EEIN BRIEF VON EISENSTEINS ELTERN AN GAUSS
FRANZ LEMMERMEYER
Constantin und Helene Eisenstein, die Eltern von Gotthold Eisen-stein, haben sich nach dem Tod ihres Sohnes brieflich bei Gauss be-dankt. Dieser Brief ist inzwischen online gestellt. Hier wollen wir eineTranskription des Briefes geben, sowie den mathematisch interessan-ten Teil der Anlage, n¨amlich einen bisher unver¨offentlichten Beweis desquadratischen Reziprozit¨atsgesetzes mit Hilfe der Tangensfunktion.1. Der Brief von Eisensteins Eltern an Gauß
AnS[eine]r Hochwohlgeborenden Herrn Geheimen-HofrathProfessor Dr GaussZu G¨ottingen Berlin den 12tn November 1852.Hochwohlgeborner Herr!Wenn gleich Herr Professor D r Encke die G¨ute gehabt hat IhnenHochgeehrter Herr das Ableben unseres Sohnes Dr Gotthold Eisen-stein zur Zeit anzuzeigen; so bewegt uns doch die Pflicht der Dank-barkeit, einige Zeilen an den Wohlth¨ater und Meister unseres KindesEhrfurchtsvoll zu richten.Mit traurigem Herzen wiederholen wir Ihnen, daß unser vielgelieb-tes letztes Kind (dem F¨unf voraus gegangen sind) Ferdinand GottholdMaximilian Eisenstein Dr der Phylosophie etc geboren zu Berlin am16tn April 1823, am 11tn October 1852. fr¨uh 1/4 vor 6 Uhr in Folgevon Nervenabzehrung gestorben ist. Unser Schmerz ist groß! Doch hatder Allm¨achtige wohlgethan, denn er war sein ganzes Leben hindurchleidend und war es uns Eltern von der Vorsehung nicht beschieden ihmein sorgenfreies Leben bereiten zu k¨onnen, wodurch er auch von dieserSeite stets bedr¨angt war. Siehe https://gauss.adw-goe.de/handle/gauss/2588? . Erstellt mit freundlicher Unterst¨utzung durch Menso Folkerts, dem ich daf¨urherzlich danke. Ebenso herzlich danke ich Peter Ullrich f¨ur Kommentare undKorrekturen. a r X i v : . [ m a t h . HO ] J a n FRANZ LEMMERMEYER
Die v¨aterliche Theilnahme die Sie Hochgeehrter Meister an unsermSohne pers¨onlich und die Anerkenntniße an seinen Leistungen habenihn oft in tr¨uben Stunden aufgerichtet und wieder frisch an’s Werkgehen lassen. Wir statten Ihnen daf¨ur unsern herzlichsten Dank ab.Welcher Idial Meister Sie ihm waren, l¨aßt sich mit Worten nicht aus-sprechen! Ihre liebevollen Briefe die Sie an ihn gerichtet, sind in unsernH¨anden und sollen uns als theures Andenken von Ihnen HochgeehrterHerr verbleiben.Das beikommende Buch hatte f¨ur ihn keinen anderen Namen alsmein Gauss, daher bitten wir Sie, dasselbe mit seinen Anmerkungenund Einlagen, wie wir es nach seinem Ableben vorgefunden haben,hochgeneigst als Andenken an ihn annehmen zu wollen. Auch erlaubenwir uns, Ihnen seine letzte Academische Abhandlung und Antrittsre-de beizulegen, wie auch einige mathematische Arbeiten welche seineletzten waren, und wenige Wochen vor seinem Tode ihm aus der Federgeflossen sind. Wir haben in seinem Nachlasse sehr viele mathemati-sche Arbeiten gefunden in welchen manche sch¨one Gedanken enthaltensein d¨urften.M¨oge der Allm¨achtige Ewr. Hochwohlgeboren noch lange in IhrenWirkungskreise gesund erhalten dieses w¨unschend von ganzem Herzendie Sie HochverehrendeEltern des VerstorbenenConstantin Eisenstein undHelene EisensteinNeue Gr¨unstraße N o Der Beweis des quadratischen Reziprozit¨atsgesetzes
Den analogen Beweis f¨ur das die quadratischen Reste in der reellenTheorie betreffende Fundamentaltheorem mit H¨ulfe der Kreisfunktio-nen will ich hier noch beif¨ugen.(cos x + i sin x ) q = cos qx + i sin qx = m = q (cid:88) m =0 i m q m cos x q − m sin x m tang qx = (cid:80) n = q − n =0 ( − n q n +1 cos x q − n − sin x n +1 (cid:80) n = q − n =0 ( − n q n cos x q − n sin x n = (cid:80) ( − n q n +1 tang x n +1 (cid:80) ( − n q n tang x n , IN BRIEF VON EISENSTEINS ELTERN AN GAUSS 3 welches sich, wenn q eine ungerade Primzahl bedeutet, auf die Formbringen l¨aßt: qφ (tang x ) + ( − q − tang x q − qψ (tang x ) tang x, wo φ und ψ ganze Funktionen von tang x mit ganzen Coefficientensind.Sei p eine von q verschiedene ungerade Primzahl, dann hat manebensotang px = tang x p − p ( p − p − · · tang x + . . . + ( − p − tang x p − − p ( p − · tang x + . . . + ( − p − p tang x p − . Die Wurzeln der Gleichung( − p − Z p − + . . . + p = 0sind dann offenbar in der Formel enthalten tang ρωp , wenn ρ ein vollst¨andi-ges Restsystem (mod p ) mit Ausschluß der Null durchl¨auft, und ω = 2 π ist. Man hat hiernach (cid:89) tang ρωp = ( − p − p. (Die Multiplication links bezieht sich auf alle ρ .)Die Werthe von ρ lassen sich folgendermaßen gruppieren: r − r r − r ... · · · r p − − r p − Hieraus schließt man(1) (cid:89) (cid:16) tang rωp (cid:17) = p.r bedeutet den Inbegriff der Zahlen r , r , . . . , r p − .Die Gr¨oßen (tang rωp ) sind die Wurzeln einer Gleichung mit ganzenCoefficienten ( − p − Z p − + . . . + p = 0 , also ist jede symmetrische Verbindung dieser Gr¨oßen einer ganzen Zahlgleich.Multipliciert man alle r mit q , so hat man entweder qr ≡ r (cid:48) oder qr ≡ − r (cid:48) (mod p ), wo r (cid:48) sich jedesmal unter den r befindet. Nach FRANZ LEMMERMEYER diesen beiden F¨allen hat man resp.tang qrωp = tang r (cid:48) ωp oder = − tang r (cid:48) ωp also in beiden F¨allen qr ≡ r (cid:48) tang qrωp tang r (cid:48) ωp (mod p ) , und da alle r (cid:48) alle r ersch¨opfen, so schließt man hieraus q p − (cid:89) ( r ) ≡ (cid:89) ( r ) (cid:89) (cid:26) tang qrωp tang rωp (cid:27) (mod p ) . (cid:16) qp (cid:17) = (cid:89) (cid:26) tang qrωp tang rωp (cid:27) (mod p )Aber nach dem Obigen isttang qx tang x = qφ (tang x ) + ( − q − tang x q − qψ (tang x ) , also (cid:89) (cid:26) tang qrωp tang rωp (cid:27) = (cid:89) (cid:0) qφ ( { tang rωp } ) + ( − q − (tang rωp ) q − (cid:1) qψ ( { tang rωp } )= qP + ( − p − q − (cid:81) { tang rωp } q − qQ = qP + ( − p − q − p q − qQ nach (1)also (cid:16) qp (cid:17) = qP + ( − p − q − p q − qQ , woraus unmittelbar das Reciprocit¨atsgesetz folgt.Die Werthe von P und Q k¨onnen ¨ubrigens direct hingeschrieben wer-den, wenn man die symmetrischen Funktionen, welche sie darstellen,nach dem Newtonschen Theorem in den Coefficienten der Gleichungausdr¨uckt. Sie werden hiernach Aggregate von Binomialkoefficienten.¨Ahnliches gilt f¨ur das biquad. Fundamentaltheorem, nur kennt manhier noch nicht das allgemeine Gesetz der Coefficienten in den Multi-plicationsformeln. Letztere Coefficienten, die ich durch A , A , . . . be-zeichnet habe, scheinen einiger Aufmerksamkeit w¨urdig zu sein. Ichhabe bloß gefunden, daß wenn man m = a + bi setzt, die in Rede ste-henden Coefficienten durchaus nicht ganze Funktionen von m , sondern IN BRIEF VON EISENSTEINS ELTERN AN GAUSS 5 vielmehr Funktionen der beiden getrennten Variablen a und b sind. Ei-niges ¨uber die Natur dieser Coefficienten kann man aus dem Umstandeschließen, daß der µ te Coeff. im Z¨ahler und der µ te im Nenner gleich-zeitig verschwinden m¨ussen f¨ur alle zusammengeh¨origen Werthe von a und b , die a + b < µ + 1 machen.G. Eisenstein26. Januar, 45.Das cubische Reciprocit¨atsgesetz habe ich aus dem Integrale der Dif-ferentialgleichung ∂y (cid:112) − y = (cid:110) a + b − √− (cid:111) ∂x √ − x abgeleitet. 2. Kommentare
Neben den oben transkribierten Teilen des Briefes samt Anlagen istnur noch der folgende kleine Ausschnitt interessant:
Ich darf fast gar nicht sprechen, weil ich zu sehr husteund seit 8 Tagen schon 3 mal eine Menge Blut ausge-worfen habe. Sie k¨onnen deshalb immer bei mir bleibenund mir etwas erz¨ahlen.Ich habe schon 1 Nacht draußen in Bethanien geschla-fen, aber es war zu unruhig. Mitten in der Nacht sprangein Bierpropfen aus der Flasche etc Sp¨ater jetzt bin ichzu schwach
Eisenstein wurde Ende Juli 1852, wie Biermann auf S. 927 von Ei-sensteins Werken schreibt, nach einem Blutsturz f¨ur einige Tage in derHeilanstalt Bethanien untergebracht. Vermutlich stammen diese Zeilenaus dieser Zeit. An wen diese Zeilen adressiert waren, bleibt unklar.
FRANZ LEMMERMEYER
Kommentare zum Brief.
Eisensteins Eltern haben Gauss als An-denken das Exemplar seiner Disquisitiones geschenkt. Egon Ullrich, der1925 in Graz bei Anton Rella promoviert hatte, hat das Buch in der Bi-bliothek des mathematischen Instituts in Gießen entdeckt; es geh¨ortezu den B¨uchern aus dem Nachlass von Eugen Netto. 1979 hat Ben-no Artmann diese Information an Andr´e Weil weitergegeben, der 1976Eisensteins Werke besprochen und ein Buch ¨uber Eisensteins Zugangzu elliptischen Funktionen ver¨offentlicht hatte. In [23, S. 463] speku-liert er, dass Eisensteins Exemplar ¨uber den gemeinsamen Lehrer vonEisenstein und Netto, Karl Heinrich Schellbach, an Netto gekommensein k¨onnte, aber Peter Ullrich (siehe [21, insbes. S. 206–207] und [22])bemerkt, dass Netto das Buch von einem wenig mathematik-affinenBuchh¨andler gekauft haben muss. Man wird wohl annehmen m¨ussen,dass Ernst Schering, der den Gaußschen Nachlass geordnet und die Her-ausgabe der Gaußschen Werke bis zu seinem eigenen Tod geleitet hat,etwas damit zu tun gehabt hat. Warum Schering, der zahlentheoretischdurchaus bewandert war und sich ausf¨uhrlich mit Beweisen des quadra-tischen Reziprozit¨atsgesetzes befasst hat, das Eisensteinsche Exemplarweggegeben haben k¨onnte, bleibt dabei ein R¨atsel. Auch was aus denmathematischen Arbeiten geworden ist, welche Eisensteins Eltern demBrief beigelegt haben, muss offen bleiben; die Antrittsrede zu seinerWahl in die Berliner Akademie, die Eisenstein am 1. Juli 1852 gehaltenhat, ist in Band II seiner Werke abgedruckt.Die angesprochenen Gaußschen ”Anerkenntniße an seinen Leistun-gen“ waren f¨ur den jungen Eisenstein sicherlich eine große Motivation;auf der anderen Seite haben diese bei seinen Zeitgenossen f¨ur manch-mal unverhohlenen Neid gesorgt. So schreibt Riemann am 23. Juli 1847in einem Brief an seinen Vater ([17, S. 94]), Eisenstein habe sich ”beiGauß in Gunst zu setzen gewußt und er ist von diesem an Alexandervon Humboldt empfohlen.“Stein des Anstoßes war wohl der Brief vom 9. Juli 1845 von Gaußan von Humboldt; dort erkl¨art Gauß, dass er zwar Dirichlet f¨ur denOrden
Pour le m´erite vorgeschlagen habe, dass ihm diese Wahl aberschwergefallen sei:
Sollte jene Injunction aber ganz buchst¨ablich genommenwerden m¨ussen, nemlich unabh¨angig von jeder R¨uck-sicht, also auch von der, ob einige Aussicht sei, daß demVorschlage, wie ungew¨ohnlich er auch sei, Folge gege-ben werden k¨onne, so bekenne ich, daß mir die Wahlzwischen Herrn Dirichlet und Herrn Eisenstein schwer
IN BRIEF VON EISENSTEINS ELTERN AN GAUSS 7 geworden sein w¨urde, da die Arbeiten des letztern in vol-lem Maße dasselbe Pr¨adicament verdienen, wie die deserstern.
Jacobi l¨asst daraufhin seine alte Arbeit aus dem Jahre 1837 ¨uber Kreis-teilung in Crelles Journal wieder abdrucken und f¨ugt eine Fußnote hin-zu, in welcher er Eisenstein des Plagiats bezichtigt: zum Einen soll ersich der Kollegienhefte zu Jacobis Vorlesung ¨uber Zahlentheorie be-dient haben, zum andern stimme einer von Eisensteins Beweisen desquadratischen Reziprozit¨atsgesetzes mit seinem eigenen ¨uberein, denLegendre in seine Zahlentheorie aufgenommen habe. Auch Cauchy hatdiesen Beweis (mehr oder weniger zeitgleich mit Jacobi) ver¨offentlicht,und keinem der dreien ist aufgefallen, dass es sich dabei im Wesent-lichen um den sechsten Gaußschen Beweis handelt; erst Gauß hat Ei-senstein dies in seinem Brief vom 23. Juni 1844 an Encke (siehe [24])wissen lassen:
An der Art wie er sich ¨uber die bisherigen Beweise ¨außert,m¨ochte ich fast vermuthen daß ihm das, was im XVIIBand der Pariser Memoires S. 454 steht nicht bekanntgeworden ist. Mir selbst ist dieser Band erst in diesenTagen zu Gesicht gekommen, und die te Edition vonLegendre ”Th´eorie des Nombres“, auf welche seine Stel-le Bezug nimmt, habe ich ¨uberall noch nicht gesehen.Machen Sie doch Herrn Eisenstein auf diese Stelle auf-merksam, ¨uber welche ich ¨ubrigens seinem Urtheile nichtvorzugreifen brauche.
Offenbar hat es Jacobi nicht bei dieser Aktion belassen: In einemBrief an Olfers schreibt Humboldt: Da ich bestimmt weiß, daß Jacobi und selbst Encke aufdie liebloseste Weise dem jungen blutarmen Mathema-tiker Eisenstein beim Minister Eichhorn zu schaden ge-sucht, so habe ich mir die s¨uße Freude gemacht, beideneinen neuen Brief von Gauß zu schicken, in dem verbo-tenus steht (14. April 1846):Ob ich gleich voraussetzen darf, daß meine Empfeh-lung dem in Berlin lebenden jungen Mathematiker Doc-tor Eisenstein, eines Mannes, den ich sehr hochsch¨atze,bei Ihrer Regierung ganz ¨uberfl¨ussig ist, so will ich doch [18, S. 105–106]. Lateinisch f¨ur wortw¨ortlich.
FRANZ LEMMERMEYER nicht unterlassen, es auszusprechen, daß ich seine Be-gabung wie eine solche betrachte, welche die Natur injedem Jahrhundert nur wenigen erteilt.
Humboldt f¨ahrt fort, Jacobi habe seitdem ausgesprochen, daß Gauß ganz herunter und ver-standesschwach geworden sei, daß Herr Eisenstein janicht daran denken m¨usse, sich hier als Privatdozent zuhabilitieren, sondern nach Halle, oder nach Bonn gehenm¨usse!!!
Kommentar zum Beweis des Reziprozit¨atsgesetzes.
Der obenvorgestellte Beweis Eisensteins f¨ur das quadratische Reziprozit¨atsgesetzunterscheidet sich nur formal von seinem bekannten Beweis mit Hilfeder Sinusfunktion (siehe [3]). Der wesentliche Unterschied der beidenBeweise liegt darin begr¨undet, dass sin( qx ) f¨ur ungerade Werte von q ein Polynom in sin x ist, w¨ahrend tan( qx ) eine rationale Funktion vontan x ist – der Grund daf¨ur ist, dass die Sinusfunktion eine ganze Funk-tion ist, w¨ahrend die Tangensfunktion Pole besitzt. Der EisensteinscheBeweis des biquadratischen Reziprozit¨atsgesetzes mit Hilfe elliptischerFunktionen ist daher n¨aher am Beweis mit der Tangensfunktion, dennelliptische Funktionen haben zwangsl¨aufig Pole.Eisenstein spielt am Ende des § C in seinen Kongru-enzen: Will man die Konstante C vermeiden, muss man sichdes Tangens anstatt des Sinus bedienen. Koschmieder hat einen solchen Beweis mit Hilfe der Tangensfunktionin [10] gegeben und dar¨uber am 20. September 1961 in Oberwolfachvorgetragen; im Tagungsbericht steht dazu:
Eisenstein hat im Crelle Journal 29 (1845) einen Beweisdes quadratischen Reziprozit¨atsgesetzes gegeben, bei demer eine transzendente Hilfsfunktion benutzt, n¨amlich dieMultiplikation des Sinus herangezogen hat. Er bemerktdazu, daß der Beweis noch glatter liefe, wenn man stattdes Sinus den Tangens gebrauchte. Bisher scheint dasnicht geschehen zu sein. Der Vortragende f¨uhrt diesenBeweis.
Kommentare zum Beweis des kubischen Reziprozit¨atsgeset-zes.
Den Beweis des kubischen Reziprozit¨atsgesetzes, den Eisensteinam 26. Januar 1845 gefunden hat, hat er ebenfalls nicht ver¨offentlicht;in seinem Artikel [3, §
3] vom 13. Februar 1845 schreibt Eisenstein, dass
IN BRIEF VON EISENSTEINS ELTERN AN GAUSS 9 der Beweis dem des biquadratischen Reziprozit¨atsgesetzes ganz analogsei. Eisensteins Beweisidee wurde sp¨ater von zahlreichen Autoren wie-der aufgegriffen und ausgearbeitet, etwa von H¨ubler [7], Dantscher [2],Gegenbauer [6], Sbrana [20], Lewandowski [13], Koschmieder [9], Petr[19], Mel’nikov [15] und Kubota [12].Koschmieder erw¨ahnt in [11], dass Lewandowski in [14] auch dasReziprozit¨atsgesetz der 9ten Potenzreste mit elliptischen Funktionenbehandelt hat; ich habe aber weder diese Arbeit, noch die darauf Bezugnehmende Arbeit von Georg Kantz [8] aus dem Jahre 1929 auffindenk¨onnen. Literatur [1] A. Aigner,
Zahlentheorie , de Gruyter 1975[2] V. Dantscher,
Bemerkungen zum analytischen Beweise des cubischen Recipro-cit¨atsgesetzes , Math. Ann. (1877), 241–253[3] G. Eisenstein, Applications de l’Alg`ebre `a l’Arithm´etique transcendante , J. Rei-ne Angew. Math. (1845), 177–184; Math. Werke I, 291–298[4] G. Eisenstein, Beitr¨age zur Theorie der elliptischen Functionen. I. Ableitungdes biquadratischen Fundamentaltheorems aus der Theorie der Lemniscaten-functionen, nebst Bemerkungen zu den Multiplikations- und Transformations-formeln , J. Reine Angew. Math. (1846), 185–210; Math. Werke I, 299–324[5] Carl Friedrich Gauß Letters , Constantin Eisenstein [sen.] → Carl FriedrichGauß, Berlin, 1852 Nov. 12; https://gauss.adw-goe.de/handle/gauss/2588? [6] L. Gegenbauer,
Ueber das cubische Reciprocit¨atsgesetz , Wiener Ber. (1880),1–5[7] H. P. H¨ubler, ¨Uber die kubischen Reste , Diss. Jena, 1871[8] G. Kantz, nach [11] in den Comment. Math. Helvetici (1929), 116–127[9] L. Koschmieder, ¨Uber eine besondere ¨aquianharmonische elliptische Funktionund ihre Verwendung in der Zahlentheorie , Sitzungsber. Berlin. Math. Ges. (1922), 12–15[10] L. Koschmieder, Zu Eisensteins transzendentem Beweis des quadratischen Re-ziprozit¨atsgesetzes , Comment. Math. Helv. (1962/63), 235–239[11] L. Koschmieder, Ein Gef¨uge von Differentialgleichungen, durch elliptischeFunktionen integriert , Monatsh. Math. (1950), 265–283[12] T. Kubota, Anwendung Jacobischer Thetafunktionen auf die Potenzreste , Na-goya Math. J. (1961),1–13[13] J. F. Lewandowski, ¨Uber die ¨aquianharmonische Funktion , Monatsh. Math.Phys. (1910), 155–170 Die Namen Dantscher, Gegenbauer und Lewandowski zeigen das große Interes-se, das den niederen Reziprozit¨atsgesetzen in ¨Osterreich entgegengebracht wurde.Auch Franz Mertens [16] hat sich mit analytischen Beweisen des kubischen und bi-quadratischen Reziprozit¨atsgesetzes besch¨aftigt, und Ph¨anomene der Reziprozit¨atspielen in der
Zahlentheorie [1] Alexander Aigners eine große Rolle. Und dann istda noch Emil Artin . . . [14] J. F. Lewandowski, nach [11] in den Jahresberichten des Kaiser-Franz-JosefLandesreal- und Obergymnasiums in Baden bei Wien, (19190, 12 S.[15] G. I. Mel’nikov, Two proofs of the cubic law of reciprocity with the aid ofthe theory of elliptic functions (Russ.), Uchenje Zap. Leningrad (Fiz. Matem.Fak.), (1955)[16] F. Mertens, ¨Uber die Darstellung der Legendreschen Symbole der biquadra-tischen, kubischen und bikubischen Reste durch Thetareihen , Sitz.ber. Akad.Wiss. Wien. (1906), 1339–1360[17] E. Neuenschwander, Lettres de Bernhard Riemann `a sa famille , Cah. S´emin.Hist. Math. (1981), 85–131[18] E. W. M. v. Olfers (Hrsg.), Briefe Alexander v. Humboldts an Ignaz v. Olfers,Generaldirektor der Kgl. Museen , N¨urnberg 1913[19] K. Petr, ¨Uber die Eisensteinschen Beweise des Reziprozit¨atsgesetzes bei denbiquadratischen und bikubischen Resten (Czech.), C. R. Congr`es Math. Paysslaves 1929 (1930), 119–128[20] U. Sbrana,
Alcune propriet`a dell’equazione per la divisione dei periodi di unafunziona equianarmonica , Battaglini Giorn. (1904), 297–311[21] P. Ullrich, Gotthold Eisensteins Exemplar der Gauß’schen DisquisitionesArithmeticae, erneut betrachtet , In