Alguns Teoremas do Tipo Valor Médio: de Lagrange a Malesevic
aa r X i v : . [ m a t h . HO ] J a n ALGUNS TEOREMAS DO TIPO VALOR MÉDIO: DE LAGRANGE A MALESEVIC
MARCELO BONGARTI E GERMAN LOZADA-CRUZR
ESUMO . Nosso objetivo neste trabalho é apresentar alguns teoremas do tipo valor médio que não são estudadosem disciplinas clássicas de cálculo e análise matemática. Trata-se de teoremas simples e de grande aplicabilidadena análise matemática (por exemplo no estudo de equações funcionais, operadores integrais, etc), matemáticacomputacional, economia e outras áreas.
1. I
NTRODUÇÃO
Dos teoremas clássicos da análise matemática, o teorema do valor médio se destaca por sua simplicidade evasta aplicabilidade. É, sem dúvida, um dos resultados mais conhecidos pela comunidade matemática, e, semfavor algum, um dos tijolos que constituem os alicerces do Cálculo e da Análise Matemática como um todo.O objetivo deste artigo é apresentar uma gama de outros teoremas do tipo valor médio que somam-se aoclássico e que também são de altíssima aplicabilidade, simplicidade e contribuem para o avanço da Matemática.Atualmente existem diversas maneiras para abordar o teorema do valor médio, cada qual ligada a algumameta específica a qual se pretende chegar. Neste caso, como queremos um panorama acerca dos diferentesteoremas do tipo valor médio, utilizaremos a abordagem clássica.Nossa história começa em 1691 quando Rolle usou técnicas do Cálculo diferencial e integral para provar oseguinte resultado, nosso primeiro teorema do tipo valor médio: Teorema 1.1 (Teorema de Rolle) . Seja f : [ a, b ] → R uma função contínua em [ a, b ] e diferenciável em ( a, b ) .Se f ( a ) = f ( b ) , então, existe c ∈ ( a, b ) tal que f ′ ( c ) = 0 , isto é, a reta tangente ao gráfico de f no ponto ( c, f ( c )) é horizontal. Ainda que Rolle tenha sido merecidamente homenageado pela formalização do resultado, é interessantecomentar que Bhaskara II , demonstrou um caso particular do teorema de Rolle muito tempo antes, emborasem pouca ou nenhuma formalidade.O teorema de Rolle ficou mais conhecido depois que Drobisch usou o termo pela primeira vez em 1834,seguido por Bellavitis em 1846. Maiores detalhes podem ser encontrados em [2].O teorema do tipo valor médio mais famoso da história é o teorema do valor médio de Lagrange: Teorema 1.2 (Teorema do valor médio de Lagrange) . Se f : [ a, b ] → R é uma função contínua em [ a, b ] ederivável em ( a, b ) , então existe c ∈ ( a, b ) tal que f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b − a . Este resultado foi inicialmente descoberto por Lagrange , que o demonstrou sem, inicialmente, fazer mençãoao teorema de Rolle. Entretanto, a dedução mais conhecida tem como ideia principal a aplicação do teoremade Rolle à função auxiliar ϕ ( x ) = f ( x ) − (cid:20) f ( b ) − f ( a ) b − a ( x − a ) + f ( a ) (cid:21) , Data: 07 de janeiro de 2021 (Data da publicação do artigo).
Palavras chave.
Teorema de Lagrange, Teorema de Flett, Condição de Tong, Condição de Malesevic. Michel Rolle (1652-1719), matemático francês. Bhaskara Akaria (1114-1185), matemático indiano. Moritz Wilhelm Drobisch (1802-1896), matemático alemão. Giusto Bellavitis (1803-1880), matemático italiano Joseph Louis Lagrange (1736-1813), matemático italiano. lguns teoremas do tipo valor médio: de Lagrange a Malesevic 4e esta foi feita por Bonnet . Publicamente, o teorema do valor médio de Lagrange foi citado pela primeira vezem um trabalho do renomado físico Ampére . Para maiores detalhes, a referência [16] pode ser consultada.Geometricamente, o teorema do valor médio de Lagrange diz que existe um ponto c dentro do intervalo ( a, b ) , tal que a reta tangente ao gráfico de f no ponto ( c, f ( c )) é paralela à reta secante que passa pelos pontos ( a, f ( a )) e ( b, f ( b )) .Fisicamente, o teorema do valor médio de Lagrange garante que se uma partícula possui uma trajetória suave ( t, f ( t )) no intervalo de tempo [ a, b ] , então existirá um instante t c ∈ ( a, b ) tal que a velocidade instantânea dapartícula (em t = t c ) coincide com a velocidade média de todo o percurso.Motivado por esta aplicação, Cauchy se perguntou o que poderia ser dito a respeito de uma partícula detrajetória suave ( f ( t ) , g ( t )) no intervalo de tempo [ a, b ] . Então, Cauchy aplicou o teorema de Rolle à função ϕ ( x ) = [ g ( b ) − g ( a )] f ( x ) − [ f ( b ) − f ( a )] g ( x ) e o resultado foi o que conhecemos hoje por Teorema do valor médio de Cauchy . Teorema 1.3 (Teorema do valor médio de Cauchy) . Se f, g : [ a, b ] → R são funções contínuas em [ a, b ] ederiváveis em ( a, b ) , então existe c ∈ ( a, b ) tal que f ′ ( c )[ g ( b ) − g ( a )] = g ′ ( c )[ f ( b ) − f ( a )] . Geometricamente, o teorema do valor médio de Cauchy garante que dada uma trajetória suave ( f ( t ) , g ( t )) com t ∈ [ a, b ] , existirá c ∈ ( a, b ) de tal forma que a reta tangente à trajetória no ponto ( f ( c ) , g ( c )) é paralela àreta que passa pelos pontos ( f ( a ) , g ( a )) e ( f ( b ) , g ( b )) .As demonstrações detalhadas dos teoremas do tipo valor médio discutidos nesta seção podem ser encontradasem [1, Teorema 6.2.4 e Teorema 6.3.2] ou em [16, Teorema 2.2 e Teorema 2.17]. O leitor interessado emvariações do teorema de Lagrange pode consultar [6]. Para variações e aplicações do teorema de Cauchy,recomendamos [7] e [8] 2. T EOREMA DE F LETT E SUAS VARIAÇÕES
O teorema a seguir é uma versão do clássico teorema do valor médio para integrais e a partir de observaçõesacerca dele que nasce a motivação para o teorema do tipo valor médio que abordaremos a seguir.
Teorema 2.1. Se f : [ a, b ] → R é uma função contínua, então existe η ∈ [ a, b ] tal que b Z a f ( x ) dx = f ( η )( b − a ) . A demonstração do Teorema 2.1 pode ser encontrada em [16, Teorema 7.1].Considere, agora, uma função g : [ a, b ] → R como no Teorema 2.1, então existe ξ ∈ ( a, b ) tal que g ( ξ ) = 1 b − a b Z a g ( t ) dt. Além disso, se considerarmos uma tal função g , contínua, e tal que g ( a ) = 0 , b Z a g ( t ) dt = 0 , e definirmos a função ϕ ( x ) = x − a x R a g ( t ) dt, x ∈ ( a, b ]0 , x = a, Pierre Ossian Bonnet (1819-1892),matemático francês. André-Marie Ampére (1775-1836), físico francês. Augustine-Louis Cauchy (1789-1857), matemático francês.
M.Bongarti e G.Lozada-Cruzteremos, então, pelo teorema de Rolle, uma vez que ϕ é contínua em [ a, b ] , derivável em ( a, b ) e ϕ ( a ) = 0 = ϕ ( b ) , que existe ξ ∈ ( a, b ) tal que ϕ ′ ( ξ ) = 0 .Mas, se x ∈ ( a, b ) , ϕ ′ ( x ) = − x − a ) x R a g ( t ) dt + g ( x ) x − a .Assim, existe ξ ∈ ( a, b ) tal que(1) g ( ξ ) = 1 ξ − a ξ Z a g ( t ) dt. Note que (1) é exatamente o teorema do valor médio para integrais com a substituição de b por ξ . Olhandorapidamente para o teorema fundamental do cálculo, podemos escrever a equação (1) da seguinte forma:(2) G ′ ( ξ ) = G ( ξ ) − G ( a ) ξ − a onde G é uma primitiva de g , ou seja, G ′ = g. Neste sentido, dada uma função g , é natural nos perguntarmos se podemos trocar a condição de que b R a g ( t ) dt = 0 simplesmente por g ( b ) = 0 . A seguir, como uma consequência do teorema do valor intermediário,vemos que é possível. Estas observações foram feitas por Flett e o resultado (de 1958) leva o seu nome comohomenagem.O teorema de Flett (veja [4]) é uma variação do teorema de Rolle onde a condição f ( a ) = f ( b ) foi substituídapor f ′ ( a ) = f ′ ( b ) . Por este motivo, dizemos que o teorema de Flett é um teorema do tipo de Lagrange comuma condição do tipo Rolle, ou simplesmente, teorema do tipo valor médio com uma condição do tipo Rolle. Teorema 2.2 (Teorema do valor médio de Flett [4]) . Seja f : [ a, b ] → R uma função diferenciável em [ a, b ] com f ′ ( a ) = f ′ ( b ) . Então, existe ξ ∈ ( a, b ) tal que f ′ ( ξ ) = f ( ξ ) − f ( a ) ξ − a . (3) Demonstração.
Sem perda de generalidade podemos supor f ′ ( a ) = f ′ ( b ) = 0 , pois caso contrário fazemos ψ ( x ) = f ( x ) − xf ′ ( a ) e daí teremos ψ ′ ( a ) = ψ ′ ( b ) = 0 . Definamos a função ϕ : [ a, b ] → R dada por ϕ ( x ) = f ( x ) − f ( a ) x − a , x ∈ ( a, b ] f ′ ( a ) , x = a. A função ϕ é contínua em [ a, b ] , derivável em ( a, b ] e para x ∈ ( a, b ) , ϕ ′ ( x ) = f ′ ( x ) x − a − ϕ ( x ) x − a . Observe que, ϕ ( a ) = 0 . Se ϕ ( b ) = 0 , pelo teorema de Rolle existe ξ ∈ ( a, b ) tal que ϕ ′ ( ξ ) = 0 e o teoremaestá provado.Suponhamos ϕ ( b ) = 0 . Se ϕ ( b ) > , segue que ϕ ′ ( b ) = f ′ ( b ) − ϕ ( b ) b − a = − ϕ ( b ) b − a < . Logo, para ǫ > suficientemente pequeno existe x ∈ ( b − ǫ, b ) tal que ϕ ( b ) < ϕ ( x ) . Como ϕ é contínuaem ( a, x ) e ϕ ( a ) < ϕ ( b ) < ϕ ( x ) , segue do teorema do valor intermediário, que existe η ∈ ( a, x ) talque ϕ ( η ) = ϕ ( b ) . E então, do teorema de Rolle aplicado ao intervalo [ η, b ] , existe ξ ∈ ( η, b ) ⊂ ( a, b ) tal que ϕ ′ ( ξ ) = 0 , isto é, f ′ ( ξ ) = f ( ξ ) − f ( a ) ξ − a . O caso ϕ ( b ) < é análogo. (cid:3) Thomas Muirhead Flett (1923-1976), matemático britânico. lguns teoremas do tipo valor médio: de Lagrange a Malesevic 6F
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1. Interpretação geométrica do teorema de FlettGeometricamente, o teorema de Flett diz que se uma curva ( t, f ( t )) é suave no intervalo [ a, b ] e as retastangentes nos extremos ( a, f ( a )) e ( b, f ( b )) são paralelas, então, existe um ponto ξ ∈ ( a, b ) de modo que a retatangente ao gráfico de f que passa por ( ξ, f ( ξ )) também passa por ( a, f ( a )) , como podemos ver na Figura 1.Por outro lado, do ponto de vista cinemático, Flett concluiu que, se as velocidades inicial e final de umapartícula com trajetória ( t, f ( t )) suave no intervalo de tempo [ a, b ] forem iguais, então, existe um momento t j ∈ ( a, b ) tal que a velocidade instantânea da partícula neste instante, é exatamente a velocidade média dopercurso até o instante t j .Por comodidade, dada uma função f : [ a, b ] → R , chamaremos o ponto ξ ∈ ( a, b ) tal que satisfaz aconclusão do teorema de Flett simplesmente de ponto de Flett .Um exemplo básico para exemplificar o uso do teorema de Flett pode ser dado quando consideramos a função f : [ − , → R dada por f ( x ) = x + 2 x − . Como f é um polinômio segue que f é derivável em [ − , eusando (3) vemos fácilmente que um ξ = 1 ∈ ( − , é um ponto de Flett de f .A seguir trataremos brevemente dos resultados apresentados por R. Meyers em 1977. Estes apresentamvariações do teorema de Flett. As interpretações geométricas e físicas são análogas às interpretações do teoremade Flett, portanto, não serão verbalmente discutidas nesta seção. Teorema 2.3 ([13, Teorema ′ ]) . Seja f : [ a, b ] −→ R uma função diferenciável em [ a, b ] com f ′ ( a ) = f ′ ( b ) .Então, existe ξ ∈ ( a, b ) tal que f ′ ( ξ ) = f ( b ) − f ( ξ ) b − ξ . Teorema 2.4 ([13, Teorema 2]) . Seja f : [ a, b ] −→ R uma função diferenciável em [ a, b ] com f ′ ( a ) = f ′ ( b ) .Então, existe ξ ∈ ( a, b ) tal que f ′ ( ξ ) = f ( b ) − f ( ξ ) ξ − a . Teorema 2.5 ([13, Teorema ′ ]) . Seja f : [ a, b ] −→ R uma função diferenciável em [ a, b ] com f ′ ( a ) = f ′ ( b ) .Então, existe ξ ∈ ( a, b ) tal que f ′ ( ξ ) = f ( ξ ) − f ( a ) b − ξ . M.Bongarti e G.Lozada-CruzF
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2. Interpretação geométrica Teorema 2.3
Teorema 2.6 ([13, Teorema 3]) . Se f é diferenciável e f ′ é contínua em [ a, b ] e [ f ( b ) − f ( a )][ f ( b ) − f ( a ) − ( b − a ) f ′ ( b )] < . Então, existe ξ ∈ ( a, b ) tal que f ′ ( ξ ) = f ( b ) − f ( a ) ξ − a . Teorema 2.7 ([13, Teorema ′ ]) . Se f é diferenciável e f ′ é contínua em [ a, b ] e [ f ( b ) − f ( a )][ f ( b ) − f ( a ) − ( b − a ) f ′ ( a )] < . Então, existe ξ ∈ ( a, b ) tal que f ′ ( ξ ) = f ( b ) − f ( a ) b − ξ . Teorema 2.8 ([13, Teorema 4]) . Se f é diferenciável e f ′ é contínua em [ a, b ] e f ′ ( a )[ f ( b ) − f ( a ) − ( b − a ) f ′ ( b )] > . Então, existe ξ ∈ ( a, b ) tal que f ′ ( ξ ) = f ( ξ ) − f ( a ) b − a . Teorema 2.9 ([13, Teorema ′ ]) . Se f é diferenciável e f ′ é contínua em [ a, b ] e f ′ ( b )[ f ( b ) − f ( a ) − ( b − a ) f ′ ( a )] > . Então, existe ξ ∈ ( a, b ) tal que f ′ ( ξ ) = f ( b ) − f ( ξ ) b − a . F IGURA
3. Interpretação geométrica Teorema 2.4lguns teoremas do tipo valor médio: de Lagrange a Malesevic 8F
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4. Interpretação geométrica Teorema 2.53. E
XISTÊNCIA DE P ONTOS DE F LETT
O assunto discutido nessa seção tem motivação no exemplo a seguir.Seja [ a, b ] um intervalo fechado que contém o no seu interior e considere a função f : [ a, b ] −→ R dadapor f ( x ) = | x | , que não é diferenciável em x = 0 , entretanto, supondo que a < x < temos, f ( x ) − f ( a ) x − a = | x | − | a | x − a = − x + ax − a = − f ′ ( x ) , ∀ x ∈ ( a, . Portanto, existem infinitos pontos de Flett em ( a, ⊂ ( a, b ) .Este exemplo mostra que o conjunto das funções que satisfazem as hipóteses do teorema de Flett estáestritamente contido no conjunto das funções que têm um ponto de Flett. Portanto, é natural perguntarmosque outras condições suficientes existem que garantam a existência de pontos de Flett.Originalmente, em 1958, T.M. Flett demonstrou que pontos de Flett existem sob as hipóteses de que f sejadiferenciável no intervalo fechado [ a, b ] e que f ′ ( a ) = f ′ ( b ) . Mas esta não é a única.Os primeiros estudos sobre os resultados de T.M Flett e suas generalizações foram feitos em pelomatemático Donald. H. Trahan em 1966 (ver [18]). Ele deu uma nova condição para a existência de um pontode Flett através de algumas desigualdades, usando uma comparação entre a inclinação da reta secante ao gráficoda função f : [ a, b ] → R passando pelos extremos ( a, f ( a )) e ( b, f ( b )) e a inclinação das retas tangentes aográfico passando pelos mesmos.Os seguintes resultados são necessários para a compreensão da condição de Trahan. Lema 3.1 ([18, Lema 1]) . Se f : [ a, b ] → R é uma função contínua, diferenciável em ( a, b ] e f ′ ( b )[ f ( b ) − f ( a )] , então existe c ∈ ( a, b ] tal que f ′ ( c ) = 0 . Lema 3.2 ([18, Lema 2]) . Se f : [ a, b ] → R é uma função contínua, diferenciável em ( a, b ] e f ′ ( b )[ f ( b ) − f ( a )] < , existe c ∈ ( a, b ) tal que f ′ ( c ) = 0 . Observe que os Lemas 3.1 e 3.2 são generalizações do Teorema de Rolle.
Teorema 3.1 ( Condição de Trahan [18]) . Seja f : [ a, b ] → R uma função diferenciável e tal que (4) (cid:0) f ′ ( b ) − f ( b ) − f ( a ) b − a (cid:1)(cid:0) f ′ ( a ) − f ( b ) − f ( a ) b − a (cid:1) > . Então, existe um ponto de Flett em ( a, b ] . Demonstração.
Considere a função ϕ : [ a, b ] → R definida por ϕ ( x ) = f ( x ) − f ( a ) x − a , x ∈ ( a, b ] f ′ ( a ) , x = a M.Bongarti e G.Lozada-CruzObserve que ϕ é contínua em [ a, b ] , é diferenciável em ( a, b ] e que ϕ ′ ( b )[ ϕ ( b ) − ϕ ( a )] . Logo, pelo Lema 3.1, existe ξ ∈ ( a, b ) tal que ϕ ′ ( ξ ) = 0 , o que significa que f ′ ( ξ ) = f ( ξ ) − f ′ ( a ) ξ − a , ou seja, ξ é um ponto de Flett em ( a, b ] . (cid:3) No exemplo a seguir, temos uma função que não satisfaz a condição de Flett, mas satisfaz a de Trahan epossui, portanto, um ponto de Flett.
Exemplo 3.1.
Considere a função f : [ − , → R dada por f ( x ) = x .Note que f é diferenciável e que f ′ ( − ) = f ′ (1) , logo, f não satisfaz a condição de Flett.No entanto, f satisfaz a condição de Trahan e, portanto, possui um ponto de Flett, a saber ξ = ∈ (cid:0) − , (cid:3) . Outra condição suficiente para a existência de um ponto de Flett foi provada por J. Tong em [17]. Um pontointeressante desta condição é que Tong só exige a diferenciabilidade de f em ( a, b ) , mas usa os conceitos demédia aritmética de f , M ( f ) := f ( a )+ f ( b )2 e média de f , I ( f ) := b − a b R a f ( t ) dt . Teorema 3.2 ( Condição de Tong [17, Teorema 2]) . Seja f : [ a, b ] → R uma função contínua em [ a, b ] ediferenciável em ( a, b ) . Se M ( f ) = I ( f ) então, f admite um ponto de Flett em ( a, b ) . Demonstração.
Basta observar que a função h dada por h : [ a, b ] → [ a, b ] x h ( x ) = f ( x )+ f ( a )2 ( x − a ) − x R a f ( t ) dt. é contínua em [ a, b ] e diferenciável em ( a, b ) com derivada h ′ ( x ) = 12 f ′ ( x )( x − a ) + 12 ( f ( x ) + f ( a )) − f ( x ) . Como h ( a ) = 0 e M ( f ) = I ( f ) , segue que h ( b ) = 0 . Agora, usando o teorema de Rolle obtemos a conclusãodo eorema. (cid:3) O exemplo a seguir traz uma função que não satisfaz a condição de Flett, nem de Trahan, mas satisfaz a deTong.
Exemplo 3.2.
Considere a função f ( x ) = arcsin x sobre o intervalo [ − , . Note que f não satisfaz a condição de Flett, nem a de Trahan, pois não é diferenciável nos extremos. Noentanto, um cálculo simples usando integração por partes garante que M ( f ) = I ( f ) , o que prova que afunção arcsin x satisfaz a condição de Tong no intervalo [ − , e que, portanto, possui um ponto de Flett. A terceira condição se deve ao matemático B. Malesevic e é feita em termos de uma função infinitesimal.Para tanto, seja f : [ a, b ] ∈ R uma função diferenciável em [ a, b ] e diferenciável um número arbitrário devezes numa vizinhança à direita do ponto x = a .Considere a expansão de Taylor de ordem um, com resto, dado por f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a )( x − a ) + ϕ ( x )( x − a ) , onde lim x → a + ϕ ( x ) = 0 . Então, definimos a função ϕ : [ a, b ] ∈ R por(5) ϕ ( x ) = f ( x ) − f ( a ) x − a − f ′ ( a ) , x ∈ ( a, b ]0 , x = a. A partir desta função ϕ Malesevic demonstrou o seguinte resultado:lguns teoremas do tipo valor médio: de Lagrange a Malesevic 10
Teorema 3.3 (Condição de Malesevic [11]) . Seja f : [ a, b ] → R é uma função diferenciável e ϕ como em (5) .Se uma das seguinte condições T : ϕ ′ ( b ) ϕ ( b ) < e M : ϕ ′ ( a ) ϕ ( b ) < é satisfeita, então f possui um ponto de Flett. Demonstração.
Se a condição T é satisfeita então ϕ ′ ( b )[ ϕ ( b ) − ϕ ( a )] < . Logo, do Lema 3.2 existe ξ ∈ ( a, b ) tal que ϕ ′ ( ξ ) = 0 , i.e., ξ − a (cid:0) f ′ ( ξ ) − f ( ξ ) − f ( a ) ξ − a (cid:1) = 0 ⇔ f ′ ( ξ ) = f ( ξ ) − f ( a ) ξ − a , Agora se a condição M é satisfeita então ϕ ′ ( a ) (cid:2) ϕ ( b ) − ϕ ( a ) (cid:3) < . Logo, do Corolário 3 do Teorema 2em [12] existe ξ ∈ ( a, b ) tal que ϕ ′ ( ξ ) = 0 , i.e., ξ − a (cid:0) f ′ ( ξ ) − f ( ξ ) − f ( a ) ξ − a (cid:1) = 0 ⇔ f ′ ( ξ ) = f ( ξ ) − f ( a ) ξ − a . (cid:3) Observação 3.1.
Se ambas as condições T e M do Teorema . são satisfeitas, então existem dois pontos ( distintos ) de Flett. ( veja [12] ) . A relação entre funções que satisfazem as condições de Flett, Trahan, Tong e Malesevic é representada naFigura 5.Observe que ∆ = ∅ , uma vez que f ( x ) = sgn( x ) é uma função que não satisfaz nenhuma das condições,pois não é diferenciável em ( a, b ) para qualquer intervalo [ a, b ] da reta, que contenha o zero. Entretanto, possuiinfinitos pontos de Flett.Analogamente, (i) f ( x ) = x , x ∈ [ − , está em ∆ . (ii) f ( x ) = sin( x ) , x ∈ (cid:2) − π , π (cid:3) está em ∆ . (iii) f ( x ) = x , x ∈ (cid:2) − , (cid:3) está em ∆ . (iv) f ( x ) = arcsin( x ) , x ∈ [ − , está em ∆ .Prova-se que todos os conjuntos ∆ i , i = 1 , , ..., são não vazios, mas a confecção de exemplos para i = 4 , , , , , e fogem ao objetivo deste trabalho e por isso não serão discutidos aqui.Maiores detalhes das demonstrações e exemplos vistos nesta seção, sugerimos a referência [5].F IGURA
5. Relação entre as condições de Flett, Tong, Trahan e Malesevic1 M.Bongarti e G.Lozada-Cruz4. G
ENERALIZAÇÕES E A PLICAÇÕES
Algumas Generalizações.
A seguir trataremos de algumas generalizações e consequências do teoremade Flett. O teorema abaixo foi demonstrado em 1998. Este resultado é uma generalização do teorema de Flettque não exige a condição tipo Rolle, nesse caso o resultado é mais geral. Note que nos dois teoremas a seguir,o caso em que f ′ ( a ) = f ′ ( b ) é exatamente o teorema de Flett. Teorema 4.1 ( Riedel-Sahoo [16, Teorema 5.2]) . Se f : [ a, b ] → R é diferenciável em [ a, b ] , então, existe ξ ∈ ( a, b ) tal que f ( ξ ) − f ( a ) = ( ξ − a ) f ′ ( ξ ) − f ′ ( b ) − f ′ ( a ) b − a ( ξ − a ) . (6) Demonstração.
Definamos a função ϕ : [ a, b ] → R por ϕ ( x ) = f ( x ) − f ′ ( b ) − f ′ ( a ) b − a ( x − a ) . Fácilmente vemos que f é diferenciável em [ a, b ] e ϕ ′ ( x ) = f ′ ( x ) − f ′ ( b ) − f ′ ( a ) b − a ( x − a ) . Como ϕ ′ ( a ) = f ′ ( a ) = ϕ ′ ( b ) , segue do teorema de Flett que existe ξ ∈ ( a, b ) tal que ϕ ′ ( ξ ) = ϕ ( ξ ) − ϕ ( a ) ξ − a . Portanto, existe ξ ∈ ( a, b ) tal que a equação (6) é satisfeita, o que prova o teorema. (cid:3) Inspirados, então, pela afirmação do Teorema 2.3, demonstra-se o resultado abaixo.
Teorema 4.2 ([3, Teorema 2.1]) . Se f : [ a, b ] → R é diferenciável em [ a, b ] , então, existe ξ ∈ ( a, b ) tal que f ( b ) − f ( ξ ) = ( b − ξ ) f ′ ( ξ ) + 12 f ′ ( b ) − f ′ ( a ) b − a ( b − ξ ) . O resultado abaixo é também uma generalização do teorema de Flett com outra condição do tipo Rolle f ′′ ( a ) = f ′′ ( b ) . Teorema 4.3 ([15, Exercício 5.3.11(b)]) . Seja f : [ a, b ] → R duas vezes diferenciável e tal que f ′′ ( a ) = f ′′ ( b ) .Então, existe ξ ∈ ( a, b ) tal que f ( ξ ) − f ( a ) = ( ξ − a ) f ′ ( ξ ) − ( ξ − a ) f ′′ ( ξ ) . O resultado abaixo é análogo ao Teorema anterior, também com a condição do tipo Rolle f ′′ ( a ) = f ′′ ( b ) . Teorema 4.4.
Seja f : [ a, b ] −→ R duas vezes diferenciável e tal que f ′′ ( a ) = f ′′ ( b ) . Então, existe ξ ∈ ( a, b ) tal que f ( b ) − f ( ξ ) = ( b − ξ ) f ′ ( ξ ) − ( b − ξ ) f ′′ ( ξ ) . A demonstração do Teorema 4.4 é análoga à demonstração do Teorema 4.3 e portanto deixamos comoexercício para o leitor.Os Teoremas 2.2 e 4.3 foram generalizados por I. Pawlikowska em [14] para funções n vezes diferenciáveis,com a condição do tipo Rolle f ( n ) ( a ) = f ( n ) ( b ) . Teorema 4.5 ([14, Lema 2.2]) . Seja f : [ a, b ] → R n vezes diferenciável e tal que f ( n ) ( a ) = f ( n ) ( b ) . Então,existe ξ ∈ ( a, b ) tal que f ( ξ ) − f ( a ) = n X i =1 ( − i +1 i ! ( ξ − a ) i f ( i ) ( ξ ) . lguns teoremas do tipo valor médio: de Lagrange a Malesevic 124.2. Algumas Aplicações.
A seguir vamos apresentar algumas aplicações do teorema de Flett. Vamos tratar,principalmente, dos trabalhos feitos por C. Lupu e T. Lupu em [9] e por C. Lupu em [10].O objetivo desta seção é apresentar algumas propriedades importantes sobre alguns operadores integrais,como o de Volterra.Lembremos que C ([0 , denota o conjunto das funções contínuas reias definidas em [0 , e C ([0 , é oconjunto de todas as funções reais continuamente diferenciáveis definidas no mesmo intervalo.Definamos operadores T, S : C ([0 , → C ([0 , por ( T ϕ )( t ) = ϕ ( t ) − t Z ϕ ( x ) dx ( Sψ )( t ) = tψ ( t ) − t Z xψ ( x ) dx. As seguintes propriedades valem para os operadores T e S . Teorema 4.6 ([9, Teorema 2.11]) . Se f, g : [0 , → R são funções contínuas, então existem ξ , ξ , ξ ∈ (0 , tal que Z f ( x ) dx ( T g )( ξ ) = Z g ( x ) dx ( T f )( ξ )( T f )( ξ ) = ( Sf )( ξ ) Z f ( x ) dx ( Sg )( ξ ) = Z g ( x ) dx ( Sf )( ξ ) . Teorema 4.7 ([9, Teorema 2.12]) . Se f, g : [0 , → R são funções contínuas, então existem ξ , ξ ∈ (0 , talque Z (1 − x ) f ( x ) dx ( T g )( ξ ) = Z (1 − x ) g ( x ) dx ( T f )( ξ ) Z (1 − x ) f ( x ) dx ( Sg )( ξ ) = Z (1 − x ) g ( x ) dx ( Sf )( ξ ) . As demonstrações dos Teoremas 4.6 e 4.7 encontram-se com detalhes em [9, Teorema 2.11 e Teorema 2.12].O seguinte resultado é a versão equivalente do teorema do valor médio de Flett para o teorema do valormédio de Cauchy e é criticamente utilizado para obter os resultados seguintes.
Teorema 4.8 ([10, Lema 2.1]) . Sejam f, g : [ a, b ] → R funções diferenciáveis em [ a, b ] com g ′ ( x ) = 0 paratodo x ∈ [ a, b ] e f ′ ( a ) g ′ ( a ) = f ′ ( b ) g ′ ( b ) . Então, existe ξ ∈ ( a, b ) tal que f ( ξ ) − f ( a ) g ( ξ ) − g ( a ) = f ′ ( ξ ) g ′ ( ξ ) . Denotemos por L ((0 , o espaço vetorial das funções reais quadrado integráveis a Lebesgue sobre (0 , ,i.e., L ((0 , (cid:26) f : (0 , → R : f é Lebesgue mensurável e b Z a f ( x ) dx < ∞ (cid:27) . Observemos que para funções contínuas no intervalo (0 , a integral de Lebesgue e de Riemann coincidem,logo podemos pensar num primeiro momento no espaço L ((0 , como sendo o espaço das funções contínuas3 M.Bongarti e G.Lozada-Cruzem (0 , cujo quadrado é Riemann integrável em (0 , . Mais ainda, o espaço L ((0 , é um espaço vetorialnormado com a norma k f k L ((0 , = (cid:18)Z ba f ( x ) dx (cid:19) / , f ∈ L ((0 , . Definição 4.1 (Operador de Volterra) . Sejam f ∈ L ((0 , e x ∈ (0 , . Definimos o operador de Volterra, V , por V : L ((0 , → L ((0 , f → V ( f )( x ) = x R f ( t ) dt. Sejam Ψ , φ : [0 , → R funções sendo Ψ contínua e φ diferenciável com φ ′ ( x ) = 0 para todo x ∈ (0 , .Definimos o operador do tipo Volterra com peso V φ Ψ( t ) = t Z φ ( x )Ψ( x ) dx. No que segue, definimos os espaços C ([ a, b ]) := (cid:8) φ ∈ C ([ a, b ]) , φ ′ ( x ) = 0 , x ∈ [ a, b ] , φ ( a ) = 0 (cid:9) e C nula ([ a, b ]) := n f ∈ C ([ a, b ]) : b Z a f ( x ) dx = 0 o . Teorema 4.9.
Seja f ∈ C nula ([ a, b ]) e g ∈ C ([ a, b ]) , com g ′ ( x ) = 0 para todo x ∈ [ a, b ] . Então, existe ξ ∈ ( a, b ) tal que V g f ( ξ ) = g ( a ) · V f ( ξ ) . Demonstração.
Consideremos as funções ϕ, η : [ a, b ] → R dadas por ϕ ( t ) = t Z a f ( x ) g ( x ) dx − g ( t ) t Z a f ( x ) dx e η ( t ) = g ( t ) . Como ϕ é diferenciável segue que ϕ ′ ( t ) = f ( t ) g ( t ) − (cid:16) g ′ ( t ) t Z a f ( x ) dx + g ( t ) f ( t ) (cid:17) = − g ′ ( t ) t Z a f ( x ) dx. Observe que ϕ ′ ( a ) = 0 , assim ϕ ′ ( a ) η ′ ( a ) = 0 .Por outro lado, ϕ ′ ( b ) = − g ′ ( b ) b R a f ( x ) dx = 0 pois f ∈ C nula ([ a, b ]) , e daí, ϕ ′ ( b ) η ′ ( b ) = 0 . Logo, do Teorema 4.8 segue que existe ξ ∈ ( a, b ) tal que ϕ ( ξ ) − ϕ ( a ) η ( ξ ) − η ( a ) = ϕ ′ ( ξ ) η ′ ( ξ ) . Equivalentemente ξ R a f ( x ) g ( x ) dx − g ( ξ ) ξ R a f ( x ) dxg ( ξ ) − g ( a ) = − g ′ ( ξ ) ξ R a f ( x ) dxg ′ ( ξ ) . lguns teoremas do tipo valor médio: de Lagrange a Malesevic 14Disso segue que ξ Z a f ( x ) g ( x ) dx = g ( a ) ξ Z a f ( x ) dx. (cid:3) Teorema 4.10. Se f, g são funções reais contínuas em [0 , e φ ∈ C ([0 , , então existe ξ ∈ (0 , tal que V φ f ( ξ ) Z g ( x ) dx − V φ g ( ξ ) Z f ( x ) dx = φ (0) (cid:18) V f ( ξ ) Z g ( x ) dx − V g ( ξ ) Z f ( x ) dx (cid:19) . Os detalhes da demonstração do Teorema 4.10 podem ser encontrados em [10, Teorema 2.4]. Além disso,algumas observações a respeito deste teorema são pertinentes: ( i ) Se φ (0) = 0 então existe ξ ∈ (0 , tal que V φ f ( ξ ) Z g ( x ) dx = V φ g ( ξ ) Z f ( x ) dx ; Em particular se φ ( x ) = x , existe ξ ∈ (0 , tal que Z f ( x ) dx ξ Z xg ( x ) dx = Z g ( x ) dx ξ Z xf ( x ) dx. ( ii ) Considere o espaço L com peso dado por L φ (0 , ξ ) = n u : (0 , ξ ) → R : Z ξ u ( x ) φ ( x ) dx < ∞ o e equipado com a norma k u k L φ (0 ,ξ ) = (cid:18)Z ξ u ( x ) φ ( x ) dx (cid:19) / , u ∈ L φ (0 , ξ ) . Substituindo f e g por f e g temos que existe ξ ∈ (0 , tal que V φ f ( ξ ) Z g ( x ) dx − V φ g ( ξ ) Z f ( x ) dx = φ (0) V f ( ξ ) Z g ( x ) dx − V g ( ξ ) Z f ( x ) dx , ou seja, || f || L φ (0 ,ξ ) || g || L (0 , − || g || L φ (0 ,ξ ) || f || L (0 , = φ (0) (cid:0) || f || L (0 ,ξ ) || g || L (0 , − || g || L (0 ,ξ ) || f || L (0 , (cid:1) . Desta última igualdade, se φ (0) = 0 , obtemos(7) || f || L φ (0 ,ξ ) || g || L (0 , = || g || L φ (0 ,ξ ) || f || L (0 , . || f || L φ (0 ,ξ ) || g || L φ (0 ,ξ ) = || f || L (0 , || g || L (0 , , concluímos a seguinte propriedade interessante: dadas duas funções f, g que tem normas iguais ( ouproporcionais ) em L (0 , , e se for dada uma função peso não constante φ , então existe um número ξ ∈ (0 , onde as normas das funções serão iguais ( ou proporcionais ) em L φ (0 , ξ ) .5. P ROBLEMAS EM ABERTO
O estudo de condições necessárias e suficientes para a existência de pontos de Flett (veja seção 2) não é, atéonde sabemos, completo. Recorde que a função f ( x ) = sgn ( x ) pertence ao conjunto ∆ (veja a Figura 5),portanto, não satisfaz nenhuma das condições discutidas anteriormente. No entanto, possui infinitos pontos deFlett. Esta observação, sozinha, torna natural três perguntas, ainda não respondidas na literatura: Pergunta 5.1.
Além das apresentadas neste trabalho, existem outras condições suficientes para a existênciade pontos de Flett?
Pergunta 5.2.
Existe uma condição necessária para a existência de pontos de Flett?
Pergunta 5.3.
Assumindo que uma função possua pelo menos um ponto de Flett. Sob quais condições esteseria único?
Agradecimentos:
Os autores agradecem ao parecerista pelos comentários e observações, que ajudaram amelhorar de maneira significativa a apresentação deste trabalho.Este trabalho é fruto da Iniciação Científica realizada pelo primeiro autor, quem agradece o apoio da FAPESPatravés do Processo 2013/03866-9. R
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