Constructing a solution to the characteristic equation for the Langevin diffusion model with orthogonal perturbations
ННахождение решения характеристическогоуравнениядля модели диффузии Ланжевена сортогональными возмущениямConstructing a solution to the characteristicequation for the Langevin diffusion model withorthogonal perturbations
В.А. Дубко ∗ , С.В. Зубарев † , Е.В. Карачанская ‡ Аннотация
Для модели Ланжевена динамики броуновской частицы с ортого-нальными к её текущей скорости возмущениями, в режиме, когда мо-дуль скорости частицы становится постоянной, построено уравнениедля характеристической функции ψ ( t, λ ) = M [exp( λ, x ( t )) /V = v(0)] положения x ( t ) броуновской частицы. Полученные результаты под-тверждают вывод о том, что модель динамики броуновской частицы,построенная на основе нетрадиционной физической трактовки урав-нений Ланжевена – стохастических уравнений с ортогональными воз-действиями, приводит к трактовке ансамбля броуновских частиц каксистемы, обладающей волновыми свойствами. Эти результаты согла-суются с ранее полученным выводам о том, при определённом согла-совании коэффициентов в исходном стохастическом уравнении, длямалых случайных влияниях и трении, уравнения Ланжевена приво-дят к описанию плотности вероятности положения частицы на основеволновых уравнений. При больших случайных воздействиях и тре-нии плотность вероятности является решением диффузионного урав-нения, с коэффициентом диффузии, меньшим по сравнению с моде-лью классической диффузии.For the Langevin model of the dynamics of a Brownian particle withperturbations orthogonal to its current velocity, in a regime when theparticle velocity modulus becomes constant, an equation for the characteristic ∗ Научно-учебный центр прикладной информатики Национальной Аквдемии наукУкраины, Киев, Украина † Научно-учебный центр прикладной информатики Национальной Аквдемии наукУкраины, Киев, Украина ‡ Дальневосточный государственный университет путей сообщения, Хабаровск, Россия a r X i v : . [ c ond - m a t . s t a t - m ec h ] F e b unction ψ ( t, λ ) = M [exp( λ, x ( t )) /V = v(0)] of the position x ( t ) of theBrownian particle. The obtained results confirm the conclusion that themodel of the dynamics of a Brownian particle, which constructed onthe basis of an unconventional physical interpretation of the Langevinequations, i. e. stochastic equations with orthogonal influences, leads tothe interpretation of an ensemble of Brownian particles as a system withwave properties. These results are consistent with the previously obtainedconclusions that, with a certain agreement of the coefficients in the originalstochastic equation, for small random influences and friction, the Langevinequations lead to a description of the probability density of the positionof a particle based on wave equations. For large random influences andfriction, the probability density is a solution to the diffusion equation, witha diffusion coefficient that is lower than in the classical diffusion model. Введение
В работе [1] рассмотрено уравнение Ланжевена с ортогональными воз-мущениями к скорости броуновской частицы: d v( t ) = − a ( t )v( t ) dt + b ( t ) | v( t ) | [v( t ) × d w( t )] , (1a) dx ( t ) = v( t ) dt, v( t ) , x ( t ) ∈ R , . (1b)В предположении о независимости x (0) и v(0) , исследованы решения урав-нения для плотности распределения ρ ( t, x/ v(0)) = (cid:90) ∞−∞ ρ ( t, x/y ; v(0)) ρ ( y ) dy dy dy . При постоянных значениях коэффициентов a и b это уравнение имеетвид: ∂ ρ ( t, x/ v(0)) ∂t + a ∂ρ ( t, x/ v(0)) ∂t =+3 − | v(0) | [1 − exp {− at } ] ∇ x ρ ( t, x/ v(0))+ (cid:88) l =1 3 (cid:88) j =1 v l (0) v j (0) ∂ ρ ( t, x/ v(0)) ∂x l ∂x j (2)Были исследованы свойства решений уравнения (2) при различных со-отношениях между коэффициентами: a = ˜ aε − , b = ˜ bε − , ε → ,a = εa , b εa = | v(0)) | = const, ε → , где ˜ a, a , ˜ b – ограниченные величины.В первом случае (диффузионное приближение) наблюдается замедле-ние процесса диффузии по направлению v(0) | v(0) | . Во втором (случай слабых2заимодействий со средой) – плотность вероятности положения частицыаппроксимируется решением волнового уравнения.Именно эти особенности асимптотических свойств решений (2) сталистимулом к исследованию свойств ансамбля броуновских частиц, подчи-нённых уравнениям (2), для произвольных времен при значениях коэффи-циентов, отличных от асимптотических, рассмотренных в [1].Отметим, что данная модель не исчерпывает множества вариантов ин-терпретации и применения моделей с ортогональными случайными воздей-ствиями [2, 3]. x ( t ) Будем искать решение уравнение для характеристической функции урав-нения (2) когда a и b – постоянные величины, и b a = | v(0)) | = const . Этиусловия соответствуют тому, что начальное значение v(0) = V находитсяна поверхности устойчивости для процесса v( t ; v(0)) .В этом случае уравнение для характеристической функции (2) при усло-вии, что x (0) , v(0) – независимые, имеет вид: ∂ ψ ( t ) ∂t + a ∂ψ ( t ) ∂t = −| λ | ψ ( t ) (cid:34) | V | − e − at ) (cid:35) − ( λ, v(0)) ψ ( t ) (3a) ψ (0) = M [exp { i ( λ, x (0)) } ] , ∂ψ ( t ) ∂t | t =0 = i( λ, v(0)) ψ (0) , i = − , (3b)Перепишем, первоначально, уравнение (3a) в таком виде: d ψ ( t ) dt + a dψ ( t ) dt + ( − α · e − at + β ) · ψ ( t ) = 0 , (4)где α = | λ | | V |√ , β = α + ( λ, V ) (5)Выполним замены: ψ ( t ) = u ( τ ) и τ = − at . Теперь уравнение (4) прини-мает вид: d u ( τ ) dτ − du ( τ ) dτ + (cid:34) − (cid:16) α a (cid:17) · e τ + (cid:18) β a (cid:19) (cid:35) · u ( τ ) = 0 . (6)После выполнения замены z ( τ ) = (cid:18) α a (cid:19) e τ ≥ , u ( τ ) = e τ W ( z ( τ )) ,приходим к уравнению: z d W ( z ) dz + z dW ( z ) dz − (cid:2) z + υ (cid:3) · W ( z ) = 0 (7)3де υ = 13 a (cid:112) a − β . (8)Последнее уравнение – модифицированное уравнение Бесселя. Его ре-шениями являются модифицированными функциями Бесселя 1-го рода [4,с.13]: W ( z ) = I + υ ( z ) и W ( z ) = I − υ ( z ) , (9)где I ± υ ( z ) = ∞ (cid:88) m =0 (cid:0) z − (cid:1) m ± υ m !Γ ( m ± υ + 1) (10)Необходимо рассмотреть два варианта: Вариант 1 . a − β ≥ , т. е. υ – действительное число. Вариант 2. a − β < , т. е. a < β . Тогда υ = ± i γ , где γ =13 a (cid:112) β − a – действительное число, которое может быть, как целым таки не целым. Лемма 1.
При выполнении условия a − β ≥ параметр λ удовле-творяет ограничению: | λ | ∈ (cid:34) , a √ | V | (cid:35) . (11) Доказательство.
С учётом обозначений (5) имеем: α = | λ | | V | , β = | λ | | V | λ, V ) . Следовательно, υ = 13 a (cid:112) a − β < , т.к. inf λ β ( λ ) = (cid:32) | λ | | V | λ, V ) (cid:33)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) λ =0 = 0 . Условие положительности a − β приводит к требованию − | λ | | V | a (cid:32)
13 + ( λ, V ) | λ | | V | (cid:33) ≥ или − a (cid:16) | λ | | V | − + ( λ, V ) (cid:17) ≥ . Таким образом, точка | λ | = 0 обеспечивает последнее неравенство. Сдругой стороны, это неравенство можно представить в таком виде: | λ | ≤ a | V | (cid:16) + ( λ,V ) | λ | | V | (cid:17) . | λ | ≤ a | V | (cid:16) + ( λ,V ) | λ | | V | (cid:17) ≤ sup λ a | V | (cid:16) + ( λ,V ) | λ | | V | (cid:17) = 12 a | V | , т.к. знаменатель достигает минимального значения при ( λ, V ) = 0 .Эти неравенства и доказывают справедливость (11). Следствие 1.
Неравенство a − β < выполняется для любых | λ | / ∈ (cid:34) , a √ | V | (cid:35) . Для нецелых значений параметра υ функции I + υ ( z ) и I − υ ( z ) линейнонезависимы. Следовательно, в области (11) общее решение уравнения (3a),с учётом представления (10), при возвращении к переменной t имеет вид: ψ ( t ) = e − at/ [ C I + υ (2 pη ( t )) + C I − υ (2 pη ( t )] , (12)где C , C – постоянные, и, для удобства восприятия, введены обозначения: η ( t ) = e − at , p = α a ≥ . (13) Замечание 1.
Учитывая обозначения (5) , получаем: p = α a = | λ | | V | a √ и, следовательно, для любого λ в области изменения (11) следует, что p ∈ [0 , / ] . Лемма 2.
Общее решение (4) для нецелых υ допускает представление: ψ ( t ) = C F + υ ( t ) e − [1+3 υ ] at + C F − υ ( t ) e − [1 − υ ] at , (14) где F ± υ ( t ) = ∞ (cid:88) m =0 [ p · η ( t )] m Γ( m ± υ + 1) m ! (15) Доказательство.
Рассмотрим явное представление I ± υ ( pη ( t )) : I ± υ (2 pη ( t )) = ∞ (cid:88) m =0 (cid:16) pe − at (cid:17) m ± υ ( i ) m ± υ m !Γ ( m ± υ + 1) = − F ± υ ( pe − at )(i p ) ± υ e ∓ υat . (16)Для того, что бы включить значение p = 0 , что соответствует, по по-строению, | λ | = a √ | V | , будем учитывать тот факт, что если W ( z ) – частноерешение (7), то и µW ( z ) , где µ – произвольная постоянная, также являетсячастным решением уравнения (7). 5то позволяет, с учётом представления (10) и постоянства значения вы-ражения (i p ) ± υ при любых значениях параметра υ , искать частные решения(4) в таком виде: ψ ( t ) = F + υ ( t ) e − [1+3 υ ] at , ψ ( t ) = F − υ ( t ) e − [1 − υ ] at . (17)Соответственно, общее решение преобразуется в (14), где постоянные С , С , определяются с использованием начальных условия (3b). Замечание 2.
С учётом (15) и теоремы Лагранжа, функции F ± υ ( t ) являются всюду убывающим функциями по t для всех значений υ ∈ [0 , − ] .В силу Замечания 1 они ограничена в области (11) значений λ . Рассмотрим свойства функций ψ υ ( t ) в представлении (14). Лемма 3.
Для любых υ ∈ [0 , − ] функции ψ υ ( t ) монотонно сходятсяк 0 при t → ∞ .Доказательство. Достаточно установить справедливость этого утвержде-ния отдельно для представлений ψ ( t ) и ψ ( t ) (17). Докажем это для функ-ции ψ ( t ) : ψ ( t ) = e − t (cid:104) a − √ ( a − β ) (cid:105) · F − υ ( t ) . Так как выражение a − (cid:112) ( a − β ) ≥ при a ≥ , a F − υ ( t ) ограничено,в силу Замечания 2, то lim t →∞ ψ ( t ) = 0 .Аналогично устанавливается, с учётом Замечания 2, что и lim t →∞ ψ ( t ) = 0 .Обобщим полученные выводы в форме утверждения. Теорема 1.
Общее решение ψ ( t ) уравнения (3) при условии | λ | ∈ (cid:34) , a √ | V | (cid:35) , имеет вид: ψ ( t ) = C F υ ( t ) e − [1+3 υ ] at + C F − υ ( t ) e − [1 − υ ] at , (18) где С и С – решения системы уравнений: C F υ (0) + C F − υ (0) = M[exp { i ( λ, x (0)) } ] C ( ∂e − [1 − υ ] at F υ ( t )) ∂t | t =0 + C ∂ ( e − [3 υ +1] at F − υ ( t )) ∂t | t =0 = − i( λ, v(0))M[exp { i ( λ, x (0)) } ] (19)6 оказательство. есть следствие Лемм 1, 2, 3, Замечаний и подстановкиобщего решения (18) в начальные условия (3b). Воспользовавшись явнымвидом (15) для F ± υ ( t ) , их линейной независимостью, убеждаемся, что длялюбых υ ∈ [0 , − ] значения F υ (0) , F − υ (0) , ∂ ( e − [1 − υ ] at F υ ( t )) ∂t | t =0 , ∂e − [3 υ +1] at F − υ ( t ) ∂t | t =0 существуют, ограничены и не обращаются одновременно в нуль. Это ука-зывает на существование решения (19).Перейдем к рассмотрению Варианта 2 , т. е., когда υ = ± i γ, i = − , γ = 13 a · (cid:112) β − a . Запишем модифицированные функции Бесселя 1-го рода с чисто мни-мым индексом в исходной форме [5, c.13]. В нашем случае, с учётом обо-значений (13) и представления (15), они имеют вид: I ± i γ [2 p · η ( t )] = [ p · η ( t )] ± i γ · F ± i γ ( t ) , (20) F ± i γ ( t ) = ∞ (cid:88) m =0 [ p · η ( t )] m m !Γ( m + 1 ± i γ ) (21)Следовательно, комплексно-значные частные решения уравнения (3a),имеют вид: ψ , ( t, i) = e − at · I ± i γ [ p · η ( t )] . (22) Лемма 4. F ± i γ ( t ) = Φ ( t, γ ) ∓ i · Φ ( t, γ ) , (23) где Φ ( t, γ ) = ∞ (cid:88) m =0 [ p · η ( t )] m · Q ( γ, m ) m ! · [ Q ( γ, m ) + Q ( γ, m )] , (24) Φ ( t, γ ) = ∞ (cid:88) m =0 [ p · η ( t )] m · Q ( γ, m ) m ! · [ Q ( γ, m ) + Q ( γ, m )] , (25) Q ( γ, m ) = (cid:90) ∞ cos ( γ ln τ ) · τ m · e − τ dτ, (26) Q ( γ, m ) = (cid:90) ∞ sin ( γ ln τ ) · τ m · e − τ dτ. (27)7 оказательство. Выполним преобразование: [ p · η ( t )] ± i γ = (cid:104) p · e − at (cid:105) ± i γ = p ± i γ · e ∓ aγt = e ln( p ) ± i γ · e ∓ i aγt == e ± i ( γ ln p − aγt ) = cos (cid:18) γ ln p − aγ t (cid:19) ± i · sin (cid:18) γ ln p − aγ t (cid:19) . (28) Γ ( m + 1 ± i γ ) = (cid:90) ∞ τ m ± i γ · e − τ dτ = Q ( γ, m ) ± i · Q ( γ, m ) . (29)Выделим в (20) и (21) действительные и мнимые части. В силу линей-ности уравнения (3a), они также будут частными решениями (3a).Подставляя (29) в (21) и совершая стандартные операции с комплекс-ными величинами, приходим к представлению (23).Обращаем внимание на то, что равномерная сходимость (24) и (25) сле-дует из равномерной сходимости F ± i γ ( t ) (см. (21)). Сходимость F ± i γ ( t ) , всвою очередь, следует из равномерной сходимости интеграла Сонина – Шле-фли для любых комплексных индексов функции Бесселя [6, c.640–641].Таким образом, решения уравнения (3a) с учётом (28), (22) и (23) при-обретут вид: ψ , ( t, i) = [cos ( σ − µt ) ± i sin ( σ − µt )] · [Φ ( t, γ ) ∓ iΦ ( t, γ )] e − at , (30)где σ = γ ln p , µ = 3 aγ .Раскрывая в (30) скобки, запишем ψ , ( t, i) в таком виде: ψ ( t, i) = e − at [ ϕ ( t ) + i · ϕ ( t )] , ψ ( t, i) = e − at · [ ϕ ( t ) − i · ϕ ( t )] , где ϕ ( t ) = Φ ( t, γ ) · cos ( σ − µt ) + Φ ( t, γ ) · sin ( σ − µt ) , (31) ϕ ( t ) = Φ ( t, γ ) · sin ( σ − µt ) − Φ ( t, γ ) · cos ( σ − µt ) . (32) Лемма 5.
На основе функций ψ ( t ) = e − at · ϕ ( t ) и ψ ( t ) = e − at · ϕ ( t ) возможно построить фундаментальную систему решений уравне-ния (3a) .Доказательство. Для того, чтобы убедиться в этом, установим линейнуюнезависимость частных решений ψ ( t ) = e − at · ϕ ( t ) и ψ ( t ) = e − at · ϕ ( t ) .Для этого необходимо установить, что соответствующий определитель Врон-ского не равен нулю. В нашем случае он имеет вид: W [ ψ ( t ) , ψ ( t )] = det (cid:18) ψ ψ dψ dt dψ dt (cid:19) = det (cid:32) e − at · ϕ e − at · ϕ d (cid:104) e − at · ϕ (cid:105) dt d (cid:104) e − at · ϕ (cid:105) dt (cid:33) . W ( ψ , ψ ) : W ( ψ , ψ ) = e − at · det (cid:18) ϕ ϕ dϕ dt dϕ dt (cid:19) = e − at · W ( ϕ , ϕ ) . Таким образом: W ( ψ , ψ ) = e − at · W ( ϕ , ϕ ) . (33)Подставим (31) и (32) в (33). После преобразований приходим к следу-ющему виду для W ( ϕ , ϕ ) : W ( ϕ , ϕ ) = (Φ ) · d (cid:104) Φ Φ (cid:105) dt − µ · (cid:104) (Φ ) + (Φ ) (cid:105) . (34)Покажем, что (34), применительно для функций Φ и Φ , не обращаетсяв 0.Допустим, что это не так. Тогда (34) будет дифференциальным уравне-нием 1-го порядка относительно y = (cid:16) Φ Φ (cid:17) : dydt = µ (cid:104) y ) (cid:105) . Решая данное уравнение, получаем следующее соотношение для функ-ций Φ и Φ : Φ ( t ) = Φ ( t ) · tg ( µt + C ) , (35)где C – постоянная интегрирования.Например, в точках t , удовлетворяющих равенству µt + C = πk , k =0 , ± , ± ... , выражение (24) не обращается в 0 при всех конечных значенияхпостоянной C . Таким образом, пришли к противоречию, поскольку (24)функции Φ не согласуется с (35).Следовательно, при чисто мнимом индексе для функций Бесселя фун-даментальная система решений уравнения (3a) имеет вид: ψ ( t ) = e − at [ C ϕ ( t ) + C ϕ ( t )] , где C , C – постоянные, определяемые через начальные условия, а ϕ ( t ) и ϕ ( t ) определяются равенствами (31) и (32). Теорема 2.
Общее решение ψ ( t ) уравнения (3) при условии | λ | / ∈ (cid:34) , a √ | V | (cid:35) ,существует и имеет вид: ψ ( t ) = e − at · [ C ϕ ( t ) + C ϕ ( t )] , (36) ϕ ( t ) = Φ ( t, γ ) · cos ( σ − µt ) + Φ ( t, γ ) · sin ( σ − µt ) , ( t ) = Φ ( t, γ ) · sin ( σ − µt ) − Φ ( t, γ ) · cos ( σ − µt ) . где и – решения системы уравнений: (cid:40) [ C ϕ (0) + C ϕ (0)] , = M[exp { i ( λ, x (0)) } /V ] C ∂ϕ ( t ) ∂t | t =0 + C ∂ϕ ( t ) ∂t | t =0 = − [i( λ, v(0)) − a2 − ]M[exp { i ( λ, x (0)) } /V ] (37) где σ = γ ln p , µ = 3 aγ , γ = 13 a · (cid:112) β − a , p = | λ || V | a √ , а функции Φ ( t, γ ) , Φ ( t, γ ) определяются выражениями (24) , (25) .Доказательство. Представление (36) есть следствие утверждений Лемм 4,5, Замечания 2 и взаимосвязи между переменными для Варианта 2. Условия(37) – результат подстановки значений функций ϕ , ( t ) и их производныхв начальные условия (3b). Замечание 3.
Представление (36) будет справедливо как для целыхтак и не целых значений γ . Выводы