aa r X i v : . [ ec on . T H ] M a r B EMER KUNGEN ZUM PAARWEISEN V ER GLEICH
A P
REPRINT
Stefan L¨orcks
25. M¨arz 2020 A BSTRACT
Der einfache paarweise Vergleich ist ein Verfahren verschiedene Kriterien mit einer Gewichtungzu versehen. Wir zeigen, dass die Werte dieser Gewichte (insbesondere auch der maximale Wert)ausschließlich von der Anzahl der Kriterien abh¨angt. Dar¨uber hinaus wird gezeigt, dass der Abstandder Gewichtungen stets gleich ist. K eywords Paarweiser Vergleich · Nutzwertanalyse
In der Nutzwertanalyse nach Zangemeister [1] werden verschiedene Alternativen nach ihrem Nutzwert verglichen.Dabei werden die Alternativen in verschiedenen Kriterien beurteilt. Der paarweise Vergleich ist ein Verfahren um denverschiedenen Kriterien eine Gewichtung zuzuteilen.
Wir diskutieren hier den ’einfachen’ paarweisen Vergleich, wie er beispielsweise in [2] vorgestellt wird. Ein ande-rer Paarvergleich wird im Rahmen des Analytic Hierarchy Proces (AHP) [3] vorgeschlagen. Wie die nachfolgendeDefinition zeigt, weichen wir von dem in [2] vorgeschlagenen Verfahren insofern ab, dass wir keine Zirkelschl¨ussezulassen.
Definition 2.1 (Einfacher Paarweiser Vergleich ) . Gegeben sei eine Mengevon k ∈ N Kriterien { K , K , . . . , K k } .Dabei wird vorausgesetzt, dass sich je zwei Kriterien paarweise vergleichen lassen, in dem Sinne, dass eine eindeutigeZuordnung m¨oglich sei, welches Kriterium wichtiger ist. Ist beispielsweise K wichtiger als K , so so notieren wirdies mit K ≻ K . Dazu gebe es Koeffizienten a i,j ∈ { , } , i, j ∈ { , , . . . , k } , i = j . Dabei wird a i,j = 1 gesetzt,falls K i ≻ K und sonst a i,j = 0 .Dabei muss stets a i,j = a j,i (beziehungsweise a i,j = 1 − a j,i ) gelten, denn zwei Kriterien k¨onnen nicht jeweilswichtiger als das Andere sein. Verallgemeinert sind bei der Festlegung der Koeffizienten Zirkelschl¨usse zu vermeiden.Beispielsweise kann nicht K ≻ K ≻ K ≻ K gelten. Darauf ist bei der Festlegung der Koeffizienten a i,j zu achten.Die Koeffizienten a i,j k¨onnen als Eintr¨age einer k × k Matrix A betrachtet werden, wobei die Elemente der Haupt-diagonalen unbesetzt bleiben. In dieser Anschauung entspricht die Anzahl der Einsen in der i -ten Zeile der Matrixder Anzahl der Kriterien, die unwichtiger sind als K i . Diese Zahl ist also proportional zu der Wichtigkeit von K i .Entsprechend ergibt sich die Gewichtung w i des Kriteriums K i als Normierung dieser Anzahl: w i := k P j =1 j = i a i,jk P i =1 k P j =1 j = i a i,j Der nachfolgende Satz liefert die zentrale Aussage.
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ARZ (Satz)
Beim einfachen paarweisen Vergleich mit k Faktoren ist die h¨ochste m¨ogliche Bewertung durch k gegeben.Allgemein ergeben sich die vorhandenen Gewichtungen f¨ur i ∈ { , , . . . , k − } zu i ( k − k , womit die Abst¨ande zwischen den Gewichtungen stets durch k − k gegeben sind. Bew.:
Bei k Faktoren ist die Matrix des paarweisen Vergleichs von der Gr¨oße k × k , wobei beim einfach paarweisenVergleich auf der Hauptdiagonalen keine Eintr¨age zugelassen werden. Zun¨achst bestimmen wir die Gesamtzahl derEinsen in der Matrix. O. B. d. A. nehmen wir an, dass alle Einsen oberhalb der Hauptdiagonalen eingetragen sind.(Dies ist zul¨assig, da sich die Anzahl der Einsen nicht ¨andert, egal ob sie ober- oder unterhalb der Diagonalen stehen.)Dann stehen in der ersten Zeile ( k − Einsen, in der zweiten Zeile ( k − , . . . , in der vorletzten Zeile eine Eins undin der letzten Zeile keine. Die Gesamtanzahl an Einsen ergibt sich demnach zu ( k −
1) + ( k −
2) + . . . + 1
Gauß = ( k − k In einer Zeile k¨onnen ¨uberall außer auf der Hauptdiagonalen Einsen stehen. Also maximal k − St¨uck. Also ergibtsich die h¨ochstm¨ogliche Bewertung eines Faktors zu k − ( k − k = 2 k . Analog ergeben sich f¨ur die zweite Zeile i = k − Einsen usw. In der letzten Zeile sind es i = 0 Einsen rechts derHauptdiagonalen. Somit sind also in der Tat die m¨oglichen Faktoren durch i ( k − k , i = 0 , . . . , k − gegeben und f¨ur i = 1 , . . . , k − ergibt sich der Abstand zwischen zwei benachbarten Gewichtungen zu i ( k − k − i − ( k − k = 2( k − k . (cid:3) Es wurden gezeigt, dass die maximale Gewichtung und die Abst¨ande der Gewichtung beim einfach paarweisen Ver-gleich nur von der Anzahl der betrachteten Kriterien abh¨angt.
Literatur [1] C. Zangemeister.
Nutzwertanalyse in der Systemtechnik: eine Methodik zur multidimensionalen Bewertung undAuswahl von Projektalternativen . Wittemann, 1976.[2] W. Busse von Colbe and F. Witte.
Investitionstheorie und Investitionsrechnung . Springer Berlin Heidelberg, 2018.[3] T. L. Saaty. A scaling method for priorities in hierarchical structures.