aa r X i v : . [ m a t h . C T ] F e b CONDITIONS DE KAN SUR LES NERFS DES ω -CAT´EGORIES F´ELIX LOUBATON
R´esum´e.
On montre que le nerf de Street d’une ω -cat´egorie stricte C est un complexe de Kan(respectivement une quasi-cat´egorie) si et seulement si les n -cellules de C pour n ≥ n >
1) sont faiblement inversibles. De plus, on d´efinit une structure d’ensemble complicialsur le nerf de C . L’ensemble complicial N ( C ) est alors n -trivial si et seulement si les k -cellules de C pour k ≥ n sont faiblement inversibles. Abstract.
We show that the Street nerve of a strict ω -category C is a Kan complex (respectivelya quasi-category) if and only if the n -cells of C for n ≥ n >
1) are weakly invertible.Moreover, we define a complicial set structure on the nerve of C . The complicial set N ( C ) is then n -trivial if and only if the k -cells of C for k ≥ n are weakly invertible. Table des mati`eres
Introduction 11. Quelques d´efinitions et rappels 41.1. ω -Cat´egories 41.2. Rappel de la th´eorie de Steiner 82. Chaˆınes 122.1. D´efinition et propri´et´es des chaˆınes 122.2. La ω -cat´egorie des chaˆınes 193. D´eveloppements sur les ω -cat´egories et les complexes dirig´es augment´es 253.1. Quasi-rigidit´e 253.2. ´Equations dans une ω -cat´egorie 294. Nerf de Street 324.1. Nerf d’une ω -Cat´egorie 324.2. R´esolution d’´equations et rel`evements 354.3. ´Equations repr´esent´ees par les inclusions de cornets 395. G´en´eralisation au nerf complicial 415.1. Ensembles compliciaux 415.2. Nerfs et ensembles compliciaux 42R´ef´erences 47 Introduction
Dans [2], Grothendieck introduit le foncteur nerf entre la cat´egorie des petites cat´egories et celledes ensembles simpliciaux. Ce foncteur est d´efini grˆace `a l’objet cosimplicial qui envoie [ n ] sur lapetite cat´egorie suivante : h ([ n ]) := 0 / / / / · · · / / n. Le nerf d’une petite cat´egorie C est d´efini par la formule N cat ( C ) n := Hom ( h ([ n ]) , C ). De plus, cefoncteur admet un adjoint `a gauche, qui associe `a un ensemble simplicial X , la cat´egorie h ( X ). Denombreuses notions de la th´eorie des cat´egories peuvent alors ˆetre ”traduites” dans le langage des ensembles simpliciaux, ce qui est le point de d´epart de la th´eorie des ( ∞ , [2] → ∆[2] est envoy´ee par le foncteur h sur l’inclusion de cat´egories :1 1 (cid:9) σ , (cid:30) (cid:30) ❃❃❃❃❃❃❃ ֒ → σ , / / σ , @ @ (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) σ , / / σ , @ @ (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) N cat ( C ) a la propri´et´e de rel`evement `a droite par rapport`a Λ [2] → ∆[2], si et seulement si pour tout couple de morphismes ( f, g ) de C de mˆeme domaine,il existe un morphisme x : t ( g ) → t ( f ) tel que f = x ◦ g . Dans le formalisme que l’on d´eveloppera,on dira que l’´equation Eq ( σ = x ◦ σ ) admet une solution pour tout choix de param`etre . On peutalors d´emontrer simplement que N cat ( C ) a cette propri´et´e de rel`evement si et seulement si tousles morphismes de C admettent des inverses `a gauche. De fa¸con analogue, N cat ( C ) a la propri´et´ede rel`evement `a droite par rapport `a Λ [2] → ∆[2], si et seulement si tous les morphismes de C admettent des inverses `a droite, ou dans notre formalisme, si et seulement si l’´equation Eq ( σ = σ ◦ x ) admet une solution pour tout choix de param`etre . Enfin on en d´eduit que C est un groupo¨ıdesi et seulement si N cat ( C ) a la propri´et´e de rel`evement `a droite par rapport `a Λ i [2] → ∆[2] pour i = 0 , Th´eor`eme 0.0.1 (Boardman & Vogt) . Une cat´egorie C est un groupo¨ıde si et seulement si l’en-semble simplicial N cat ( C ) a la propri´et´e de rel`evement par rapport aux inclusions Λ i [ n ] → ∆[ n ] pour ≤ i ≤ n . Dans [6], Street d´efinit un nerf de la cat´egorie des petites ω -cat´egories vers la cat´egorie desensembles simpliciaux. Ce nerf est construit grˆace `a l’objet cosimplicial qui `a [ n ], associe le n i`eme oriental, not´e | [ n ] | . Pour les petites dimensions, on peut en donner une repr´esentation graphique :[0] σ / / σ (cid:30) (cid:30) ❃❃❃❃❃❃❃ σ / / σ @ @ (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) ⇒ σ [3] σ / / σ (cid:30) (cid:30) ❃❃❃❃❃❃❃ σ / / σ ❃❃❃ (cid:30) (cid:30) ❃❃❃ σ (cid:0) (cid:0) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) ⇛ σ σ / / σ ^ ^ ❃❃❃❃❃❃❃ σ (cid:0)(cid:0)(cid:0) @ @ (cid:0)(cid:0)(cid:0) ⇒ σ ⇒ σ σ / / σ @ @ (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) ⇒ σ ⇒ σ Le nerf de Street est alors d´efini par la formule N ( C ) n := Hom ( | [ n ] | , C ). Par exemple, une ω -cat´egorie C a la propri´et´e de rel`evement par rapport `a l’inclusion Λ [2] si pour tout couple de1-cellules de mˆeme domaine ( f, g ), il existe une 1-cellule x ainsi qu’une 2-cellule y : f → x ∗ g .On dira alors que l’´equation Eq ( y : σ → x ∗ σ ) admet une (pr´e)-solution pour tout choix deparam`etre . De mˆeme, C a la propri´et´e de rel`evement par rapport `a l’inclusion Λ [3] → ∆[3] si pour Une ω -cat´egorie est la donn´ee d’un ensemble de 0-cellule, pour tout couple de 0-cellules d’un ensemble de 1-cellules, pour tout couple parall`ele de 1-cellules, un ensemble de 2-cellules, etc..., muni de compositions v´erifiant deslois d’associativit´e et de distributivit´e strictes. Voir 1.1.4 pour une d´efinition pr´ecise. ONDITIONS DE KAN SUR LES NERFS DES ω -CAT´EGORIES 3 tout sextuplet de 1-cellules ( f, g, h, i, j, k ), et tout triplet de 2-cellules ( α, β, γ ) telles que α : g → i ∗ f , β : h → k ∗ g , et γ : h → j ∗ f , il existe une 2-cellule x : j → k ∗ i , ainsi qu’une 3-cellule y : ( k ∗ α ) ∗ β → ( x ∗ f ) ∗ γ. On dira alors que l’´equation Eq ( y : ( σ ∗ σ ) ∗ ( σ ) → ( x ∗ σ ) ∗ σ ) admet une (pr´e-)solution pour tout choix de param`etre .L’objectif est d’´etudier les ´equations d´efinies par les inclusions de cornets, afin d’en d´eduire leth´eor`eme suivant : Th´eor`eme 0.0.2.
Soit C est une ω -cat´egorie. L’ensemble simplicial N ( C ) a la propri´et´e derel`evement par rapport aux inclusions Λ i [ n + 1] → ∆[ n + 1] pour tout n > et tout ≤ i ≤ n (resp. pour tout n > et tout < i < n ) si et seulement si les cellules de C de dimension sup´erieureou ´egale `a (resp strictement sup`erieur `a ) sont faiblement inversibles. Malheureusement, comme en t´emoignent les diagrammes pr´esents dans l’article de Street, les´equations sous-tendant les orientaux deviennent rapidement tr`es compliqu´ees lorsque la dimensionaugmente. On doit donc r´ealiser un important travail pr´eliminaire avant de pouvoir d´emontrer ceth´eor`eme.La premi`ere ´etape va ˆetre d’´etudier la th´eorie d´evelopp´ee dans [5]. Dans cet article, Steinerconstruit un foncteur ν : CDA → ω -cat entre une cat´egorie compos´ee de complexes de chaˆınesmunis d’une structure additionnelle, appel´es les complexes dirig´es augment´es, et la cat´egorie des ω -cat´egories strictes. Il montre de plus que ce foncteur admet un adjoint `a gauche. Restreint aux com-plexes dirig´es augment´es libres admettant une ”bonne” base, il devient une ´equivalence de cat´egoriedont le codomaine est compos´e des ω -cat´egories admettant un ”bon” ensemble de g´en´erateurs.Nous allons construire un autre foncteur µ , entre la cat´egorie des complexes dirig´es augment´esadmettant une ”bonne” base et la cat´egorie des ω -cat´egories admettant un ”bon” ensemble deg´en´erateurs, isomorphe `a ν , qui utilisera le formalisme des chaines . C’est alors un cadre adapt´e pourd´efinir un ”algorithme” qui exprime les cellules de νK ∼ = µK en un compos´e de g´en´erateurs, o`u K est un complexe dirig´e augment´e.Les orientaux correspondent alors `a l’objet cosimplicial d´efini par le compos´e des foncteurs sui-vants : ∆ C • −−→ CDA
B µ −→ ω -cat o`u le premier foncteur envoie un ensemble simplicial sur le complexe de chaˆıne r´eduit associ´e, munid’une structure de complexe dirig´e augment´e admettant une ”bonne” base. Grˆace `a l’algorithme ded´ecomposition, on peut alors exprimer les ´equations que doivent v´erifier les ω -cat´egories pour queleur nerf ait la condition de rel`evement `a droite par rapport aux inclusions de cornets, et apr`es unexamen attentif de ces ´equations, en d´eduire le th´eor`eme.Cette ´etude approfondie des ´equations de cornets nous permet alors de d´efinir une structured’ensemble complicial satur´ee sur le nerf d’une ω -cat´egorie, o`u les simplexes marqu´es seront ceuxcorrespondant `a des cellules faiblement inversibles. Organisation de l’article.
On rappelle dans la premi`ere section quelques d´efinitions et r´esultatssur les ω -cat´egories et on expose la th´eorie de Steiner.L’objectif de la deuxi`eme section est de construire le foncteur µ et de donner l’algorithme ded´ecomposition (th´eor`eme 2.2.13).Dans la troisi`eme section, on pr´esente deux d´eveloppements. Le premier est un th´eor`eme quidonne des conditions suffisantes pour qu’une somme amalgam´ee dans la cat´egorie des complexesdirig´es induise une somme amalgam´ee dans les ω -cat´egories (th´eor`eme 3.1.5). Le deuxi`eme est lapr´esentation de la notion d’´equation dans une ω -cat´egorie.Dans la quatri`eme section, on se sert du th´eor`eme de d´ecomposition et de la notion d’´equationpour montrer que le nerf de Street d’une ω -cat´egorie C a la propri´et´e de rel`evement par rapportaux inclusions de cornets si et seulement si on peut toujours y r´esoudre des ´equations d’une certaine F´ELIX LOUBATON forme. L’´etude pr´ecise de ces ´equations permet alors de montrer que le nerf de C est un complexede Kan (respectivement une quasi-cat´egorie) si et seulement si les n -cellules de C pour n ≥ n >
1) sont faiblement inversibles (th´eor`eme 4.3.7).Enfin, la derni`ere section pr´esente une g´en´eralisation de ces r´esultats aux ensembles compliciaux.On y montre qu’on peut munir N ( C ) d’une stratification v´erifiant les axiomes des ensembles com-pliciaux (th´eor`eme 5.2.12). L’ensemble complicial N ( C ) est alors n -trivial si et seulement si les k -cellules de C pour k ≥ n sont faiblement inversibles. Remerciements.
Je tiens `a remercier Georges Maltsiniotis, sans qui cet article n’aurait puexister. C’est lui qui m’a propos´e ce probl`eme, et qui, par ses nombreuses relectures attentives, m’aappris `a r´ediger proprement et rigoureusement.1.
Quelques d´efinitions et rappels ω -Cat´egories. Dans cette partie, on va d´efinir les ω -cat´egories (strictes) et en donner quelquespropri´et´es. Tous les d´efinitions et tous les r´esultats de cette partie sont dus `a [3]. D´efinition 1.1.1.
On d´efinit la petite cat´egorie O dont les objets sont les entiers naturels 0 , , , ... et dont les morphismes sont engendr´es par δ − n , δ + n : n → n + 1 sujets aux ´equations : δ + n +1 ◦ δ + n = δ − n +1 ◦ δ + n ; δ + n +1 ◦ δ − n = δ − n +1 ◦ δ − n . D´efinition 1.1.2. Un ensemble globulaire est un pr´efaisceau sur O . On d´efinit la cat´egorie desensembles globulaires : Glob := Set O op . Un ensemble globulaire X est donc la donn´ee d’une famille d’ensembles X n := X ( n ) et de mor-phismes d + n := X ( δ + n ) : X n +1 → X n et d − n := X ( δ − n ) : X n +1 → X n qui v´erifient les ´equations : d + n ◦ d + n +1 = d + n ◦ d − n +1 ; d − n ◦ d + n +1 = d − n ◦ d − n +1 . Une cellule est un ´el´ement de l’ensemble ` n ∈ N X n . Pour une cellule c , sa dimension est l’entier n tel que c ∈ X n . On dit alors que c est une n -cellule . Les morphismes d − n et d + n sont appel´esrespectivement n -sources et n -buts.Pour un couple d’entiers ( n > m ) et pour α ∈ {− , + } , on ´etend l’application d αm `a X n : X n → X m d αm : x d αm ◦ d αm +1 ◦ ... ◦ d αn − x Soient c une n -cellule de dimension strictement positive et m un entier strictement inf´erieur `a n .La m -cellule a := d − m c (resp. la m -cellule b := d + m c ) est appel´ee la m -source (resp. m -but ) de c , eton ´ecrit alors c : a → m b . Dans le cas o`u m = n −
1, la cellule a (resp. b ) est simplement appel´ee lasource (resp. le but) de c et on ´ecrit alors c : a → b . D´efinition 1.1.3.
Pour deux entiers n > m et deux n -cellules c et d , on dit que les cellules c et d sont m -composables lorsque d + m c = d − m d . Elle sont m -parall`eles lorsque d + m c = d + m d et d − m c = d − m d . Deux n -cellules ( n − n − composables (resp. parall`eles ).On peut maintenant d´efinir la notion de ω -cat´egorie (stricte). D´efinition 1.1.4.
Une ω -cat´egorie (stricte) est un ensemble globulaire muni d’op´erations de com-position C i × C j C i → C i ≤ j < i ONDITIONS DE KAN SUR LES NERFS DES ω -CAT´EGORIES 5 associant `a deux i -cellules j -composables c et d , une i -cellule d ∗ j c ainsi que des unit´es C j → C i ≤ j < i associant `a une j -cellule c , une i -cellule 1 ic . On d´efinit 1 c := 1 j +1 c . De plus, les compositions et unit´esdoivent satisfaire les axiomes suivants :(1) (Associativit´e) Pour tout couple d’entiers n > m et pour tout triplet de n -cellules ( c, d, e )telles que les couples ( c, d ) et ( d, e ) soient m -composables : e ∗ m ( d ∗ m c ) = ( e ∗ m d ) ∗ m c ;(2) (Distributivit´e) Pour tout triplet d’entiers n > m > k et pour toutes n -cellules c, d, e et f telles que les couples ( c, d ) et ( e, f ) soient m -composables et que les couples ( c, e ) et ( d, f )soient k -composables :( f ∗ m e ) ∗ k ( d ∗ m c ) = ( f ∗ k d ) ∗ m ( e ∗ k c );(3) (Unit´e I) Pour tout couple d’entiers n > m et toute n -cellule c : a → m b :1 nb ◦ m c = c ◦ m na = c ;(4) (Unit´e II) Pour tout triplet d’entiers n > m > k et tout couple de m -cellules ( c, d ) qui sont k -composables : 1 nd ∗ k nc = 1 nd ∗ k c ;(5) (Unit´e III) Pour tout triplet d’entiers n > m > k et toute k -cellule a :1 n ma = 1 na . Notation 1.1.5.
Pour des entiers n > m > k , une n -cellule c : a → k b et une m -cellule d : b → k e ,on note d ∗ k c la k -composition nd ∗ k c . De fa¸con sym´etrique, pour une m -cellule c : a → k b et une n -cellule d : b → k e , on note d ∗ k c la k -composition d ∗ k nc . D´efinition 1.1.6.
La cat´egorie ω -cat a comme objets les ω -cat´egories, et comme morphismes lesmorphismes d’ensembles globulaires qui pr´eservent les compositions et les unit´es. D´efinition 1.1.7.
Soient a, b deux n -cellules parall`eles. On d´efinit par co-induction la notion de ω -´equivalence et de faiblement inversible .(1) Les cellules a et b sont ω -´equivalentes, ce qui est not´e a ∼ b , lorsqu’il existe une ( n +1)-cellulefaiblement inversible c : a ∼ −→ b ;(2) Une ( n + 1)-cellule c : a → b est faiblement inversible, ce qui est not´e c : a ∼ −→ b , lorsqu’ilexiste une ( n + 1)-cellule ˜ c : b → a telle que c ∗ n ˜ c ∼ b et ˜ c ∗ n c ∼ a .Dans les conditions et notations du point (2), la ( n + 1)-cellule ˜ c est appel´ee l’inverse faible de c . Remarque 1.1.8.
La notion d’ˆetre faiblement inversible n’a pas de sens pour les cellules de di-mension z´ero. Quand on parlera de cellules faiblement inversibles, on supposera donc implicitementqu’elles sont de dimension strictement positive.
Exemple 1.1.9. (1) Les unit´es sont faiblement inversibles.(2) Une ( n + 1)-cellule c : a → b admettant un inverse fort ˜ c : b → a (c’est-`a-dire qui v´erifie c ∗ n ˜ c = 1 b et ˜ c ∗ n c = 1 a ) est faiblement inversible.(3) Le quatri`eme point de la proposition suivante implique que la m -composition de n -cellulesfaiblement inversibles est aussi faiblement inversible.(4) On peut alors en d´eduire que pour trois entiers n > m > k , une n -cellule faiblement inversible a et une m -cellule b qui est k -composable avec a , la cellule compos´ee a ∗ k b est aussi faiblementinversible. On montre dans le corollaire 1.1.16 que si a ∗ k b et b sont faiblement inversibles,alors a l’est aussi. Proposition 1.1.10.
Soient deux entiers n > m ≥ . La relation ∼ satisfait les propri´et´es sui-vantes : F´ELIX LOUBATON (1) (R´eflexivit´e) Pour toute n -cellule a , a ∼ a ; (2) (Sym´etrie) Pour tout couple de n -cellules parall`eles ( a, b ) , a ∼ b implique b ∼ a ; (3) (Transitivit´e) Pour tout triplet de n -cellules ( a, b, c ) deux `a deux parall`eles, a ∼ b et b ∼ c implique a ∼ c ; (4) (Compatibilit´e avec les compositions) Pour tout couple de n -cellules m -composables ( a, b ) et ( c, d ) , b ∼ d et a ∼ c implique b ∗ m a ∼ d ∗ m c. D´emonstration.
Les preuves de ces assertions se font simplement par co-induction. (cid:3)
On va maintenant donner une caract´erisation plus explicite des cellules faiblement inversibles.
D´efinition 1.1.11.
Soit a une cellule de dimension strictement positive. Un ensemble d’inversibilit´epour a est un ensemble E a ⊂ ` C n tel que(1) a ∈ E a (2) Pour tout n et toute ( n + 1)-cellule b ∈ E a , il existe ˜ b, c, c ′ ∈ E a telles que ˜ b ∈ C n +1 , c, c ′ ∈ C n +2 et c : 1 d − n b → ˜ b ◦ n bc ′ : 1 d + n b → b ◦ n ˜ b Proposition 1.1.12.
Soit a une cellule de dimension strictement positive. Cette cellule est faible-ment inversible si et seulement si elle admet un ensemble d’inversibilit´e.D´emonstration. On montre ce r´esultat par co-induction. Soit a une n -cellule faiblement inversible.Il existe alors une cellule ˜ a ∈ C n et deux cellules faiblement inversibles c, c ′ ∈ C n +1 telles que c : 1 d − n − a → ˜ a ◦ n − a et c ′ : 1 d + n − a → a ◦ n − ˜ a . Par hypoth`ese de co-induction, il existe donc desensembles d’inversibilit´e E c et E c ′ pour respectivement c et c ′ et on d´efinit alors E a := E c ∪ E c ′ ∪ { a, ˜ a } .E a v´erifie les conditions voulues pour ˆetre un ensemble d’inversibilit´e pour a .R´eciproquement, soient a une n -cellule de dimension strictement positive et E a un ensembled’inversibilit´e pour a . Par d´efinition, il existe une n -cellule ˜ a ∈ E a ainsi que deux ( n + 1)-cellules c, c ′ ∈ E a telles que c : 1 d − n − a → ˜ a ◦ n − a et c ′ : 1 d + n − a → a ◦ n − ˜ a . On remarque alors que E a estaussi un ensemble d’inversibilit´e pour c et c ′ , ce qui implique par hypoth`ese de co-induction que cesdeux ( n + 1)-cellules sont faiblement inversibles. On a donc 1 d − n − a ∼ ˜ a ◦ n − a et 1 d + n − a ∼ a ◦ n − ˜ a et donc a est faiblement inversible. (cid:3) D´efinition 1.1.13.
Soit c : a → b une n -cellule de dimension strictement positive.(1) La cellule c est faiblement inversible `a gauche lorsqu’il existe ˜ c : b → a telle que ˜ c ∗ n − c ∼ b .La cellule ˜ c est alors un inverse faible `a gauche de c .(2) La cellule c est faiblement inversible `a droite lorsqu’il existe ˜ c : b → a telle que c ∗ n − ˜ c ∼ a .La cellule ˜ c est alors un inverse faible `a droite de c . Remarque 1.1.14.
Une cellule faiblement inversible `a droite et `a gauche est faiblement inversible.En effet, soit n un entier strictement positif et c : a → b une n -cellule admettant un inverse faible `adroite ˜ c et un inverse faible `a gauche ˜ c ′ . On a alors˜ c ∗ n − c ∼ ˜ c ′ ∗ n − c ∗ n − ˜ c ∗ n − c ∼ ˜ c ′ ∗ n − c ∼ a . La cellule ˜ c est donc aussi un inverse `a gauche, et c est donc faiblement inversible. Proposition 1.1.15.
Une n -cellule a faiblement inversible a la propri´et´e de division `a droite : ONDITIONS DE KAN SUR LES NERFS DES ω -CAT´EGORIES 7 (1) Pour toute n -cellule b telle que d − n − a = d − n − b , il existe une n -cellule x telle que x ∗ n − a ∼ b. De plus si y v´erifie la mˆeme relation, alors y ∼ x . On dit alors que la solution est faiblementunique .(2) Soit m > n . Pour toute m -cellule b et tout couple de ( m − -cellules parall`eles s, t tel que s ∗ n − a = d − m − b et t ∗ n − a = d + m − b , il existe une m -cellule x : s → t qui v´erifie : x ∗ n − a ∼ b. De plus la solution est faiblement unique.Similairement, la n -cellule a a la propri´et´e de division `a gauche.D´emonstration. Pour a une n -cellule faiblement inversible, on d´efinit les propositions suivantes : E n,m ( a ) : ≡ La cellule a a la prori´et´e de division `a droite et `a gauche pour les m -cellules ; E n,m : ≡ Pour toute n -cellule faiblement inversible a , E n,m ( a ) ; U n,m ( a ) : ≡ La division `a droite et `a gauche des m -cellules par a est faiblement unique ; U n,m : ≡ Pour n -cellule faiblement inversible a , U n,m ( a ).On peut d´emontrer directement E n,n et U n,n pour tout n . En effet, soient a et b deux n -cellulesv´erifiant les conditions du premier point. On note ˜ a un inverse faible de a . On a alors x ∗ n − a ∼ b si et seulement si x ∼ b ∗ n − ˜ a. Cela prouve alors `a la fois l’existence et l’unicit´e faible de la solution.On va maintenant montrer E n,n + k et U n,n + k pour tout n et tout k par r´ecurrence sur k . L’initia-lisation correspond au cas k = 1. Donnons nous une n -cellule a et une ( n + 1)-cellule b v´erifiant lesconditions voulues. Soient ˜ a un inverse faible de a et r : a ∗ n − ˜ a ∼ −→ d + n − a une cellule faiblementinversible.Commen¸cons par montrer U n,n +1 ( a ). On suppose donc qu’il existe une ( n + 1)-cellule x : s → t qui v´erifie x ∗ n − a ∼ b . On a alors x ∗ n ( s ∗ n − r ) = ( t ∗ n − r ) ∗ n ( x ∗ n − a ∗ n − ˜ a ) ∼ ( t ∗ n − r ) ∗ n ( b ∗ n − ˜ a ) . Les cellules x et s ∗ n − r sont de mˆeme dimension et la cellule s ∗ n − r est faiblement inversible.On peut donc utiliser U n +1 ,n +1 ( s ∗ n − r ) qui implique que la cellule x , si elle existe, est faiblementunique. De fa¸con analogue, on montre l’unicit´e faible de la division `a gauche par a . On a donc prouv´epour tout n , U n,n +1 .Montrons maintenant E n,n +1 ( a ). Remarquons que l’on a : d − n (( t ∗ n − r ) ∗ n ( b ∗ n − ˜ a )) = d − n ( b ∗ n − ˜ a ) = s ∗ n − ∗ a ∗ n − ˜ ad − n ( s ∗ n − r ) = s ∗ n − ∗ a ∗ n − ˜ a On peut alors utiliser E n +1 ,n +1 ( s ∗ n − r ), qui implique l’existence d’une ( n + 1)-cellule y : s → t v´erifiant y ∗ n ( s ∗ n − r ) ∼ ( t ∗ n − r ) ∗ n ( b ∗ n − ˜ a ) . Or y ∗ n ( s ∗ n − r ) = ( t ∗ n − r ) ∗ n ( y ∗ n − a ∗ n − ˜ a )Les cellules y ∗ n − a ∗ n − ˜ a et t ∗ n − r sont de mˆeme dimension, et t ∗ n − r est faiblement inversible. Laproposition U n +1 ,n +1 ( t ∗ n − r ) implique que ( y ∗ n − a ∗ n − ˜ a ) ∼ ( b ∗ n − ˜ a ). Or, comme la dimensionde ˜ a est n , on peut utiliser U n,n +1 (˜ a ) qui implique alors que y ∗ n − a ∼ b . La cellule y est donc bienune solution. On a donc prouv´e E n,n +1 pour tout n .Supposons maintenant E n,n + k et U n,n + k pour tout n . Donnons nous une n -cellule a et une( n + k + 1)-cellule b v´erifiant les conditions voulues. Soient ˜ a un inverse faible de a et r : a ∗ n − ˜ a ∼ −→ d + n − a une cellule faiblement inversible. F´ELIX LOUBATON
Commen¸cons par montrer U n,n + k +1 ( a ). Pour cela, on suppose qu’il existe une ( n + k + 1)-cellule x : s → t qui v´erifie x ∗ n − a ∼ b . On a alors, pour tout α ∈ {− , + } , d αn − x = d αn − s = d αn − t , et x ∗ n ( d − n − s ∗ n − r ) = ( d + n − t ∗ n − r ) ∗ n ( x ∗ n − a ∗ n − ˜ a ) ∼ ( d + n − t ∗ n − r ) ∗ n ( b ∗ n − ˜ a ) . La cellule d − n − s ∗ n − r est de dimension n + 1 et est faiblement inversible. La proposition U n +1 ,n + k +1 ( d − n − s ∗ n − r ) implique alors que x , s’il existe, est faiblement unique. On a donc montr´e U n,n + k +1 pour tout n .Prouvons maintenant E n,n + k +1 ( a ). Remarquons cette fois qu’on a : d − n + k (( d + n − t ∗ n − r ) ∗ n ( b ∗ n − ˜ a )) = ( d + n − t ∗ n − r ) ∗ n ( s ∗ n − a ∗ n − ˜ a )= ( d + n − s ∗ n − r ) ∗ n ( s ∗ n − a ∗ n − ˜ a )= s ∗ n − r = s ∗ n ( d − n − s ∗ n − r ) d + n + k (( d + n − t ∗ n − r ) ∗ n ( b ∗ n − ˜ a )) = ( d + n − t ∗ n − r ) ∗ n ( t ∗ n − a ∗ n − ˜ a )= t ∗ n − r = t ∗ n ( d − n − t ∗ n − r ) = t ∗ n ( d − n − s ∗ n − r )Par hypoth`ese de r´ecurrence, on peut utiliser E n +1 ,n + k +1 ( d − n − s ∗ n − r ) qui implique qu’il existe y : s → t v´erifiant y ∗ n ( d − n − s ∗ n − r ) ∼ ( d + n − t ∗ n − r ) ∗ n ( b ∗ n − ˜ a ) . Or y ∗ n ( d − n − s ∗ n − r ) = ( d + n − t ∗ n − r ) ∗ n ( y ∗ n − a ∗ n − ˜ a ) . La proposition U n +1 ,n + k +1 ( d + n − t ∗ n − r ) implique que ( y ∗ n − a ∗ n − ˜ a ) ∼ ( b ∗ n − ˜ a ). La cellule ˜ a est de dimension n . On peut donc utiliser U n,n + k +1 (˜ a ) et on obtient y ∗ n − a ∼ b . La cellule y estdonc une solution. On a donc prouv´e E n,n + k +1 . (cid:3) Corollaire 1.1.16.
Soient deux entiers m ≥ n > , a une n -cellule faiblement inversible et b une m -cellule telles que a et b soient ( n − -composables. Alors si b ∗ n − a est faiblement inversible, b est aussi faiblement inversible.D´emonstration. On se place tout d’abord dans le cas o`u m = n . Soit ˜ a un inverse faible de a . On aalors b ∼ ( b ∗ n − a ) ∗ n − ˜ a . La propri´et´e d’ˆetre faiblement inversible ´etant stable par composition,cela prouve que b est faiblement inversible. Supposons maintenant que m > n . Notons c un inversefaible de la m -cellule b ∗ n − a . On a donc d − m − c = d + m − b ∗ n − a et d + m − c = d − m − b ∗ n − a . Parl’existence de la division `a droite par a , il existe b ′ : d + m − b → d − m − b telle que b ′ ∗ n − a ∼ c . On a alors( b ∗ m − b ′ ) ∗ n − a = ( b ∗ n − a ) ∗ m − ( b ′ ∗ n − a ) ∼ d + m − b ∗ n − a . Par l’unicit´e de la division `a droitepar a , cela implique que b ∗ m − b ′ ∼ d + m − b . On montre de fa¸con analogue que b ′ ∗ m − b ∼ d − m − b .La m -cellule b est donc bien faiblement inversible. (cid:3) On a en fait montr´e quelque chose d’un peu plus fort : en reprenant les notations de l’´enonc´e, si b ∗ n − a est faiblement inversible `a droite (resp. `a gauche) alors b est faiblement inversible `a droite(resp. `a gauche) D´efinition 1.1.17.
Une ω cat´egorie est n -triviale lorsque toutes les cellules de dimension sup´erieureou ´egale `a n sont faiblement inversibles.1.2. Rappel de la th´eorie de Steiner.
Tous les r´esultats de cette section sont dus `a Steiner [5].
D´efinition 1.2.1. Un complexe dirig´e augment´e ( K, K ∗ , e ) est la donn´ee d’un complexe de groupesab´eliens K , avec une augmentation e : Z e ←− K ∂ ←− K ∂ ←− K ∂ ←− K ∂ ←− ... ONDITIONS DE KAN SUR LES NERFS DES ω -CAT´EGORIES 9 et d’un ensemble gradu´e K ∗ = ( K ∗ n ) n ∈ N tel que pour tout n , K ∗ n est un sous-mono¨ıde de K n . Unmorphisme de complexes dirig´es entre ( K, K ∗ , e ) et ( L, L ∗ , e ′ ) est la donn´ee d’un morphisme decomplexes augment´es de groupes ab´eliens : f : ( K, e ) → ( L, e ′ ) tel que f ( K ∗ n ) ⊂ L ∗ n pour tout n . Onnote CDA la cat´egorie des complexes dirig´es augment´es.Steiner construit alors une adjonction λ : ω -cat % % CDA d d : ν. Le foncteur λ est le plus simple `a d´efinir : D´efinition 1.2.2.
Soit C une ω cat´egorie. On note ( λC ) n le groupe ab´elien engendr´e par l’ensemble { [ x ] n : x ∈ C n } et les relations [ x ∗ m y ] n ∼ [ x ] n + [ y ] n pour m < n . On d´efinit le morphisme ∂ n : ( λC ) n +1 → ( λC ) n sur les g´en´erateurs par la formule : ∂ n ([ x ] n +1 ) := [ d + n x ] n − [ d − n x ] n . Le morphisme ∂ est alors une diff´erentielle. On d´efinit une augmentation e : ( λC ) → Z en posantsur les g´en´erateurs : e ([ x ] ) = 1. Soit ( λC ) ∗ n le sous-mono¨ıde additif engendr´e par les ´el´ements [ x ] n .Ces donn´ees d´efinissent un complexe dirig´e augment´e λC := ( { ( λC ) n } n ∈ N , { ( λC ) ∗ n } n ∈ N , e ). Cetteassignation se rel`eve en un foncteur : λ : ω -cat → CDA C λC. On va maintenant d´efinir le foncteur ν . Dans la suite, on se fixe un complexe dirig´e augment´e( K, K ∗ , e ). D´efinition 1.2.3. Un tableau de Steiner (ou plus simplement tableau) de dimension n est la donn´eed’une double suite finie : (cid:18) x − x − x − x − ... x − n x +0 x +1 x +2 x +3 ... x + n (cid:19) telle que(1) x − n = x + n ;(2) Pour tout i ≤ n et α ∈ {− , + } , x αi est un ´el´ement de K ∗ i ;(3) Pour tout 0 < i ≤ n , ∂ i − ( x αi ) = x + i − − x − i − ;Un tableau est dit coh´erent si e ( x +0 ) = e ( x − ) = 1. D´efinition 1.2.4.
On d´efinit l’ensemble globulaire νK dont les n -cellules sont les tableaux coh´erentsde dimension n . Les applications sources et buts sont d´efinies pour k < n par la formule : d αk (cid:18) x − x − x − ... x − n x +0 x +1 x +2 ... x + n (cid:19) = (cid:18) x − x − x − ... x − k − x αk x +0 x +1 x +2 ... x + k − x αk (cid:19) On munit l’ensemble globulaire νK d’une structure de ω -cat´egorie : D´efinition 1.2.5.
On a une structure ´evidente de groupe sur les tableaux : (cid:18) x − x − ... x − n x +0 x +1 ... x + n (cid:19) + (cid:18) y − y − ... y − n y +0 y +1 ... y + n (cid:19) = (cid:18) x − + y − x − + y − ... x − n + y − n x +0 + y +0 x +1 + y +1 ... x + n + y + n (cid:19) • Pour deux tableaux coh´erents x et y tels que d + k ( x ) = d − k ( y ) = z , on d´efinit leur k -composition par la formule suivante : x ∗ k y := x − z + y. Plus explicitement : (cid:18) x − ... x − n x +0 ... x + n (cid:19) ∗ k (cid:18) y − ... y − n y +0 ... y + n (cid:19) := (cid:18) y − ... y − k y − k +1 + x − k +1 ... y − n + x − n x +0 ... x + k y + k +1 + x + k +1 ... y + n + x + n (cid:19) • Pour un entier m > n , on d´efinit le tableau 1 mx de taille m :1 mx := (cid:18) x − ... x − n ... x +0 ... x + n ... (cid:19) L’ensemble globulaire νK , muni des compositions et unit´es de la d´efinition 1.2.5 est alors une ω -cat´egorie. D´efinition 1.2.6.
On d´efinit le foncteur ν : CDA B → ω -cat qui associe `a un complexe dirig´eaugment´e K , la ω -cat´egorie νK , et `a un morphisme de complexes dirig´es augment´es f : K → L , lemorphisme de ω -cat´egories νf : νK → νL (cid:18) x − ... x − n x +0 ... x + n (cid:19) (cid:18) f ( x − ) ... f n ( x − n ) f ( x +0 ) ... f n ( x + n ) (cid:19) Th´eor`eme 1.2.7.
Les foncteurs λ et ν sont adjoints l’un de l’autre : λ : ω -cat , , ⊥ CDA l l : ν. Pour une ω -cat´egorie C , l’unit´e de l’adjonction est donn´ee par la transformation naturelle : η : C → νλCx ∈ C n (cid:18) [ d − ( x )] ... [ d − n − ( x )] n − [ x ] n [ d +0 ( x )] ... [ d + n − ( x )] n − [ x ] n (cid:19) Pour un complexe dirig´e augment´e K , la co-unit´e est donn´ee par : π : λνK → K [ x ] n ∈ ( λνK ) n x + n = x − n D´emonstration.
Voir [5, th´eor`eme 2.11]. (cid:3)
On va maintenant s’int´eresser `a une sous cat´egorie des complexes dirig´es augment´es correspondant`a ceux qui admettent une ”bonne base”.
D´efinition 1.2.8.
Une base pour un complexe dirig´e augment´e (
K, K ∗ , e ) est la donn´ee d’un en-semble gradu´e B = ( B n ) n ∈ N tel que pour tout n , B n soit `a la fois une base du mono¨ıde K ∗ n et dugroupe K n . Remarque 1.2.9.
Les ´el´ements de B n peuvent ˆetre caract´eris´es comme les ´el´ements minimaux dela relation d’ordre suivante : x ≤ y ssi y − x ∈ K ∗ n Cela prouve que si une base existe, elle est unique.Tout ´el´ement de K n peut alors s’´ecrire de fa¸con unique comme une somme Σ b ∈ B n λ b b . Cela nousincite `a d´efinir de nouvelles op´erations : D´efinition 1.2.10.
Pour un ´el´ement x := P b ∈ B n λ b b de K n , on d´efinit la partie positive et la partien´egative : ( x ) + := P b ∈ B n ,λ b > λ b b ( x ) − := P b ∈ B n ,λ b < − λ b b On a alors x = ( x ) + − ( x ) − . Un ´el´ement est positif (resp. n´egatif ) quand il est ´egal `a sa partiepositive (resp. partie n´egative). Soit y = P b ∈ B n µ b b , on d´efinit : x ∨ y := P b ∈ B n max( λ b , µ b ) bx ∧ y := P b ∈ B n min( λ b , µ b ) bx (cid:31) y := ( x − ( y ) + ) +ONDITIONS DE KAN SUR LES NERFS DES ω -CAT´EGORIES 11 En utilisant ces notations, on pose : ∂ + n ( ) := ( ∂ n ( )) + : K n +1 → K ∗ n ∂ − n ( ) := ( ∂ n ( )) − : K n +1 → K ∗ n Lorsqu’un ´el´ement b de la base est dans le support de x , c’est-`a-dire que λ b = 0, on dit que b appartient `a x , ce que l’on note b ∈ x . D´efinition 1.2.11.
Soit a ∈ K ∗ n . On d´efinit par r´ecurrence descendante sur k ≤ n : h a i αk := a si k = n := ∂ αk h a i αk +1 sinonLe tableau associ´e `a a est alors : h a i := (cid:18) h a i − ... h a i − n − a h a i +0 ... h a i + n − a (cid:19) D´efinition 1.2.12.
La base est dite unitaire lorsque pour tout b ∈ B , le tableau h b i est coh´erent.On d´efinit la relation ⊙ n sur B comme ´etant la plus petite relation transitive et r´eflexive telleque pour tout couple d’´el´ement de la base a, b de dimension sup´erieure ou ´egale `a n : a ⊙ n b si h a i − n ∧ h b i + n = 0 D´efinition 1.2.13.
Une base est dite sans boucles lorsque pour tout n , la relation ⊙ n est un ordre(partiel) sur B .On d´efinit maintenant la sous-cat´egorie CDA B de CDA compos´ee de complexes dirig´es aug-ment´es qui admettent une base unitaire et sans boucles. On va maintenant d´ecrire l’analogue de lanotion de base pour les ω -cat´egories. D´efinition 1.2.14.
Une ω -cat´egorie C est g´en´er´ee par composition par un ensemble E ⊂ C lorsquetoute cellule peut s’´ecrire comme une composition d’´el´ements de E et d’unit´es it´er´ees d’´el´ements de E . Cet ensemble est une base si { [ e ] d ( e ) } e ∈ E est une base du complexe dirig´e augment´e λC .Comme les bases, si elles existent, sont uniques pour les complexes dirig´es augment´es, elles le sontaussi pour les ω -cat´egories. On donne maintenant les analogues des notions de base sans boucles etunitaire. D´efinition 1.2.15.
Une base E d’une ω -cat´egorie est :(1) Sans boucles lorsque { [ e ] d ( e ) } e ∈ E l’est.(2) Atomique lorsque [ d + n e ] n ∧ [ d − n e ] n = 0 pour tout e ∈ E et tout entier n strictement inf´erieur`a la dimension de e . Proposition 1.2.16.
Si une base sans boucles E est atomique alors { [ e ] } e ∈ E est unitaire.D´emonstration. Voir [5, proposition 4.6] (cid:3)
On d´efinit alors la cat´egorie ω -cat B comme ´etant la sous-cat´egorie pleine de ω -cat compos´eedes ω -cat´egories admettant une base atomique et sans boucles. Th´eor`eme 1.2.17.
Une fois restreinte, l’adjonction λ : ω -cat B - - ⊥ CDA B m m : ν. devient une ´equivalence adjointe, c’est-`a-dire que : λ ◦ ν ∼ = id CDA B idω -cat B ∼ = ν ◦ λ D´emonstration.
Voir [5, th´eor`eme 5.11]. (cid:3) Si K est un complexe dirig´e augment´e admettant une base unitaire et sans boucles B , alors la ω -cat´egorie νK admet une base atomique et sans boucles donn´ee par l’ensemble h B i := {h b i , b ∈ B } .R´eciproquement si une ω -cat´egorie C admet une base atomique et sans boucles E , alors le complexedirig´e augment´e λC admet une base unitaire et sans boucles donn´e par la famille d’ensembles[ E n ] := { [ e ] d ( e ) , e ∈ E n } . Chaˆınes
D´efinition et propri´et´es des chaˆınes.
On fixe un complexe dirig´e augment´e K admettantune base sans boucles et unitaire B . D´efinition 2.1.1.
Une chaˆıne est une somme P b ∈ B λ b b telle que la famille { λ b } b ∈ B soit compos´eed’entiers positifs, nuls sauf un nombre fini.Pour une chaˆıne a , on note supp ( a ) ⊂ B son support. Le degr´e d’une chaˆıne non nulle a est lemaximum de l’ensemble {| b | , b ∈ supp ( a ) } et est not´e | a | . On ´etend le degr´e `a toutes les chaˆınes enposant | | = − D´efinition 2.1.2.
Pour une chaˆıne quelconque a := P b ∈ B λ b b , et un ´el´ement b ∈ B , l’entier λ b seraappel´e l’indice de b dans a , et not´e λ ab . Un ´el´ement est dans le support de a quand son indice estnon nul. Pour deux chaˆınes a, a ′ , un ´el´ement b ∈ B , et µ ∈ N on a : λ µab = µλ ab λ a + a ′ b = λ ab + λ a ′ b λ a ∧ a ′ b = min( λ ab , λ a ′ b ) λ a ∨ a ′ b = max( λ ab , λ a ′ b ) λ a (cid:31) a ′ b = | λ ab − λ a ′ b | + o`u pour un entier relatif k , | k | + := max( k, a ≤ a ′ ssi ∀ b ∈ B, λ ab ≤ λ a ′ b On d´efinit aussi a ≤ ∀ b ∈ B, λ ab ≤
1. Cette relation d’ordre v´erifie alors les propri´et´essuivantes : pour toutes chaˆınes a, a ′ , a ′′ , a ′ ≤ a et a ′′ ≤ a ⇒ a ′ ∧ a ′′ ≤ a ′ ∨ a ′′ ≤ aa ≤ a ′ et a ≤ a ′′ ⇒ a ≤ a ′ ∧ a ′′ ≤ a ′ ∨ a ′′ ≤ a ′ + a ′′ a ′ ≤ a et a ′′ ≤ a et supp ( a ′ ) ∩ supp ( a ′′ ) = ∅ ⇒ a ′ + a ′′ ≤ a D´efinition 2.1.3.
Soient P b ∈ B λ b b une chaˆıne et k un entier. Le k -reste de a , not´e r k ( a ), est d´efinipar r k ( a ) := X b ∈ B ξ kb λ b b, o`u ξ kb = 1 lorsque | b | ≤ k et nul sinon.La partie k -homog`ene de a , not´ee ( a ) k , est d´efinie par( a ) k := X b ∈ B σ kb λ b b, o`u σ kb = 1 lorsque | b | = k et nul sinon.Une chaˆıne a v´erifiant a = ( a ) | a | est dite homog`ene .Tout ´el´ement de K ∗ correspond `a une chaˆıne homog`ene, r´eciproquement, toute chaˆıne homog`enecorrespond `a un ´el´ement de K ∗ . D´efinition 2.1.4.
On d´efinit alors les applications sources et buts par co-induction. Pour un entier n et α ∈ {− , + } : d αn ( a ) := (cid:26) a si | a | ≤ n∂ αn (( d αn +1 a ) n +1 ) + r n ( d αn +1 a ) sinonPour une chaˆıne quelconque a , un entier n et α ∈ {− , + } , le degr´e de d αn ( a ) est inf´erieur ou ´egal `a n et on a donc par construction d αn ( a ) = d αn ( d αn +1 ( a )) . ONDITIONS DE KAN SUR LES NERFS DES ω -CAT´EGORIES 13 Remarque 2.1.5.
Pour une chaˆıne a , n un entier et α ∈ {− , + } , on a l’´egalit´e : r n ( a ) = r n ( d αn +1 ( a )) . Remarque 2.1.6. Si a est une chaˆıne homog`ene, d αn ( a ) est aussi une chaˆıne homog`ene et on a alors d αn a = ∂ αn (( d αn +1 a )) pour tout n < | a | . Il est alors int´eressant de remarquer la ressemblance avec lad´efinition 1.2.11. On a en effet pour tout k ≤ n et α ∈ {− , + } , d αk ( a ) = h a i αk . D´efinition 2.1.7.
Deux chaˆınes a et b sont n -parall`eles lorsque d − n ( a ) = d − n ( b ) et d + n ( a ) = d + n ( b ) . Lemme 2.1.8.
Soit a une chaˆıne de degr´e n + 1 . On a alors d + n − ◦ d + n ( a ) = d + n − ◦ d − n ( a ) et d − n − ◦ d + n ( a ) = d − n − ◦ d − n ( a ) . D´emonstration.
En appliquant la d´efinition des applications sources et buts, on obtient : d + n − ◦ d + n ( a ) = d + n − (cid:0) ∂ + n (( a ) n +1 ) + r n ( a ) (cid:1) = ∂ + n − (cid:0) ∂ + n (( a ) n +1 ) + r n ( a ) (cid:1) + r n − (cid:0) ∂ + n (( a ) n +1 ) + r n ( a ) (cid:1) = ∂ + n − (cid:0) ∂ + n (( a ) n +1 ) + r n ( a ) (cid:1) + r n − ( a )de mˆeme : d + n − ◦ d − n ( a ) = ∂ + n − (cid:0) ∂ − n (( a ) n +1 ) + r n ( a ) (cid:1) + r n − ( a )Or ∂ n − (cid:0) ∂ + n (( a ) n +1 ) + r n ( a ) (cid:1) − ∂ n − (cid:0) ∂ − n (( a ) n +1 ) + r n ( a ) (cid:1) = ∂ n − (cid:0) ∂ + n (( a ) n +1 ) − ∂ − n (( a ) n +1 ) (cid:1) = ∂ n − ∂ n (( a ) n +1 ) = 0d’o`u ∂ + n − (cid:0) ∂ + n (( a ) n +1 ) + r n ( a ) (cid:1) = ∂ + n − (cid:0) ∂ − n (( a ) n +1 ) + r n ( a ) (cid:1) ⇔ d + n − ◦ d + n ( a ) = d + n − ◦ d − n ( a )On montre de fa¸con analogue l’´egalit´e d − n − ◦ d + n ( a ) = d − n − ◦ d − n ( a ). (cid:3) Proposition 2.1.9.
Pour tout entier n > , d + n − ◦ d + n = d + n − ◦ d − n et d − n − ◦ d + n = d − n − ◦ d − n . D´emonstration.
Soit a une chaˆıne quelconque. Si n est sup´erieur ou ´egal au degr´e de a alors d − n ( a ) = d + n ( a ) = a , et l’´egalit´e est donc trivialement vraie. On va montrer le r´esultat dans le cas g´en´eral pourtoute chaˆıne a et un entier n , par r´ecurrence sur k := | a | − n .Le lemme pr´ec´edent correspond au cas | a | − n = 1 ⇔ | a | = n + 1, et est donc l’initialisation denotre r´ecurrence.Supposons maintenant le r´esultat vrai au rang k , et donnons nous une chaˆıne a et un entier n v´erifiant | a | − n = k + 1. On a donc | a | − ( n + 1) = k et l’hypoth`ese de r´ecurrence nous permetd’affirmer que d − n ( d + n +1 ( a )) = d − n ( d − n +1 ( a )). La d´efinition des applications sources et buts impliquequant `a elle que pour α ∈ {− , + } , d αn ( a ) = d αn ( d αn +1 ( a )). Comme | d + n +1 ( a ) | = n + 1, le lemmepr´ec´edent indique que d + n − ◦ d + n ( d + n +1 ( a )) = d + n − ◦ d − n ( d + n +1 ( a )) . En mettant tout ensemble, on obtient le r´esultat voulu : d + n − ◦ d + n ( a ) = d + n − ◦ d + n ( d + n +1 ( a )) = d + n − ◦ d − n ( d + n +1 ( a )) = d + n − ◦ d − n ( d − n +1 ( a )) = d + n − ◦ d − n ( a )L’autre ´egalit´e se montre de fa¸con analogue. (cid:3) On va se servir de la proposition pr´ec´edente pour d´efinir une augmentation.
Proposition 2.1.10.
Soit a une chaˆıne quelconque, alors d +0 ( a ) et d +1 ( a ) sont des chaˆınes homog`enesde degr´e zero, et e ( d +0 a ) = e ( d +1 a ) . D´emonstration.
La proposition 2.1.9 indique que pour tout α ∈ {− , + } , d α ( a ) = d α ( d +1 a ). Quitte `aremplacer a par d +1 a , on peut supposer que a est de degr´e 1. On d´efinit alors r := r ( a ) et a ′ := a − r .On a alors e ( d +0 a ) = e ( ∂ +0 ( a ′ ) + r )= e ( ∂ +0 ( a ′ )) + r = e ( ∂ − ( a ′ )) + r = e ( d +0 a ) . (cid:3) D´efinition 2.1.11.
Pour une chaˆıne quelconque a , on d´efinit e ( a ) := e ( d +0 a ) = e ( d +1 a ) . Lemme 2.1.12.
Soient a, c deux chaˆınes, n un entier tel que | a | ≥ n > | c | et α ∈ {− , + } . Alors d αn ( a + c ) = d n ( a ) + c .D´emonstration. On va proc´eder par une r´ecurrence descendante sur | c | < n ≤ | a | . Si n = | a | , alors d n ( a + c ) = a + c = d n ( a ) + c . Supposons maintenant le r´esultat vrai pour n > | c | + 1 . On a alors d αn − ( a + c ) = ∂ αn − (cid:0) ( d αn ( a + c )) n (cid:1) + r n ( d αn ( a + c ))= ∂ αn − (cid:0) ( d αn a + c ) n (cid:1) + r n ( d αn a + c )= ∂ αn − (cid:0) ( d αn a ) n (cid:1) + r n ( d αn a ) + c = d αn − ( a ) + c. Ainsi, le r´esultat est vrai pour ( n − (cid:3) Proposition 2.1.13.
Soient a, c deux chaˆınes, n := min ( | a | , | c | ) et α ∈ {− , + } . On suppose de plusque r n − ( a + c ) = 0 . On a alors d αn − ( a + c ) = ( d αn − ( a ) (cid:31) d − αn − ( c )) + ( d αn − ( c ) (cid:31) d − αn − ( a )) . D´emonstration.
Supposons tout d’abord que | a | = | c | . Les deux chaˆınes sont alors homog`enes. On aalors : d αn − ( a + c ) = ∂ αn − ( a + c )= ( ∂ n − ( a + c )) α = ( ∂ + n − ( a ) − ∂ − n − ( a ) + ∂ + n − ( c ) − ∂ − n − ( c )) α = ( ∂ αn − ( a ) − ∂ − αn − ( a ) + ∂ αn − ( c ) − ∂ − αn − ( c )) + Comme les supports de ∂ αn − ( a ) et ∂ − αn − ( a ) (resp. ∂ αn − ( c ) et ∂ − αn − ( c )) sont disjoints par construction,on a bien d αn − ( a + c ) = ( ∂ αn − ( a ) − ∂ − αn − ( c )) + + ( ∂ αn − ( c ) − ∂ − αn − ( a )) + = ( d αn − ( a ) (cid:31) d − αn − ( c )) + ( d αn − ( c ) (cid:31) d − αn − ( a ))Supposons maintenant que | a | > | c | . On a alors d αn − ( a + c ) = ∂ αn − ( d + n ( a + c ))= ∂ αn − ( d + n ( a ) + c ) (2.1.12)= d αn − ( d + n ( a ) + c ) ONDITIONS DE KAN SUR LES NERFS DES ω -CAT´EGORIES 15 Or | d + n ( a ) | = | c | = n , on s’est donc ramen´e au cas pr´ec´edent, et on obtient : d αn − ( a + c ) = ( ∂ αn − ( d + n ( a )) − ∂ − αn − ( c )) + + ( ∂ αn − ( c ) − ∂ − αn − ( d + n ( a ))) + = ( d αn − ( a ) − d − αn − ( c )) + + ( d αn − ( c ) − d − αn − ( a )) + = ( d αn − ( a ) (cid:31) d − αn − ( c )) + ( d αn − ( c ) (cid:31) d − αn − ( a )) . (cid:3) En particulier, pour deux chaˆınes a et c v´erifiant les hypoth`eses de la proposition, d αn − ( a + c ) ned´epend que de d + n − ( a ) , d − n − ( a ) et d + n − ( c ) , d − n − ( c ). Lemme 2.1.14.
Soit a une chaˆıne, n un entier inf´erieur ou ´egale au degr´e de a et α ∈ {− , + } . Ona alors r n − ( a ) = d − n − ( a ) ∧ d + n − ( a ) .D´emonstration. Comme on l’a remarqu´e en 2.1.5, on a r n − ( d αn a ) = r n − ( a ). De plus l’´egalit´e d + n − d + n ( a ) = d + n − d − n ( a ), prouv´ee en 2.1.9, implique que ∂ + n − (( d + n a ) n ) + r n − ( d + n a ) = ∂ + n − (( d − n a ) n ) + r n − ( d − n a ) ⇔ ∂ + n − (( d + n a ) n ) + r n − ( a ) = ∂ + n − (( d + n a ) n ) + r n − ( a ) ⇔ ∂ + n − (( d + n a ) n ) = ∂ + n − (( d − n a ) n )et donc d − n − ( a ) ∧ d + n − ( a ) = (cid:0) ∂ − n − (( d − n a ) n ) + r n − ( d − n ( a )) (cid:1) ∧ (cid:0) ∂ + n − (( d + n a ) n )) + r n − ( d + n ( a )) (cid:1) = (cid:0) ∂ − n − (( d − n a ) n ) + r n − ( a ) (cid:1) ∧ (cid:0) ∂ + n − (( d − n a ) n )) + r n − ( a ) (cid:1) = r n − ( a ) ∧ r n − ( a )= r n − ( a ) . (cid:3) Corollaire 2.1.15.
Soient a et a ′ deux chaˆınes de mˆeme degr´e, et c une chaˆıne quelconque. Soient α ∈ {− , + } et n := min ( | a | , | c | ) . On suppose que pour tout β ∈ {− , + } , d βn − ( a ) = d βn − ( a ′ ) . On aalors : d αn − ( a + c ) = d αn − ( a ′ + c ) . D´emonstration.
Donnons nous trois chaˆınes a, a ′ , c v´erifiant les conditions du corollaire. Supposonstout d’abord que r n − ( a + c ) = r n − ( a ′ + c ) = 0. On a donc : d αn − ( a + c ) = ( d αn − ( a ) (cid:31) d − αn − ( c )) + ( d αn − ( c ) (cid:31) d − αn − ( a ))= ( d αn − ( a ′ ) (cid:31) d − αn − ( c )) + ( d αn − ( c ) (cid:31) d − αn − ( a ′ ))= d αn − ( a ′ + c )Pla¸cons nous maintenant dans le cas g´en´eral. Le lemme 2.1.14 implique que r n − ( a ) = d − n − ( a ) ∧ d + n − ( a ) = d − n − ( a ′ ) ∧ d + n − ( a ′ ) = r n − ( a ′ ) . En posant ˜ a := a − r n − ( a )˜ a ′ := a ′ − r n − ( a ′ )˜ c := c − r n − ( c ) , on a alors d αn − (˜ a + ˜ c ) = d αn − (˜ a ′ + ˜ c ) et donc d αn − ( a + c ) = d αn − (˜ a + ˜ c ) + r n − ( a ) + r n − ( c ) = d αn − (˜ a ′ + ˜ c ) + r n − ( a ′ ) + r n − ( c ) = d αn − ( a ′ + c ) . (cid:3) D´efinition 2.1.16.
Pour une chaˆıne a , on d´efinit le degr´e de composition | a | c : | a | c = sup { n ∈ N ∪ {− }|∃ b, b ′ ∈ supp ( a ) tels que b = b ′ , | b | ≥ | b ′ | > n } o`u on choisit la convention sup( ∅ ) := − Remarque 2.1.17.
Si le support d’un chaˆıne est vide ou r´eduit `a un seul ´el´ement, son degr´e decomposition sera −
1. Dans le cas contraire, pour obtenir le degr´e de composition, on soustrait 1 audegr´e de l’´el´ement du support admettant le deuxi`eme plus grand degr´e.Pour une chaˆıne a , il existe donc au plus un b dans le support de a tel que | b | > | a | c + 1. Remarque 2.1.18.
Par une r´ecurrence simple, on peut montrer `a partir de la propri´et´e 2.1.13que pour une chaˆıne a := P i ≤ m λ i b i dont le | a | c -reste est nul et pour α ∈ {− , + } on a l’in´egalit´esuivante : d α | a | c ( X i ≤ m λ i b i ) ≤ X i ≤ m λ i d α | a | c ( b i )On peut en d´eduire l’inclusion suivante des supports : supp ( d α | a | c ( X i ≤ m λ i b i )) ⊂ [ i ≤ m supp ( d α | a | c ( b i )) . D´efinition 2.1.19.
Soit a une chaˆıne. Alors il existe un entier n et une famille finie { b i } i ≤ n d’´el´ements de B telle que pour tout i < j ≤ n , ( b j ⊙ | a | c b i ) est faux, et telle que a = X i ≤ n λ i b i + r | a | c ( a )o`u les λ i sont des entiers non nuls. On dira alors que la chaˆıne est ´ecrite sous forme ordonn´ee .Pour 0 ≤ k ≤ n + 1 on d´efinit alors a La relation d’ordre ⊙ | a | c n’´etant pas totale, l’´ecriture ordonn´ee n’est pas unique. Proposition 2.1.21. Soient a := P i ≤ m λ i b i + r | a | c ( a ) une chaˆıne sous forme ordonn´ee de degr´e decomposition sup´erieur ou ´egal `a 0. On a alors e ( a ) = e (cid:0) d −| a | c ( a Lemme 2.1.22. Soient a := P i ≤ m λ i b i une chaˆıne sous forme ordonn´ee de degr´e de compositionsup´erieur ou ´egal `a telle que r | a | c ( a ) = 0 , et k ≤ m + 1 un entier. On a alors d + | a | c a = d + | a | c ( a Pour k ´egal `a 0 o`u m + 1, l’´egalit´e que l’on cherche `a montrer est imm´ediatementv´erifi´ee car une des chaˆınes a Donnons nous une chaˆıne a := P i ≤ m λ i b i sous forme ordonn´ee.Supposons tout d’abord que que | a | c ≥ 1. On commence par d´emontrer le r´esultat pour n = | a | c − d −| a | c ( a Une chaˆıne a est coh´erente lorsque e ( a ) = 1. Il est imm´ediat que pour une chaˆıne coh´erente a et un entier quelconque n , les chaˆınes d + n ( a ) et d − n ( a ) sont aussi coh´erentes. De plus si deux chaˆınes sont n -parall`eles pour un entier n quelconque,l’une est coh´erente si et seulement si l’autre l’est. Enfin la proposition pr´ec´edente implique qu’unechaˆıne a := P i ≤ m λ i b i + r | a | c ( a ) ´ecrite sous forme ordonn´ee et de degr´e de composition sup´erieur `az´ero est coh´erente si et seulement si d −| a | c ( a Soit b ∈ B . Le singleton b est une chaˆıne coh´erente.D´emonstration. Cela d´ecoule de la remarque 2.1.6. (cid:3) Proposition 2.1.25. Une chaˆıne coh´erente non nulle de degr´e de composition − est r´eduite `a un´el´ement.D´emonstration. Soit a := P ≤ i ≤ n b i une chaˆıne coh´erente de degr´e de composition − 1. On sait qu’ilexiste au plus un ´el´ement de dimension sup´erieure `a 0 et, quitte `a changer l’indexation, on peutdonc supposer que pour tout i > b i est de dimension 0.On a alors d +0 ( a ) = d +0 ( b ) + P
Soit a une chaˆıne coh´erente. Alors a ≤ (au sens de la d´efinition 2.1.2).D´emonstration de la proposition 2.1.26. On va montrer le r´esultat par r´ecurrence sur le degr´e decomposition. Pour l’initialisation, pla¸cons nous dans le cas o`u | a | c = − 1. Selon la proposition 2.1.25,la chaˆıne a est r´eduite `a un singleton et on a donc a ≤ m , et montronsle r´esultat pour celles de degr´e de composition m + 1. On se donne donc une chaˆıne coh´erente a := P i ≤ n λ i b i ´ecrite sous forme ordonn´ee et v´erifiant | a | c = m + 1, et un entier k ≤ n quelconque.On veut montrer que λ k = 1. Selon la proposition 2.1.21 la chaˆıne c := d −| a | c ( a La proposition pr´ec´edente montre que pour une chaˆıne coh´erente a , son ´ecritureordonn´ee est de la forme a = P i ≤ n b i + r | a | c ( a ). Deux chaˆınes coh´erentes sont donc ´egales si etseulement si elles ont le mˆeme support. Proposition 2.1.28. Soit a := P i ≤ n b i + r | a | c ( a ) une chaˆıne coh´erente ´ecrite sous forme ordonn´eede degr´e de composition sup´erieur ou ´egal `a 0. Alors(1) Pour tout ( k < l ) et pour tout α ∈ {− , + } , d α | a | c b k ∧ d α | a | c b l = 0 ;(2) Pour tout k et pour tout α ∈ {− , + } , d α | a | c b k ∧ r | a | c ( a ) = 0 .D´emonstration. Donnons nous une chaˆıne coh´erente a := P i ≤ n b i ´ecrite sous forme ordonn´ee et unentier k ≤ n . Selon la proposition 2.1.21 la chaˆıne c := d −| a | c ( a 1. D’o`u l’in´egalit´e,(1) 1 ≥ c ≥ d + | a | c ( a ≥ k ) + r | a | c ( a ) . Donnons nous maintenant un ´el´ement b ′ dans le support de d + | a | c ( b k ). Par hypoth`ese, pour tout i > k , d −| a | c ( b i ) ∧ d + | a | c ( b k ) = 0. De plus, on a forc´ement d −| a | c ( b k ) ∧ d + | a | c ( b k ) = 0. Pour tout i ≥ k , on a donc λ d −| a | c ( b i ) b ′ = 0. ONDITIONS DE KAN SUR LES NERFS DES ω -CAT´EGORIES 19 Cependant, le lemme 2.1.22, implique que pour tout ´el´ement b de la base, λ d + | a | c ( a ≥ i ) b = λ d + | a | c ( b i ) b + | λ d + | a | c ( a ≥ i +1 ) b − λ d −| a | c ( b i ) b | + . Appliqu´ee `a l’´el´ement b ′ ∈ supp ( d + | a | c ( b k )) et `a un entier i ≥ k , cette ´egalit´e devient λ d + | a | c ( a ≥ i ) b ′ = λ d + | a | c ( b i ) b ′ + λ d + | a | c ( a ≥ i +1 ) b ′ et par suite λ d + | a | c ( a ≥ k ) b ′ = 1 + X i>k λ d + | a | c ( b i ) b ′ L’in´egalit´e 1 appliqu´ee `a b ′ devient alors1 ≥ λ cb ′ ≥ X i>k λ d + | a | c ( b i ) b ′ + λ r | a | c ( a ) b ′ et donc λ r | a | c ( a ) b ′ = 0 λ d + | a | c ( b i ) b ′ = 0 pour tout i > k Ce calcul ´etant vrai pour tout ´el´ement b ′ du support de d + | a | c ( b k ), on a pour tout i ≥ k , supp ( d + | a | c ( b k )) ∩ supp ( d + | a | c ( b i )) = ∅ et supp ( d + | a | c ( b k )) ∩ supp ( r | a | c ( a )) = ∅ , et donc d + | a | c b k ∧ d + | a | c b i = 0 et d + | a | c b k ∧ r | a | c ( a ) = 0 . La d´emonstration dans le cas α = − est analogue. (cid:3) La ω -cat´egorie des chaˆınes. On va utiliser les chaˆınes coh´erentes pour d´ecrire une autrefa¸con d’associer `a un complexe dirig´e augment´e K admettant une base sans boucles et unitaire, une ω -cat´egorie µK . On d´emontrera le th´eor`eme 2.2.11 qui affirme que cette assignation est un foncteurisomorphe `a ν , c’est-`a-dire que µ ∼ = ν : CDA B → ω -cat . L’int´erˆet de ce nouveau formalisme estqu’il sera plus simple d’exprimer et de d´emontrer le th´eor`eme 2.2.13 de d´ecomposition des cellulesde µK ∼ = νK en ´el´ements de la base. D´efinition 2.2.1. On d´efinit l’ensemble globulaire µK , dont les cellules de dimension n sont leschaˆınes coh´erentes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n . Les morphismes sources et buts sont ceux d´efinisen 2.1.4.On fixe un complexe dirig´e augment´e K admettant une base sans boucles et unitaire B . On veutmaintenant montrer que l’on peut munir l’ensemble globulaire des chaˆınes coh´erentes d’une structurede ω -cat´egorie. Il est facile de d´efinir les k -compositions et les unit´es. Pour montrer qu’elles v´erifientles conditions de distributivit´e et d’associativit´e, on va construire un isomorphisme entre les chaˆınescoh´erentes et les tableaux coh´erents, qui respectera les sources, les buts et les compositions, ce quiimpliquera le r´esultat. D´efinition 2.2.2. Pour x et y deux chaˆınes telles que d − n ( x ) = d + n ( y ) =: z , on d´efinit la compositionde la fa¸con suivante : x ∗ n y := ( x − z + y ) + . Remarque 2.2.3. Soient x et y deux chaˆınes telles que d − n ( x ) = d + n ( y ), et soit b un ´el´ement de labase de dimension strictement sup´erieure `a n . On a alors λ x ∗ n yb = λ xb + λ yb . D´efinition 2.2.4. Soit n un entier. On d´efinit : φ n : νK n → µK n x x + n + P k Proposition 2.2.6. Les applications φ et ψ d´efinissent des morphismes d’ensembles globulaires. Proposition 2.2.7. Les morphismes φ et ψ sont des inverses l’un de l’autre.D´emonstration. Soit x un tableau de dimension n . Montrons que pour tout k ≤ n et α ∈ {− , + } , (cid:0) ψ ◦ φ ( x ) (cid:1) αk = x αk .Le cas k = n est simple : (cid:0) ψ ◦ φ ( x ) (cid:1) αn = ( x + n + P k La proposition pr´ec´edente implique donc qu’un tableau x est coh´erent si etseulement si son image par ψ est coh´erente. On peut alors d´eduire de la propri´et´e 2.1.26 que pourtout entier n inf´erieur `a la dimension de x et pour tout α ∈ {− , + } , x αn ≤ 1. De plus la chaˆıne ∂ αn − ( x αn ) est inf´erieure `a x αn − , on a donc aussi ∂ αn − ( x αn ) ≤ µ en un foncteur. D´efinition 2.2.9. On d´efinit le foncteur µ : CDA B → Glob K µKf : K → K ′ ψ ◦ ν ( f ) ◦ φ : µK → µK ′ . Pour un morphisme f : K → K ′ , on a alors µ ( f ) : µK → µK ′ a f | a | ( a | a | ) + P n< [ a | (cid:18) f n (cid:0) ( d + n a ) n (cid:1) − ∂ + n f n +1 (cid:0) ( d + n +1 a ) n +1 ) (cid:1)(cid:19) = f | a | ( a | a | ) + P n< [ a | (cid:18) f n (cid:0) ( d − n a ) n (cid:1) − ∂ − n f n +1 (cid:0) ( d − n +1 a ) n +1 ) (cid:1)(cid:19) Proposition 2.2.10. Les morphismes φ et ψ pr´eservent les compositions partielles.D´emonstration. Comme on sait que φ et ψ sont inverses l’une de l’autre, il suffit de montrer que φ pr´eserve les compositions partielles. On se donne donc deux tableaux x et y de dimension n et unentier l < n tels que d − l x = d + l y = z .On a donc : φ ( x ∗ l y ) = x + n + y + n + P l l . On peut alors raisonner de fa¸con analogue pour y i +1 pourobtenir(4) ∂ + i ( y + i +1 ) ≤ ∂ + i ( x + i +1 + y + i +1 )La chaˆıne φ ( d + i ( x ◦ l y )) est l’image d’un tableau coh´erent et donc la propri´et´e 2 . . 26 implique que φ ( d + i ( x ◦ l y )) = x + i + y + i + r i − ≤ 1. On en d´eduit que les supports de x + i et de y + i sont disjoints.Or, on a ∂ + i ( x + i +1 ) ≤ x + i et ∂ + i ( y + i +1 ) ≤ y + i , ce qui implique supp ( ∂ + i ( x + i +1 )) ∩ supp ( ∂ + i ( y + i +1 )) ⊂ supp ( x + i ) ∩ supp ( y + i ) = ∅ On peut donc combiner les in´egalit´es (3) et (4) pour obtenir ∂ + i ( y + i +1 ) + ∂ + i ( y + i +1 ) ≤ ∂ + i ( x + i +1 + y + i +1 ) , et l’in´egalit´e (2) implique alors ∂ + ( x + i +1 + y + i +1 ) = ∂ + ( x + i +1 ) + ∂ + ( y + i +1 ) . Montrons maintenant que ˜ r est nulle. La proposition 2.1.13 indique que ∂ + l ( x + l +1 + y + l +1 ) = ( ∂ + l ( x + l +1 ) (cid:31) ∂ − l ( y + l +1 )) + ( ∂ + l ( y + l +1 ) (cid:31) ∂ − l ( x + l +1 )) . d’o`u l’in´egalit´e( ∂ + l ( y + l +1 ) (cid:31) ∂ − l ( x + l +1 )) ≤ ∂ + l ( x + l +1 + y + l +1 ) ≤ ∂ + l ( x + l +1 ) + ( ∂ + l ( y + l +1 ) (cid:31) ∂ − l ( x + l +1 )) . Combin´ee avec l’in´egalit´e (3), on obtient ∂ + l ( x + l +1 ) ∨ ( ∂ + l ( y + l +1 ) (cid:31) ∂ − l ( x + l +1 )) ≤ ∂ + l ( x + l +1 + y + l +1 ) ≤ ∂ + l ( x + l +1 ) + ( ∂ + l ( y + l +1 ) (cid:31) ∂ − l ( x + l +1 )) . Le fait que ∂ + l ( x + l +1 + y + l +1 ) ≤ ∂ + l ( x + l +1 + y + l +1 ) = ∂ + l ( x + l +1 ) ∨ ( ∂ + l ( y + l +1 ) (cid:31) ∂ − l ( x + l +1 )) . Et donc, x + l − ∂ + l ( x + l +1 + y + l +1 ) = x + l (cid:31) ∂ + l ( x + l +1 ) ∧ x + l (cid:31) ( ∂ + l ( y + l +1 ) (cid:31) ∂ − l ( x + l +1 ))Or par d´efinition x + l ∧ ∂ − l ( x + l +1 ) = 0, d’o`u x + l − ∂ + l ( x + l +1 + y + l +1 ) = x + l (cid:31) ∂ + l ( x + l +1 ) ∧ x + l (cid:31) ∂ + l ( y + l +1 )= ( x + l − ∂ + l ( x + l +1 ) + ∂ + l ( y + l +1 )) + . La chaˆıne ˜ r est donc nulle, et donc φ ( x ∗ l y ) = φ ( x ) ∗ l φ ( y ). (cid:3) Th´eor`eme 2.2.11. L’ensemble globulaire µK muni des applications sources et buts et des compo-sitions partielles, d´efinit une ω -cat´egorie isomorphe `a νK . Le foncteur µ se rel`eve en un foncteur `avaleur dans ω -cat , que l’on note aussi µ , et qui est isomorphe `a ν restreint `a CDA B . On en d´eduit directement le corollaire suivant : Corollaire 2.2.12. Les foncteurs λ | ω -cat B et µ forment une ´equivalence adjointe λ : ω -cat B - - ⊥ CDA B m m : µ. Pour une ω -cat´egorie C , l’unit´e de l’adjonction est donn´ee par la transformation naturelle : η : C → µλCx ∈ C n [ x ] n + P k Soit a := P i ≤ m b i + r | a | c ( a ) une chaˆıne coh´erente ´ecrite sous forme ordonn´ee(au sens de la d´efinition 2.1.19). On a alors une d´ecomposition de la cellule a de la forme a = b + ( d + | a | c ( P
On d´efinit : β k := b k + ( d −| a | c ( a Soit a une chaˆıne coh´erente. Alors a est une composition d’´el´ements de la base.De plus, les | a | -cellules apparaissant dans cette d´ecomposition sont les b ∈ ( a ) | a | .D´emonstration. On va montrer le r´esultat par r´ecurrence sur le degr´e de composition de a . L’initia-lisation correspond au cas o`u le degr´e de composition est ´egal `a − 1, et la proposition 2.1.25 impliquedirectement le r´esultat.Supposons donc le r´esultat vrai pour n − a := P i ≤ m b i + r | a | c ( a )de degr´e de composition n . On d´efinit alors β k := b k + ( d −| a | c ( a On note C • (∆[4]) le complexe de chaˆınes r´eduit associ´e `a ∆[4] : C n (∆[4]) := Z { σ v : v ∈ ∆[4] n et v non d´eg´en´er´e } ∂ n +1 : C n +1 (∆[4]) → C n (∆[4]) v P ( − i d i v o`u par convention dans cette somme d i v = 0 si d i v est un simplexe d´eg´en´er´e.On d´efinit aussi, pour tout n , le mono¨ıde additif C ∗ n (∆[4]) engendr´e par les n -simplexes nond´eg´en´er´es, et une augmentation e : C (∆[4]) → Z qui envoie les 0-simplexes sur 1. Le triplet( C n (∆[4]) , C ∗ n (∆[4]) , e ) est alors un complexe dirig´e augment´e. De plus, ce complexe admet unebase, donn´ee par l’ensemble des simplexes non d´eg´en´er´es de ∆[4].On montrera dans les propositions 4.1.10 et 4.1.9 que cette base est sans boucles et unitaire.Servons nous du th´eor`eme pr´ec´edent pour d´ecomposer la source et le but de la 4-cellule σ ∈ µ ( C • (∆[4])) ) en composition d’´el´ements de la base. σ : σ + σ → σ + σ + σ Calculons les sources et buts des 3-cellules correspondant aux 3-simplexes apparaissant dans laformule pr´ec´edente. σ : σ + σ → σ + σ : σ → σ + σ + σ : σ → σ σ : σ + σ → σ + σ : σ → σ + σ + σ : σ → σ σ : σ + σ → σ + σ : σ → σ + σ + σ : σ → σ σ : σ + σ → σ + σ : σ → σ + σ + σ : σ → σ σ : σ + σ → σ + σ : σ → σ + σ + σ : σ → σ et donc σ ⊙ σ σ ⊙ σ ⊙ σ . En appliquant le th´eor`eme 2.2.13, on obtient : σ + σ = ( σ + σ ) ∗ ( σ + σ ) σ + σ + σ = ( σ + σ ) ∗ ( σ + σ ) ∗ ( σ + σ ) . ONDITIONS DE KAN SUR LES NERFS DES ω -CAT´EGORIES 25 Calculons les sources et buts des 2-cellules correspondant aux 2-simplexes apparaissant dans lesformules pr´ec´edentes. σ : σ → σ + σ : σ → σ σ : σ → σ + σ : σ → σ σ : σ → σ + σ : σ → σ σ : σ → σ + σ : σ → σ σ : σ → σ + σ : σ → σ et donc σ ⊙ σ σ ⊙ σ σ ⊙ σ σ ⊙ σ σ ⊙ σ . En appliquant le th´eor`eme 2.2.13, on obtient : σ + σ = ( σ + σ + σ ) ∗ σ σ + σ = ( σ + σ + σ ) ∗ σ σ + σ = ( σ + σ ) ∗ σ σ + σ = ( σ + σ + σ ) ∗ σ σ + σ = ( σ + σ ) ∗ σ . Calculons les sources et buts des 1-cellules correspondant aux 1-simplexes apparaissant dans lesformules pr´ec´edentes. σ : σ → σ σ : σ → σ σ : σ → σ σ : σ → σ et donc σ ⊙ σ ⊙ σ σ ⊙ σ ⊙ σ σ ⊙ σ σ ⊙ σ ⊙ σ σ ⊙ σ . En appliquant le th´eor`eme 2.2.13, on obtient : σ + σ + σ = σ ∗ σ ∗ σ σ + σ + σ = σ ∗ σ ∗ σ σ + σ = σ ∗ σ σ + σ + σ = σ ∗ σ ∗ σ σ + σ = σ ∗ σ . En regroupant tout on obtient : σ + σ = (( σ ∗ σ ∗ σ ) ∗ σ ) ∗ (( σ ∗ σ ∗ σ ) ∗ σ ) σ + σ + σ = (( σ ∗ σ ) ∗ σ ) ∗ (( σ ∗ σ ∗ σ ) ∗ σ ) ∗ (( σ ∗ σ ) ∗ σ )) . D´eveloppements sur les ω -cat´egories et les complexes dirig´es augment´es Quasi-rigidit´e. L’objectif de cette partie est de donner des conditions suffisantes pour que ν pr´eserve les sommes amalgam´ees. D´efinition 3.1.1. Soit f : M → N un morphisme entre deux complexes dirig´es augment´es admet-tant des bases unitaires et sans boucles B M et B N . Le morphisme f est quasi-rigide si pour tout n ,et tout b ∈ ( B M ) n , f n ( b ) = 0 ⇒ f n ( b ) ∈ B N et ν ( f ) h b i = h f n ( b ) i Remarque 3.1.2. Si deux morphismes sont quasi-rigides, leur composition l’est aussi. Proposition 3.1.3. Soit f : M → N un morphisme entre deux complexes dirig´es augment´es ad-mettant des bases B M et B N . Alors les deux conditions suivantes sont ´equivalentes :(1) f est quasi-rigide ; (2) pour tout n , et tout b ∈ ( B M ) n , f n ( b ) = 0 ⇒ f n ( b ) ∈ B N et ∀ k < n, f k ( h b i − k ) ∧ f k ( h b i + k ) = 0 . D´emonstration. Supposons tout d’abord que f est quasi-rigide. On a directement f n ( b ) ∈ B N etpour tout k < n et b ∈ ( B M ) n tels que f n ( b ) = 0 : f k ( h b i − k ) ∧ f k ( h b i + k ) = h f n ( b ) i − k ∧ h f n ( b ) i + k = 0 . Supposons maintenant que f v´erifie la deuxi`eme condition. On a f n ( b ) ∈ B N et pour tout k < n et b ∈ ( B M ) n , tels que f n ( b ) = 0, f k ( h b i + k ) − f k ( h b i − k ) = ∂ k f k +1 ( h b i + k +1 )et comme f k ( h b i − k ) ∧ f k ( h b i + k ) = 0, f k ( h b i + k ) = ( ∂ k f k +1 ( h b i + k +1 )) + = ∂ + k f k +1 ( h b i + k +1 ) f k ( h b i − k ) = ( ∂ k f k +1 ( h b i + k +1 )) − = ∂ − k f k +1 ( h b i + k +1 ) . Par une r´ecurrence simple, on en d´eduit que ν ( f )( h b i ) = h f n ( b ) i . (cid:3) Remarque 3.1.4. La proposition pr´ec´edente implique qu’un morphisme f : M → N qui induit uneinjection sur les bases est quasi-rigide.Le reste de cette partie est d´edi´e `a la d´emonstration du th´eor`eme suivant : Th´eor`eme 3.1.5. Soit une somme amalgam´ee dans CDA telle que tous les complexes dirig´esaugment´es admettent des bases unitaires et sans boucles : K k / / k (cid:15) (cid:15) M l (cid:15) (cid:15) M l / / N ❴✤ et telle que tous les morphismes soient quasi-rigides. Alors le carr´e induit dans ω -cat : νK νk / / νk (cid:15) (cid:15) νM νl (cid:15) (cid:15) νM νl / / νN est une somme amalgam´ee. Jusqu’`a la fin de cette partie, on fixe une somme amalgam´ee dans CDA telle que tous lescomplexes dirig´es augment´es admettent des bases unitaires et sans boucles, et v´erifiant les conditionsdu th´eor`eme pr´ec´edent. K k / / k (cid:15) (cid:15) M l (cid:15) (cid:15) M l / / N. ❴✤ On note M la somme amalgam´ee du diagramme suivant : νK νk / / νk (cid:15) (cid:15) νM j (cid:15) (cid:15) νM j / / M ❴✤ . ONDITIONS DE KAN SUR LES NERFS DES ω -CAT´EGORIES 27 et on a donc par la propri´et´e universelle de la somme amalgam´ee, un morphisme φ : M → νN .On note B K , B M , B M , B N les bases de K, M , M , N . La quasi-rigidit´e des morphismesimplique l’existence, pour tout n , d’un carr´e cocart´esien dans la cat´egorie des ensembles :( B K ) n ∪ { } k n / / k n (cid:15) (cid:15) ( B M ) n ∪ { } l n (cid:15) (cid:15) ( B M ) n ∪ { } l n / / ( B N ) n ∪ { } ❴✤ . Les morphismes induits l n : ( B M ) n ∪ { } ` ( B M ) n ∪ { } → ( B N ) n ∪ { } sont des surjections etadmettent donc des sections s n . On d´efinit l’application j : h B M i ` h B M i → Mb j ( h b i ) si b ∈ B M b j ( h b i ) si b ∈ B M . Pour tout n , on d´efinit E n := { j ( h s n ( b ) i ) , b ∈ ( B N ) n } et on pose alors E ≤ n := ∪ k ≤ n E n et E = ∪ n ∈ N E n . On note ˜ E n l’ensemble des cellules de M g´en´er´eespar composition par E ≤ n . D´efinition 3.1.6. Pour un complexe dirig´e augment´e L , on note τ n ( L ) le complexe dirig´e augment´ed´efini par : ( τ n ( L )) k := L k si k ≤ n := 0 si k > n Cette assignation s’´etend en un foncteur : τ n : CDA → CDA L τ n ( L ) . Si B est une base unitaire et sans boucles pour L , alors B ≤ n := ∪ k ≤ n B k est une base unitaire etsans boucles pour τ n ( L ).Pour une ω -cat´egorie C , on note τ n ( C ) la ω -cat´egorie v´erifiant pour k ≤ n ,( τ n ( C )) k := C k et dont toutes les k -cellules pour k > n sont des unit´es. Cette assignation s’´etend en un foncteur : τ n : ω -cat → ω -cat C τ n ( C ) . Si E est une base atomique et sans boucles pour C , alors E ≤ n := ∪ k ≤ n E k est une base atomique etsans boucles pour τ n ( C ). On a enfin : λ ◦ τ n = τ n ◦ λν ◦ τ n = τ n ◦ ν. Proposition 3.1.7. Soit n un entier. Les assertions suivantes sont ´equivalentes :(1) Pour tout b ∈ ( B M ) ≤ n ` ( B M ) ≤ n , j ( h b i ) est dans ˜ E n ;(2) La ω -cat´egorie τ n ( M ) est g´en´er´ee par composition par E ≤ n ;(3) L’ensemble E ≤ n est une base atomique et sans boucles pour τ n ( M ) ;(4) Le morphisme τ n ( φ ) : τ n ( M ) → τ n ( νN ) est un isomorphisme.D´emonstration. On a directement (3) ⇒ (2) ⇒ (1). L’implication (4) ⇒ (3) provient du fait que lefoncteur φ induit pour tout n une bijection entre E n et h ( B N ) n i .Supposons (1). Les ω -cat´egories τ n ( νM ) et τ n ( νM ) sont g´en´er´ees par composition par les en-sembles h ( B M ) ≤ n i et h ( B M ) ≤ n i . Par la construction de la somme amalgam´ee dans les ω -cat´egories, τ n ( νM ) est donc g´en´er´ee par composition par j ( h ( B M ) ≤ n i ) et j ( h ( B M ) ≤ n i ). L’assertion (1) sti-pule que ces ´el´ements sont eux-mˆemes g´en´er´es par E ≤ n , qui g´en`ere donc τ n ( M ). Supposons maintenant (2). L’ensemble E ≤ n est donc une base pour τ n ( M ). De plus le foncteur λ est un adjoint `a gauche et pr´eserve donc les sommes amalgam´ees. Le morphisme ˜ φ : λM ∼ −→ N estalors une ´equivalence et induit, pour tout k , une bijection entre [ E k ] et B k . La base E ≤ n est doncsans boucles. Il reste `a montrer qu’elle est atomique. Donnons nous donc m ≤ n et j ( h s m ( b ) i ) ∈ E m .On peut supposer sans perte de g´en´eralit´e que s m ( b ) appartient `a ( B M ) m . On a alors, pour tout k < m ,˜ φ ([ d − k ( j ( h s m ( b ) i )] k ∧ [ d + k ( j ( h s m ( b ) i )] k ) = ˜ φ ([ d − k ( j ( h s m ( b ) i )] k ) ∧ ˜ φ ([ d + k ( j ( h s m ( b ) i )] k )= ˜ φλj ([ d − k ( h s m ( b ) i )] k ) ∧ ˜ φλj ([ d + k ( h s m ( b ) i )] k )= l k ( h s m ( b ) i − k ) ∧ l k ( h s m ( b ) i + k )Le morphisme l ´etant quasi-rigide, la proposition 3.1.3 implique que l k ( h s m ( b ) i − k ) ∧ l k ( h s m ( b ) i + k ) = 0.On a alors ˜ φ ([ d − k ( j ( h s m ( b ) i )] k ∧ [ d + k ( j ( h s m ( b ) i )] k ) = 0d’o`u [ d − k ( j ( h s m ( b ) i )] k ∧ [ d + k ( j ( h s m ( b ) i )] k = 0 . L’ensemble E ≤ n est donc une base atomique et sans boucles pour τ n ( M ).Supposons enfin (3). Le morphisme τ n ( ˜ φ ) : λ ( τ n ( M )) → τ n ( N ) est donc un isomorphisme entredes complexes dirig´es augment´es admettant des bases unitaires et sans boucles, et τ n ( φ ) est donclui aussi un isomorphisme. (cid:3) Lemme 3.1.8. Soit n un entier. On suppose que τ n ( φ ) : τ n ( M ) → τ n ( νN ) est un isomorphisme.Soient b, c deux ´el´ements de ( B M ) n +1 ` ( B M ) n +1 (1) Si l n +1 ( b ) = l n +1 ( c ) , alors j ( h b i ) = j ( h c i ) ;(2) Si l n +1 ( b ) = 0 , alors j ( h b i ) est une unit´e.D´emonstration. Soit d un ´el´ement de ( B K ) n +1 . Les morphismes k et k ´etant quasi-rigides, on a k n +1 ( d ) , k n +1 ( d ) ∈ ( B M ) n +1 ∪ { } a ( B M ) n +1 ∪ { } et j ( h k n +1 ( d ) i ) = j ( h k n +1 ( d ) i ), ce qui montre le premier point.Si k n +1 ( d ) est nul et que k n +1 ( d ) ne l’est pas, alors, νk ( h d i ) est une unit´e, et donc j ( h k n +1 d i ) = j νk n +1 ( h d i ) = j νk n +1 ( h d i )l’est aussi. Le raisonnement est similaire dans le cas o`u k n +1 ( d ) est nul et o`u k n +1 ( d ) ne l’est pas,ce qui montre le point (2) et conclut la preuve. (cid:3) D´emonstration du th´eor`eme 3.1.5. Montrons par r´ecurrence sur n que le morphisme τ n ( φ ) est unisomorphisme.Pour l’initialisation, remarquons qu’on a des isomorphismes M ∼ = E ∼ = ( νN ) , et donc τ ( φ ) estun isomorphisme. Supposons maintenant la propri´et´e vraie au rang n . Selon la proposition 3.1.7, ilsuffit de montrer que pour tout b ∈ ( B M ) n +1 ` ( B M ) n +1 , j ( h b i ) est dans ˜ E n .Supposons tout d’abord que l n +1 ( b ) = 0. Le lemme 3.1.8 indique que j ( h b i ) est une unit´e et estdonc de la forme 1 n +1 x o`u x est une n -cellule. L’hypoth`ese de r´ecurrence implique alors que x ∈ ˜ E n et donc j ( h b i ) ∈ ˜ E n ⊂ ˜ E n +1 .Supposons maintenant que l n +1 ( b ) n’est pas nul. Comme l et l sont quasi-rigides, cela im-plique que l n +1 ( b ) est un ´el´ement de ( B N ) n +1 . On a donc, selon le lemme 3.1.8, l’´egalit´e j ( h b i ) = j ( h s n +1 l n +1 ( b ) i ) et donc j i ( h b i ) ∈ ˜ E n +1 , ce qui conclut la preuve. (cid:3) ONDITIONS DE KAN SUR LES NERFS DES ω -CAT´EGORIES 29 ´Equations dans une ω -cat´egorie. Dans cette partie, on va formaliser une notion d’´equationdans une ω -cat´egorie. On se fixe pour la suite une ω -cat´egorie C . D´efinition 3.2.1. On d´efinit I n comme la ω -cat´egorie qui, pour tout k < n , poss`ede deux k -cellulesn’´etant pas des unit´es, not´ees e + k , e − k , une n -cellule qui n’est pas une unit´e, not´ee e n , et dont toutesles cellules de dimension strictement sup´erieure `a n sont des unit´es. Les applications sources et butssont d´efinies par : d αl e βk = e αl pour l < k < n et d αl e n = e αl pour l < n et α, β ∈ {− , + } . Il y a alorsune bijection canonique entre les cellules de dimension n de C et les morphismes I n → C .On d´efinit aussi la ω -cat´egorie ∂I n obtenue de I n en enlevant la cellule e n . Posons alors i − : I n − ≃ I n − a ∅ → I n − a ∂I n − I n − i + : I n − ≃ ∅ a I n − → I n − a ∂I n − I n − Il existe alors un unique isomorphisme φ : I n − a ∂I n − I n − ∼ −→ ∂I n tel que φ ◦ i α ( e n − ) = e αn − pour α ∈ {− , + } Par abus de langage la compostion φ ◦ i α : I n − → ∂I n pour α ∈ {− , + } sera aussi not´ee i α . D´efinition 3.2.2. Soient P une ω -cat´egorie et a, b deux ( n − P . Ces donn´eesd´efinissent un morphisme ( a, b ) : ∂I n = I n − a ∂I n − I n − a ` b −−−→ P. La somme amalgam´ee suivante est not´ee P [ a x b ] : ∂I n ( a,b ) / / (cid:15) (cid:15) P (cid:15) (cid:15) I n ( x ) / / P [ a x b ] . ❴✤ D´efinition 3.2.3. Soient P une ω -cat´egorie, a, b deux ( n − P , et c, d deux n -cellulesparall`eles de P [ a x b ]. On d´efinit alors Eq P ( y : c ( x ) → d ( x )) := ( P [ a x b ])[ c y d ] . On dit que cette ω -cat´egorie est une ´equation lorsqu’elle admet une base atomique et sans boucles. Proposition 3.2.4. Soit Eq P ( y : c ( x ) → d ( x )) une ´equation. Alors(1) La cellule x apparaˆıt au plus une fois dans les d´ecompositions de c et de d en ´el´ements dela base,(2) La cellule x ne peut pas apparaˆıtre `a la fois dans les d´ecompositions de c et dans celles de d .D´emonstration. La ω -cat´egorie Eq P ( y : c ( x ) → d ( x )) admet une base atomique et sans boucles quel’on note E . Selon le corrolaire 2.2.12, on a un isomorphisme η : Eq P ( y : c ( x ) → d ( x )) → µλ Eq P ( y : c ( x ) → d ( x ))qui envoie les n -cellules b sur des chaˆınes coh´erentes η ( b ) v´erifiant ( η ( b )) n = [ b ] n . De plus, x et y sont dans E , et [ x ] n et donc [ y ] n +1 sont dans la base de λ Eq P ( y : c ( x ) → d ( x )).Notons λ ax le nombre d’apparitions de x dans une d´ecomposition donn´ee d’une n -cellule a . Ilexiste donc une d´ecomposition de η ( a ) o`u η ( x ) = [ x ] n apparaˆıt ( λ ax ) fois. Les cellules [ x ] n et η ( a )´etant de mˆeme dimension, on peut d´eduire de la remarque 2.2.3 que λ ax = λ η ( a )[ x ] n . De plus [ x ] n est dedimension n , et donc λ η ( a )[ x ] n = λ ( η ( a )) n [ x ] n = λ [ a ] n [ x ] n . Ces deux ´egalit´es se r´esument par : λ ax = λ η ( a )[ x ] n = λ [ a ] n [ x ] n . La chaˆıne η ( a ) est coh´erente et la proposition 2.1.26 implique donc que λ ax ≤ 1. Appliqu´ee `a c et d ,cette in´egalit´e prouve le premier point. Montrons maintenant le deuxi`eme. La cellule y appartient `a E , qui est une base atomique. On adonc [ c ] n ∧ [ d ] n = [ d + n y ] n ∧ [ d − n y ] n = 0d’o`u λ cx = λ [ c ][ x ] n = 0 ou λ dx = λ [ d ][ x ] n = 0 , ce qui conclut la preuve. (cid:3) D´efinition 3.2.5. Une ´equation `a param`etres dans C est la donn´ee d’une equation Eq P ( y : c ( x ) → d ( x )) ainsi que d’un diagramme : P p / / (cid:15) (cid:15) C Eq P ( y : c ( x ) → d ( x )) . Une pr´e-solution de l’´equation Eq P ( y : c ( x ) → d ( x )) avec param`etre p dans C est un rel`evement l : Eq P ( y : c ( x ) → d ( x )) → C faisant commuter le triangle induit. Une pr´esolution est une solution lorsque y est envoy´e sur unecellule faiblement inversible.On dit que l’´equation Eq P ( y : c ( x ) → d ( x )) admet toujours des pr´e-solutions dans C lorsqu’ilexiste une pr´e-solution pour tout choix de param`etre p : P → C .On dit que l’´equation Eq P ( y : c ( x ) → d ( x )) admet toujours des solutions dans C lorsqu’il existeune solution pour tout choix de param`etre p : P → C . Remarque 3.2.6. La terminologie provient du fait qu’une ´equation ´etant d´efinie par des sommesamalgam´ees, trouver une solution consiste `a exhiber des cellules x et y v´erifiant les conditions voulues.Il y a donc une vraie analogie avec la notion habituelle d’´equation. D´efinition 3.2.7. Par abus de langage on note encore i α la composition I n − i α → ∂I n → I n pour α ∈ {− , + } . On d´efinit P + comme ´etant la somme amalgam´ee : I n − i + / / i + (cid:15) (cid:15) I ni (cid:15) (cid:15) I n i / / P + . ❴✤ On note e αk les cellules de P + dans l’image de i et f αk celles dans l’image de i . On a alors f + n − = e + n − et f αk = e αk pour k < n − α ∈ {− , + } et on d´efinit : a n − := f − n − b n − := e − n − c n − := f + n − = e + n − i αk := f αk = e αk pour k < n − α ∈ {− , + } pour k < n − α ∈ {− , + } On d´efinit l’´equation Eq ( y : f n → e n ∗ n − x ) de param`etre P + : ∂I n ( f − n − ,e − n − ) / / (cid:15) (cid:15) P + (cid:15) (cid:15) I n / / P + [ f − n − x e − n − ] ❴✤ ∂I n ( f n ,e n ∗ n − x ) / / (cid:15) (cid:15) P + [ f − n − x e − n − ] (cid:15) (cid:15) I n / / Eq ( y : f n → e n ∗ n − x ) . ❴✤ ONDITIONS DE KAN SUR LES NERFS DES ω -CAT´EGORIES 31 De fa¸con sym´etrique, on d´efinit l’´equation : P − → Eq ( y : f n → x ∗ n − e n ) . Remarque 3.2.8. On peut expliciter les cellules de ces ω -cat´egories qui ne sont pas des unit´es. Eq ( y : f n → e n ∗ n − x ) n +1 = { y } Eq ( y : f n → e n ∗ n − x ) n = { f n , e n , x, e n ∗ n − x } Eq ( y : f n → e n ∗ n − x ) n − = { a n − , b n − , c n − } Eq ( y : f n → e n ∗ n − x ) l = { i − l , i + l } pour l < n − d − n ( y ) = f n d + n ( y ) = e n ∗ n − xd − n − ( f n ) = a n − d + n − ( f n ) = c n − d − n − ( e n ) = b n − d + n − ( e n ) = c n − d − n − ( x ) = a n − d + n − ( x n ) = b n − d − n − ( a n − ) = i − n − d + n − ( a n − ) = i + n − d − n − ( b n − ) = i − n − d + n − ( b n − ) = i + n − d − n − ( c n − ) = i − n − d + n − ( c n − ) = i + n − d − l − ( i αl ) = i − l − d + l − ( i αl ) = i + l − pour l < n − α ∈ {− , + } On v´erifie ais´ement que Eq ( y : f n → e n ∗ n − x ) est une ω -cat´egorie admettant une base sansboucles et atomique. Proposition 3.2.9. Une ω -cat´egorie C est k -triviale si et seulement si les ´equations Eq ( y : f n → e n ∗ n − x ) admettent toujours des pr´e-solutions pour n ≥ k . Ces pr´e-solutions sontalors des solutions.D´emonstration. On va utiliser ici la caract´erisation des cellules faiblement inversibles par des en-sembles d’inversibilit´e, ´enonc´ee dans la proposition 1.1.12.Supposons donc que les ´equations Eq ( y : f n → e n ∗ n − x ) admettent toujours des pr´e-solutionspour n ≥ k . On se donne une n -cellule a avec n ≥ k , et on va construire par induction un ensembled’inversibilit´e E a pour a . Cela impliquera le r´esultat.On d´efinit donc E a := { a } . Supposons E ka construit. Soit b une n + k cellule de E ka .Comme les ´equations Eq ( y : f n + k → e n + k ∗ n + k − x ) admettent des pr´e-solutions pour tout choixde param`etre p : P + → C , il existe des ´el´ements x, x ′ , y, y ′ , y ′′ , z v´erifiant : y : 1 d − n + k − b → x ∗ n + k − by ′ : 1 d + n + k − b → x ′ ∗ n + k − xz : 1 d − n + k y ′ → y ′′ ∗ n + k y ′ On d´efinit enfin la cellule ˜ y comme la ( n + k )-composition :1 d + n + k − b ˜ y / / y ′ & & ▼▼▼▼▼▼▼▼▼ b ∗ n + k − xx ′ ∗ n + k − x x ′ ∗ n + k − y ∗ n + k − x / / x ′ ∗ n + k − x ∗ n + k − b ∗ n + k − x y ′′ ∗ n + k − b ∗ n + k − x ❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥❥ On pose alors ( E ka ) b := { x, y, ˜ y } et on d´efinit E k +1 a comme l’union de E ka et des ensembles ( E ka ) b pour toute ( n + k )-cellule b ∈ E ka .Enfin, on d´efinit E a := ∪ k ∈ N E ka . Cet ensemble v´erifie bien les conditions voulues. Toutes lescellules de C de dimension sup´erieure ou ´egale `a k sont donc faiblement inversibles, c’est-`a-dire que C est k -triviale.R´eciproquement, supposons que C est k -triviale. Le point (1) de la proposition 1.1.15 impliquedirectement le r´esultat. (cid:3) Nerf de Street Nerf d’une ω -Cat´egorie. Dans la partie pr´ec´edente, on a construit un foncteur ν : CDA → ω -cat et un foncteur µ : CDA B → ω -cat tel que ν | CDA B ∼ = µ . On va s’en servir pour construireune adjonction entre la cat´egorie des ensembles simpliciaux et la cat´egorie des ω -cat´egories. D´efinition 4.1.1. Soit K un ensemble simplicial. On note S nk l’ensemble des suites finies strictementcroissantes de longueur k compos´ees d’entiers inf´erieurs ou ´egaux `a n . Alors K est r´egulier si pourtout n -simplexe non d´eg´en´er´e x et pour tout 0 ≤ k ≤ n , l’application S nk → K n − k ( i < ... < i k ) d i ...d i k x est injective. Remarque 4.1.2. Les ensembles simpliciaux repr´esentables sont r´eguliers. D´efinition 4.1.3. Soit K un ensemble simplicial. On note C • ( K ) le complexe de chaˆınes r´eduitassoci´e `a K : C n ( K ) := Z { v ∈ K n : v non d´eg´en´er´e } ∂ n +1 : C n +1 ( K ) → C n ( K ) v P ( − i d i v o`u par convention dans cette somme d i v = 0 si d i v est un simplexe d´eg´en´er´e.On d´efinit aussi, pour tout n , le mono¨ıde additif C ∗ n ( K ) engendr´e par les n -simplexes nond´eg´en´er´es, et une augmentation e : C ( K ) → Z qui envoie les 0-simplexes sur 1. Le triplet( C n ( K ) , C ∗ n ( K ) , e ) est alors un complexe dirig´e augment´e. De plus, ce complexe admet une base,donn´ee par l’ensemble des simplexes non d´eg´en´er´es de K .On veut maintenant montrer que dans le cas o`u K est un ensemble simplicial r´egulier, cette baseest unitaire. D´efinition 4.1.4. On note Σ le mono¨ıde libre engendr´e par { i, p } et s ¯ s : Σ → Σl’automorphisme qui ´echange i et p . Pour un ´el´ement s ∈ Σ, on d´efinit l ( s ) ∈ N comme ´etant salongueur. D´efinition 4.1.5. On d´efinit l’application σ : N → Σ par σ (2 n ) := p σ (2 n + 1) := i. On en d´eduit un morphisme de groupe (que l’on note de la mˆeme fa¸con par abus de langage) σ : N ( N ) → Σ. Pour une suite ( i , i , · · · , i k ), σ ( i , i , · · · , i k ) := σ ( i ) σ ( i ) · · · σ ( i k )est appel´ee sa signature .Pour s ∈ Σ et x ∈ K n , on note d s x ∈ C n − l ( s ) ( K ) l’´el´ement d´efini par d s x := ( i , ··· ,i k ) ∈ S nk X σ (( i , ··· ,i k ))= s d i · · · d i k x. Par lin´earit´e, on peut ´etendre d s aux ´el´ements de C n ( K ). Cela d´efinit alors un morphisme d s : C n ( K ) → C n − l ( s ) ( K ). Proposition 4.1.6. Pour un ensemble simplicial r´egulier K , x un n -simplexe non d´eg´en´er´e, et s, s ′ ∈ Σ de mˆeme longueur, on a s = s ′ ⇒ d s x ∧ d s ′ x = 0 D´emonstration. La preuve d´ecoule directement de la d´efinition des ensembles simpliciaux r´eguliers. (cid:3) ONDITIONS DE KAN SUR LES NERFS DES ω -CAT´EGORIES 33 Lemme 4.1.7. Soient K un ensemble simplicial et s ∈ Σ . d p d s = X s · s = s d s · σ ( l ( s )) · s d i d s = X s · s = s d s · σ ( l ( s )) · s D´emonstration. Soit m un entier pair tel que m ≤ n , et ( i , · · · , i k ) ∈ S nk une suite de signature s .Le morphisme d m d i · · · d i k est un ´el´ement de la somme d p d s . On pose alors l := max (cid:0) { } ∪ { l tel que l ≤ k + 1 et i l − < m + l − } (cid:1) . Remarquons que si l ≤ k , on a m + l − < i l et si l = k + 1, i k < m + ( k + 1) − 1. On d´efinit alorsla suite strictement croissante { j q } ≤ q ≤ k +1 : j q = i q si q < lm + l − q = li q − si k + 1 ≥ q > l. On pose s := σ ( j , · · · , j l − ) et s := σ ( j l +1 , · · · , j k +1 ) et on a bien s · s = σ ( i , · · · , i l − ) · σ ( i l , · · · , i k ) = s, et comme m est pair, σ ( j l ) = σ ( m + l − 1) = σ ( l − 1) = σ ( l ( s )). On a donc σ ( j , · · · , j k +1 ) = s · σ ( l ( s )) · s . Ainsi d j · · · d j k +1 est un ´el´ement de la somme P s · s = s d s · σ ( l ( s )) · s . La relation simpliciale d n d i = d i d n +1 pour ( n ≥ i ), implique enfin que d n d i · · · d i k = d j · · · d j k +1 . Pour conclure, il faut montrer que l’assignation φ : ( m, ( i , · · · , i k )) ( s , s , ( j , · · · , j k +1 ))est bijective. L’injectivit´e est imm´ediate, et il reste `a montrer la surjectivit´e. Donnons nous s , s ∈ Σv´erifiant s · s = s , et ( j , · · · , j k +1 ) ∈ S nk +1 une suite de signature s · σ ( l ( s )) · s . On pose alors m := j l ( s )+1 − l ( s ). Par hypoth`ese σ ( j l ( s )+1 ) = σ ( l ( s )) et l’entier m , r´esultat de la soustractionde deux entiers ayant la mˆeme parit´e, est pair. On d´efinit la suite strictement croissante { i q } ≤ q ≤ k : i q = (cid:26) j q si q ≤ l ( s ) j q +1 si k ≥ q > l ( s )et la paire (cid:0) m, ( i , · · · , i k ) (cid:1) est bien la pr´e-image de (cid:0) s , s , ( j , · · · , j k +1 ) (cid:1) . L’application φ est doncune bijection et on a alors d p d s = X s · s = s d s · σ ( l ( s )) · s . La deuxi`eme ´egalit´e se d´emontre de fa¸con analogue. (cid:3) On d´efinit deux mots de taille k qui joueront un rˆole privil´egi´e : s ki = ipipi... et s kp = pipip... = s ki Proposition 4.1.8. Soient K un ensemble simplicial r´egulier et x ∈ K n un n -simplexe nond´eg´en´er´e. En consid´erant x comme une chaˆıne de C • K , on a d − k ( x ) = d s n − ki ( x ) d + k ( x ) = d s n − kp ( x ) . D´emonstration. Montrons ce r´esultat par une r´ecurrence descendante sur k . Pour k = n − 1, on abien d n − ( x ) = P m ≤ n ( − m d m ( x ) = d p ( x ) − d i ( x ). La propri´et´e 4.1.6 implique que d p ( x ) ∧ d i ( x ) = 0et donc que d + n − ( x ) = ( d n − ( x )) + = d p ( x ) et d − n − ( x ) = ( d n − ( x )) − = d i ( x ).Supposons donc le r´esultat vrai pour k . Selon le lemme 4.1.7, on a d p d + k ( x ) = d p d s n − kp ( x )= P s · s = s n − kp d s · σ ( l ( s )) · s ( x )Or s · s = s n − kp implique que s = s jp et s = s n − k − jσ ( j ) o`u j = l ( s i ). Si j est pair, alors s jp = pi...pi et donc s jp · σ ( j ) = s j +1 p . Si j est impair, alors s jp = pi...ip , et encore une fois s jp · σ ( j ) = s j +1 p . On adonc d p d + k ( x ) = P ≤ j ≤ n − k d s jp · σ ( j ) · s n − k − jσ ( j ) ( x )= P ≤ j ≤ n − k d s j +1 p · s n − k − jσ ( j ) ( x ) . De fa¸con analogue, d i d + k ( x ) = d i d s n − kp ( x )= P s · s = s n − kp d s · σ ( l ( s )) · s ( x )= P ≤ j ≤ n − k d s jp · σ ( j ) · s n − k − jσ ( j ) ( x )= P ≤ j ≤ n − k d s jp · s n − k − j +1 σ ( j ) ( x )On a alors ∂ k − ( d + k ( x )) = d p d s n − kp ( x ) − d i d s n − ki ( x )= P ≤ j ≤ n − k d s j +1 p · s n − k − jσ ( j ) ( x ) − P ≤ j ≤ n − k d s jp · s n − k − j +1 σ ( j ) ( x )Or pour j < n − k , d s j +1 p · s n − k − jσ ( j ) ( x ) = d s j +1 p · s n − k − ( j +1) − σ ( j +1) ( x )et donc ∂ k − ( d + k ( x )) = d s n − k +1 p ( x ) − d s n − k +1 i ( x )Comme la proposition 4.1.6 implique que d s n − k +1 p ( x ) ∧ d s n − k +1 i ( x ) = 0, on peut en d´eduire : d − k − ( x ) = d s n − k +1 i ( x ) d + k − ( x ) = d s n − k +1 p ( x ) . (cid:3) Proposition 4.1.9. Soit K un ensemble simplicial r´egulier. La base du complexe dirig´e augment´e C • ( K ) est unitaire.D´emonstration. Soit x un n -simplexe de K . La proposition pr´ec´edente implique que d +0 ( x ) = d s np ( x ).Or, il y a une unique famille d’indices strictement croissante ( i < ... < i ) de signature pip... , `asavoir (0 , , ..., n − d +0 ( x ) est donc r´eduite `a un singleton, et e ( d +0 ( x )) = 1. On montrede mˆeme que e ( d + − ( x )) = 1. Cela montre bien que la base est unitaire. (cid:3) Proposition 4.1.10. La base du complexe dirig´e augment´e C • (∆[ n ]) est sans boucles.D´emonstration. Voir [5, exemple 3.8] (cid:3) Remarque 4.1.11. Dans [1, th´eor`eme 8.6], Ara et Maltsiniotis montrent un r´esultat plus g´en´eral.On peut associer `a tout complexe simplicial un complexe dirig´e augment´e admettant une base sansboucles. On peut en d´eduire que pour tout ensemble simplicial r´egulier K , la base du complexe dirig´eaugment´e C • ( K ) est sans boucles. ONDITIONS DE KAN SUR LES NERFS DES ω -CAT´EGORIES 35 On d´efinit l’objet cosimplicial suivant dans ω -cat :[ n ] → µC • (∆[ n ]) . et cela nous permet alors de d´efinir une adjonction | | : Sset + + ω -cat j j : N . R´esolution d’´equations et rel`evements. Dans cette partie, on va montrer comment onpeut d´eduire qu’une ω -cat´egorie est 1 ou 2-triviale grˆace aux propri´et´es de rel`evement de son nerf.L’objectif est de montrer le corollaire 4.2.8. On fixe pour la suite une ω -cat´egorie C . On utiliseraici les ω -cat´egories I n et ∂I n que l’on a d´efinies en 3.2.1. Dans cette partie, pour un morphisme f : K → N ( C ), on notera aussi f : | K | → C le morphisme obtenu par adjonction. Proposition 4.2.1. L’application suivante est surjective : N ( C ) n = Hom ( | ∆ n | , C ) → C n f f ( h i n i ) o`u i n est l’unique simplexe non d´eg´en´er´e de dimension n de ∆[ n ] , vu comme un ´el´ement de C n (∆[ n ]) . Pour d´emontrer cette proposition, on a besoin du lemme suivant. Lemme 4.2.2. Il existe un morphisme de complexes dirig´es augment´es p : C • (∆[ n ]) → λ ( I n ) tel que p n ( i n ) = e n D´emonstration. Pour un entier l ≤ n et une famille d’entiers d´ecroissante { k i } i ≤ l , on d´efinit : d k ,k ,...,k l = d k ...d k l i n . Tous les simplexes non d´eg´en´er´es de ∆[ n ] peuvent s’´ecrire sous cette formed’une unique fa¸con. On d´efinit alors p : C • (∆[ n ]) → λ ( I n ) i n e n d k ,k ,...,k l e + n − l si k = 0 e − n − l si k = 10 si k > m -simplexe non d´eg´en´er´e x , on a p m − ( ∂ m − ( x )) = ∂ m − ( p m ( x )). Si x = i n , on a p n − ( ∂ n − ( i n )) = p n − ( X ≤ i ≤ n ( − i d i i n ) = e + n − − e − n − = ∂ n − ( e n ) = ∂ n − ( p n ( i n )) . Supposons maintenant que x soit sous la forme x = d k ,k ,...,k l avec l ≤ n . La r`egle simpliciale d i d j = d j − d i , i < j implique que d i d k ,...,k l = d k ′ ,k ′ ,...,k ′ l +1 avec k ′ = (cid:26) i si i ≥ k k − i < k et par suite p n − l − ( d i d k ,...,k l ) = (cid:26) ou k ≥ k ≤ i ≥ e − n − l − si (cid:26) ou k = 2 et i ≤ k ≤ i = 1 e + n − l − si k ≤ i = 0 On en d´eduit que si k = 0 ou k = 1, on a p n − l − ( ∂ n − l − ( d k ,..,k l )) = p n − l − ( X i ≤ n − l ( − i d i d k ,..,k l ) = e + n − l − − e − n − l − = ∂ n − l − ( p n − l ( d k ,..,k l )) , si k = 2, on a p n − l − ( ∂ n − l − ( d k ,..,k l )) = p n − l − ( X i ≤ n − l ( − i d i d k ,..,k l ) = e − n − l − − e − n − l − = 0 = ∂ n − l − ( p n − l ( d k ,..,k l )) , et si k ≥ 3, on a p n − l − ( ∂ n − l − ( d k ,..,k l )) = p n − l − ( X i ≤ n − l ( − i d i d k ,..,k l ) = 0 = ∂ n − l − ( p n − l ( d k ,..,k l )) . (cid:3) D´emonstration de la proposition 4.2.1. C’est une cons´equence directe du lemme pr´ec´edent. En effet,une cellule c : a → b de dimension n correspond `a un morphisme f : I n → C . Le th´eor`eme 1.2.17implique que µλ ( I n ) ∼ = I n . On d´efinit le morphisme compos´e suivant : ⌊ c ⌋ : | ∆[ n ] | µ ( p ) −−−→ µλ ( I n ) ∼ = I n f −→ C et on a bien ⌊ c ⌋ ( h i n i ) = c . (cid:3) Proposition 4.2.3. Si l’ensemble simplicial N ( C ) a la propri´et´e de rel`evement par rapport auxinclusions Λ [ n + 1] → ∆[ n + 1] , alors l’ ´equation Eq ( y : f n → e n ∗ n − x ) admet toujours unepr´e-solution dans C . Pour prouver cette proposition, on a besoin de quelques lemmes. On pose pour la suite P := P + . Lemme 4.2.4. Il existe un carr´e commutatif : C • (Λ [ n + 1]) q ′ / / (cid:15) (cid:15) λ ( P ) (cid:15) (cid:15) C • (∆[ n + 1]) q / / λ ( Eq ( y : f n → e n ∗ n − x )) tel que q n +1 ( i n +1 ) = y et q n ( d ) = x .D´emonstration. On va r´eutiliser les notations de la preuve pr´ec´edente. Pour l ≤ n et { k i } i ≤ l unefamille d´ecroissante d’entiers, on d´efinit d k ,k ,...,k l = d k ...d k l i n +1 . Rappelons que tous les simplexesnon d´eg´en´er´es de ∆[ n + 1] peuvent s’´ecrire sous cette forme de fa¸con unique. On a donn´e dans laremarque 3.2.8 la description explicite des cellules de Eq ( y : f n → e n ∗ n − x ). On d´efinit alors q n +1 : C • (∆[ n + 1]) → λ ( Eq ( y : f n → e n ∗ n − x )) i n +1 yd k e n si k = 0 f n si k = 1 x si k = 20 sinon d k ,k c n − si ( k , k ) = (0 , b n − si ( k , k ) = (1 , a n − si ( k , k ) = (1 , l > d k ,k ,...,k l i + n − l +1 si k = 0 i − n − l +1 si k = 10 sinonIl faut maintenant v´erifier que cette application est compatible avec les diff´erentielles. ONDITIONS DE KAN SUR LES NERFS DES ω -CAT´EGORIES 37 q n ( ∂ n i n +1 ) = q n ( P i ≤ n +1 ( − i d i i n +1 ) = e n + x − f n = ∂ n ( y ) = ∂ n ( q n +1 ( i n +1 )) q n − ( ∂ n − d ) = q n − ( P i ≤ n ( − i d i, ) = c n − − b n − = ∂ n − ( e n ) = ∂ n ( q n ( d )) q n − ( ∂ n − d ) = q n − ( d , + P n , la v´erification est identique `a cellepr´esente dans la preuve du lemme 4.2.2. On remarque de plus que la restriction de q `a Λ [ n + 1] sefactorise par P . On d´efinit donc q ′ := q | Λ [ n +1] . Cela conclut la preuve. (cid:3) On peut d´eduire directement de la description explicite des cellules de Eq ( y : f n → e n ∗ n − x )donn´ee dans la remarque 3.2.8 le lemme suivant : Lemme 4.2.5. Pour k < n , les k -cellules de Eq ( y : f n → e n ∗ n − x ) sont des ´el´ements de la baseou des unit´es. Lemme 4.2.6. Les morphismes q et q ′ sont quasi-rigides.D´emonstration. On va montrer que pour tout ´el´ement b de la base de C • (∆[ n + 1]) de dimension k , f k ( b ) = 0 ⇒ µ ( f )( b ) = f k ( b ) . Donnons un tel b . Supposons tout d’abord que k < n . Selon le lemme pr´ec´edent, la k -cellule µ ( q )( b ) est un ´el´ement de la base. Or q k ( b ) ≤ µ ( q )( b ) et donc µ ( q )( b ) = q k ( b ).Il reste `a v´erifier la propri´et´e pour les cellules de dimension n et n + 1. Pour la n + 1-cellule i n +1 ,on a q n ( ∂ + n i n +1 ) = q n ( X i ≤ n +1 ( d i i n +1 )) = e n + x = ∂ + n ( y ) = ∂ + n ( q n +1 ( i n +1 )) . De plus pour tout k < n , on a l’in´egalit´e entre k -cellules0 = ∂ + k q k +1 ( d + k +1 i n +1 )) ≤ q k ( d + k i n +1 )Or, selon le lemme pr´ec´edent, toutes les k -cellules sont des ´el´ements de la base, et cette in´egalit´e estdonc une ´egalit´e. On en d´eduit donc que µ ( q )( i n +1 ) = q n +1 ( i n +1 ) + P k Dans la cat´egorie des ω -cat´egories, il existe une somme amalgam´ee : | Λ [ n + 1] | ˜ q ′ / / (cid:15) (cid:15) P (cid:15) (cid:15) | ∆[ n + 1] | ˜ q / / Eq ( y : f n → e n ∗ n − x ) ❴✤ telle que ˜ q n +1 ( i n +1 ) = y et ˜ q n ( d ) = x . D´emonstration. Notons B Λ [ n +1] , B ∆[ n +1] , B P et B Eq les bases de C • (Λ [ n + 1]), C • (∆[ n + 1]), λ ( P )et λ ( Eq ( y : f n → e n ∗ n − x )). Selon le lemme 4.2.4, il existe un diagramme commutatif :(5) C • (Λ [ n + 1]) q ′ / / (cid:15) (cid:15) λ ( P ) (cid:15) (cid:15) C • (∆[ n + 1]) q / / λ ( Eq ( y : f n → e n ∗ n − x )) . Ce diagramme induit une somme amalgam´ee d’ensembles : B Λ [ n +1] ∪ { } q ′ / / (cid:15) (cid:15) B P ∪ { } (cid:15) (cid:15) B ∆[ n +1] ∪ { } q / / B Eq ∪ { } ❴✤ . Cela implique que le diagramme (5) est une somme amalgam´ee dans CDA . De plus, selon laremarque 3.1.4, les morphismes verticaux sont quasi-rigides car il induisent des injections sur lesbases, et les morphismes horizontaux le sont aussi selon le lemme 4.2.6.Le corollaire 3.1.5 implique alors que le diagramme suivant est une somme amalgam´ee : | Λ [ n + 1] | ν ( q ′ ) / / (cid:15) (cid:15) νλP (cid:15) (cid:15) | ∆[ n + 1] | ν ( q ) / / νλ Eq ( y : f n → e n ∗ n − x ) . ❴✤ Enfin, comme P et Eq ( y : f n → e n ∗ n − x ) sont des ω -cat´egories admettant des bases sans boucleset atomiques, on a des isomorphismes : νλP ∼ = P νλ Eq ( y : f n → e n ∗ n − x ) ∼ = Eq ( y : f n → e n ∗ n − x ) (cid:3) D´emonstration de la proposition 4.2.3. Soit C une ω -cat´egorie telle que N ( C ) ait la propri´et´e derel`evement par rapport aux inclusions Λ [ n + 1] → ∆[ n + 1]. Notons L la classe des morphismesayant la propri´et´e de rel`evement `a gauche par rapport `a C → 1. Par adjonction, L comprend | Λ [ n + 1] | → | ∆[ n + 1] | . De plus, L est stable par image directe et comprend donc, selon le lemme4.2.7, le morphisme P → Eq ( y : f n → e n ∗ n − x ). Cela conclut la preuve. (cid:3) Corollaire 4.2.8. Soit C une ω -cat´egorie.(1) Si N ( C ) a la propri´et´e de rel`evement par rapport aux inclusions Λ [ n + 1] → ∆[ n + 1] pourtout n > , alors C est -trivial ;(2) Si N ( C ) a la propri´et´e de rel`evement par rapport aux inclusions Λ [ n + 1] → ∆[ n + 1] pourtout n > , alors C est -trivial ;D´emonstration. Supposons tout d’abord que pour tout n > N ( C ) a la propri´et´e de rel`evementpar rapport aux inclusions Λ [ n + 1] → ∆[ n + 1]. Alors la proposition 4.2.3 induit que pour tout n > 0, les ´equations Eq ( y : f n → e n ∗ n − x ) admettent toujours des pr´e-solutions dans C , et doncselon la proposition 3.2.9, C est 1-trivial.De fa¸con analogue, si pour tout n > N ( C ) a la propri´et´e de rel`evement par rapport auxinclusions Λ [ n + 1] → ∆[ n + 1] alors les ´equations Eq ( y : f n → e n ∗ n − x ) admettent toujours despr´e-solutions. La proposition 3.2.9 indique que C est alors 2-trivial. (cid:3) ONDITIONS DE KAN SUR LES NERFS DES ω -CAT´EGORIES 39 ´Equations repr´esent´ees par les inclusions de cornets. Soit n un entier quelconque. Onsait d´ej`a que | ∆[ n ] | est une ω -cat´egorie admettant une base sans boucles et atomique. Le mor-phisme | Λ r [ n ] | → | ∆[ n ] | est obtenu en ajoutant librement une ( n − n -cellule. La ω -cat´egorie | ∆[ n ] | est donc bien une ´equation au sens de la d´efinition 3.2.3. L’objectif de cette partieest d’expliciter cette ´equation. Pour cela, commen¸cons par rappeler la d´ecomposition explicite deschaˆınes coh´erentes du th´eor`eme 2.2.13. Soit a := P i ≤ m b i + r | a | c ( a ) une chaˆıne coh´erente sous formeordonn´ee. On d´efinit : β k := b k + ( d −| a | c ( X i Soient un entier n > i ≤ n . On pose α := + si i est pair et α := − si i est impair. La chaˆıne d αn − i n est de degr´e de composition n − 2. On peut donc l’exprimer c a et b omme une composition de chaˆınes de degr´e de composition strictement inf´erieur, et on d´efinit alors γ comme ´etant le facteur comprenant d i , et a, b les ( n − d αn − i n = a ∗ n − γ ∗ n − b. La chaˆıne γ est alors de degr´e de composition inf´erieur `a ( n − γ afin ”d’isoler” d i .On va d´efinir par une r´ecurrence descendante sur 1 ≤ k ≤ n , une famille ( a ik , b ik , γ ik ) ≤ k ≤ n − v´erifiant pour tout k ,(1) a ik et b ik sont des k -cellules,(2) γ ik est une chaˆıne coh´erente de degr´e de composition inf´erieur ou ´egal `a k − r k − ( γ ik ) = 0,(3) γ ik comprend d i ,(4) si k = n − d αn − i n = a in − ∗ n − γ in − ∗ n − b in − si k < n − γ ik +1 = a ik ∗ k − γ ik ∗ k − b ik . Pour cela, on pose tout d’abord alors ( a in − , b in − , γ in − ) := ( a, b, γ ). Supposons ( a ik +1 , b ik +1 , γ ik +1 )construit pour k < n − | γ ik +1 | c < k − 1, on pose ( a ik , b ik , γ ik ) := (1 d + k − γ ik +1 , d − k − γ ik +1 , γ ik +1 ) . Si | γ ik +1 | c = k − 1, on d´efinit γ ik comme ´etant le facteur comprenant d i dans la d´ecomposition de γ ik +1 . Les cellules a ik et b ik sont les k -cellules v´erifiant γ ik +1 = a ik ∗ k − γ ik ∗ k − b ik .Le faite que γ ik soit une chaˆıne coh´erente de degr´e de composition inf´erieur ou ´egal `a k − r k − ( γ ik ) = 0 provient de la construction explicite de la factorisation pr´esent´ee dans le th´eor`eme2.2.13. En particulier la chaˆıne coh´erente γ i est de degr´e de composition − 1, et est donc r´eduit `a unsingleton selon la proposition 2.1.25, d’o`u γ i = d i . Enfin, remarquons que par construction, γ ik est( k − i n . Exemple 4.3.2. Soient n = 4 et i = 2. On a alors α = +. En se servant des notations et calculs del’exemple 2.2.15, on a alors : a = σ + σ a = σ + σ + σ a = 1 σ γ = σ + σ γ = σ γ = σ b = σ + σ b = 1 σ b = 1 σ . Remarque 4.3.3. Les cellules a ik et b ik sont des compositions de chaˆınes coh´erentes dont tous les´el´ements sont des simplexes de Λ i [ n ]. Elles sont donc elles-mˆemes des cellules de | Λ i [ n ] | . Les chaˆınes d + n − i n et d ¯ αk ( d i ) pour ¯ α ∈ { + , −} et k ≤ n − i [ n ] et sont doncdes cellules | Λ i [ n ] | .Si i est impair, on a donc un isomorphisme en dessous de | Λ i [ n ] | : | ∆[ n ] | ∼ = Eq + i, ∆[ n ] := Eq (cid:0) y : ( a in − ∗ n − ( ... ( a i ∗ x ∗ b i ) ... ) ∗ n − b in − ) → d + n − i n (cid:1) , et si i est pair, on a un isomorphisme en dessous de | Λ i [ n ] | : | ∆[ n ] | ∼ = Eq − i, ∆[ n ] := Eq (cid:0) y : d − n − i n → ( a in − ∗ n − ( ... ( a i ∗ x ∗ b i ) ... ) ∗ n − b in − ) (cid:1) . Proposition 4.3.4. Soit C une cat´egorie -triviale. Alors N ( C ) est un complexe de Kan.D´emonstration. L’ensemble simplicial N ( C ) est un complexe de Kan, si et seulement si pour toutentier n > i ≤ n , C a la propri´et´e de rel`evement par rapport aux morphismes | Λ i [ n ] | → | ∆[ n ] | et donc si et seulement si pour tout entier n > i ≤ n , dansle cas o`u i est impair, l’´equation Eq + i, ∆[ n ] a une pr´e-solution dans C pour tout choix de param`etre f : | Λ i [ n ] | → C , et dans le cas o`u i est pair, l’´equation Eq − i, ∆[ n ] a une pr´e-solution dans C pour toutchoix de param`etre f : | Λ i [ n ] | → C . Montrons donc cette derni`ere assertion. On se donne donc unentier n > 1, un entier impair i ≤ n et un choix de param`etre quelconque f : | Λ i [ n ] | → C .Consid´erons les ´equations suivantes : Eq k := Eq (cid:0) y : ( a in − ∗ n − ( ... ( a ik ∗ k − x ∗ k − b ik ) ... ) ∗ n − b in − ) → d + n − i n (cid:1) o`u pour α ∈ {− , + } , d αn − ( x ) = a ik − ∗ k − ( ... ( a i ∗ d αn − ( d i ) ∗ b i ) ... ) ∗ k − b ik − Comme C est 1-trivial, r´esoudre Eq k pour les param`etres f revient `a montrer qu’il existe une( n − x telle que( f ( a in − ) ∗ n − ( ... ( f ( a ik ) ∗ k − x ∗ k − f ( b ik )) ... ) ∗ n − f ( b in − )) ∼ d + n − i n . On va montrer par une r´ecurrence descendante sur k ≤ n − Eq k admettentde telles solutions.Dans le cas k = n − 1, il faut trouver une ( n − x v´erifiant f ( a in − ) ∗ n − x ∗ n − f ( b in − ) ∼ d + n − i n . Les cellules f ( a in − ) et f ( b in − ) ´etant faiblement inversibles, on peut appliquer le premier point dela proposition 1.1.15 pour obtenir la cellule x recherch´ee.Supposons maintenant que l’´equation Eq k +1 admet des solutions pour les param`etres f et soit ˜ x l’une d’entre elles. On d´efinit : s := f ( a ik − ) ∗ k − ( ... ( f ( a i ) ∗ f ( d − n − ( d i )) ∗ f ( b i )) ... ) ∗ k − f ( b ik − ) t := f ( a ik − ) ∗ k − ( ... ( f ( a i ) ∗ f ( d + n − ( d i )) ∗ f ( b i )) ... ) ∗ k − f ( b ik − ) . On a alors f ( a ik ) ∗ k − s ∗ k − f ( b ik ) = d − n − ˜ x et f ( a ik ) ∗ k − t ∗ k − f ( b ik ) = d + n − ˜ x. Comme f ( a ik ) et f ( b ik ) sont faiblement inversibles, on peut appliquer le deuxi`eme point de la pro-position 1.1.15 qui assure l’existence d’une cellule x v´erifiant f ( a ik − ) ∗ k − x ∗ k − f ( b ik − ) ∼ ˜ x . Ona alors ( a in − ∗ n − ( ... ( a ik ∗ k − x ∗ k − b ik ) ... ) ∗ n − b in − ) → d + n − i n et x est une solution de Eq k pour les param`etres f .On peut donc trouver des solutions pour les ´equations Eq k pour tout choix de param`etre, et enparticulier pour Eq qui est ´egale `a Eq + i, ∆[ n ] . On peut montrer de fa¸con analogue que les ´equations Eq − i, ∆[ n ] admettent des solutions pour tout choix de param`etre. Cela prouve qu’on peut relever lesinclusions de cornets, et donc que N ( C ) est un complexe de Kan. (cid:3) Proposition 4.3.5. Soit C une cat´egorie -triviale. Alors N ( C ) est une quasi-cat´egorie. Lemme 4.3.6. Soit un entier < i < n . Alors a i et b i sont des unit´es.D´emonstration. On a par d´efinition l’´egalit´e suivante : γ i = a i ∗ d i ∗ b i . Or pour 0 < i < n , d ( d i ) = 0 et d ( d i ) = 1, comme l’ ω -cat´egorie ∆[ n ] est sans boucles, les cellules a i et b i sont forc´ement des unit´es. (cid:3) ONDITIONS DE KAN SUR LES NERFS DES ω -CAT´EGORIES 41 D´emonstration de la propri´et´e 4.3.5. On va proc´eder de fa¸con analogue `a la preuve de la proposition4.3.4.L’ensemble simplicial N ( C ) est une quasi-cat´egorie, si et seulement si pour tout entier n > < i < n , C a la propri´et´e de rel`evement par rapport aux morphismes | Λ i [ n ] | → | ∆[ n ] | et donc si et seulement si pour tout entier n > < i < n , dans le cas o`u i estimpair, l’´equation Eq + i, ∆[ n ] a une pr´e-solution dans C pour tout choix de param`etre f : | Λ i [ n ] | → C ,et dans le cas o`u i est pair, l’´equation Eq − i, ∆[ n ] a une pr´e-solution dans C pour tout choix de param`etre f : | Λ i [ n ] | → C .On se donne un entier n > 1, un entier impair 0 < i < n , une application f : | Λ i [ n ] | → C etcomme plus haut, on d´efinit pour k ≥ Eq k := Eq (cid:0) y : ( a in − ∗ n − ( ... ( a ik ∗ k − x ∗ k − b ik ) ... ) ∗ n − b in − ) → d + n − i n (cid:1) o`u pour α ∈ {− , + } , d αn − ( x ) = a ik − ∗ k − ( ... ( a i ∗ d αn − ( d i ) ∗ b i ) ... ) ∗ k − b ik − Pour k ≥ 2, les cellules a ik et b ki sont de dimension au moins 2, et donc, par hypoth`ese, les cellules f ( a ik ) et f ( b ki ) sont faiblement inversibles. On peut alors montrer par une r´ecurrence descendantesur k , de la mˆeme fa¸con que dans la preuve de la proposition 4.3.4, que pour k ≥ 2, l’´equation Eq k admet une solution pour les param`etres f .Or selon le lemme 4.3.6, a i et b i sont des unit´es et donc Eq = Eq + i, ∆[ n ] . Cela prouve donc quecette ´equation a toujours des solutions dans C . De fa¸con analogue, pour tout entier n > < i < n , l’´equation Eq − i, ∆[ n ] admet toujours des solutions dans C . Cela prouve donc que N ( C ) est une quasi-cat´egorie. (cid:3) On peut alors r´esumer les r´esultats pr´ec´edents en un seul th´eor`eme : Th´eor`eme 4.3.7. Soit C est une ω -cat´egorie. Les trois assertions sont ´equivalentes :(1) L’ensemble simplicial N ( C ) a la propri´et´e de rel`evement par rapport aux inclusions Λ [ n + 1] → ∆[ n + 1] pour tout n > (resp. pour tout n > ) ;(2) L’ensemble simplicial N ( C ) est un complexe de Kan (resp. une quasi-cat´egorie) ;(3) La ω -cat´egorie C est -triviale (resp. -triviale). G´en´eralisation au nerf complicial Ensembles compliciaux. On ne donnera ici que les d´efinitions et r´esultats qui nous serontutiles pour la suite. Pour une introduction d´etaill´ee, voir [4]. D´efinition 5.1.1. Une stratification d’un ensemble simplicial K est un sous-ensemble tK ⊂ ` n> K n qui contient l’ensemble des simplexes d´eg´en´er´es.Un ensemble stratifi´e est un couple ( K, tK ). On dit des simplexes ´etant dans tK qu’ils sont marqu´es . Pour ( K, tK ) et ( L, tL ) des ensembles stratifi´es, un morphisme d’ensembles simpliciaux f : K → L est stratifi´e si f ( tK ) ⊂ tL . On note Strat la cat´egorie des ensembles stratifi´es. D´efinition 5.1.2. Une inclusion i : U → V entre ensembles stratifi´es est :(1) r´eguli`ere , not´ee → r , si un simplexe est marqu´e dans U si et seulement il l’est dans V ;(2) pleine , not´ee → e , si le morphisme est l’identit´e sur les ensembles simpliciaux sous-jacents. Notation 5.1.3. Si i : U → V est une inclusion et V ′ est une stratification de V , il existe uneunique stratification de U rendant i r´eguli`ere. Elle correspond `a celle o`u un simplexe de U est marqu´esi et seulement si son image par i l’est. Cette stratification sera not´ee U ◦ . On a alors i : U ◦ → r V ′ . D´efinition 5.1.4. Pour 0 ≤ k ≤ n on d´efinit l’ensemble stratifi´e ∆ k [ n ] dont l’ensemble simplicialsous-jacent est ∆[ n ]. Les simplexes marqu´es sont ceux qui comprennent { k − , k, k + 1 } ∩ [ n ].On d´efinit l’ensemble stratifi´e ∆ k [ n ] ′ , obtenu `a partir de ∆ k [ n ] et en marquant la ( k − k + 1)-face. L’ensemble stratifi´e ∆ k [ n ] ′′ est obtenu en marquant tous les simplexes de codimension1. D´efinition 5.1.5. Un ensemble stratifi´e K est un ensemble complicial , si K → k [ n ] ◦ → r ∆ k [ n ] et ∆ k [ n ] ′ → e ∆ k [ n ] ′′ . D´efinition 5.1.6. Un ensemble complicial est k -trivial si toutes les cellules de dimension sup´erieureou ´egale `a k sont marqu´ees. D´efinition 5.1.7. On d´efinit ∆[3] eq comme ´etant l’ensemble stratifi´e sur ∆[3] o`u [02] et [13] sontmarqu´es ainsi que tous les simplexes de dimension au moins 2. On note ∆[3] l’ensemble stratifi´eo`u tous les simplexes non d´eg´en´er´es sont marqu´es. D´efinition 5.1.8. On note ⋆ : Sset × Sset → Sset le joint d’ensembles simpliciaux. On l’´etendaux ensembles stratifi´es de la fa¸con suivante : soient U et V deux ensembles stratifi´es, un simplexe v : ∆[ n ] → U ⋆V est marqu´e d`es lors qu’un des morphismes induit v : ∆[ i ] → U , v : ∆[ n − i − → V l’est. Cela permet donc de d´efinir le joint d’ensembles stratifi´es : ⋆ : Strat × Strat → Strat . D´efinition 5.1.9. Un ensemble complicial est satur´e s’il a la propri´et´e de rel`evement par rapportaux morphismes ∆[3] eq ⋆ ∆[ n ] → ∆[3] ⋆ ∆[ n ] et ∆[ n ] ⋆ ∆[3] eq → ∆[ n ] ⋆ ∆[3] . Nerfs et ensembles compliciaux.D´efinition 5.2.1. On d´efinit une stratification sur N ( C ). Un simplexe v ∈ N ( C ) n correspond `aun morphisme entre ω -cat´egories : v : | ∆[ n ] | → C . On note i n l’unique simplexe non d´eg´en´er´e dedimension n de ∆[ n ]. Le simplexe v est marqu´e si ˜ v ( i n ) est une n -cellule faiblement inversible. Parabus de langage on note aussi N ( C ) l’ensemble stratifi´e obtenu.Le but de cette section est de montrer que N ( C ) muni de cette stratification est un ensemblecomplicial. On va proc´eder de la mˆeme fa¸con que dans les preuves des propositions 4.3.4 et 4.3.5.Avant cela, on a besoin de plusieurs r´esultats : Proposition 5.2.2. Soient K un complexe dirig´e augment´e admettant une base sans boucles etunitaire, C une ω -cat´egorie, et un morphisme f : µK → C . Soit a une chaˆıne coh´erente telle quetout ´el´ement de a de degr´e | a | soit envoy´e par f sur une cellule faiblement inversible. Alors f ( a ) estfaiblement inversible.D´emonstration. Rappelons que | a | est la dimension maximale des ´el´ements de la base pr´esents dans a , et donc | a | > | a | c . On va proc´eder par r´ecurrence sur le degr´e de composition. Lorsque | a | c = − a est r´eduit `a un unique ´el´ement, et la propri´et´e est trivialementvraie.Supposons maintenant le r´esultat vrai pour les chaˆınes de degr´e de composition m , et donnonsnous une chaˆıne coh´erente a := P i ≤ n b i + r | a | c ( a ) ´ecrite sous forme ordonn´ee, de degr´e de composition m + 1 et telle que pour tout i ≤ n , si | b i | = | a | , alors f ( b i ) est faiblement inversible.Selon le th´eor`eme 2.2.13, on a a = β ∗ | a | c β ∗ | a | c ... ∗ | a | c β m o`u β k := b k + ( d −| a | c ( X i Soient K un ensemble simplicial r´egulier, x un n -simplexe non d´eg´en´er´e, et d une k -face de x avec k ≥ . Alors il existe une chaˆıne coh´erente a ∈ | K | , comprenant d et ( k − -parall`ele `a x . ONDITIONS DE KAN SUR LES NERFS DES ω -CAT´EGORIES 43 D´emonstration. On va montrer le r´esultat pour tout couple ( x, d ) o`u x est un n -simplexe, et d une k -face de x , par r´ecurrence sur n − k .Supposons tout d’abord n − k = 1, c’est-`a-dire k = n − 1. On peut se ramener au cas o`u K = ∆[ n ], x = i n et d est un n − i l’entier tel que d i = d . On d´efinit α = + si i est pair, α = − sinon. La chaˆıne d αn − i n comprend d , et est ( n − x .Supposons maintenant que le r´esultat est vrai pour n − k = m et montrons le pour n − k = m + 1.On se ram`ene encore une fois au cas o`u K = ∆[ n ], x = i n et d est un k -simplexe. Il existe un entier i tel que d soit une k -face de d i . On peut alors appliquer l’hypoth`ese de r´ecurrence sur ( d i , d ) et ilexiste donc une chaˆıne coh´erente ˜ a , comprenant d , et ( k − d i .Or la chaˆıne γ ik +1 , d´efini en 4.3.1, est de degr´e de composition k − 1, comprend d i , et peut doncs’exprimer sous la forme γ ik +1 = d i + c o`u c est de degr´e k . Selon le corollaire 2.1.15, la chaˆıne ˜ a + c est donc ( k − γ ik +1 , et donc ( k − i n . De plus, elle comprend b et v´erifiedonc les conditions voulues. (cid:3) Lemme 5.2.4. Soient K un ensemble simplicial r´egulier, tel que la base de C • K soit sans boucleset unitaire, a une chaˆıne coh´erente de C • K et b , b ′ ∈ a deux simplexes de dimensions strictementsup´erieures au degr´e de composition de a . Supposons de plus que b et b ′ aient une | a | c face encommun. On a alors b ⊙ | a | c b ′ ou b ′ ⊙ | a | c b. D´emonstration. Les ´el´ements b et b ′ jouent des rˆoles sym´etriques, on peut donc supposer que | b ′ | ≥| b | . La chaˆıne a peut s’exprimer sous la forme a = b ′ + b + c o`u | b + c | = | a | c + 1. On sait de plusqu’il existe une ( | a | c + 1)-face ˜ b de b ′ telle que ˜ b et b ′ aient une | a | c -face en commun. Il existe donc α, β ∈ {− , + } tel que d α | a | c b ∧ d β | a | c ˜ b = 0.Selon la proposition 5.2.3, il existe une chaˆıne a ′ , | a | c -parall`ele `a b ′ et qui comprend ˜ b . Il existedonc ˜ a tel que a ′ = ˜ a + ˜ b . Le corollaire 2.1.15 indique que la chaˆıne ˜ a + ˜ b + b + c est | a | c -parall`ele `a a et est donc coh´erente. La propri´et´e 2.1.28 appliqu´ee `a la chaˆıne ˜ a + ˜ b + b + c implique alors que α = − β . On suppose α = − , l’autre cas ´etant similaire. On a donc d −| a | c b ∧ d + | a | c ˜ b = 0. En utilisantencore une fois la propri´et´e 2.1.28, on sait que pour tout v ∈ ˜ a on a d −| a | c b ∧ d −| a | c v = 0, d’o`u, selonla remarque 2.1.18 : d −| a | c b ∧ d −| a | c (˜ a ) ≤ d −| a | c b ∧ X v ∈ ˜ a d −| a | c v = 0 . On a donc d −| a | c b ∧ d + | a | c b ′ = d −| a | c b ∧ d + | a | c (˜ a + b )= d −| a | c b ∧ (cid:0) ( d + | a | c ˜ b (cid:31) d −| a | c (˜ a )) + + ( d + | a | c (˜ a ) (cid:31) d −| a | c ˜ b ) + (cid:1) ≥ d −| a | c b ∧ ( d + | a | c ˜ b (cid:31) d −| a | c (˜ a )) + ≥ d −| a | c b ∧ d + | a | c ˜ b = 0 . On a alors obtenu b ⊙ | a | c b ′ . (cid:3) Proposition 5.2.5. Soit i ≤ n un entier. Tout simplexe dans γ ik diff´erent de d i comprend { i } .D´emonstration. La chaˆıne γ ik est de degr´e de composition k − r k − ( γ ik ) = 0. On peutdonc l’exprimer sous la forme γ ik = d i + c o`u c est homog`ene de degr´e k − 1. Donnons nous un( k − v quelconque ne comprenant pas i . C’est donc en particulier une k -face de d i , etdonc selon la proposition 5.2.3, il existe une chaˆıne a , ( k − d i et comprenant v . Lecorollaire 2.1.15 implique alors que la chaˆıne a + c est ( k − d i , et donc coh´erente.La proposition 2.1.26 implique que v / ∈ c . Les simplexes apparaissant dans γ ik et diff´erents de d i comprennent donc { i } . (cid:3) Remarque 5.2.6. Un simplexe v ∈ d αn − i n (cid:31) d i est de la forme d k pour k = i , et donc le lemme5 . . v et d i sont comparables pour la relation ⊙ n − . En posant α vi := + si i est enposition paire dans v , et α vi = − si i est en position impaire dans v , on a alors v ⊙ n − d i si α vi = − d i ⊙ n − v si α vi = + . De mˆeme, la proposition 5.2.5 implique que tout v ∈ γ ik (cid:31) d i comprend i . Il existe donc un entier k tel que d k v ne comprenne pas i et donc d k v est une face de d i . En posant encore une fois α vi := +si i est en position paire dans v , et α vi = − si i est en position impaire dans v , on a alors v ⊙ k − d i si α vi = − d i ⊙ k − v si α vi = + . Proposition 5.2.7. Soient i un entier tel que ≤ i ≤ n , et α = + si i est pair, et α = − sinon.Alors tout simplexe dans d αn − i n diff´erent de d i comprend { i − , i, i + 1 } ∩ [ n ] et tout simplexe dans γ ik diff´erent de d i comprend { i − , i, i + 1 } ∩ [ n ] . On a besoin de deux lemmes : Lemme 5.2.8. Pour k < n − , on a les in´egalit´es suivantes γ in − ≤ d i + P v ∈ d αn − i n (cid:31) d i d α vi n − ( v ) γ ik ≤ d i + P v ∈ γ ik +1 (cid:31) d i d α vi k − ( v ) . D´emonstration. La chaˆıne γ in − est d´efinie comme ´etant le facteur comprenant d i dans lad´ecomposition de d αn − i n . On ´ecrit cette chaˆıne sous forme ordonn´ee : d αn − i n = P i ≤ m b i . On d´enotepar l l’entier v´erifiant b l = d i . Comme la base de C • (∆[ n ]) est sans boucles, on d´eduit de la remarque5.2.6 que pour tout j < l , b j ⊙ n − d i et pour tout j > l , d i ⊙ n − b j . Selon la d´ecomposition explicitedu th´eor`eme 2.2.13, on a donc : γ in − = d i + d + n − ( P v ∈ d αn − i n (cid:31) d i d i ⊙ n − v v ) (cid:31) d − n − ( d i ) + d − n − ( P v ∈ d αn − i n (cid:31) d i v ⊙ n − d i v ) (cid:31) d + n − ( d i ) ≤ d i + d + n − ( P v ∈ d αn − i n (cid:31) d i d i ⊙ n − v v ) + d − n − ( P v ∈ d αn − i n (cid:31) d i v ⊙ n − d i v ) . En appliquant la remarque 2.1.18, on obtient bien, γ in − ≤ d i + X v ∈ d αn − i n (cid:31) d i d α vi n − ( v ) . De mˆeme γ ik est d´efini comme ´etant le facteur comprenant d i dans la d´ecomposition de γ ik +1 . On´ecrit cette chaˆıne sous forme ordonn´ee : γ ik +1 = P i ≤ m b i et on d´enote par l l’entier v´erifiant b l = d i .Comme plus haut, pour tout j < l , b j ⊙ k − d i et pour tout j > l , d i ⊙ k − b j . On a donc γ ik = d i + d + k − ( P v ∈ γ ik +1 (cid:31) d i d i ⊙ k − v v ) (cid:31) d − k − ( d i ) + d − k − ( P v ∈ γ ik +1 (cid:31) d i v ⊙ k − d i v ) (cid:31) d + k − ( d i ) ≤ d i + d + k − ( P v ∈ γ ik +1 (cid:31) d i d i ⊙ k − v v ) + d − k − ( P v ∈ γ ik +1 (cid:31) d i v ⊙ k − d i v ) . d’o`u γ ik ≤ d i + X v ∈ γ ik +1 (cid:31) d i d α vi k − ( v ) . (cid:3) Lemme 5.2.9. Soit v un k -simplexe comprenant { i − , i, i + 1 } ∩ [ n ] . Alors les ´el´ements de d α vi k − ( v ) comprennent { i − , i + 1 } ∩ [ n ] . ONDITIONS DE KAN SUR LES NERFS DES ω -CAT´EGORIES 45 D´emonstration. Donnons nous un tel simplexe. On suppose que α vi = +, c’est-`a-dire que i est enposition paire. Les entiers i − i + 1 sont donc en position impaire. Or d α vi k − ( v ) = d + k − ( v ) = d p v .Un simplexe ˜ v ∈ d α vi k − ( v ) est donc de la forme d j v , et comprend { i − , i + 1 } ∩ [ n ]. (cid:3) D´emonstration de la proposition 5.2.7. Remarquons tout d’abord que les ´el´ements de d αn − i n (cid:31) d i sont de la forme d j pour un j de la mˆeme parit´e que i et diff´erent de i . Ils comprennent donc { i − , i, i + 1 } ∩ [ n ].Montrons maintenant par une r´ecurrence descendante sur k que tout v ∈ γ ik (cid:31) d i comprend { i − , i, i + 1 } ∩ [ n ]. Commen¸cons donc par le cas k = n − 1, et donnons nous v ∈ γ in − (cid:31) d i . Selonle lemme 5.2.8, il existe donc ˜ v ∈ d αn − i n (cid:31) d i tel que v ∈ d α vi n − (˜ v ). Le lemme 5.2.9 implique donc que v comprend { i − , i + 1 } ∩ [ n ] et la proposition 5.2.5 que v comprend i .Supposons maintenant le r´esultat vrai pour les simplexes de γ ik +1 et donnons nous v ∈ γ ik (cid:31) d i .Le lemme 5.2.8 implique qu’il existe donc ˜ v ∈ γ ik +1 (cid:31) d i tel que v ∈ d α vi k − (˜ v ). Par hypoth`ese der´ecurrence ˜ v comprend { i − , i, i + 1 } ∩ [ n ], et le lemme 5.2.9 et la proposition 5.2.5 impliquentalors le r´esultat. (cid:3) Proposition 5.2.10. L’ensemble stratifi´e N ( C ) est un ensemble complicial. Rappelons que pour tout entier n > i ≤ n , si i est pair, on a un isomorphisme endessous de | Λ i [ n ] | : | ∆[ n ] | ∼ = Eq + i, ∆[ n ] := Eq (cid:0) y : ( a in − ∗ n − ( ... ( a i ∗ x ∗ b i ) ... ) ∗ n − b in − ) → d + n − i n (cid:1) , et si i est impair, on a un isomorphisme en dessous de | Λ i [ n ] | : | ∆[ n ] | ∼ = Eq − i, ∆[ n ] := Eq (cid:0) y : d − n − i n → ( a in − ∗ n − ( ... ( a i ∗ x ∗ b i ) ... ) ∗ n − b in − ) (cid:1) . D´emonstration. Soient i ≤ n un entier et α = + si i est pair, et α = − sinon. Montrons que N ( C )a la propri´et´e de rel`evement par rapport `a l’inclusion d’ensembles compliciaux Λ i [ n ] ◦ → ∆ i [ n ]. Onse donne un morphisme f : Λ i [ n ] ◦ → N ( C ). Cela correspond `a un morphisme f : | Λ i [ n ] | → C quienvoie tout simplexe de Λ i [ n ] comprenant { i − , i, i + 1 } ∩ [ n ] sur une cellule faiblement inversible.Soient k ≤ n + 1 et v un k -simplexe dans a ki ou b ki . La proposition 5.2.7, implique que v comprend { i − , i, i + 1 } ∩ [ n ], et est donc envoy´e par f sur une cellule faiblement inversible. La proposition5.2.2 implique donc que le morphisme f envoie a ik et b ik sur des cellules faiblement inversibles.On peut donc proc´eder de la mˆeme fa¸con que dans la preuve de la proposition 4.3.4 pour trouver,pour tout α ∈ {− , + } , une pr´e-solution `a l’´equation Eq αi, ∆[ n ] ∼ = | ∆[ n ] | pour les param`etres f : | Λ i [ n ] | → C .On veut maintenant montrer que pour tout entier n > i ≤ n , N ( C ) a la propri´et´e derel`evement par rapport `a l’inclusion d’ensembles compliciaux ∆ i [ n ] ′ → ∆ i [ n ] ′′ . La donn´ee d’unmorphisme f : ∆ i [ n ] ′ → N ( C ) est ´equivalente `a celle d’un morphisme f : Eq αi, ∆[ n ] ∼ = | ∆ i [ n ] | → C qui envoie d i − , d i +1 et les simplexes comprenant { i − , i, i + 1 } ∩ [ n ] sur des cellules faiblementinversibles. Ce morphisme se factorise par ∆ i [ n ] ′′ si et seulement si f ( x ) est faiblement inversible.On d´efinit α = + si i est pair, et α = − sinon. Tous les ( n − d αn − i n sont envoy´essur des cellules faiblement inversibles et selon la proposition 5.2.2, cela implique que d αn − i n estenvoy´e sur une cellule faiblement inversible. Pour les mˆemes raisons que plus haut les chaˆınes a ik , b ik et d αn − i n sont envoy´ees sur des cellules faiblement inversibles.Donnons nous un tel morphisme f . On a donc( f ( a in − ) ∗ n − ( ... ( f ( a i ) ∗ f ( x ) ∗ f ( b i )) ... ) ∗ n − f ( b in − )) ∼ f ( d αn − i n ) voulu Une application r´ep´et´ee du corollaire 1.1.16 implique alors le r´esultat. (cid:3) Proposition 5.2.11. L’ensemble complicial N ( C ) est satur´e.D´emonstration. On va montrer par r´ecurrence sur n ≥ − N ( C ) a la propri´et´e de rel`evement`a droite par rapport aux morphismes ∆[3] eq ⋆ ∆[ n − → ∆[3] ⋆ ∆[ n − K , K ⋆ ∆[ − 1] := K . Commen¸cons par se donner un morphisme g : ∆[3] eq → N ( C ). Cela correspond `a un morphisme g : | ∆[3] | → C qui envoie tout simplexe de ∆[3] comprenant { , } ou { , } sur une cellule faiblementinversible. Ce morphisme se factorise par | ∆[3] eq | si et seulement si g ([0 , , g ([0 , , g ([1 , g ([2 , g ([1 , ∗ g ([0 , ∼ g ([0 , g ([2 , ∗ g ([1 , ∼ g ([1 , g ([0 , g ([1 , g ([0 , , g ([1 , g ([2 , g ([0 , ∼ g ([2 , ∗ g ([1 , ∗ g ([0 , g ([0 , n ≥ 3. On se donne un morphisme g : ∆[3] eq ⋆ ∆[ n − → N ( C ) . Cela correspond `a un morphisme g : | ∆[ n + 1] | ∼ = | ∆[3] ⋆ ∆[ n − | → C qui envoie tout simplexe comprenant { , } ou { , } sur une cellule faiblement inversible. De plus,l’hypoth`ese de r´ecurrence implique que tout simplexe v de dimension strictement inf´erieure ou ´egale `a( n − 2) et tel que { , , , }∩ v soit de cardinal au moins 2, est envoy´e par g sur une cellule faiblementinversible. Ce morphisme se factorise par | ∆[3] eq ⋆ ∆[ n − | si et seulement si g ( d , ) , g ( d , ) , g ( d , )et g ( d , ) sont des cellules faiblement inversibles.On va tout d’abord s’int´eresser au morphisme induit : f : ∆[ n ] ∼ = | ∆[2] ⋆ ∆[ n − | | ∆[ d ] ⋆ ∆[ n − | −−−−−−−−−−→ | ∆[3] ⋆ ∆[ n − | g −−→ C. Si n est pair, on a alors f ( γ n − n − ) ∗ n − f ( γ n − n − ) ∗ n − · · · ∗ n − f ( γ n − ) ∼ f ( γ n − ) ∗ n − f ( γ n − ) ∗ n − · · · ∗ n − f ( γ nn − )et si n est impair, f ( γ nn − ) ∗ n − f ( γ n − n − ) ∗ n − · · · ∗ n − f ( γ n − ) ∼ f ( γ n − ) ∗ n − f ( γ n − ) ∗ n − · · · ∗ n − f ( γ n − n − ) . Pour tout i = 1 ou i > 2, la ( n − f ( d i ) est faiblement inversible, et la proposition 5.2.2implique que f ( γ in − ) l’est aussi.Le corollaire 1.1.16 implique alors que f ( γ n − ) ∗ n − f ( γ n − ) est une cellule faiblement inversible.La cellule f ( γ n − ) (resp. f ( γ n − )) est donc faiblement inversible `a gauche (resp. `a droite).Pour i = 0 , 2, selon la proposition 5.2.7, tous les simplexes apparaissant dans la d´ecompositionde γ in − et diff´erents de d i sont envoy´es sur des cellules faiblement inversibles. Une applicationr´ep´et´ee du corollaire 1.1.16 implique alors que g ( d , ) = f ( d ) (resp. g ( d , ) = f ( d )) est faiblementinversible `a gauche (resp. `a droite).En ´etudiant ∆[ n ] ∼ = | ∆[2] ⋆ ∆[ n − | | ∆[ d ] ⋆ ∆[ n − | −−−−−−−−−−→ ∆[3] ⋆ ∆[ n − | g −−→ C on montre de la mˆeme fa¸con que g ( d , ) (resp. g ( d , )) est faiblement inversible `a gauche (resp.`a droite). On est d´eduit donc que g ( d , ) est faiblement inversible, ce qui implique que g ( d , ) et g ( d , ) le sont aussi.Enfin, par des calculs similaires, on montre que g ( d , ) est une cellule faiblement inversible. (cid:3) Th´eor`eme 5.2.12. Soit C une ω -cat´egorie. La stratification pr´esent´ee `a la d´efinition 5.2.1 munit N ( C ) d’une structure d’ensemble complicial satur´e qui est k -triviale si et seulement si C l’est.D´emonstration. C’est une application directe des propositions 5.2.10 et 5.2.11. (cid:3) ´EF´ERENCES 47 R´ef´erences [1] Dimitri Ara et Georges Maltsiniotis . “Le type d’homotopie de la ∞ -cat´egorie associ´e `a uncomplexe simplicial”. In : (2015). url : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01132592 .[2] Alexander Grothendieck . “Techniques de construction et th´eor`emes d’existence en g´eom´etriealg´ebrique IV : les sch´emas de Hilbert”. fr. In : S´eminaire Bourbaki : ann´ees 1960/61, ex-pos´es 205-222 . S´eminaire Bourbaki 6. talk :221. Soci´et´e math´ematique de France, 1961. url : .[3] Yves Lafont , Fran¸cois M´etayer et Krzysztof Worytkiewicz . “A folk modelstructure on omega-cat”. In : Advances in Mathematics issn : 0001-8708. doi : https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.01.007 . url : .[4] Emily Riehl . Complicial sets, an overture . 2016. arXiv : .[5] Richard Steiner . “Omega-categories and chain complexes”. In : Homology, Homotopy andApplications url : https://arxiv.org/abs/math/0403237 .[6] Ross Street . “The algebra of oriented simplexes”. In : Journalof Pure and Applied Algebra issn : 0022-4049. doi : https://doi.org/10.1016/0022-4049(87)90137-X . url :