n . Такое поведение нельзяобъяснить в рамках одноэлектронных подходов типа Стонера, что отражает важнуюроль локальных магнитных моментов (ЛММ).В работе [61] был использован подход на основе спиновой функции Грина. Ее вы-числение в магнитном поле H дает G q ( ω ) = (cid:32) (cid:104) S z (cid:105) + (cid:88) k ( ε k − q − ε k )( n k ↑ − n k − q ↓ ) ω − H − E k ↑ + E k − q ↓ (cid:33) ×× (cid:32) ω − H − (cid:88) k ( ε k − q − ε k )( ε k n k ↑ − ε k − q n k − q ↓ ) ω − H − E k ↑ + E k − q ↓ (cid:33) − , (74)где E k σ = ε k ( c + N σ ) — энергии в приближении «Хаббард-I», n k σ — соответствующиечисла заполнения, ε k = − t k .При вычислении статической магнитной восприимчивости χ необходимо тщательнорассмотреть пределы H → , ω → , q → из-за неэргодичности ферромагнитногоосновного состояния. Действительно, простая подстановка H = ω = q = 0 дает тольковосприимчивость Паули. Чтобы избежать потери вклада Кюри—Вейсса от локальныхмоментов, в работе [61] был использован метод Тябликова для модели Гейзенберга.Применяя спектральное представление для функций Грина, находим уравнение длянамагниченности (cid:104) S z (cid:105) = 1 − c π ∞ (cid:90) −∞ N B ( ω ) (cid:61) (cid:88) q G q ( ω ) dω. (75)При малых концентрациях дырок c (cid:28) возникает насыщенный ферромагнетизм с (cid:104) S z (cid:105) = 1 − c − (cid:88) p N B ( ω p ) . (76)Уравнение (75) может быть упрощено при условии (cid:104) S z (cid:105) (cid:28) , которое имеет место и впарамагнитной области ( (cid:104) S z (cid:105) = χH , H → ), и при n (cid:28) при произвольных темпера-турах. Разложение знаменателя и числителя (74) по (cid:104) S z (cid:105) и H имеет вид G q ( ω ) = ωA q ω + (cid:104) S z (cid:105) B q ω + HC q ω ω − (cid:104) S z (cid:105) D q ω − HP q ω . (77)27десь величина D q = − (cid:88) k E k (1 + c ) (cid:18) E k ∂f k ∂E k − E k + q f k − q − f k ω + E k − q − E k (cid:19) ×× (cid:32) c (cid:88) k E k − q f k − q − E k f k ω + E k − q − E k (cid:33) − (78)( f k = f ( ε k ) ) описывает эффективное обменное взаимодействие вследствие движенияносителей тока. Грубо говоря, последнее отличается от взаимодействия РККИ заме-ной s — d ( f ) обменного параметра на интеграл переноса. Такая замена характерна дляпредела узкой зоны.При T > T C , полагая в (77) (cid:104) S z (cid:105) = χH , получаем уравнение для парамагнитнойвосприимчивости: − c π ∞ (cid:90) coth ω T (cid:61) (cid:88) q A q ω dω = T (cid:88) q (cid:18) χB q + C q χD q + P q + A q (cid:19) . (79)Температура Кюри определяется условием χ ( T C ) = ∞ . При малых n имеем T C = S (cid:32)(cid:88) q D − q (cid:33) − . (80)Разлагая правую часть (79) по χ при T C (cid:28) T (cid:28) E F , получаем χ = − (cid:88) k ∂f ( ε k ) ∂ε k + CT − θ , (81)где первый член соответствует вкладу Паули, второй — вкладу Кюри—Вейсса от ЛММ,где C = 12 S , θ = (cid:88) q D q > T C (82)суть константа Кюри и парамагнитная температура Кюри. Таким образом, «многоэлек-тронный» подход обеспечивает простой вывод закона Кюри—Вейсса для коллективизи-рованных магнетиков.Еще один из факторов, важных для температурной зависимости магнитной воспри-имчивости, — особенности плотности состояний [7,8]. Такие особенности могут быть свя-заны с наличием вырожденных гибридизованных зон. По мнению Маттиса [68], именнов вырождении лежит ключ к объяснению ферромагнетизма.Рассмотренные концепции могут быть применены к общей теории металлическогомагнетизма. Очевидно, предположение о сильном (по сравнению с полной шириной зо-ны) межэлектронном отталкивании в целом несправедливо для переходных d -металлов.28днако оно может быть верным для некоторых электронных групп около уровня Фер-ми. Эта идея использовалась в [69] для обсуждения ферромагнетизма металлов группыжелеза. Узкозонная модель Хаббарда применялась для описания группы «магнитных»состояний, которые формируют узкий пик плотности состояний, обусловленный «ги-гантскими» особенностями ван Хова [7]. Корреляции для этих состояний должны бытьсильными из-за малой ширины пиков Γ (cid:39) . эВ. Остальные s -, p -, d -электроны фор-мируют широкие зоны и слабо гибридизованы с «магнитными» электронными пиками.Состояния на пике ответственны за формирование ЛММ и другие магнитные свойствав Fe и Ni. Данная модель позволяет простым образом объяснить низкое (по сравнениюс уровнем Ферми) значение температуры Кюри, которая, как следует из упомянутыхсоображений, порядка Γ .В ферромагнитной фазе расщепление пиков со спином вверх и вниз ∆ (cid:39) − эВ (cid:29) Γ ,и структуры обоих пиков подобны. Так как более низкий пик заполнен, ситуация для«магнитных» электронов оказывается близкой к насыщенному ферромагнетизму, т. е.к полуметаллическому состоянию в обычной модели Хаббарда с большим U .Предельный случай «сильного» ферромагнетизма с большим значением спиновогорасщепления представляет собой противоположность слабым коллективизированнымферромагнетикам. Еще в теории Стонера рассматривалось решение, в котором спино-вое расщепление превышает уровень Ферми и одна спиновая подзона пуста или полно-стью заполнена. Считалось, что такая ситуация (для дырочного случая) соответствуетферромагнитному никелю. Однако современные зонные расчеты в рамках метода функ-ционала спиновой плотности опровергли это предположение (плотность состояний науровне Ферми со спином вверх оказалось малой, но конечной).В то же время зонные расчеты привели к открытию реальных магнетиков, которыеподобны сильным cтонеровским ферромагнетикам. Расчеты де Гроота и др. зоннойструктуры для сплава Гейслера NiMnSb, PtMnSb со структурой C b (MgAgAs)показывают, что уровень Ферми для одной из проекций спина находится в энерге-тической щели. Поскольку эти системы ведут себя как изоляторы лишь для одногозначения σ , они были названы «полуметаллическими ферромагнетиками» (ПМФ).Позже подобная картина была получена для CoMnSb, ферримагнитного FeMnSb,антиферромагнитного CrMnSb. Вычисления зонной структуры для большой группыферро- и антиферромагнитных сплавов Гейслера из другого ряда T Mn Z ( T = Co,Ni, Cu, Pb) со структурой L показывают, что состояние, близкое к ПМФ ( N ↓ ( E F ) практически равно нулю), имеет место в системах Co Mn Z с Z = Al, Sn и Z = Ga,Si, Ge. Кроме того, полуметаллическое состояние обнаружено в зонных расчетах дляCrO (структура рутила), Fe O , CrAs, VAs (структура цинковой обманки), двойныхперовскитах типа Sr FeMoO и др. (см. обзоры [71—73]). Удивительным образомконцепция сильного полуметаллического ферромагнетизма оказалась применимой длянекоторых sp -систем, включая гипероксиды типа RbO [72].29итуация резко различных состояний для спина вверх и для спина вниз, котораяреализована в ПМФ, интересна для общей теории коллективизированного магнетиз-ма [71]. Схема формирования «полуметаллического» состояния в сплавах Гейслераможет быть описана следующим образом. В пренебрежении гибридизацией атомныхсостояний T и Z d -зона марганца для упомянутых структур характеризуется широ-кой энергетической щелью между связующими и антисвязующими состояниями. Из-засильного внутриатомного (хундовского) обмена для ионов марганца в ферромагнитномсостоянии подзоны со спинами вверх и вниз значительно раздвинуты. Одна из спиновыхподзон близко подходит к p -зоне лиганда, и поэтому соответствующая щель частичноили полностью размыта p — d гибридизацией. Энергетическая щель в другой подзонесохраняется и может совпадать при известных условиях с уровнем Ферми, что даетПМФ-состояние. Для структуры C b имеем истинную щель, а для структуры L —глубокую псевдощель.Интерес к полуметаллическим ферромагнетикам (ПМФ) вызван в первую очередьих уникальными магнитооптическими свойствами [71], которые тесно связаны с элек-тронной структурой около уровня Ферми. В дальнейшем интерес к полуметаллическомуферромагнетизму значительно увеличился в связи с открытием гигантского магнито-сопротивления в ферромагнитных манганитах, которые, вероятно, близки к ПМФ [72].Кроме того, ПМФ важны в связи с проблемой получения большого магнитного мо-мента насыщения, поскольку их электронный спектр благоприятен для максимальнойспиновой поляризации (дальнейшее увеличение спинового расщепления в полуметалли-ческом состоянии не приведет к увеличению магнитного момента). Электронная струк-тура, напоминающая полуметаллическую (глубокий минимум плотности состояний на E F для σ = ↓ ), обнаружена в системе сплавов Fe—Co [74] и в системах R Fe , R Fe Bс рекордным значением M [75]. Такой минимум типичен для систем с выраженнымилокальными магнитными моментами и возникает также в чистом железе.С теоретической точки зрения ПМФ характеризуются отсутствием распада спино-вых волн на электрон-дырочные пары с антипараллельными спинами (возбужденияСтонера). Таким образом, магноны существуют во всей зоне Бриллюэна, как и в гей-зенберговских ферромагнетиках и вырожденных ферромагнитных полупроводниках.В отличие от обычных коллективизированных ферромагнетиков, эффекты электрон-магнонного взаимодействия не замаскированы возбуждениями Стонера и могут изу-чаться в чистой форме. Особенно интересны эффекты, связанные с некогерентными(неквазичастичными) состояниями, которые будут подробнее рассмотрены в следую-щей главе. 30 s — d ( f ) обменная модель и модель Андерсона Вторая многоэлектронная модель, связанная с именем С. В. Вонсовского и сыграв-шая огромную роль в физике твердого тела, — это s — d обменная модель. Сам С. В. Вон-совский обычно называл ее моделью Шубина—Вонсовского, — в память о своем учителеи друге, с которым обсуждались идеи, легшие в основу модели (сохранилась незакон-ченная совместная работа «Общие свойства системы внутренних и внешних электро-нов в переходных металлах» 1936—1937 годов, которая впервые была опубликована вкниге [5]). Возможно, определенную роль в формулировке идей s — d модели сыграл иЛ. Д. Ландау.В отличие от полярной модели и модели Хаббарда, в s — d обменной модели суще-ствование локализованных магнитных моментов не выводится, а постулируется. Приэтом подсистемы, ответственные за магнетизм и электропроводность разделены: кол-лективизированные « s -электроны» определяют кинетические свойства, а локализован-ные « d -электроны» дают главный вклад в магнитный момент.Исходно модель s — d обмена была предложена для переходных d -металлов, в осо-бенности для объяснения их электрического сопротивления [3, 4, 76]. Поскольку d -электроны (как и f -электроны в актинидах) в действительности не описываются лока-лизованной моделью Гейзенберга, а образуют энергетические зоны, предположение о ихлокализации едва ли может быть обосновано количественно. Тем не менее, полуфено-менологическая картина двух подсистем, связанных обменным взаимодействием, оченьчасто оказывается полезной при качественном анализе. Как предположил Гудинаф [77], d -электроны с e g и t g симметрией могут обладать различной степенью локализации:первые проявляют почти локализованное, а вторые — коллективизированное поведение.В дальнейшем такая двухзонная модель неоднократно уточнялась [7, 69, 78].С другой стороны, f -электроны в кристаллах хорошо локализованы и описываютсяатомным подходом, а потому s — f обменная модель обеспечивает количественное опи-сание магнетизма в большинстве редкоземельных металлов, а также в их соединенияхс хорошо локализованными f -состояниями (впрочем, и здесь бывают исключения — вчастности, церий, системы с промежуточной валентностью).Судьба s — d модели оказалась очень интересной и непростой, в некотором смыследаже драматической. В истории физики она выступала в разнообразных ипостасях.Важнейшим успехом теории магнетизм металлов, невозможным без s — d модели, было открытие косвенного обменного взаимодействия Рудерма-на—Киттеля—Касуя—Иосида (РККИ) через электроны проводимости. Оно возникаетво втором порядке теории возмущений по s — f обменному параметру. Таким образом,не только локализованные моменты воздействуют на движение носителей тока —возникает и обратное влияние. Вначале (в 1954 года) этот механизм был предложенРудерманом и Киттелем для взаимодействия между ядерными спинами, а затем31рименен японскими учеными к локализованным моментам в металлической матрице.С. В. Вонсовский в сотрудничестве с учениками (в частности, с А. А. Бердышевым)также проводил исследования в теории косвенного обмена [79], однако вовремяопубликовать свои результаты они не успели. Будучи дальнодействующим, РККИ-взаимодействие является основным механизмом обмена между f -оболочками в редкихземлях и их проводящих соединениях.В последнее время в зарубежной физической литературе s — d модель часто именует-ся моделью Кондо. Такой исторический «перекос» связан с исключительной важностьюэффекта Кондо [80] — пожалуй, самого красивого явления в физике твердого тела.Здесь следует отметить, что сам Кондо в своем пионерском исследовании аномалиймагнитного s — d ( f ) рассеяния исходил из гамильтониана в представлении вторично-го квантования, который был предложен Вонсовским и Туровым [76]. Неоправданношироко применяется и термин «решетка Кондо» (он используется даже для обычныхферро- и антиферромагнитых металлических соединений). В действительности областьприменения s — d модели выходит далеко за пределы систем, где реально наблюдается«кондовское» подавление магнитных моментов.Удивительно плодотворной s — d модель оказалась для магнитных полупроводни-ков; здесь особенно значительна заслуга Э.Л. Нагаева, систематически развившего ихтеорию с использованием квазиклассического разложения [67]. В дальнейшем близкиепредставления были использованы для теоретического описания манганитов с гигант-ским магнитосопротивлением на основе LaMnO [81].В западных работах s — d модель нередко называют моделью Вонсовского—Зинера —в честь американского ученого К. Зинера, предложившего в 1951 году механизм двой-ного обменного взаимодействия в узких зонах (в пределе сильной связи между ло-кальными моментами и носителями тока). В последнее время этот механизм широкообсуждается в связи с манганитами [82].Отметим также, что t — J модель, широко применяемая для описания носителей токав меднооксидных сверхпроводниках, эквивалентна s — d модели с большим по модулюотрицательным s — d обменом и спином S = 1 / (см. разд. 2.2).Гамильтониан s — d ( f ) модели в простейшей форме имеет вид H = (cid:88) k σ t k c † k σ c k σ + (cid:88) q J q S − q S q − I (cid:88) iσσ (cid:48) ( S i σ σσ (cid:48) ) c † iσ c iσ (cid:48) , (83)где σ — матрицы Паули, I — параметр s — d ( f ) обменного взаимодействия, котороепредполагается контактным (вывод s — d ( f ) модели в более общем случае рассматри-вается ниже). Часто (например, в редкоземельных металлах) взаимодействие междулокализованными спинами J q является косвенным РККИ-обменом через электроныпроводимости, причиной которого служит то же самое s — f взаимодействие. Однакопри построении теории возмущений удобно включить его в нулевой гамильтониан.32 отличие от внутриатомного кулоновского (хаббардовского) взаимодействия, s — d ( f ) взаимодействие как правило не является сильным. Тем не менее, оно приводитк существенным эффектам в электронном спектре. С микроскопической точки зренияоно может иметь различную природу. В ряде редкоземельных систем (например, в маг-нитных полупроводниках) это внутриатомный хундовский обмен, который ферромаг-нитен. Часто обменное взаимодействие является не настоящим, а эффективным — обу-словленным гибиридизацией между s -зонами и атомными уровнями d ( f ) -электронов;в этом случае он антиферромагнитен. Впрочем, как мы увидим ниже, знак s — d ( f ) об-мена не столь существен, как знак взаимодействия между локализованными момен-тами в модели Гейзенберга: грубо говоря, теория возмущений начинается с квадрата s — d ( f ) обменного параметра. Однако такой важное физическое явление, как эффектКондо, возникает только в третьем порядке. При этом в случае отрицательного (анти-ферромагнитного) обмена эффективное (перенормированное) обменное взаимодействиестановится бесконечным, так что магнитное рассеяние приводит к полному экраниро-ванию магнитных моментов [83, 84].Имея гамильтониан более сложной формы, s — d модель оказывается в некоторомотношении более простой, чем модель Хаббарда, поскольку в ней возможно выпол-нить квазиклассическое разложение по малому параметру / (2 S ) . Обе модели позволя-ют получить полуфеноменологическое описание электрон-магнонного взаимодействияв ферро- и антиферромагнитных металлах, удовлетворяющее требованиям симметрии.Как продемонстрировано в работах [43, 55], при построении теории возмущений поэлектрон-магнонному рассеянию результаты в обеих моделях отличаются, как правило,только заменой I → U .Идеи s — d ( f ) модели получили дальнейшее развитие в современных теоретико-полевых подходах. Например, благодаря сильному ближнему порядку в двумерном слу-чае возникает динамическое разделение коллективизированных и магнитных степенейсвободы. Для описания взаимодействия электронов проводимости со спиновыми флук-туациями парамагнонного типа в коллективизированных магнетиках, особенно вблизиквантового фазового перехода в магнитное состояние, была предложена полуфеноме-нологическая спин-фермионная модель [85] с действием S [ c, S ] = (cid:88) k ( iν n − ε k ) c † kσ c kσ − (cid:88) q R q S q S − q + I (cid:88) kk (cid:48) σσ (cid:48) S k − k (cid:48) σ σσ (cid:48) c † kσ c k (cid:48) σ (cid:48) , (84)где поля c и S соответствуют электронным и спиновым степеням свободы, член с I описывает взаимодействие между ними, q = ( q , iω n ) , k = ( k , ν n ) ( ω n = 2 nπT и ν n = (2 n +1) πT — бозонные и фермионные мацубаровские частоты), R q = χ − q , χ q — затравочнаявосприимчивость спиновой подсистемы.В статическом случае R q = δ n R q мы получаем из (84) гамильтониан, формальносовпадающий с гамильтонианом (83). Однако в спин-фермионной модели квадрат пол-33ого спина на узле не фиксирован (как и в сферической модели для локализованныхспинов, обобщающей модель Гейзенберга). Сравнение электронного спектра двумер-ного парамагнетика с соответствующими результатами в классической s — d модели ссильным корреляциям проведено в работе [86].В случае s — d ( f ) обмена гибридизационной природы s — d ( f ) модель тесно связанас моделью Андерсона. В пренебрежении орбитальным вырождением ее гамильтонианзаписывается как H = (cid:88) k σ [ t k c † k σ c k σ + ∆ f † k σ f k σ + V ( c † k σ f k σ + f † k σ c k σ )] + U (cid:88) i f † i ↑ f i ↑ f † i ↓ f i ↓ , (85)где V — матричный элемент гибридизации; ∆ — положение d -уровня, отсчитываемогоот E F ; U — внутриузельное кулоновское взаимодействие. Исходно эта модель (в случаеодной d -примеси) была предложена Андерсоном, чтобы исследовать проблему форми-рования локального момента при гибридизации атомного d -уровня с зоной проводимо-сти. В пределе больших U член с кулоновским взаимодействием может быть опущен, нопри этом одноэлектронные операторы для d ( f ) -состояний заменяются проекционными X -операторами.Периодическая модель Андерсона описывает ситуацию, когда сильнокоррелирован-ные d ( f ) -электроны не участвуют непосредственно в зонном движении, но гибридизу-ются с состояниями зоны проводимости. Такое положение имеет место для ряда ред-коземельных и актинидных соединений. Гибридизационная (многоконфигурационная)картина часто полезна и для обсуждения электронных свойств переходных d -металлови других d -электронных систем. Например, сильная p — d гибридизация имеет место вмедь-кислородных высокотемпературных сверхпроводниках (ср. (3)). s — d ( f ) обменная модель является пределом модели Андерсона в случае, когда этотуровень лежит глубоко под уровнем Ферми [87]; формально она получается из (85)каноническим преобразованием, устраняющим член гибридизации, так что I = V (cid:18) −
1∆ + U (cid:19) . (86)Случай промежуточной валентности соответствует ситуации, когда, наоборот, шири-на f -пика, обусловленная гибридизацией, Γ = πV ρ ( ρ — плотность состояний электро-нов проводимости на уровне Ферми), мала по сравнению с расстоянием | ∆ | = | ε f − E F | .Ряд редкоземельных элементов (Ce, Sm, Eu, Tm, Yb и, возможно, Pr) не обладаютустойчивой валентностью, но меняют ее в различных соединениях [87—89]. В некото-рых соединениях данные элементы могут находиться в так называемом смешанномвалентном состоянии, где на атом приходится нецелое число f -электронов. Такая си-туация возникает, если конфигурации f n (5 d s ) m и f n − (5 d s ) m +1 почти вырождены,так что сильны межконфигурационные флуктуации. В металлических системах это со-34тветствует f -уровню, расположенному около уровня Ферми, причем f -состояния ги-бридизованы с состояниями зоны проводимости.Состояние промежуточной валентности (ПВ) характеризуется наличием одной ли-нии в мессбауэровских экспериментах (масштаб времени измерений — около − с),которая имеет промежуточное положение. Вместе с тем в рентгеновских эксперимен-тах (время — около − с) наблюдаются две линии, которые соответствуют конфи-гурациям f n и f n − . Специфической особенностью перехода в состояние ПВ являетсятакже изменение решеточного параметра к значению, промежуточному между соот-ветствующими значениями целочисленных валентных состояний. Такие превращения(например под давлением), как правило, резкие (переходы первого рода). Помимо это-го, ПВ-соединения обладают при низких температурах значительно увеличенной элек-тронной теплоемкостью и магнитной восприимчивостью. При высоких температурахвеличина χ ( T ) подчиняется закону Кюри—Вейсса с эффективным моментом, проме-жуточным между значениями для соответствующих атомных конфигураций.Состояние решетки Кондо (или с тяжелыми фермионами) может рассматриватьсякак предел состояния ПВ с почти целой валентностью (ее изменение не превышаетнескольких процентов). В некотором смысле, ПВ-системы могут рассматриваться какрешетки Кондо с большими значениями T K [88], причем, в отличие от состояния кондо-решетки, в состоянии ПВ играют важную роль не только спиновые, но и зарядовыефлуктуации.Рассмотренные модели широко применяются для чистых редкоземельных металлови актинидов, а также для объяснений свойств ряда экзотических соединений — системс промежуточной валентностью, тяжелыми фермионами, «решеток Кондо».Чтобы описать образование синглетного кондо-состояния в области сильной связи,можно использовать простой гамильтониан SU ( N ) -решетки Андерсона: H = (cid:88) k m t k c † k m c k m + ∆ (cid:88) im X i ( mm ) + V (cid:88) k m [ c † k m X k (0 m ) + X − k ( m c k m ] (87)( m = 1 , . . . , N ). Эта модель удобна при описании межконфигурационных переходов f — f (церий, J = 5 / ) или f — f (иттербий, J = 7 / ) и часто применяется в рамкахразложения по /N . Более общая и реалистичная модель s — f гибридизации с включе-нием двух (вообще говоря, магнитных) конфигураций обсуждается ниже в разделе 2.5.Модель (87) может быть сведена каноническим преобразованием, исключающим ги-бридизацию, к так называемой модели Коблина—Шриффера: H CS = (cid:88) k m t k c † k m c k m − I (cid:88) imm (cid:48) X i ( mm (cid:48) ) c † im (cid:48) c im , (88)причем I = V / ∆ . Чтобы избежать трудностей вследствие сложных соотношений ком-мутации для X -операторов, используют представление [90] X i ( m
0) = f † im b † i , X i ( m (cid:48) m ) = f † im (cid:48) f im , X i (00) = b † i b i , (89)35де f † — фермиевские операторы, b † — вспомогательные бозе-операторы. Это пред-ставление удовлетворяет необходимым коммутационным соотношениям X -операторов.В то же время, согласно (18), нужно требовать выполнения вспомогательного условия (cid:88) m X i ( mm ) + X i (00) = (cid:88) m f † im f im + b † i b i = 1 . (90)Тогда параметр (cid:104) b i (cid:105) перенормирует матричные элементы гибридизации. Помимо при-менения к реальным системам, такие модели позволяют строить разложение по фор-мальному малому параметру /N .Для описания зарядовых флуктуаций в системах с промежуточной валентностьюиногда используется так называемая модель Фаликова—Кимбалла, в которой вводитсякулоновское взаимодействие между локализованными и коллективизированными элек-тронами. Гамильтониан бесспиновой модели Фаликова—Кимбалла с введением гибри-дизации имеет вид H = (cid:88) k [ t k c † k c k + ∆ f † k f k + V ( c † k f k + f † k c k )] + G (cid:88) i f † i f i c † i c i , (91)где G — внутриузельный кулоновский s ( d ) — f интеграл; для простоты пренебрегаемзависимостью гибридизации от k . Такой гамильтониан позволяет легко учесть сильное f — f отталкивание на узле (в бесспиновой модели дважды занятые состояния запреща-ются принципом Паули) и удобен при описании валентных фазовых переходов, причемвзаимодействие G важно для многоэлектронных экситонных эффектов. Эти эффектымогут приводить к существенной температурной зависимости электронного спектра, вчастности, гибридизационной щели [91].Модель Фаликова—Кимбалла может быть обобщена включением кулоновского взаи-модействия на различных узлах, которое позволяет описывать зарядовое упорядочение.При этом однопримесная модель Фаликова—Кимбалла с гибридизацией эквивалентнапроблеме Кондо [92]. s — d обменной модели Спектр состояний электронов проводимости может существенно меняться благодарявзаимодействию с локализованными моментами, даже если оно не слишком велико.Рассмотрим одноэлектронную функцию Грина G k σ ( E ) = (cid:104)(cid:104) c k σ | c † k σ (cid:105)(cid:105) E = [ E − t k σ − Σ k σ ( E )] − , t k σ = t k − σI (cid:104) S z (cid:105) . (92)В парамагнитном случае запишем цепочку уравнений движения ( E − t k ) G k σ ( E ) = 1 − I (cid:88) p Γ σ kp ( E ) , (93)36 σ kp ( E ) = (cid:88) σ (cid:48) (cid:104)(cid:104) ( S p σ σσ (cid:48) ) c k − p σ (cid:48) | c † k σ (cid:105)(cid:105) E , ( E − t k − p )Γ σ kp ( E ) = − I ( (cid:104) S p S − p (cid:105) − m k − p (cid:105) ) G k σ ( E ) − I (1 − n k − p ) (cid:88) q Γ σ kq ( E ) . (94)Здесь выполнено расцепление типа Нагаока, которое ранее использовалось для иссле-дования эффекта Кондо в однопримесной модели (см. [80]), n k = (cid:104) c † k σ c k σ (cid:105) , m k = (cid:88) q σ (cid:48) (cid:104) ( S q σ σσ (cid:48) ) c † k σ c k − q σ (cid:48) (cid:105) = − π (cid:61) (cid:90) dE f ( E ) (cid:88) q Γ σ kq ( E ) . (95)Выражая интегральный член в уравнении (94) из уравнения (93), мы можем формальнорешить эту систему уравнений и получить для собственной энергии Σ k ( E ) = 2 I P k ( E )1 − IR ( E ) , (96)где P k ( E ) = (cid:88) q (cid:104) S − q S q (cid:105) − m k − q E − t k − q , R ( E ) = (cid:88) k − n k E − t k . (97)Как следует из (96), в третьем порядке по s — d обмену в мнимой части собственнойэнергии возникает кондовский (логарифмический по энергии) вклад от интеграла сфермиевскими функциями n k ; в то же время вещественная часть сингулярного вкладакомпенсируется членами с корреляторами m k .В случае ферромагнетика во втором порядке теории возмущений для собственно-энергетической части получаем Σ k ↑ ( E ) = 2 I S (cid:88) q N q + n k + q ↓ E − t k + q ↓ + ω q , Σ k ↓ ( E ) = 2 I S (cid:88) q N q − n k − q ↑ E − t k − q ↑ − ω q , (98)где N q — бозевские функции распределения магнонов. В силу вращательной симметрииэлектрон-магнонного взаимодействия его амплитуда обращается в нуль при q → , такчто поправки к спектру пропорциональны T / (поправки порядка T / от поперечныхи продольных вкладов взаимно компенсируются).Приведенные выражения позволяют рассмотреть картину плотности состояний сучетом корреляционных эффектов [72,73,94,95]. Записывая разложение уравнения Дай-сона (92), получаем N σ ( E ) = − π (cid:61) (cid:88) k G k σ ( E ) == (cid:88) k δ ( E − t k σ ) − (cid:88) k δ (cid:48) ( E − t k σ ) (cid:60) Σ k σ ( E ) − π (cid:88) k (cid:61) Σ k σ ( E )( E − t k σ ) . (99)37бсудим подробнее случай сильного полуметаллического ферромагнетика (ПМФ), гдерасщепление спиновых подзон превышает энергию Ферми, так что заполнена толькоодна из них. Второй член в правой части (99) описывает перенормировку энергии ква-зичастиц. Третий член, который возникает из-за разреза собственной энергии Σ k σ ( E ) ,описывает некогерентный (неквазичастичный) вклад вследствие рассеяния магнонов.Видно, что он не обращается в нуль в энергетической области, соответствующей «чу-жой» спиновой подзоне с противоположной проекцией − σ . T / -зависимость магнонноговклада в вычет функции Грина, т. е. эффективной массы в нижней спиновой подзоне,и увеличение с температурой хвоста верхней подзоны приводят к сильным темпера-турным зависимостям парциальных значений N σ ( E ) противоположного знака. Соот-ветствующее поведение спиновой поляризации электронов проводимости P ( T ) (cid:39) (cid:104) S z (cid:105) подтверждается экспериментальными данными по полевой эмиссии из ферромагнит-ных полупроводников и кинетическим свойствам полуметаллических сплавов Гейсле-ра [71, 72].При нулевой температуре картина N ( E ) около уровня Ферми в ПМФ (или вырож-денных полупроводниках) оказывается также нетривиальной. Если пренебречь магнон-ными частотами в знаменателях (98), то парциальная плотность некогерентных состо-яний должна появляться скачком выше или ниже уровня Ферми для I > и I < соответственно из-за наличия функций распределения Ферми. Учет конечности маг-нонных частот ω q ведет к размытию этих особенностей на энергетическом интервале ω max (cid:28) E F (рис. 4 и 5), причем величина N − σ ( E F ) оказывается равна нулю.Случай ПМФ, где заполнена только одна спиновая подзона, может быть исследованболее строго. В спин-волновой области здесь возможно последовательное рассмотрениепутем разложения по числам заполнения электронов и магнонов. С этой целью могутбыть использованы методы уравнений движения для функций Грина [94], производяще-го функционала [93] и разложение оператора эволюции [98]. При этом в каждом порядкевозникают интегральные уравнения, описывающие электрон-магнонное рассеяния (поструктуре они похожи на интегральные уравнения типа Нагаока [63]).Здесь мы ограничимся простой иллюстрацией. Составляя аналогично (94) инте-гральные уравнения для функций Грина Γ σ kp ( E ) = (cid:104)(cid:104) b σ p c k − p − σ | c † k σ (cid:105)(cid:105) E , находим при I > G k ↑ ( E ) = G k ↑ ( E ) = ( E − t k + IS ) − , (100) G k ↓ ( E ) = (cid:18) E − t k + IS − IS − IR k ↑ ( E ) (cid:19) − , (101) R k ↑ ( E ) = (cid:88) q (1 − n k − q ↑ ) G k − q ↑ ( E − ω q ) . Таким образом, электроны со спином вверх движутся свободно, а состояния со спиномвниз имеют некогерентный характер (функция Грина имеет разрез, но не имеет полюсовниже уровня Ферми). 38ис. 4: Плотность состояний полуметаллического ферромагнетика с I = 0 . > длязатравочной полуэллиптической зоны с шириной W = 2 . Неквазичастичные состоянияс σ = ↓ (нижняя половина рисунка) отсутствуют ниже уровня Ферми. В случае пустойзоны (пунктир) спин-поляронный хвост состояний со спином вниз достигает дна полосы;короткий пунктир — приближение среднего поляРис. 5: Плотность состояний полуметаллического ферромагнетика с I = − . < (остальные параметры как на рисунке 4). Неквазичастичные состояния с σ = ↑ воз-никают ниже уровня Ферми 39ля I < результат для спина вниз совпадает с (101) (при n k ↑ = 0 ). Эта функцияГрина дает точное решение задачи о взаимодействии электрона со спиновой волной иимеет спин-поляронный полюс E ∗ k , причем в пределе I → −∞ имеем G − k ↓ ( E ) = 2 S + 12 S ε − t k , ε = E − I ( S + 1) . Напротив, функция Грина со спином вверх имеет неполюсную структуру: G k ↑ ( E ) = (cid:18) E − t k − IS + 2 IS IR k ↓ ( E ) (cid:19) − , (102) R k ↓ ( E ) = (cid:88) q n k − q ↓ G k − q ↓ ( E + ω q ) . В координатном представлении эти выражения для функций Грина могут быть обоб-щены на случай беспорядка [72] и использованы для описания пространственно неод-нородных систем.В пределе I → + ∞ результат (101) дает правильный предельный переход G k ↓ ( E ) = 1 ε − t k + 2 S/R k ↑ ( E ) , ε = E + IS. (103)С другой стороны, выражение (102) в пределе I → −∞ дает качественно правильнуюнеполюсную структуру, но все же не обеспечивает согласия с атомным пределом, по-скольку при расцеплениях некорректно учитывается сильное внутриатомное s — d вза-имодействие. Таким образом, при больших | I | , как и в модели Хаббарда, необходимпереход к атомному представлению (см. следующий раздел). Вычисление с его помо-щью дает вблизи нижнего края зоны (ср. [95]) G k ↑ ( E ) = 2 S/ (2 S + 1) E − E ∗ k + (2 S − n ) /R ∗ k ↓ ( E ) , R ∗ k ↓ ( E ) = (cid:88) q n ∗ k − q ↑ E − E ∗ k − q + ω q . (104)Для рассмотрения электронного и магнонного спектров металлического антиферро-магнетика в s — d ( f ) обменной модели перейдем к локальной системе координат S xi → S zi cos QR i − S yi sin QR i ,S yi → S zi sin QR i + S xi cos QR i , S zi → − S xi . (105)Тогда гамильтониан s — d ( f ) обменного взаимодействия примет вид H sd = − I (cid:88) kq [ S x q ( c † k + q ↓ c k ↓ − c † k + q ↑ c k ↑ ) + iS y q ( c † k − Q ↓ c k − Q ↑ − c † k + q ↑ c k − Q ↓ ) ++ S z q ( c † k + q ↑ c k − Q ↓ + c † k − Q ↓ c k − q ↑ )] . (106)40 приближении среднего поля электронный спектр содержит две расщепленные анти-ферромагнитные подзоны, которые определяется выражением (66) с заменой U → I .Переходя в локальной системе координат к магнонному представлению и вычисляяэлектронную собственную энергию во втором порядке по I , получаем Σ k ( E ) = I ¯ S E − t k − Q + 12 I S (cid:88) q (cid:26) ( u q − v q ) (cid:20) − n k − q + N q E − t k − q − ω q + n k − q + N q E − t k − q + ω q (cid:21) ++ ( u q + v q ) (cid:20) − n k + q − Q + N q E − t k + q − Q − ω q + n k + q − Q + N q E − t k + q − Q + ω q (cid:21)(cid:27) , (107)где ¯ S — намагничeнность подрешетки, u q , u q — коэффициенты преобразованияБоголюбова. Вычисление дает T -зависимость электронного спектра; она являетсяследствием линейной дисперсии спектра спиновой волны и зависимости амплитудыэлектрон-магнонного взаимодействия вида q − , которые специфичны для антиферро-магнетиков. Поправки к энергии дна зоны ( t k = t min ) из-за намагниченности подрешет-ки и поперечных флуктуаций имеют противоположные знаки. Вклад от флуктуацийпреобладает, что приводит к «синему» сдвигу дна зоны проводимости с уменьшени-ем температуры, который наблюдается в антиферромагнитных полупроводниках [67],в отличие от «красного» сдвига в ферромагнитных полупроводниках.Запишем также многоэлектронный вклад третьего порядка в собственную энергию,который описывает перенормировку антиферромагнитной щели из-за подобных расхо-димостей кондовского типа [117]: δ Σ (3) k ( E ) = 2 I S (cid:88) q n k + q ( E − t k + q )( E − t k + q ) − ω q (cid:18) t k + q − t k − Q + q − E − t k + Q (cid:19) . (108)Отметим, что все эти вклады могут быть получены из выражения для парамагнит-ного случая (96), если учесть специфический вид динамической спиновой корреляци-онной функции в антиферромагнетике K q ( ω ) = ¯ S δ ( q − Q ) δ ( ω ) + ¯ S ( u q − v q ) [(1 + N q ) δ ( ω + ω q ) + N q δ ( ω − ω q )] . (109)Для двумерных ферро- и антиферромагнетиков дальний магнитный порядок при T > отсутствует, однако при низких температурах в корреляционной функции содер-жатся почти дельта-функционные вклады, связанные с сильным ближним порядкомв локализованной подсистеме. Таким образом, в спин-волновой области температурструктура спектра сохраняется [96].Как показано в работе [97] в рамках s — d обменной модели ферромагнетика, вблизиповерхности Ферми спектр возбуждений демонстрирует нефермижидкостное поведе-ние. Спектральная функция при температурах T < ∆ ( ∆ — спиновое расщеплениев основном состоянии) имеет двухпиковую структуру, что означает квазирасщепление41оверхности Ферми в парамагнитной фазе в присутствии сильных ферромагнитныхфлуктуаций. s — d обменная модель с узкими зонами и t — J модель s — d обменную модель можно использовать и в пределе сильных корреляций прирассмотрении переноса электронов в узких вырожденных зонах. Эта модель соответ-ствует случаю, когда носители тока не принадлежат той же энергетической зоне, гдеформируются магнитные моменты. Такая ситуация имеет место в некоторых магнит-ных полупроводниках и металлах, например манганитах [81].В случае сильного s — d обмена I удобно перейти к атомному представлению [16, 99].Подставляя значения коэффициентов Клебша—Гордана, отвечающих сложению момен-тов S и / , находим собственные функции H sd : | M (cid:105) ≡ | SM (cid:105)| (cid:105) , | M (cid:105) ≡ | SM (cid:105)| (cid:105) , (110) | µ ±(cid:105) = (cid:114) S ± µ + 1 / S + 1 | S, µ − / (cid:105)| ↑(cid:105) ± (cid:114) S ∓ µ + 1 / S + 1 | S, µ + 1 / (cid:105)| ↓(cid:105) , (111)где | µα (cid:105) — состояния, занятые одним электроном, с полным спином на узле S + α/ иего проекцией µ . Тогда H sd диагонализуется: H sd = − IS S +1 / (cid:88) µ = − S − / (cid:88) i X i ( µ + , µ +) + I ( S + 1) S − / (cid:88) µ = − S +1 / (cid:88) i X i ( µ − , µ − ) . (112)Одноэлектронные операторы выражаются через X -операторы как c † iσ = (cid:88) α = ± ( g † iσα + h † iσα ) , (113) g † iσα = (cid:88) M (cid:114) S + σαM + (1 + α ) / S + 1 X i ( M + σ/ , α ; M ) ,h † iσα = (cid:88) M (cid:114) S + σαM + (1 − α ) / S + 1 X i ( M M − σ/ , − α ) . В пределе I → α ∞ для концентрации электронов проводимости n < нужно сохранитьв (113) только члены, содержащие g iα , и опустить гамильтониан H sd , который даетпостоянный сдвиг энергии: H = (cid:88) k σ t k g † k σα g k σα + H d , α = sign I. (114)42ля n > мы должны оставить члены, содержащие h iα , и перейти к «дырочному» пред-ставлению введением новых локализованных спинов ˜ S = S ± / . Тогда гамильтонианпринимает вид (115) с заменой [16]: t k → − t k S + 12 S + 1 . (115)При теоретическом рассмотрении сильнокоррелированных соединений, напри-мер, медь-кислородных высокотемпературных сверхпроводников, широко используется t — J модель — модель Хаббарда для s -зоны с U → ∞ и учетом гейзенберговского обме-на. Ее гамильтониан в МЭ представлении имеет вид H = − (cid:88) ijσ t ij X i (0 σ ) X j ( σ
0) ++ (cid:88) ij J ij (cid:26) X i (+ − ) X j ( − +) + 14 [ X i (++) − X i ( −− )][ X j (++) − X j ( −− )] (cid:27) . (116)Эта модель описывает движение дырок на фоне локальных моментов без образованияполярных состояний, однако дополнительно вводится обменное взаимодействие междулокальными моментами. Даже в такой упрощенной модели возникает богатая фазоваядиаграмма, включающая спиральные магнитные структуры и неоднородные состояния(см. обзор [36]).Вывод антиферромагнитного кинетического обмена из модели Хаббарда с боль-шим U каноническим преобразованием дает J = 2 t /U . С другой стороны, иногдаудобно считать J независимой переменной. В частности, «суперсимметричный» случайс t = J позволяет использовать нетривиальные математические методы (см., напри-мер, [100]).Легко видеть, что модель (116) — частный случай s — d обменной модели с I → −∞ , S = 1 / , причем t k заменяется в (114) на t k (множитель возникает из-за того, что вмодели Хаббарда электроны с противоположными спинами в синглетной двойке эквива-лентны). s — d модель с произвольным спином S иногда оказывается более удобной, т. к.позволяет использовать при вычислениях, помимо малого параметра /z ( z — числоближайших соседей), квазиклассический параметр / S .Как и в общей модели Хаббарда, в t — J модели могут использоваться различныепредставления X -операторов через вспомогательные фермионы, бозоны и псевдоспины[36]. Используя (34), в случае дырочной проводимости N e < N можно записать H = − (cid:88) ij t ij e † i e j (1 / s i s j ) + (cid:88) ij J ij (1 − e † i e i )( s i s j − / − e † j e j ) . (117)Такие представления широко применялись при рассмотрении проблемы магнитного по-лярона в антиферромагнетике. 43 то же время гамильтониан (116) или(114) можно использовать непосредственно врамках /z -разложения [17]. В антиферромагнетике со спиральной магнитной структу-рой, соответствующей волновому вектору Q , мы должны перейти в s — d гамильтонианек локальной системе координат с использованием (105). Далее, переходя от операторов d † iσ к МЭ операторам, получаем вместо (114) H = (cid:88) k σ ( θ k g † k σα g k σα + τ k g † k σα g k , − σ,α ) + H d , (118)где θ k и τ k определены в (66). Выполняя расцепление «Хаббард-I», для электронногоспектра имеем E , k = P α θ k ± (cid:118)(cid:117)(cid:117)(cid:116)(cid:18) ¯ S S + 1 θ k (cid:19) + (cid:34) P α − (cid:18) ¯ S S + 1 (cid:19) (cid:35) τ k . (119)В приближении ближайших соседей ( θ q = 0 ) для I > зона при T = 0 сужаетсяв (2 S + 1) / раз. В то же время в рассматриваемом приближении для I < (а такжев t — J модели) электроны не могут переходить на соседние узлы, и их движение воз-можно только благодаря квантовым эффектам (Нагаевым [67] такие состояния былиназваны квазиосцилляторными).Результат вычисления функции Грина G k ασ ( E ) = (cid:104)(cid:104) g k ασ | g † k ασ (cid:105)(cid:105) E , α = sign I, с учетом спиновых флуктуаций имеет вид [96]: G k α ( E ) = (cid:34) E (cid:18) Ψ k α ( E ) − ¯ S eff t k + Q / (2 S + 1) E − Ψ k + Q ( E ) t k + Q (cid:19) − − t k (cid:35) − , (120)где Ψ k α ( E ) = P α + (cid:88) q (cid:54) = Q t k + q (2 S + 1) (cid:90) K q ( ω )Ψ − k + q ,α ( E ) G k + q ,α ( E + ω ) dω, (121) P + = S + 12 S + 1 , P − = S S + 1 . В пренебрежении спиновыми флуктуациями Ψ α = P α и мы получаем спектр (119). Вто-рой член в (121) (поправки от спиновых флуктуаций) ведет к качественным изменениямв спектре около дна зоны. Для решения системы (120), (121) при T = 0 , используетсятак называемое приближение доминирующего полюса G k α ( E ) = Ψ k α (cid:20) Z k E − ˜ E k + G incoh ( k , E ) (cid:21) . (122)44ценка вычета дает Z − − ∼ (cid:40) | t/J S | / , D = 2 ,S − ln | t/J S | / , D = 3 . (123)Таким образом, помимо некогренентного вклада, около дна затравочной зоны в двумер-ной ситуации формируется узкая квазичастичная зона с шириной порядка | J | . Данныйрезультат был впервые получен в работе [101]. Видно, что сильное спин-электронноевзаимодействие в двумерных системах может приводить к большой электронной массеоколо дна зоны даже в случае одного носителя тока. Этот эффект должен рассматри-ваться совместно с многоэлектронным эффектом Кондо (разд. 2.5—2.6). Наряду с другими моделями, для теоретического описания кинетических свойствмагнитных металлов удобно использовать s — d ( f ) обменную модель.Существование магнитных моментов в переходных элементах приводит к дополни-тельным факторам, влияющим на поведение носителей тока во внешнем электрическомполе. Во-первых, тепловые флуктуации в системе магнитных моментов дают новый ме-ханизм рассеяния вследствие s — d обменного взаимодействия. Во-вторых, электронныйспектр магнитных кристаллов сильно зависит от самопроизвольной намагниченности(или намагниченности подрешетки в антиферромагнетиках), а следовательно от темпе-ратуры.Рассмотрим рассеяние электронов проводимости на спиновом беспорядке в рамках s — d обменной модели. Результат Касуи для магнитного сопротивления при высокихтемпературах в приближении среднего поля для спина S = 1 / имеет вид [8] ρ mag = 9 π m ∗ ne I E F (cid:18) − ¯ S (cid:19) . (124)В далекой парамагнитной области для произвольного S имеем ρ mag = 3 π m ∗ ne I E F S ( S + 1) . (125)Выражение (124) довольно хорошо описывает экспериментальную температурную за-висимость сопротивления ферромагнитных металлов около точки Кюри. Для редко-земельных металлов выражение (125) с заменой S ( S + 1) → ( g − J ( J + 1) удовле-творительно описывает изменение высокотемпературного сопротивления на спиновомбеспорядке в f -ряде [8].Обсудим магнитное рассеяние при низких температурах. Переходя к операторамспиновых волн, получаем из формулы Кубо ρ = πk B T (cid:104) j x (cid:105) I Se (cid:88) kq ( v x k ↑ − v x k + q ↓ ) N q n k ↑ (1 − n k + q ↓ ) δ ( E k ↑ − E k + q ↓ + ω q ) (126)45 v x k — операторы скорости, j x — оператор тока). Интегрирование дает для удельногосопротивления ρ = C T ∞ (cid:90) T /T x sinh x dx + C T T ln coth T T , (127)где константы C i определяются электронным спектром, величина T ∼ T С q ∼ ( I/E F ) T С (128)совпадает с границей стонеровского континуума, q = 2 | IS | /v F — пороговый вектор дляодномагнонных процессов рассеяния. При очень низких температурах T < T одномаг-нонное сопротивление (127) экспоненциально мало, т. к. законы сохранения квазиим-пульса и энергии не могут быть выполнены для характерных тепловых квазиимпульсовмагнонов. При T (cid:29) T имеем ρ ( T ) ∼ T N ↑ ( E F ) N ↓ ( E F ) . (129)Таким образом, спин-волновое рассеяние в широком диапазоне температур приво-дит к квадратичной температурной зависимости сопротивления. Отличие от случаяэлектрон-фононного рассеяния (когда при низких температурах сопротивление про-порционально T ) объясняется квадратичным законом дисперсии магнонов, так что ихчисло пропорционально T / , а не T .Зависимость T была установлена Туровым [102] и Касуя [103] и в дальнейшемподтверждена многими авторами. Однако при очень низких температурах в ферро-магнитных переходных металлах обнаруживаются вклады в сопротивление, которыепропорциональны T / или T (см. обсуждение в монографии [4]). Линейные темпе-ратурные поправки вследствие релятивистских взаимодействий по-видимому слишкоммалы, чтобы объяснить экспериментальные данные. Была сделана попытка [69] объ-яснить T / -члены неквазичастичными вкладами в примесное сопротивление, которыепоявляются из-за сильной энергетической зависимости некогерентных состояний околоуровня Ферми (99). Учитывая, что вблизи E F δN ( E ) ∼ | E − E F | / , получаем поправкук проводимости δσ ( E ) ∼ − V (cid:90) (cid:18) − ∂f ( E ) ∂E (cid:19) δN ( E ) dE ∼ − T / . Обсудим теперь кинетические свойства полуметаллических ферромагнетиков(ПМФ). Поскольку вклад в кинетические свойства от электронов с разными проек-циями спина в этих материалах должен радикально отличаться, в последнее времяони вызывают большой интерес в связи со спинтроникой (спин-зависящей электрони-кой). Как было предсказано в [71], в гетероструктурах, содержащих ПМФ, следует46жидать гигантского магнитосопротивления. Отметим здесь, что полуметаллическаязонная структура была обнаружена в системах с гигантским магнитосопротивлениемLa − x Sr x MnO (хотя соответствующие экспериментальные данные не вполне однознач-ны, см. обзор [72]).При рассмотрении кинетических свойств ПМФ оказываются важными корреляци-онные эффекты. Как обсуждалось в разделе 2.1, вследствие электрон-магнонного рас-сеяния в энергетической щели появляются некогерентные состояния, поэтому спиноваяполяризация сильно зависит от температуры. Такое заполнение щели весьма важнодля возможных применений ПМФ в спинтронике, существенно ограничивая их. Частоиспользуемый подход, основанный на теории Стонера и дающий лишь температурныепоправки от одночастичных возбуждений, экспоненциально малые при T (cid:28) ∆ ( ∆ —спиновое расщепление), оказывается в корне неверным. Поскольку ферромагнитныеполупроводники могут рассматриваться как частный случай ПМФ, некогерентные со-стояния должны также учитываться в теории спиновых диодов и транзисторов [72].Поскольку при нулевой температуре в ПМФ существуют состояния только с однойпроекцией спина на уровне Ферми, одномагнонные процессы рассеяния в спин-волновойобласти температур запрещены и T -член в сопротивлении (129) отсутствует. Это, по-видимому, подтверждается экспериментальными данными по удельному сопротивле-нию сплавов Гейслера T MnSb ( T = Ni, Co, Pt, Cu, Au) и PtMnSn [104]. T -вклады отодномагнонных процессов в сопротивление полуметаллических систем ( T = Ni, Co, Pt)не выделяются, тогда как зависимости ρ ( T ) для «обычного» ферромагнетика значи-тельно круче. В случае ПМФ, так же как и для обычных ферромагнетиков, при T < T сопротивление определяется двухмагнонными процессами рассеяния. Они приводят к T / -зависимости сопротивления [105]), которая возникает из-за обращения в нуль ам-плитуды электрон-магнонного рассеяния при нулевом волновом векторе магнона.Обсудим теперь спин-волновое сопротивление в редкоземельных металлах, кото-рые являются ферромагнетиками при низких температурах. Из-за сильной анизо-тропии закон дисперсии спиновых волн отличается от случая d -металлов. Спектрмагнонов в редкоземельных элементах содержит щель порядка T ∗ ∼ К; в от-сутствие анизотропии в базисной плоскости имеем линейное поведение ω q ∼ q .Щель приводит к появлению экспоненциального множителя exp ( − T ∗ /T ) в магнит-ном сопротивлении. Для линейного закона дисперсии возникает зависимость ρ ∼ T вместо T , поскольку каждая степень q дает при интегрировании множитель T /T С (вместо ( T /T С ) / при ω q ∼ q ). Последний результат подтвержден экспе-риментальной зависимостью ρ ∼ T . для гадолиния в диапазоне температур − К [106].Используя формулу Кубо с гамильтонианом s — d модели (83) в спин-волновой об-ласти, получаем для низкотемпературного магнитного удельного сопротивления анти-47ерромагнитных металлов ρ = πk B T (cid:104) j x (cid:105) I Se (cid:88) kq ( v x k − v x k + q ) n k (1 − n k + q )[ N q ( u q + v q ) ) ×× δ ( E k − E k + q + ω q ) + N q + Q ( u q + Q − v q + Q ) ) δ ( E k − E k + q + ω q + Q )] . (130)Сопротивление при очень низких температурах определяется вкладами малых q в (130),т. е. переходами внутри антиферромагнитных подзон. Из-за линейного закона диспер-сии магнонов такие переходы приводят, как и в случае электрон-фононного рассея-ния, к зависимости сопротивления T . Благодаря сингулярности коэффициентов uv -преобразования вклады от малых | q − Q | (т. е. межзонные вклады), вообще говоря,больше. Однако, как и для ферромагнетиков, невозможно удовлетворить закону сохра-нения квазиимпульса при q → Q из-за антиферромагнитного расщепления, так что этивклады экспоненциально малы при T < T = ω ( q ) ∼ ( | IS | /E F ) T N , (131)где q = 2 | IS | /v F — пороговое значение | q − Q | . (Следует обратить внимание на то, чтограничная температура не настолько мала, как для ферромагнетика (128).) При болеевысоких температурах T > T межзонные вклады дают T -поведение удельного сопро-тивления [107]. В двумерном случае эти вклады становятся линейными по T , что даетодни из механизмов объяснения характерной зависимости ρ ( T ) в высокотемпературныхсверхпроводниках. s — f обменная модель и свойства редкоземельных металлов Как отмечалось выше, для редкоземельных металлов, где f -электроны хорошо ло-кализованы, s — f модель может быть основой для количественной теории. В частности,уже простой гамильтониан (83), который дает дальнодействующее и осциллирующееРККИ-взаимодействие между f -спинами, позволяет описать их геликоидальные струк-туры. Для детального рассмотрения магнитных и электронных свойств необходима бо-лее реалистическая модель f -металлов с орбитальными степенями свободы, которая, вчастности, позволяет учесть магнитную анизотропию. Мы обсудим такую модель, сле-дуя [24, 108—110] (имеются также работы С. В. Вонсовского и М. С. Свирского по этойпроблеме [111]).Для большинства редких земель (исключая Eu и Sm) матричные элемен-ты межузельного взаимодействия малы по сравнению с расстояниями между LSJ -мультиплетами, поэтому хорошим приближением является схема связи Рассе-ла—Саундерса. Используя для простоты представление плоских волн s -типа для элек-48ронов проводимости, находим для s — f гамильтониана H sf = (cid:88) kk (cid:48) σσ (cid:48) (cid:88) ν Γ Γ γ γ e i ( k − k (cid:48) ) R ν (cid:42) γ , k σ (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:88) ic e | r i − r c | (1 − P ic ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) γ , k (cid:48) σ (cid:48) (cid:43) ×× (cid:104) Γ | a † νγ a νγ | Γ (cid:105) X ν (Γ , Γ ) c † k σ c k (cid:48) σ (cid:48) , (132)где c † k σ — операторы рождения для электронов проводимости, γ i = { lm i } , Γ i = { SLJ M i } ; P ic — операторы перестановки электронов проводимости и локализованныхэлектронов. Вычисление матричных элементов кристаллического потенциала с учетомразложения плоских волн по сферическим гармоникам дает ряды по λ , λ (cid:48) с «интегра-лами Слэтера» F ( p ) λλ (cid:48) ( kk (cid:48) ) = e (cid:90) r r R l ( r ) r p< r p +1 > j λ (cid:48) ( k (cid:48) r ) dr dr , (133) G ( p ) λλ (cid:48) ( kk (cid:48) ) = e (cid:90) r r R l ( r ) j λ ( kr ) r p< r p +1 > R l ( r ) j λ (cid:48) ( k (cid:48) r ) dr dr , (134)где l = 3 для f -электронов. Малым параметром разложения является k F r f ∼ . , где r f — радиус f -электронной оболочки. Возникшие матричные элементы могут бытьвычислены с помощью метода неприводимых тензорных операторов и выражены черезматричные элементы полного углового момента J [8]). Для члена нулевого порядкаимеем H sf (00) = − π l + 1 (cid:88) νσσ (cid:48) G (0)00 (cid:104) n δ σσ (cid:48) + ( g − σ σσ (cid:48) J ν ) (cid:105) c † νσ c νσ (cid:48) , (135)где введен фактор Ланде g = 1 + ( LS ) J = 1 + J ( J + 1) − S ( S + 1) − L ( L + 1)2 J ( J + 1) , причем S = ( g − J , L = (2 − g ) J . (136)Члены высшего порядка анизотропны и имеют структуру H coul sf = (cid:88) ν kk (cid:48) σσ (cid:48) e i ( k − k (cid:48) ) R ν c † k σ c k (cid:48) σ (cid:48) ( B + B [3 { ( kJ ν ) , ( k (cid:48) J ν ) } − kk (cid:48) ) J ( J + 1)] + . . . ) , (137) H exch sf = (cid:88) ν kk (cid:48) σσ (cid:48) ( A δ σσ (cid:48) + A ( σ σσ (cid:48) J ν ) + iA ([ kk (cid:48) ] J ν ) δ σσ (cid:48) ++ A { ( kJ ν ) , ( k (cid:48) J ν ) } + A [( k σ σσ (cid:48) )( k (cid:48) J ν ) + ( k (cid:48) σ σσ (cid:48) )( kJ ν )] ++ A [( k σ σσ (cid:48) )( kJ ν ) + ( k (cid:48) σ σσ (cid:48) )( k (cid:48) J ν )] ++ A [( kJ ν ) + ( k (cid:48) J ν ) ] + iA { ( σ σσ (cid:48) J ν ) , ([ kk (cid:48) ] J ν ) } + . . . ) , (138)49де { , } — антикоммутатор. Члены с векторными произведениями [ k , k (cid:48) ] , которые по-являются из матричных элементов орбитальных моментов электронов проводимости ( l ) kk (cid:48) , описывают анизотропное рассеяние электронов. Такие члены соответствуют свя-зи тока электронов проводимости во внешнем электрическом поле и момента J и даютпоэтому аномальный эффект Холла. Коэффициент Холла пропорционален A ( g − ,что соответствует взаимодействию орбитальных моментов электронов с локализован-ными орбитальными моментами L . Эта картина отличается от картины в d -металлах,где аномальный эффект Холла возникает из-за слабой спин-орбитальной связи. Для f -электронов она сильна (порядка эВ), что позволяет рассматривать только один J -мультиплет, так что константа спин-орбитальной связи не будет явно входить в ре-зультаты.Гамильтониан косвенного f — f взаимодействия через электроны проводимости полу-чается во втором порядке по H sf . Основные вклады могут быть записаны в форме [108]: H ff ( ν ν ) = − I ( g − ( J J ) − I D ( g − J J ) − ρ J )( ρ J ) /ρ ] −− I nD [( J J ) − ρ J ) /ρ ] . (139)Наибольший член этого разложения, который пропорционален ( g − , соответству-ет обычному обменному взаимодействию между спинами согласно формуле де Женна(136). Зависимость f — f обменного параметра J eff ∼ ( g − находится в хорошем со-гласии с экспериментальными данными для парамагнитных температур Кюри в рядуредкоземельных металлов. Орбитальные вклады в f — f взаимодействие, пропорцио-нальные D и D , исчезают при L = 0 и значительно меньше. Еще более малый членчисто орбитального взаимодействия получается во втором порядке по A : H (cid:48) ff ( ν ν ) = − I ( g − ( J J ) = − I ( L L ) . (140)В отличие от спинового обмена, обменные взаимодействия в (139), которые опреде-ляются орбитальными моментами, сразу становятся анизотропными после учета ани-зотропии кристалла. Вклады анизотропного обмена в энергию магнитной анизотропиирассчитаны в [108]. Полный результат для гексагональной плотно упакованной решеткис параметрами c и a имеет вид E cr = ( K cr + K exch ) cos θ + . . . ,K cr = α J J (cid:18) J − (cid:19) Z eff e a (cid:104) r f (cid:105) a . (cid:32) ca − (cid:114) (cid:33) , K exch ∼ ( g − D J I sf N ( E F ) . (141)Здесь α J — параметр Стивенса, Z eff — эффективный заряд иона, (cid:104) r f (cid:105) — среднее отквадрата радиуса f -оболочки. Выражения (141) дают оценки порядка величин K cr и50аблица 1: Значения орбитального момента и тип магнитной анизотропии для редко-земельных ионов. a — легкая ось, p — легкая плоскость, c — кубическая структура;радиоактивный прометий не исследован, гадолиний не имеет орбитального моментаR Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb f f f f f f f f f f f f f F H I I H F S F H I I H FL p p p − c p p p a a c aK exch . Так как для тяжелых редкоземельных элементов α J ∼ − − − , получаем K cr ∼ − эрг/см . Тогда D ∼ − , так что K exch ∼ − эрг/см .Таким образом, магнитная анизотропия редкоземельных элементов по величине наодин или два порядка больше, чем у наиболее сильно анизотропных гексагональных d -магнетиков. Эта разница есть следствие того факта, что для РЗ магнитная анизотро-пия определяется электростатическими взаимодействиями кристаллического поля илиобменом анизотропного типа, а не слабым спин-орбитальным взаимодействием (как у d -магнетиков).Как показывает сравнение с экспериментом [110], вклад от кристаллического поля,вероятно, доминирует, а анизотропный обмен вносит только − . Надежное экс-периментальное определение последнего имеет фундаментальный интерес для теорииобменных взаимодействий. В отличие от одноионного механизма кристаллического по-ля, анизотропный обмен приводит к двухионной анизотропии, так что он может бытьвыделен на основе зависимости от состава сплава.Что касается знака магнитной анизотропии, здесь теория углового момента даетточные предсказания. Знаки как α J , так и D меняются при переходе от конфигурации f ( f ) к конфигурации f ( f ) в первой (второй) половине РЗ ряда, а также припереходе от первой половины ко второй. Этот математический результат имеет ясныйфизический смысл. Магнитная анизотропия связана с величиной и ориентацией орби-тальных компонент полных орбитальных моментов в электрическом кристаллическомполе.Как видно из таблицы 1, помимо тривиальной электронно-дырочной симметрии взначениях L между первой и второй половинами ряда, имеется также симметрия впределах каждой половины, связанная с заполнением орбитальных квантовых состо-яний. Например, f - и f -состояния имеют одно и то же значение L = 3 , и могло быпоказаться, что анизотропия должна также быть одинаковой. Однако следует принятьво внимание, что L ( f ) — угловой момент одного электрона, тогда как L ( f ) — орби-тальный момент дырки в сферической конфигурации f , характеризуемой величиной51 = 0 . Таким образом, анизотропия электрического заряда будет противоположной дляконфигураций f и f . Эффект Кондо впервые обсуждался в связи с проблемой минимума электросопро-тивления в разбавленных сплавах переходных металлов [80]. Даже в «чистых» образ-цах меди, золота и цинка наблюдалось увеличение сопротивления при температурахниже − К. Экспериментально установлено, что это явление сильно связано с при-сутствием малого количества ( − − − % ) примесей переходных металлов (Cr, Fe,Mn), которые сохраняют магнитный момент в матрице простого металла. Такой силь-ный эффект нельзя объяснить в простых одноэлектронных приближениях для примес-ного электросопротивления. Кондо показал, что в третьем порядке теории возмущений s — d обменное взаимодействие электронов проводимости с локализованными момента-ми приводит к сингулярной поправке вида ln T к сопротивлению вследствие многоча-стичных эффектов (фермиевской статистики). После объединения с обычным низко-температурным вкладом T , вызванным электрон-фононным рассеянием, эта поправкаприводит к минимуму сопротивления. Минимизируя выражение ρ = Ac ln T + BT , где c — концентрация примесей, получаем T min ∼ c / , т. е. очень слабую зависимость от c .При очень низких температурах увеличение сопротивления подавляется маг-нитным упорядочением примесей, которое обусловлено дальнодействующим РККИ-взаимодействием (в упорядоченной фазе ориентация спинов фиксируется и рассеяниестановится неэффективно). Для d -примесей логарифмическая поправка третьегопорядка в большинстве случаев оказывается достаточной для того, чтобы описатьэкспериментальные данные, а вклады более высоких порядков теории возмущениймалы вплоть до температуры магнитного упорядочения моментов примесей. Вместес тем, редкоземельные примеси (например Ce, Yb, Sm, Tm в матрицах Y или Lа)могут рассматриваться как изолированные до c ∼ ; даже при больших концентра-циях взаимодействие между ними не обязательно приводит к обычному магнитномуупорядочению, поскольку происходит формирование «плотных» кондо-систем [88].Тогда возникает проблема точного учета многоэлектронных эффектов, обусловленных s — d ( f ) обменным взаимодействием при низких температурах. Это и есть проблемаКондо, сыгравшая столь большую роль в теоретической физике.В дальнейшем были рассмотрены различные обобщения задачи Кондо на случайвзаимодействия электронов проводимости с различными двухуровневыми системами,туннельными состояниями, сильно ангармоническими фононами, зарядовыми степеня-ми свободы (см., например, [112, 113]). Формально такие системы описываются псевдо-спиновыми гамильтонианами, так что теория возмущений приводит к логарифмиче-ским расходимостям. 52уммирование главных логарифмических членов в сопротивлении дает [80] ρ sd = ρ (0) sd (cid:18) Iρ ln WT (cid:19) − , ρ = N ( E F ) . (142)В случае «ферромагнитного» s — d обмена I > это «паркетное» приближение даетполное решение проблемы Кондо. Однако в более важном случае I < (например, длямагнитных примесей в благородных металлах, когда эффективный s — d обмен имеет ги-бридизационную природу) такое приближение приводит к расходимости сопротивленияпри температуре T K = W exp 12 Iρ , (143)которая называется температурой Кондо. Эта величина совпадает с полюсом собствен-ной энергии (96).В отличие от критической температуры ферромагнетика или сверхпроводника, тем-пература Кондо соответствует не фазовому переходу, а только характерному энергети-ческому масштабу кроссовера между высоко- и низкотемпературными областями. Рас-смотрение области
T < T K — очень трудная и красивая математическая проблема. Слу-чай T (cid:28) T K исследован в рамках феноменологической теории ферми-жидкости [120] иметодов аналитической ренормализационной группы [121, 122]. Численное решение по-лучено Вильсоном с использованием метода ренормализационной группы [83]. Наконец,в некоторых упрощающих приближениях (которые сводят задачу к одному измерению)Андреем и Вигманом было предложено точное решение однопримесной s — d модели сиспользованием подстановки Бете [84, 114]. Имеются также попытки получить анали-тическое описание режима сильной связи диаграммными методами [115].Оказывается, что при T → эффективное (перенормированное) s — d взаимодей-ствие становится бесконечно сильным, так что примесный магнитный момент пол-ностью компенсируется (экранируется) электронами проводимости. Строго говоря, вобычной s — d модели с нулевым орбитальным моментом (83) такая компенсация имеетместо только для S = 1 / , а для произвольного S эффект Кондо приводит к уменьше-нию примесного спина: S → S − / [122]. Однако в реальной ситуации вырожденныхэлектронных зон число «каналов рассеяния» для электронов проводимости достаточно,чтобы обеспечить экранирование. Для редкоземельных систем более правильно приме-нять модель Коблина—Шриффера (88), в которой имеем T K = W exp 1 N Iρ . (144)Эффекты кристаллического поля могут приводить к ряду кроссоверов (смен поведе-ния) с понижением температуры и последовательным снятием вырождения; при этомменяется и выражение для температуры Кондо.53ройдя через температуру Кондо, сопротивление стремится при T → к конечномуунитарному пределу (который соответствует максимально возможному фазовому сдви-гу π/ ), причем поправки при низкой температуре пропорциональны ( T /T K ) [80, 84]: ρ sd = 3 π ( ρv F e ) − (cid:32) − π T T K + O (cid:18) TT K (cid:19) (cid:33) . (145)Удельная теплоемкость системы имеет максимум при T ∼ T K и ведет себя линейнопри T → : C sd ( T ) = π TT K (cid:32) O (cid:18) TT K (cid:19) (cid:33) , (146)что напоминает обычное выражение для электронной теплоемкости с заменой E F → πT K .Магнитная энтропия при T = 0 , равная S (0) = R ln (2 S + 1) , устраняется вслед-ствие экранирования магнитного момента, а не магнитного упорядочения. Магнитнаявосприимчивость χ = ( gµ B ) πT K (cid:18) − O (cid:18) T T K (cid:19)(cid:19) (147)демонстрирует паулиевское поведение (в отличие от закона Кюри при T > T K ) и зна-чительно усилена, так же как и теплоемкость. Данные результаты могут быть описаныв терминах узкого многочастичного резонанса Абрикосова—Сула на уровне Ферми сшириной порядка T K и высотой порядка /T K , так что T K играет роль эффективнойтемпературы вырождения. Таким образом, формируется новое фермижидкостное со-стояние, что сопровождается большими многоэлектронными перенормировками.Интерполяционную формулу для χ ( T ) можно записать в форме закона Кю-ри—Вейсса с отрицательной парамагнитной температурой Кюри | θ | ∼ T K . В этой свя-зи отметим, что разница между примесями переходных металлов, которые сохраняютмагнитный момент в данном образце, и немагнитными примесями имеет по большомусчету не качественный, а количественный характер. Во втором случае можно считать,что T K высока — порядка − К, что иногда выше, чем точка плавления (в слу-чае обычной паулиевской восприимчивости T K → E F ). Подобные рассуждения могутприменяться к чистым веществам, где локальные магнитные моменты при низких тем-пературах не существуют (хотя конкретные теоретические модели могут быть весьмаразличны). Для усиленных паулиевских парамагнетиков типа Pd, Pt, UAl , где привысоких температурах выполняется закон Кюри—Вейсса, вместо температуры Кондовводят так называемую температуру спиновых флуктуаций.Альтернативное описание эффекта Кондо может быть дано в модели решетки Ан-дерсона. Пренебрегая спин-орбитальным взаимодействием, что разумно для переход-54ых металлов и их соединений, запишем ее гамильтониан в виде H = H + (cid:88) k σ t k c † k σ c k σ + (cid:88) k lmσ ( V k lm c † k σ a k lmσ + h. c. ) , (148)где H — гамильтониан внутриузельного взаимодействия между d -электронами. Дляпростоты будем описываем состояния электронов проводимости плоскими волнами. Ис-пользуя разложение по сферическим гармоникам, получаем для матричного элементагибридизации V k lm = i l Y ∗ lm (ˆ k ) v l ( k ) , v l ( k ) = 4 π (cid:90) r R l ( r ) v ( r ) j l ( kr ) dr, (149)где v ( r ) — сферически симметричный потенциал для данного узла. В пределе jj -связи(соединения актинидов) нужно подставить в (148) lmσ → jµ , где j = l ± / — полныймомент электронов, а µ — его проекция.В случае сильных корреляций для d -электронов удобно перейти к представлениюоператоров Хаббарда, которое приводит H к диагональному виду (см. (43)). Сохраняядва низших терма Γ n = { SL } , Γ n − = { S (cid:48) L (cid:48) } для конфигураций d n и d n − следуя (23),определяя новые электронные операторы проводимости d † k lmσ = (cid:88) µµ (cid:48) MM (cid:48) C SµS (cid:48) µ (cid:48) , σ C LML (cid:48) M (cid:48) ,lm X k ( SLµM, S (cid:48) L (cid:48) µ (cid:48) M (cid:48) ) , (150) c † k lmσ = i l Y ∗ lm (ˆ k ) c † k σ , представляем гамильтониан (148) в форме H = H + (cid:88) k σ [ t k c † k σ c k σ + ˜ v l ( k )( c † k lmσ d k lmσ + h. c. )] , (151)где H = ∆ (cid:88) k lmσ d † k lmσ d k lmσ + const , ∆ = E SL − E S (cid:48) L (cid:48) . (152)Эффективные гибридизационные параметры даются формулой ˜ v l ( k ) = n / G S n L n S n − L n − v l ( k ) . (153)Теперь обсудим редкоземельные системы. Вследствие сильного кулоновского взаимо-действия между f -электронами образование f -зон, содержащих электронных со-стояний, нереалистично. Таким образом, нужно использовать модель с двумя конфи-гурациями f n и s ( d ) f n − , что соответствует делокализации одного электрона на атоме.В схеме Рассела—Саундерса можно ограничиться двумя низшими мультиплетами f -иона: Γ n = SLJ и Γ n − = S (cid:48) L (cid:48) J (cid:48) . Переходя в (148), (23) к J -представлению и суммируяпроизведения коэффициентов Клебша—Гордана, получим H = (cid:88) k jµ [∆ f † k jµ f kjµ + t k c † k jµ c k jµ + ˜ v j ( k )( c † k jµ f k jµ + h. c. )] . (154)55десь введены новые электронные операторы f † k jµ = (cid:88) M J M J (cid:48) C JM J J (cid:48) M (cid:48) J ,jµ X k ( SLJ M J , S (cid:48) L (cid:48) J (cid:48) M (cid:48) J ) , c † k jµ = i l (cid:88) mσ C jµ σ,lm Y ∗ lm (ˆ k ) c † k σ , (155)а эффективные гибридизационные параметры выражены через j -символы: ˜ v j ( k ) = S L JS (cid:48) L (cid:48) J (cid:48) / l j ([ j ][ j (cid:48) ][ L ]) / G SLS (cid:48) L (cid:48) v l ( k ) . (156)где [ J ] = (2 J + 1) . Следовательно, гибридизационные эффекты в МЭ системах сильнозависят от МЭ квантовых чисел S , L , J и атомных номеров [123]. Такая зависимость вредкоземельном ряде подобна корреляции де Женна для s — f обменного параметра ипарамагнитной температуры Кюри. Экспериментальные исследования этой зависимо-сти, например спектроскопические данные, представляют большой интерес.Рассмотрим антикоммутаторную запаздывающую функцию Грина для локализо-ванных d -электронов (52) в немагнитной фазе модели (148). Простейшее расцеплениедает (ср. [116, 124]) G k lm ( E ) = (cid:20) Φ( E ) − | V k lm | E − t k (cid:21) − , (157)где функция Φ определена в (53). Соответствующий энергетический спектр содержитсистему подзон, разделенных гибридизационными щелями (или псевдощелями в случае,когда V ( k ) исчезает для некоторых k ), которые окружены пиками плотности состояний.В модели с сильными корреляциями (153) имеем E , k = 12 ( t k + ∆) ± (cid:20)
14 ( t k − ∆) + | ˜ V k lm | (cid:21) , (158)где ˜ V k lm = i l Y ∗ lm (ˆ k )˜ v l ( k ) (cid:26) [ S ][ L ]2[ l ] ( N SL + N S (cid:48) L (cid:48) ) (cid:27) / . (159)Легко видеть, что ширина гибридизационной щели явно зависит от многоэлектронныхчисел заполнения (в частности, от положения d -уровня).Приближение (157) не учитывает процессов с переворотом спина, которые приво-дят к эффекту Кондо и могут существенно изменять структуру электронного спектравблизи уровня Ферми. Чтобы учесть кондовские аномалии, следует выполнить болееточные вычисления функций Грина. Для краткости рассмотрим модель (154); в моде-ли (151) [ J ] → [ S ][ L ] , ˜ v j → ˜ v l . В уравнениях движения для функций Грина f -электроновпри коммутировании X -операторов и расцеплении во втором порядке по гибридизации56озникнут фермиевские функции распределения электронов проводимости. Выполняяинтегрирование, получим логарифмический вклад в собственную энергию Σ f ( E ) = 2 ρ (cid:88) j ˜ v j ( k F ) J − J (cid:48) [ J (cid:48) ] ln (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) WE (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) . (160)Рассмотренным выше влиянием гибридизационной щели можно пренебречь, если оналежит намного ниже уровня Ферми. Тогда при J > J (cid:48) функция Грина f -электроновимеет полюс | ∆ ∗ | = T K ≈ W exp − (cid:18) [ J ][ J (cid:48) ] − (cid:19) − | ∆ | (cid:34) ρ (cid:88) j ˜ v j ( k F ) (cid:35) − . (161)Обычный эффект Кондо соответствует полной компенсации магнитного момента ( J (cid:48) =0 ). При J (cid:48) > J полюс (161) отсутствует (режим сильной связи не возникает), т. к.рассматриваемая модель переходит в модель Коблина—Шриффера с положительнымобменным параметром. При J (cid:48) = 0 результат (161) отличается от результата теории воз-мущений при высоких температурах (144) только единицей в знаменателе показателястепени. Такая разница типична для вычисления температуры Кондо в вырожденноймодели Андерсона и объясняется тем, что использованный подход оправдан, строгоговоря, только в пределе больших N . f -соединений Обсудим теперь поведение некоторых классов f - и f -соединений, которые имеютаномальные электронные свойства. К ним относятся так называемые решетки Кон-до, системы с промежуточной валентностью и тяжелыми фермионами. В чем-то по-хожие физические свойства проявляют и некоторые d -системы, в частности, медь-кислородные высокотемпературные сверхпроводники, где имеют место сильные эффек-ты корреляции в плоскостях CuO .Наиболее экзотические свойства характерны для соединений с тяжелыми ферми-онами. Они обладают гигантскими значениями эффективной электронной массы, чтонаиболее ярко проявляется в огромном значении коэффициента при линейном члене втеплоемкости. Несколько произвольно определяя тяжелофермионные системы, обычнополагают граничное значение γ равным мДж/(моль · К ). Кроме того, наблюда-ются большая парамагнитная восприимчивость при низких температурах и большойкоэффициент при T -члене в сопротивлении.Аномальные редкоземельные и актинидные соединения обычно классифицируютсякак концентрированные кондо-системы, или решетки Кондо, т. к. образование низко-температурного состояния Кондо дает наиболее естественное объяснение их необычных57войств (хотя возможны и другие механизмы, см., например, [117, 119]). Для большин-ства таких соединений имеется ln T -вклад в сопротивление при высоких температурах,но они имеют металлическое основное состояние с ρ ( T → ∼ T . Однако известныи примеры непроводящих решеток Кондо. В частности, система CeNiSn обладает принизких температурах чрезвычайно малой энергетической щелью порядка несколькихградусов, причем частичная замена Ni на Cu приводит к тяжелофермионному метал-лическому поведению.Картина изоляторной решетки Кондо используется иногда для узкощелевых полу-проводников с промежуточной валентностью SmB , SmS (золотая фаза) [88]. Образо-вание непроводящего состояния Кондо может быть описано в терминах когерентногорассеяния Кондо, когда резонанс Абрикосова—Сула трансформируется в узкую много-электронную щель.Помимо температуры Кондо, вводят иногда второй энергетический масштаб — тем-пературу когерентности T coh , которая соответствует переходу к когерентному кондов-скому рассеянию различными узлами решетки. Она обычно мала по сравнению с T K .Именно картина образования когерентного состояния позволяет объяснить эксперимен-тальные данные по низкотемпературным аномалиям термоэдс в системах с тяжелымифермионами [88]. С уменьшением T ниже высокотемпературного экстремума α ( T ) частоизменяет знак, снова имеет экстремум и линейно исчезает при T → . Такое поведениеможно объясить появлением псевдощели с изменением знака величины dN ( E ) /dE науровне Ферми, которая определяет знак α ( T ) . Кроме того, формирование когерентногосостояния приводит к положительному магнитосопротивлению и резкому отрицатель-ному пику в коэффициенте Холла.Описание кроссовера между когерентным и некогерентным режимом проводилосьв рамках модифицированной SU ( N ) -модели Андерсона (87) [125]. Температурная зави-симость эффективного параметра гибридизации была получена в форме V eff ∼ (cid:104) b † i b i (cid:105) ∼ ϕ ( T ) ,ϕ ( T ) = (cid:0) N + e − T K /T + 1 (cid:1) − = (cid:40) , T (cid:28) T coh ,O (1 /N ) , T coh (cid:28) T (cid:28) T K (162)с температурой когерентности T coh = T K / ln N .Рассмотрим проявления эффекта Кондо для периодической решетки локализован-ных f -моментов в рамках s — f обменной модели (83). Этот случай отличается от случаяодиночной кондовской примеси присутствием межузельных обменных взаимодействийи, следовательно, спиновой динамики, которая приводит к ослаблению обычных кон-довских расходимостей, а также к некоторым новым эффектам. С этой целью можнообобщить результат (96), учитывая в энергетических знаменателях частоты спиновыхфлуктуаций. Такое вычисление вклада второго порядка в электронную собственную58нергию дает [117] Σ (2) k ( E ) = I (cid:88) q (cid:90) K q ( ω ) (cid:18) − n k + q E − t k + q + ω + n k + q E − t k + q − ω (cid:19) dω, (163)где K q ( ω ) — спектральная плотность подсистемы локализованных спинов, K q ( ω ) = − π N B ( ω ) (cid:61) χ q ω , χ q ω = (cid:104)(cid:104) S q | S − q (cid:105)(cid:105) ω , (cid:61) χ q ω = −(cid:61) χ q − ω . (164)Таким образом, при наличии спиновой динамики расходимости кондовского типа в соб-ственной энергии возникают уже во втором порядке. Формально они связаны с функ-цией Ферми: (cid:88) q n k + q E − t k + q ± ¯ ω (cid:39) ρ ln W max {| E | , T, ¯ ω } , (165)где ¯ ω — характерная частота спиновых флуктуаций. В классическом пределе ω (cid:28) T имеем K q ( ω ) = K q ( − ω ) = − / π ( T /ω ) (cid:61) χ q ω , так что члены с функциями Ферми со-кращаются. Однако в квантовом случае Σ( E ) резко изменяется в окрестности E F сшириной ¯ ω , что ведет к заметной перенормировке вычета функции Грина Z и, следо-вательно, электронной эффективной массы m ∗ и удельной теплоемкости. Эти перенор-мировки обращаются в нуль при T (cid:29) ¯ ω . В частности, результат (163) с I → U даетспин-флуктуационную (парамагнонную) перенормировку в модели Хаббарда [126].Выражения, подобные (163), можно получить в других ситуациях. Для K q ( ω ) ∼ [1 − f (∆ cf )] δ ( ω + ∆ cf ) + f (∆ cf ) δ ( ω − ∆ cf ) (166)формула (163) описывает эффекты взаимодействия с возбуждениями в кристалличе-ском поле [127], причем ∆ cf — величина расщепления уровня КП. Спектральная плот-ность вида (166) с ∆ , которое слабо зависит от волнового вектора, соответствует ло-кализованным спиновым флуктуациям. Перенормировка m ∗ вследствие таких флукту-аций намного больше, чем перенормировка, даваемая мягкими парамагнонами, из-замалости фазового объема флуктуаций в последнем случае.Таким образом, определение эффекта Кондо в системах с динамикой нетривиально.Условие Z (cid:28) , характеризующее решетки Кондо, может быть удовлетворено не толькоиз-за обычного эффекта Кондо (образование резонанса Абрикосова—Сула при T < T K ),но также из-за взаимодействия с низкоэнергетическими спиновыми или зарядовымифлуктуациями.Результат m ∗ ∼ / ¯ ω , который следует из (163), (165), не меняет свой вид при уче-те членов более высокого порядка, даже для произвольно малой ¯ ω . Данная проблемаисследована в [112] для простой модели, описывающей взаимодействие с локальнымивозбуждениями двухуровневой системы. Отметим, что все такие особенности исчезают59ри ¯ ω → из-за множителей типа tanh (¯ ω/ T ) и параметр обрезания для них есть ¯ ω , ане ширина полосы W .Рассмотрим теперь «истинные» кондовские расходимости, соответствующие дру-гой последовательности сингулярных членов, которая описывает процессы с перево-ротом спина и начинается с третьего порядка по s — f параметру. Эти расходимостине исчезают при отсутствии динамики и действительно дают при E → множите-ли ln ( W/ max { ¯ ω, T } ) . С учетом спиновой динамики соответствующий вклад в мнимуючасть собственной энергии имеет вид (cid:61) Σ (3) k ( E ) = 2 πI ρ ( E ) (cid:90) (cid:88) q K q ( ω ) n k + q E − t k + q − ω dω (167)(вещественная часть сингулярного вклада отсутствует в силу компенсации средними m k , ср. с (96)). Величина (167) определяет затухание одночастичных состояний и, сле-довательно, скорость релаксации τ − ( E ) . Видно, что спиновая динамика приводит кразмытию логарифмического вклада в сопротивление. Использование, например, про-стого диффузионного приближения для спектральной плотности K q ( ω ) = S ( S + 1) π D s q ω + ( D s q ) , (168)где D s — коэффициент спиновой диффузии, дает δτ − ( E ) = 4 πI ρ S ( S + 1) ln E + ¯ ω W , (169)где ¯ ω = 4 D s k F . Таким образом, в сопротивлении ln T → / ln ( T + ¯ ω ) ≈ ln ( T + a ¯ ω ) , a ∼ .Теперь обсудим термоэдс α ( T ) в решетках Кондо. При достаточно высоких (по срав-нению с T K ) температурах α ( T ) обычно велика и имеет экстремум (максимум при α > ,минимум при α < ). Большие кондовские вклады в α ( T ) соответствуют аномально-му нечетному вкладу в τ − ( E ) [80], который должен возникать, в силу аналитическихсвойств Σ( E ) , из логарифмической особенности в Re Σ( E ) [117]. Хотя такая особенностьотсутствует в обычной проблеме Кондо, она имеется в случае рассеивающего потенци-ала V , который ведет к появлению комплексных множителей V (cid:88) k ( E − t k + i − , (170)которые «перемешивают» (cid:61) Σ и (cid:60) Σ в некогерентном режиме. Спиновая динамика ведетк заменам ln | E | W →
12 ln E + ¯ ω W , sign E → π arctan E ¯ ω , (171)60 (cid:61) Σ и (cid:60) Σ соответственно, и аномальный вклад к α ( T ) имеет вид α ( T ) ∼ I Veρ ( T ) (cid:90) ET ∂f ( E ) ∂E arctan E ¯ ω dE ∼ I Veρ ( T ) T max { T, ¯ ω } . (172)Следовательно, величина ¯ ω играет роль характерного флуктуирующего магнитного по-ля, которое введено в [80], чтобы описать термоэдс разбавленных кондовских систем.Теперь обсудим проблему магнитного упорядочения в решетках Кондо. Долгое вре-мя считалось, что конкуренция межузельного обменного РККИ-взаимодействия и эф-фекта Кондо должна привести к формированию или обычного магнитного упорядо-чения с большими атомными магнитными моментами (как в чистых редкоземельныхметаллах), или немагнитного состояния Кондо с подавленными магнитными момента-ми. Однако затем экспериментальные исследования убедительно продемонстрировали,что магнитное упорядочение и выраженные спиновые флуктуации весьма широко рас-пространены среди систем с тяжелыми фермионами и других аномальных f - и f -соединений, которые обычно рассматриваются как концентрированные кондо-системы.Класс «кондовских» магнетиков характеризуют следующие особенности [8, 129, 130]:1. Логарифмическая температурная зависимость удельного сопротивления при T >T K , присущая кондо-системам.2. Малое значение магнитной энтропии в точке упорядочения по сравнению со значе-нием R ln (2 S +1) , которое соответствует обычным магнетикам с локализованнымимоментами. Это явление связано с подавлением магнитной теплоемкости вслед-ствие эффекта Кондо (экранирования моментов): лишь малая часть измененияэнтропии связана с дальним магнитным порядком.3. Упорядоченный магнитный момент M s мал по сравнению с высокотемпературныммоментом µ eff , найденным из постоянной Кюри. Последний имеет, как правило,нормальное значение, близкое к соответствующему значению для редкоземельногоиона (например µ eff (cid:39) . µ B для иона Ce ). Такое поведение напоминает слабыеколлективизированные магнетики.4. Парамагнитная точка Кюри θ , как правило, отрицательна (даже для ферромаг-нетиков) и заметно превышает по абсолютной величине температуру магнитногоупорядочения, что обязано большому одноузельному кондовскому вкладу в пара-магнитную восприимчивость ( χ ( T = 0) ∼ /T K ). Наиболее яркий пример здесь —кондовский ферромагнетик CeRh B с T C = 115 К, θ = − К [131] и небольшим γ = 16 мДж/(моль · К ) .Существуют многочисленные примеры систем, где кондовские аномалии в термо-динамических и кинетических свойствах сосуществуют с магнитным упорядочением, а61омент насыщения M s имеет величину порядка магнетона Бора. Это ферромагнетикиCePdSb, CeSi x , Sm Sb , Ce Bi , NpAl , антиферромагнетики CeAl , TmS, CeB , UAgCu ;экспериментальные данные и библиография представлены в [8, 130].Что касается «классических» систем с тяжелыми фермионами, здесь положениеболее сложное. Существуют недвусмысленные свидетельства антиферромагнетизма вUCd и U Zn с тем же порядком величины M s [128]. Для соединений UPt и URu Si , M s (cid:39) − · − µ B . Признаки антиферромагнитного упорядочения с очень малым M s также наблюдалось для CeAl , UBe , CeCu Si , CeCu (впрочем, ряд данных для этихсистем подвергались сомнению, см. также обзор [132]).Вообще, типичная особенность тяжелофермионных магнетиков — высокая чувстви-тельность M s к внешним параметрам, таким, как давление и легирование малым коли-чеством примесей. Например, UBe становится антиферромагнитным с заметным M s под давлением P > кбар; напротив, CeAl становится парамагнитным под давлениемвыше P = 3 кбар. Момент в UPt увеличивается до значений порядка одного µ B призамене Pt на Pd или U на Th. Ряд систем с тяжелыми фермионами претерпеваютметамагнитные переходы в слабых магнитных полях с резким увеличением магнитногомомента. Здесь характерно название недавнего обзора П. Коулмена [133]: «Тяжелыефермионы. Электроны на грани магнетизма».Относительные роли эффекта Кондо и межузельного РККИ-взаимодействия за-даются величинами двух энергетических масштабов: температуры Кондо T K = W exp (1 / Iρ ) , которая определяет кроссовер между режимом свободных моментов иобластью сильной связи, и T RKKY ∼ I ρ . Последняя величина имеет порядок темпе-ратуры магнитного упорядочения T M в отсутствие эффекта Кондо. Отношение T K /T M может изменяться в зависимости от внешних параметров и состава системы при леги-ровании.В немагнитном случае T RKKY ∼ ¯ ω , где ¯ ω — характерная частота cпиновых флук-туаций. Для большинства обсуждаемых соединений T K > T RKKY . Однако существу-ют также аномальные магнетики, содержащие церий и уран, с T K (cid:28) T N , напримерCeAl Ga , UAgCu . Этот случай близок к обычным редкоземельным магнетикам, гдеэффект Кондо почти полностью подавлен магнитным упорядочением.Для описания формирования состояния кондовского магнетика рассмотрим поправ-ки теории возмущений к магнитным характеристикам с учетом спиновой динамики.Вычисление магнитной восприимчивости [117] приводит к результату χ = S ( S + 1)3 T (1 − I L ) , L = 1 S ( S + 1) (cid:88) pq (cid:90) K p − q ( ω ) n p (1 − n q )( t q − t p − ω ) dω, (173)где спиновая спектральная плотность определена в (164). Из простой оценки интеграла62 (173) следует χ = S ( S + 1)3 T (cid:18) − I ρ ln W T + ¯ ω (cid:19) , (174)где величина в скобках описывает подавление эффективного момента.Кондовские поправки к магнитному моменту в ферро- и антиферромагнитном со-стояниях получаются с использованием стандартного спин-волнового результата δ ¯ S = − (cid:88) q (cid:104) b † q b q (cid:105) (175)подстановкой поправки к числам заполнения магнонов при нулевой температуре, обу-словленной их затуханием вследствие рассеяния на электронах проводимости. В случаеферромагнетика имеем δ (cid:104) b † q b q (cid:105) = 2 I S (cid:88) k n k ↓ (1 − n k − q ↑ )( t k ↓ − t k − q ↑ − ω q ) . (176)Интегрирование как для ферромагнетика, так и антиферромагнетика дает δ ¯ S/S = − I ρ ln W ¯ ω . (177)Эти поправки к моменту в основном состоянии возникают в любых проводящих маг-нетиках, включая чистые f -металлы. Однако в последнем случае они должны бытьмалы (порядка − ).В целях получения самосогласованной картины для магнетика с заметными кон-довскими перенормировками нужно вычислить поправки к характерным частотам спи-новых флуктуаций ¯ ω . В парамагнитной фазе оценка из поправки второго порядка кдинамической восприимчивости дает [118]: ω q = 43 S ( S + 1) (cid:88) p ( J q − p − J p ) [1 − I L (1 − α q )] . (178)Здесь величина L определена в (173), α q = (cid:88) R J R (cid:18) sin k F Rk F R (cid:19) [1 − cos qR ] (cid:44) (cid:88) R J R [1 − cos qR ] . (179)Поскольку < α q < , эффект Кондо приводит к уменьшению зависимости ¯ ω ( T ) припонижении температуры. В приближении ближайших соседей (с периодом решетки d )для J ( R ) значение α не зависит от q : α q = α = (cid:18) sin k F dk F d (cid:19) . (180)63ычисление поправок к частоте спиновых волн в ферромагнитной и антиферромагнит-ной фазе вследствие магнон-магнонного взаимодействия, а также электрон-магнонногорассеяния также приводит к результату [134] δω q /ω q = − I ρ a ln W ¯ ω , (181)где множитель a зависит от типа магнитного упорядочения.Приведенные результаты теории возмущений дают возможность качественного опи-сания состояния кондо-решетки как магнетика с малым магнитным моментом. Пред-положим, что мы понижаем температуру, стартуя с парамагнитного состояния. Приэтом магнитный момент «компенсируется», но, в отличие от однопримесной ситуации,степень компенсации определяется ( T + ¯ ω ) / вместо T . В то же время сама ¯ ω уменьша-ется согласно (178). Этот процесс не может быть описан аналитически в рамках теориивозмущений. Впрочем, если иметь в виду образование универсального энергетическогомасштаба порядка T K , то нужно выбрать ¯ ω ∼ T K при T < T K . Последний факт под-тверждается большим числом экспериментальных данных относительно квазиупругогонейтронного рассеяния в кондо-системах, которые показывают, что при низких тем-пературах типичная ширина центрального пика Γ ∼ ¯ ω имеет тот же самый порядоквеличины, что и фермиевская температура вырождения, определенная из термодина-мических и кинетических свойств, т. е. T K . Следовательно, процесс компенсации маг-нитного момента завершается где-то на границе области сильной связи и приводит ксостоянию с конечным (хотя, возможно, и малым) моментом насыщения M s .Количественное рассмотрение проблемы магнетизма решеток Кондо может быть вы-полнено в рамках подхода ренормгруппы в простейшей форме андерсоновского «скей-линга для бедных» (poor man scaling) [121]. Результаты теории возмущений позволя-ют записать ренормгрупповые уравнения для эффективного s — f параметра и ¯ ω [134],что достигается рассмотрением интегралов по k с фермиевскими функциями в кондов-ских поправках к электронной собственной энергии (см. разд. 2.1) и частоте спиновыхфлуктуаций. Чтобы построить процедуру скейлинга, нужно выделить вклады от энер-гетического слоя C < E < C + δC около уровня Ферми E F = 0 . Например, в случаеферромагнетика из эффективного расщепления в электронном спектре I eff S = 2 IS − (cid:2) Σ FM k ↑ ( E F ) − Σ FM k ↓ ( E F ) (cid:3) k = k F (182)находим, используя (98), δI eff = I (cid:88) C 0) = ∞ , так что все электроныпроводимости связаны в синглетные состояния и спиновая динамика подавлена.2. Режим «кондовского» магнетика с заметной, но неполной компенсацией магнит-ных моментов, который реализуется в интервале T K < ¯ ω < AT K ( A — число-вой множитель порядка единицы), соответствующем малому интервалу δg ∼ g .В этом интервале перенормированные значения магнитного момента и частотыспиновых флуктуаций S eff (0) и ¯ ω eff (0) увеличиваются от нуля почти до затравоч-ных значений.3. Режим «обычных» магнетиков с малыми логарифмическими поправками к мо-менту основного состояния (см. (177)), возникающий при ¯ ω > AT K .Высокая чувствительность магнитного состояния к внешним факторам, которая об-суждалась выше, объясняется тем, что в случае 2 магнитный момент сильно меняетсяпри малых вариациях затравочного параметра взаимодействия.Критическое значение g c существенно зависит от типа магнитного упорядоченияи структуры магнонного спектра (например, наличия в нем щели), размерности про-странства и др. Таким образом, критерий Дониаха g c (cid:39) . [135], который был получендля простой одномерной модели, вряд ли может быть применимым к реальным си-стемам. В рамках первопринципных расчетов эти проблемы обсуждаются в недавнейработе [136].В рассмотренном приближении результаты для ферро- и антиферромагнитной фазкачественно не отличаются, однако при учете нулевых колебаний в АФМ случае и при65аличии фрустраций возникает более сложная картина. В частности, могут возникатьдва квантовых фазовых перехода с ростом константы связи: первый — из магнитногосостояния в состояние спиновой жидкости с развитым ближним порядком, второй — вкондовское состояние. [137].Разумеется, при рассмотрении квантового магнитного фазового перехода требуетсяболее точный учет магнитных флуктуаций. Для анализа фазовой диаграммы двумер-ной антиферромагнитной решетки Кондо было использовано ε -разложение в методеренормгруппы с использованием нелинейной сигма-модели [138]. Важную роль такжеможет играть изменение топологии поверхности Ферми [139].Описанный механизм формирования магнитного состояния с малым M s внешне ра-дикально отличается от обычного механизма для слабых коллективизированных фер-ромагнетиков, которые, как предполагается, находятся в непосредственной близости кнеустойчивости Стонера. Вспомним, однако, что и энергетический спектр новых ферми-евских квазичастиц, и эффективное взаимодействие между ними претерпевают сильныеперенормировки. Поэтому практически очевидна неприменимость критерия Стонера сзатравочными параметрами для кондовских магнетиков.Так как существует непрерывный переход между сильнокоррелированными кондо-решетками и «стандартными» системами коллективизированных электронов (в частно-сти, обычные паулиевские парамагнетики могут рассматриваться как системы с высо-ким T K — порядка энергии Ферми), возникает вопрос относительно роли, которую мно-гоэлектронные эффекты играют в «классических» слабых зонных магнетиках, подоб-ных ZrZn . Может оказаться, что близость основного состояния к точке стонеровскойнеустойчивости, т. е. малость M s , в последних системах возникает из-за перенормиро-вок параметра взаимодействия и химпотенциала, а не из-за случайных затравочныхзначений N ( E F ) . Действительно, в такую случайность трудно поверить, поскольку от-клонение от граничного условия Стонера U N ( E F ) = 1 является крайне малым.Отметим, что в реальной ситуация необходим учет особенностей ван-Хова, кото-рые как правило имеются в таких системах вблизи E F (в случае гладкой плотностисостояний критерию Стонера не удовлетворить!). Эти особенности могут существенноповлиять на структуру теории возмущений (ср. [140]). При этом скейлинговое поведе-ние будет определяться не только близостью уровня Ферми ( C → ), но и расстоянием ∆ до особенности ван-Хова; в определенных ситуациях возможно ослабление зависимо-сти константы связи от ее затравочного значения. Интересной возможностью являетсяпиннинг (залипание) уровня Ферми у особенности ван-Хова [141].При наличии логарифмической особенности плотности состояний вблизи E F , когда N ( E ) = A ln( W/ | E + ∆ | ) , однопримесный эффект Кондо качественно видоизменяется[142]. В частности, такие системы характеризуются высокими значениями температуры66ондо. При ∆ → имеем T K (cid:39) W exp (cid:34) − (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) AI (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) / (cid:35) . (187)При ∆ ∼ T K имеет кроссовер к обычной зависимости (143). В случае решеток Кондоособенности плотности состояний усиливают подавление момента и частот спиновойдинамики [143].В рассмотренном контексте было бы интересно описать слабые коллективизирован-ные магнетики не с зонной точки зрения, а с точки зрения локальных магнитных момен-тов, которые почти скомпенсированы. Поскольку сейчас уже стало обычным совместнорассматривать решетки Кондо и зонные магнетики [144,145] и трактовать UPt , CeSi x иCeRh B как слабые коллективизированные магнетики (см., например, [146]), то второйподход кажется уже не менее естественным, чем первый.За счет подавления (экранирования) магнитного момента эффект Кондо может при-водить к возникновению экзотических состояний — тяжелой ферми-жидкости или спи-новой жидкости. Выигрыш в энергии немагнитного состояния по сравнению с одно-зонной моделью Хаббарда или моделью Гейзенберга определяется температурой Кондо T K [147]. В свою очередь, тенденция к состоянию спиновой жидкости (образование RVB-синглетов) дает дополнительный выигрыш для кондовского состояния по сравнению смагнитоупорядоченными фазами.Специальное приближение среднего поля для основного состояния кондо-решетки врежиме сильной связи [147] использует псевдофермионное представление для операто-ров локализованных спинов S = 1 / S i = 12 (cid:88) σσ (cid:48) f † iσ σ σσ (cid:48) f iσ (cid:48) (188)с вспомогательным условием f † i ↑ f i ↑ + f † i ↓ f i ↓ = 1 . Используя приближение перевальнойточки для интеграла по траекториям, описывающего спин-фермионную взаимодейству-ющую систему [147], можно свести гамильтониан s — f обменного взаимодействия к эф-фективной гибридизационной модели: − I (cid:88) σσ (cid:48) c † iσ c iσ (cid:48) (cid:18) σ σσ (cid:48) S i − δ σσ (cid:48) (cid:19) → f † i V i c i + c † i V † i f i − I Sp ( V i V † i ) , (189)где введены векторные обозначения f † i = ( f † i ↑ , f † i ↓ ) , c † i = ( c † i ↑ , c † i ↓ ) , а V — эффективнаяматрица гибридизации, определяемая из условия минимума свободной энергии. Коул-мен и Андрей [147] рассмотрели формирование состояния спиновой жидкости в дву-мерной ситуации. Соответствующий энергетический спектр содержит узкие пики плот-ности состояний вследствие псевдофермионного вклада. В рассматриваемой ситуации f -псевдофермионы сами становятся коллективизированными. В итоге формируется так67азываемая большая поверхность Ферми (ПФ). Делокализация f -электронов в системахс тяжелыми фермионами, которая подтверждена наблюдением больших электронныхмасс в экспериментах по эффекту де Гааза—ван Альфена, нетривиальна в s — f обмен-ной модели (в отличие от модели Андерсона с f -состояниями вблизи уровня Ферми,где имеется затравочная s — f гибридизация). Эта делокализация аналогична появле-нию фермиевской ветви возбуждения в теории резонирующих валентных связей (RVB)для высокотемпературных сверхпроводников (см. разд. 1.1).Рис. 6: Схематическая диаграмма кондо-решетки в пространстве параметров кван-товой фрустрации Q и K = T K /J H ( J H — гейзенберговское взаимодействие) [148].(Spin Liquid — спиновая жидкость, VBS metal — валентно-связанное состояние метал-ла, SDW — волна спиновой плотности, Large Fermi Surface — большая поверхностьФерми, Heavy Fermi Liquid — тяжелая ферми-жидкость, Kondo screened PM — кондо-экранированный парамагнетик.) Переход между малой и большой поверхностью Фермиможет также происходить через промежуточную фазу «странного металла»Роль фрустраций в решетках Кондо была детально исследована в работе [148]. Каквидно из рисунка 6, кондовское экранирование уменьшает величину локального мо-мента, уменьшая тем самым критическое значение Q c , необходимое для формированияспиновой жидкости. Граница антиферромагнитной фазы простирается от K = K c накондовской оси до Q = Q c на оси фрустраций. При больших Q и малых K реализу-ется спин-жидкостной металл с локализованными f -электронами и малой ПФ, а прибольших K возникает тяжелая ферми-жидкость с большой ПФ и делокализованными f -электронами.Случай ферро- и антиферромагнитного упорядочения рассмотрен в работах [118,149]. При этом в случае ферромагнетика были получены «полуметаллические» реше-ния, типичные для плотности состояний с резкими пиками (в этом случае энергетически68ыгодна раздвижка спиновых подзон, позволяющая убрать пики с уровня Ферми).В 1990-е годы был открыт еще одни класс f -электронных систем: для ряда соеди-нений и сплавов на основе церия и урана было обнаружено нефермижидкостное пове-дение [150—152]. Оно проявляется в необычном поведении электронной теплоемкостивида T ln T или T − λ , аномальных степенных температурных Зависимостях магнитнойвосприимчивости T ζ с ζ < , сопротивления T µ с µ < и т. д. Часто нефермижид-костное поведение возникает на границе магнитного упорядочения. Для его объясне-ния был предложен ряд механизмов: сингулярное распределение температур Кондо внеоднородных системах, сильные спиновые флуктуации вблизи квантового фазовогоперехода, механизм точек Гриффитса и др. [151]. Как показано в работе [153], доста-точно широкий интервал нефермижикостного поведения возникает в решетках Кон-до при учете затухания спиновых возбуждений либо в случае спиновой динамики сособой спектральной функцией; эти механизмы могут иметь отношение и к описаниютемпературно-индуцированных моментов в слабых зонных магнетиках.Еще один сценарий формирования нефермиевской жидкости был назван фракци-онализованной ферми-жидкостью FL ∗ . В такой фазе заряженные возбуждения имеютобычные квантовые числа (заряд ± e и спин / ), но они сосуществуют с дополнитель-ными дробными степенями свободы.В работах Сачдева и др. [154,155] концепция фракционализованной ферми-жидкостибыла введена для s — d ( f ) обменной модели. В фазе FL ∗ отсутствует кондовское спа-ривание, т. е. конденсация хиггсовского бозона b ( (cid:104) b i (cid:105) = (cid:104) f † i c i (cid:105) = 0 ), однако су-ществует аномальное среднее RVB-типа χ ij = (cid:104) f † i f j (cid:105) . Таким образом, локализован-ные моменты не принимают участие в формировании ПФ (они образуют отдель-ную спинонную ферми-поверхность), но адиабатически связаны со спиновой жид-костью, описываемой калибровочной теорией и обладающей соответствующими эк-зотическими возбуждениями в фазе деконфайнмента. В пространственных размер-ностях d ≥ стабильна спиновая жидкость типа Z , а при d ≥ существу-ет спиновая жидкость U( ). В этой фазе коэффициент электронной теплоемко-сти C/T логарифмически расходится. На фоне такого состояния может возникатьмагнитная неустойчивость для спинонной ПФ — металлическое магнитное состо-яние волны спиновой плотности SDW ∗ , которое может характеризоваться малыммоментом.В состоянии FL ∗ имеются дополнительные низкоэнергетические возбуждения ло-кальных моментов, которые дают добавочный топологический вклад в изменение им-пульса кристалла. Обычно объем поверхности Ферми определяется общим числом элек-тронов в системе. Однако имеется общий топологический анализ [156], основанный на«протаскивании» кванта потока (благодаря циклическим граничным условиям системарассматривается как тор, в контурах которого возникает кристаллический импульс, чтоаналогично появлению силы Фарадея с изменением потока) и глобальной калибровоч-69ой симметрии U( ) (сохранение заряда). Из него следует, что существование немагнит-ного состояния FL ∗ с другим объемом ПФ разрешено, если мы допускаем глобальныетопологические возбуждения. Таким образом, нарушение теоремы Латтинджера долж-но сопровождаться топологическим порядком [154]. Следовательно, формирование ма-лой ПФ, хаббардовского расщепления и состояния с неупорядоченными локальнымимоментами можно связать с топологическим порядком в состоянии спиновой жидко-сти [157]. Заключение Полярная и s — d ( f ) обменная модель были сформулированы еще в первой половинеХХ века. Тем не менее, они продолжают успешно работать в физике твердого тела, нетолько ложась в основу все более сложных и красивых теоретических концепций, но иописывая новые физические явления, открытые экспериментаторами.Многоэлектронные модели оказываются очень полезными с точки зрения микроско-пического описания эффектов сильных корреляций. Такие эффекты являются особеннояркими для некоторых d - и f -соединений. В случае узких зон (сильное кулоновское вза-имодействие) корреляции приводят к радикальной перестройке электронного спектра —формированию хаббардовских подзон. Удобный инструмент для описания атомной ста-тистики возбуждений в данной ситуации — метод многоэлектронных хаббардовскихоператоров (для орбитально вырожденных систем — в сочетании с формализмом уг-лового момента). Ряд проблем здесь еще далеки от решения (например, совмещениезонной и атомной статистики, построение убедительных интерполяционных описаний).Современная теория конденсированного состояния для систем с сильными корре-ляциями оперирует существенно многоэлектронными состояниями. В таких системахМЭ операторы и функции оказываются первичными, а одноэлектронные операторы, вотличие от стандартной процедуры вторичного квантования, возникают при разрывеМЭ струны. Наглядный пример здесь — андерсоновское состояние RVB, где электронразделяется на спинон и голон (частицы, формально возникающие из представленияМЭ оператора, раздел 1.1). Эти частицы возникают при разрыве связанной валентнойпары, а исходно есть только полная волновая функция кристалла. Каждый МЭ опера-тор представляет собой сложный динамический комплекс: в нем как из семени прорас-тают различные операторные произведения — процессы рекомбинации МЭ состояний.Таким образом описываются многочисленные квантовые фазы, которым соответствуютразличные спектры возбуждений и физические модели — теории среднего поля, а флук-туации описываются калибровочными полями, определяющими устойчивость этих фаз.Картина квантовой дальней запутанности (entanglement) меняет наши представленияо структуре пространства-времени и корреляции, делая последнюю нелокальной; это70ущественно связано с топологическими свойствами системы [157].С другой стороны, даже слабое взаимодействие между локализованными и коллек-тивизированными электронами может привести к перестройке электронного спектрапри низких температурах вследствие особенностей резонансного рассеяния в многоча-стичных системах (эффект Кондо).Во многих случаях эффекты корреляции сводятся к перенормировке электронно-го спектра и плотности состояний (например формирование щели гибридизации илирезонанса Абрикосова—Сула в системах с промежуточной валентностью и кондовскихсистемах), так что электронные свойства можно рассчитать феноменологическим спосо-бом с использованием результатов одноэлектронной теории. В то же время в некоторыхситуациях состояние многоэлектронной системы не описывается в рамках обычной ква-зичастичной картины (например, спектр имеет существенно некогерентный характер).Спектр возбуждений сильно коррелированых систем часто описывается в терми-нах вспомогательных ферми- и бозе-операторов, которые соответствуют квазичасти-цам с экзотическими свойствами (нейтральные фермионы, заряженные бозоны и т. д.).Эти идеи широко применяются в связи с необычными спектрами высокотемпературныхсверхпроводников и систем с тяжелыми фермионами. Подобные концепции существен-но обогащают и изменяют (иногда радикально) классические представления теории.Такая картина спектра возбуждений в конденсированных средах дает новый взгляд ина ряд давних проблем физики твердого тела, в частности на проблему коллективи-зированного магнетизма и особенно описания парамагнитного состояния — как сильнокоррелированных, так и обычных систем. Его природа оказывается крайне сложной:она включает сложную топологию и огромную скрытую информацию. Топология ока-зывается существенной и при описании корреляционного (хаббардовского) расщепленияспектра в многоэлектронных системах [45].В своей лекции «Многочастичная физика: незаконченная революция» [158] П. Ко-улмен говорит о трех эрах физики конденсированного состояния: первых успехах послеоткрытия квантовой механики (свободные фермионы), многочастичной физике сере-дины ХХ века (начало изучения коллективных явлений) и современной эре физикисильнокоррелированнной материи («экзотические» системы). В настоящее время такжеактивно обсуждается роль квантовых корреляций, где на первый план выходят топо-логическое вырождение, приводящее к радикальному усложнению основного состояниясистемы [157]. В своем бурном развитии эти направления тесно связаны с другими пе-редовыми отраслями человеческого знания — физикой ядра и элементарных частиц,космологией, квантовыми технологиями, даже биологией [159].71 писок литературы [1] Г. Бете, А. Зоммерфельд, Электронная теория металлов , ОНТИ НКТП СССР.Гостехиздат, Ленинград, Москва (1938).[2] S. Schubin, S. Wonsowsky, Proc. Roy. Soc. A , 159 (1934); S. Shubin, S. Wonsovsky,Phys. Zs. Sowjet. , 292 (1935); , 348 (1936).[3] С. В. Вонсовский, ЖЭТФ , 981 (1946).[4] С. В. Вонсовский, Магнетизм , Наука, Москва (1971).[5] С. П. Шубин, Избранные труды по теоретической физике , УрО АН СССР, Сверд-ловск (1991).[6] A. N. Rubtsov, V. V. Savkin, A. I. Lichtenstein, Phys. Rev. B , 035122 (2005).[7] С. В. Вонсовский, М. И. Кацнельсон, А. В. Трефилов, ФММ , , 3 (1993); , , 3 (1993).[8] В. Ю. Ирхин, Ю. П. Ирхин, Электронная структура, физические свойства икорреляционные эффекты в d - и f -металлах и их соединениях , УрО РАН, Екате-ринбург (2004).[9] Н. Н. Боголюбов, Лекции по квантовой статистике. Избранные труды , Т. 2,Наук. думка, Киев (1970).[10] J. Hubbard, Proc. Roy. Soc. A , 238 (1963).[11] J. Hubbard, Proc. Roy. Soc. A , 237 (1963).[12] J. Hubbard, Proc. Roy. Soc. A , 401 (1964).[13] J. Hubbard, Proc. Roy. Soc. A , 542 (1965).[14] V. Yu. Irkhin, Yu. P. Irkhin, phys. stat. sol. (b) , 9 (1994).[15] Ю. А. Изюмов, М. И. Кацнельсон, Ю. Н. Скрябин, Магнетизм коллективизиро-ванных электронов , Физматлит, Москва (1994).[16] В. Ю. Ирхин, М. И. Кацнельсон, ЖЭТФ , 522 (1985); J. Phys. C: Solid StatePhys. , 4173 (1985).[17] A. O. Anokhin, V. Yu. Irkhin, phys. stat. sol. (b) , 129 (1991).7218] A. O. Anokhin, V. Yu. Irkhin, M. I. Katsnelson, J. Phys. Condens. Matter , 1475(1991).[19] F. C. Zhang, T. M. Rice, Phys. Rev. B , 3759 (1988).[20] S. V. Vonsovsky, M. I. Katsnelson, J. Phys. C: Solid State Phys. , 2043 (1979); J.Phys. C: Solid State Phys. , 2055 (1979).[21] И. И. Собельман, Введение в теорию атомных спектров , Москва, Физматгиз(1963).[22] С. В. Вонсовский, С. В. Грумгржимайло, В. И. Черепанов и др., Теория кри-сталлического поля и оптические спектры примесных ионов с незаполненной d -оболочкой , Наука, Москва (1969).[23] S. Fraga, K. Saxena, J. Karwowski, Handbook of atomic data , Elsevier, Amsterdam(1976).[24] Ю. П. Ирхин, ЖЭТФ , 379 (1966).[25] В. Ю. Ирхин, Ю. П. Ирхин, ФММ , , 49 (1993).[26] Р. О. Зайцев, ЖЭТФ , 2362 (1978).[27] В. М. Жарков, ТМФ , 404 (1984); ТМФ , 262 (1991); ТМФ , 107 (1988);ТМФ , 75 (1992).[28] L. G. Caron, G. W. Pratt, Jr., Rev. Mod. Phys. , 802 (1968).[29] D. Vollhardt, Rev. Mod. Phys. , 99 (1984).[30] P. W. Anderson, Int. J. Mod. Phys. B , 181 (1990).[31] P. A. Lee, N. Nagaosa, X.-G. Wen, Rev. Mod. Phys. , 17 (2006).[32] T. C. Ribeiro, X.-G. Wen, Phys. Rev. B , 155113 (2006).[33] В. Ю. Ирхин, Ю. Н. Скрябин, Письма в ЖЭТФ , 161 (2017).[34] G. Kotliar, A. E. Ruckenstein, Phys. Rev. Lett. , 1362 (1986).[35] Y. R. Wang, Phys. Rev. B , 234 (1995).[36] Ю. А. Изюмов, УФН , 465 (1997).[37] P. Coleman, C. Pepin, J. Hopkinson, Phys. Rev. B , 140411R (2001).7338] В. В. Вальков, С. Г. Овчинников, ТМФ , 466 (1982); В. В. Вальков, Т. А. Валь-кова, ТМФ , 453 (1984).[39] C. Xu, S. Sachdev, Phys. Rev. B 79, 064405 (2009).[40] H. Bethe, Intermediate quantum mechanics , Benjamin, New York (1964).[41] V. Yu. Irkhin, Phys. Rev. B , 13375 (1998).[42] В. Ю. Ирхин, Ю. П. Ирхин, ЖЭТФ , 3868 (1993).[43] V. Yu. Irkhin, M. I. Katsnelson, J. Phys. Condens. Matter , 7151 (1990).[44] D. M. Edwards, J. A. Hertz, J. Phys. F , 2191 (1973).[45] V. Yu. Irkhin, Yu. N. Skryabin, Phys. Lett. A , 2974 (2019).[46] X.-G. Wen, Quantum field theory of many-body systems , Oxford University Press,Oxford, New York (2004).[47] В. Ю. Ирхин, М. И. Кацнельсон, ФММ , 41 (1988).[48] V. Yu. Irkhin, A. V. Zarubin, Eur. Phys. J. B , 563 (2004).[49] V. Yu. Irkhin, A. V. Zarubin, Phys. Rev. B , 035116 (2004); Solid State Phenomena — , 469 (2011).[50] A. Georges, G. Kotliar, W. Krauth, M. J. Rozenberg, Rev. Mod. Phys., 13 (1996).[51] M. Vojta, Rep. Prog. Phys. , 064501 (2018).[52] R. Raimondi, C. Castellani, Phys. Rev. B , 11453(R) (1993)[53] M. I. Katsnelson, S. V. Vonsovskii, J. Magn. Magn. Mat. — , , 275 (1980); S. V.Vonsovsky, V. Yu. Irkhin, M. I. Katsnelson, J. Magn. Magn. Mater., , 309 (1986).[54] M. I. Katsnelson, V. Yu. Irkhin, J. Phys. C: Solid State Phys. , 4291 (1984).[55] V. Yu. Irkhin, A. M. Entelis, J. Phys. Condens. Matter , 4111 (1989).[56] Н. Ф. Мотт, Переход металл—изолятор , Наука, Москва (1979).[57] Т. Мория, Спиновые флуктуации в магнетиках с коллективизированными элек-тронами , Мир, Москва (1988).[58] M. A. Timirgazin, P. A. Igoshev, V. F. Gilmutdinov, A. K. Arzhnikov, V. Yu. Irkhin,J. Phys. Condens. Matter , 446002 (2015).7459] M. A. Timirgazin, P. A. Igoshev, A. K. Arzhnikov, V. Yu. Irkhin, J. Low. Temp. Phys. , 651 (2016).[60] П. А. Игошев, В. Ю. Ирхин, ЖЭТФ , 1072 (2019).[61] M. I. Auslender, V. Yu. Irkhin, M. I. Katsnelson, J. Phys. C: Solid State Phys. ,5521 (1988).[62] Л. А. Максимов, К. А. Кикоин, ФММ , 43 (1969).[63] Y. Nagaoka, Phys. Rev. , 392 (1966).[64] Д. И. Хомский, ФММ , 31 (1970).[65] P. B. Vissher, Phys. Rev. B , 943 (1974).[66] P. A. Igoshev, M. A. Timirgazin, A. A. Katanin, A. K. Arzhnikov, V. Yu. Irkhin, Phys.Rev. B , 094407 (2010).[67] Э. Л. Нагаев, Физика магнитных полупроводников , Наука, Москва (1979).[68] D. C. Mattis, The theory of magnetism , Harper and Row, New York (1965).[69] V. Yu. Irkhin, M. I. Katsnelson, A. V. Trefilov, J. Phys. Condens. Matter , 8763(1993).[70] H. S. Jarrett, W. H. Cloud, R. J. Bouchard, S. R. Butler, C. G. Frederick, J. L. Gillson,Phys. Rev. Lett. , 617 (1968).[71] В. Ю. Ирхин, М. И. Кацнельсон, УФН , 705 (1994).[72] M. I. Katsnelson, V. Yu. Irkhin, L. Chioncel, A. I. Lichtenstein, R. A. de Groot, Rev.Mod. Phys. , 315 (2008).[73] V. Yu. Irkhin, M. I. Katsnelson, A. I. Lichtenstein, J. Phys. Condens. Matter ,315201 (2007).[74] K. Schwarz, O. Mohn, P. Blaha, J. Kuebler, J. Phys. F: Met. Phys. , 2659 (1984).[75] S. S. Jaswal, Phys. Rev. B , 9697 (1990); B. I. Min, J.-S. Kang, J. H. Hong et al.,Phys. Rev. B , 6217 (1993).[76] С. В. Вонсовский, Е. А. Туров, ЖЭТФ , 419 (1953).[77] J. B. Goodenough, Phys. Rev. , 67 (1960).7578] A. A. Katanin, A. I. Poteryaev, A. V. Efremov et al., Phys. Rev. B , 045117 (2010).[79] S. V. Vonsovsky, B. V. Karpenko, Handbuch der physik , (1968) S. 265.[80] J. Kondo, Solid state physics , Vol. 23, Eds. F. Seitz, D. Turnbull, H. Ehrenreich,Academic Press, New York (1969), P. 183.[81] Э. Л. Нагаев, УФН , 529 (1995); УФН , 61 (1989); E. L. Nagaev, Phys. Rep. , 387 (2001).[82] Ю. А. Изюмов, Ю. Н. Скрябин, УФН , 121 (2001).[83] K. G. Wilson, Rev. Mod. Phys. , 773 (1975).[84] A. M. Tsvelick, P. B. Wiegmann, Adv. Phys. , 745 (1983).[85] P. Monthoux, A. V. Balatsky, D. Pines, Phys. Rev. B , 119 (2003).[86] A. A. Katanin, V. Yu. Irkhin, Phys. Rev. B , 115129 (2008).[87] Д. И. Хомский, УФН , 443 (1979).[88] Н. Б. Брандт, В. В. Мощалков, УФН , 585 (1986).[89] J. M. Lawrence, P. S. Riseborough, R. D. Parks, Rep. Progr. Phys. , 1 (1981).[90] P. Coleman, Phys. Rev. B , 3035 (1984).[91] В. Ю. Ирхин, М. И. Кацнельсон, ЖЭТФ , 1080 (1986); Solid State Commun. ,881 (1986); Письма ЖЭТФ , 358 (2004).[92] П. Б. Вигман, А. М. Финкельштейн, ЖЭТФ , 205 (1978).[93] M. I. Auslender, V. Yu. Irkhin, M. I. Katsnelson, J. Phys. C: Solid State Phys. , 669(1984).[94] M. I. Auslender, V. Yu. Irkhin, J. Phys. C: Solid State Phys. , 3533 (1985).[95] V. Yu. Irkhin, M. I. Katsnelson, Phys. Rev. B , 054421 (2005).[96] V. Yu. Irkhin, M. I. Katsnelson, J. Phys. Condens. Matter , 6439 (1991).[97] A. A. Katanin, A. P. Kampf, V. Yu. Irkhin, Phys. Rev. B , 085105 (2005).[98] В. Ю. Ирхин, ФММ , 260 (1987). 7699] M. Sh. Erukhimov, S. G. Ovchinnikov, phys. stat. sol. (b) , 105 (1984).[100] P. B. Wiegmann, Phys. Rev. Lett. , 821 (1988); Y. Chen, D. Foerster, P. Larkin,Phys. Rev. B , 5370 (1992).[101] C. L. Kane, P. A. Lee, N. Read, Phys. Rev. B , 6880 (1989).[102] Е. А. Туров, Изв. АН СССР (сер. физ.) , 474 (1955).[103] T. Kasuya, Progr. Theor. Phys. , 227 (1959).[104] M. J. Otto, R. A. M. van Woerden, P. J. van der Valk et al., J. Phys. Condens. Matter , 2351 (1989).[105] V. Yu. Irkhin, M. I. Katsnelson, Eur. Phys. J. B , 481 (2002).[106] R. V. Colvin, S. Arajs, phys. stat. sol. , 37 (1964).[107] V. Yu. Irkhin, M. I. Katsnelson, Phys. Rev. B , 6181 (1995); Phys. Rev. B , 5647(2000).[108] В. В. Дружинин, Ю. П. Ирхин, ЖЭТФ , 1856 (1966); Ю. П. Ирхин, В. В.Дружинин, А. А. Kазаков, ЖЭТФ , 1183 (1968).[109] B. Coqblin, The electronic structure of rare earth metals and alloys , Academic Press,New York (1977).[110] Ю. П. Ирхин, УФН , 321 (1988).[111] С. В. Вонсовский, М. С. Свирский, ЖЭТФ, , 682 (1965).[112] V. Yu. Irkhin, M. I. Katsnelson, Z. Phys. B , 371 (1988).[113] V. Yu. Irkhin, M. I. Katsnelson, A. V. Trefilov, Europhys. Lett. , 649 (1991); ЖЭТФ , 1733 (1994).[114] N. Andrei, K. Furuya, J. H. Loewenstein, Rev. Mod. Phys. , 331 (1983).[115] S. E. Barnes, Phys. Rev. B , 3209 (1986).[116] В. Ю. Ирхин, Ю. П. Ирхин, ЖЭТФ , 616 (1995).[117] V. Yu. Irkhin, M. I. Katsnelson, Z. Phys. B , 67 (1989).[118] V. Yu. Irkhin, M. I. Katsnelson, Z. Phys. B , 77 (1991).[119] S. V. Vonsovsky, V. Yu. Irkhin, M. I. Katsnelson, Physica B , 135 (1991).77120] P. J. Nozieres, Low Temp. Phys. , 31 (1974).[121] P. W. Anderson, J. Phys. C: Solid State Phys. , 2436 (1970).[122] P. Nozieres, A. Blandin, J. de Phys. , 193 (1980).[123] Ю. П. Ирхин, ФТТ , 1202 (1988).[124] К. А. Кикоин, Л. А. Максимов, ЖЭТФ , 2184 (1970).[125] Y. Ono, T. Matsuura, Y. Kuroda, Physica C , 878 (1989).[126] W. F. Brinkman, S. Engelsberg, Phys. Rev. , 417 (1968).[127] P. Fulde, M. Loewenhaupt, Adv. Phys. , 589 (1985).[128] G. R. Stewart, Rev. Mod. Phys. , 755 (1984).[129] В. Ю. Ирхин, М. И. Кацнельсон, ФММ , 16 (1991).[130] В. Ю. Ирхин, УФН , 801 (2017).[131] M. Kasaya, A. Okabe, T. Takahashi et al., J. Magn. Magn. Mater. — , 347 (1988).[132] H. v. L¨ohneysen, A. Rosch, M. Vojta, P. W¨olfle, Rev. Mod. Phys. , 1015 (2007).[133] P. Coleman, Handbook of magnetism and advanced magnetic materials. Fundamentalsand theory , Vol. 1, Eds. H. Kronmuller, S. Parkin, Wiley (2007), P. 95; cond-mat/0612006.[134] V. Yu. Irkhin, M. I. Katsnelson, Phys. Rev. B , 8109 (1997); Phys. Rev. B , 9348(1999).[135] S. Doniach, Physica B , 231 (1977).[136] M. Matsumoto, M. J. Han, J. Otsuki, S. Y. Savrasov, Phys. Rev. Lett. , 096403(2009).[137] V. Yu. Irkhin, J. Phys. Condens. Matter , 125601 (2020).[138] T. T. Ong, B. A. Jones, Phys. Rev.Lett. , 066405 (2009).[139] S. J. Yamamoto, Q. Si, Phys. Rev. Lett. , 016401 (2007).[140] П. А. Игошев, А. А. Катанин, В. Ю. Ирхин, ЖЭТФ , 1187 (2007).[141] V. Yu. Irkhin, A. A. Katanin, M. I. Katsnelson, Phys. Rev. Lett. , 076401 (2002)78142] A. K. Zhuravlev, V. Yu. Irkhin, Phys. Rev. B , 245111 (2011); A. K. Zhuravlev, A.O. Anokhin, V. Yu. Irkhin, Phys. Lett. A , 528 (2018).[143] V. Yu. Irkhin, J. Phys. Condens. Matter , 065602 (2011).[144] F. J. Ohkawa, Phys. Rev. B , 174424 (2002).[145] M. Vojta, Phys. Rev. B , 125109 (2008).[146] S. K. Dhar, K. A. Gschneidner, Jr., W. H. Lee, P. Klavins, R. N. Shelton, Phys. Rev.B , 341 (1987).[147] P. Coleman, N. Andrei, J. Phys. Condens. Matter , 4057 (1989).[148] P. Coleman, A. H. Nevidomskyy, J. Low Temp. Phys. , 182 (2010).[149] V.Yu. Irkhin, Eur. Phys. J. B. , 117 (2016).[150] M. B. Maple et al., J. Low Temp. Phys. , 225 (1994); J. Low Temp. Phys. , 223(1995).[151] Proc. Conf. on non-Fermi-liquid behaviour in metal (Santa-Barbara, 1995) , J. Phys.Condens. Matter , 9675 (1996).[152] G. R. Stewart, Rev. Mod. Phys. , 797 (2001); Rev. Mod. Phys. , 743 (2006).[153] V. Yu. Irkhin, M. I. Katsnelson, Phys. Rev. B , 14640 (2000).[154] T. Senthil, M. Vojta, S. Sachdev, Phys. Rev. B , 035111 (2004).[155] T. Senthil, M. Vojta, S. Sachdev, Physica B - , 9 (2005).[156] M. Oshikawa, Phys. Rev. Lett. , 3370 (2000).[157] В. Ю. Ирхин, Ю. Н. Скрябин, ФММ , 563 (2019).[158] P. Coleman, Many body physics: Unfinished revolution , Ann. Henri Poincare , Suppl. 2,S559 (2003); cond-mat/0307004.[159] N. Goldenfeld, C. Woese, Ann. Rev. Cond. Mat. Phys.2