Estimation of Radiative Corrections to the Process of Muon-Electron Conversion
aa r X i v : . [ h e p - ph ] F e b ESTIMATION OF RADIATIVE CORRECTIONSTO THE PROCESS OF MUON-ELECTRONCONVERSION
Rashid M. Djilkibaev ∗ , Rostislav V. Konoplich , Department of Physics, New York University, New York, NY 10003 Manhattan College, Riverdale, New York, NY, 10471
May 30, 2018
Abstract
In detection of electrons from µ → e conversion process themonochromatic electron spectrum is transformed due to a photon emis-sion and fluctuations of energy loss in a target. The selection criterionof µ → e ( γ ) conversion events is an electron momentum above thethreshold momentum of 103.5 MeV/c , which corresponds to the max-imum energy loss of 1.5 MeV. Radiative corrections including a virtualphoton correction and soft photon emission below 1.5 MeV lead to areduction by about 10% in the probability of µ → e conversion processcalculated without radiative corrections.The soft photons emission below 1.5 MeV contributes to a change ofelectron spectrum from monoenergetic one at 105 MeV to a spectrumwith a low energy tail for the process of µ → e ( γ ) conversion. Howeverthe effect of smearing of the initial momentum distribution due tothe soft photon emission is small in comparison with a smearing dueto energy loss fluctuations in a target. The average energy of softphotons emitted below 1.5 MeV is found to be 40 keV. The soft photonapproximation is a good description for µ → e ( γ ) conversion processwith photons emitted below 1.5 MeV. ∗ Permanent address: Institute for Nuclear Research, 60-th Oct. pr. 7a, Moscow117312, Russia ntroduction In this work we study radiative corrections to the process of µ → e con-version, i.e. we consider the process of µ → e ( γ ) conversion including theelastic process of µ → e conversion and the process of µ → e conversion witha photon emission below a certain energy ω max . The µ → e conversion isthe process of a transformation of a muon into an electron in the presenceof a nucleus. The clear signature of µ → e conversion is an appearance inthe final state of a monochromatic electron of the energy E max = E µ − E µ · M A , E µ = m µ · (1 − ( α · Z ) /
2) (1)where M A is a nuclear mass, m µ is a muon mass, α is the fine structureconstant, Z is a nuclear charge. In particular, E max is 104.963 MeV foraluminum.In an experimental setup a monochromatic spectrum of µ → e conversionelectrons at 105 MeV is transformed to a distribution with a low energytail. This transformation in the electron spectrum can be either due tofluctuations of energy loss of electrons in a target or because of a photonemission in the process of µ → e ( γ ) conversion. The selection criterion of µ → e ( γ ) conversion events is an electron momentum above the thresholdmomentum of 103.5 MeV/c , which corresponds to the maximum energyloss of 1.5 MeV.It is important to note that in real experiments a pure elastic process isnot physically observable since due to the presence of charged particles inthe initial, intermediate or final states the process can be accompanied by anemission of a photon. Therefore the measured probability of the process of µ → e ( γ ) conversion is a sum of probabilities of the pure elastic process cor-rected by virtual photon exchange and of a real soft photon emission belowa maximum energy ω max , which in our case is 1.5 MeV. In fact if the emittedreal soft photon is not detected, one can not distinguish a bremsstrahlungprocess from the elastic one.Because the energy release in the process of µ → e ( γ ) conversion isabout ∆ E = 105 M eV one could expect that the virtual photon correctionsand the soft photon emission can be enhanced by a large logarithmic factor ln ( m µ /m e ) where m e is an electron mass. Radiative corrections lead to achange in the probability of µ → e conversion process calculated withoutradiative corrections.The real soft photons emission contributes to a change of electron spec-trum from monoenergetic one at 105 MeV to a spectrum with a low energy2ail. However this effect of smearing of the initial momentum distributiondue to the soft photon emission should be compared with a smearing due toenergy loss fluctuations in a target.The detailed analysis of hard photon emission requires knowledge ofspecific particle physics models. In order to avoid complications in analy-sis of high energy photon spectrum and to understand qualitatively a hardphoton emission the radiative pion decay is considered. By analyzing thisdecay which possesses the same kinematic properties and a comparable en-ergy scale as µ → e conversion the range of application of the soft photonapproximation can be found.It is worth to note that the hard photon emission with photons producedat energy above 1.5 MeV is not important for simulation of µ → e ( γ ) con-version process. Hard photons carry away a significant part of muon energythus reducing an electron energy but due to the selection criterion 103.5MeV/c on the threshold momentum such electrons are rejected and suchevents do not contribute to useful events. Virtual photon corrections
Let us consider µ → e conversion process in which a virtual photon emissionis involved. The Feynman diagrams describing virtual photon emission [1]are presented in Figure 1. (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) e e e µ γ µ γ µ γ Figure 1: Virtual photon corrections to lepton vertex and ingoing andoutgoing leptons in the process of muon-electron conversion.It can be shown that an integral describing the radiative correction tothe lepton vertex is infrared divergent. This integral can be artificially well-defined with an introduction of an infinite small mass λ of a photon. Withthis modification the leading term in leading logarithm approximation isgiven by 3 virt = Γ el · (cid:20) − απ ln m µ m e ln m µ λ (cid:21) (2)where Γ el is the µ → e conversion rate calculated without radiativecorrections. Soft photon emission
Feynman diagrams describing the process of inner bremsstrahlung are pre-sented in Figure 2. (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) µ γ µ γ e e
Figure 2: Inner bremsstrahlung in the process of muon-electron conversion.Let’s consider the case of emission of low energy photons. In this limit weassume that a photon energy is much less than energies of particles takingpart in muon-electron conversion and momentum transfered to a nucleus.On the other hand we assume the validity of the perturbation theory, i.e. thesmallness of a parameter α · ln ( m µ /m e ) << u µ → e · ˆ k − ˆ q + m µ ( k − q ) − m µ · ˆ ε ∗ u µ ≈ − e · ˆ k + m µ kq ) · ˆ ε ∗ u µ , u e → e · ¯ u e ˆ ε ∗ ˆ k +ˆ q + m e ( k + q ) − m e ≈ e · ¯ u e ˆ ε ∗ ˆ k + m e k q ) , where k, k , q are the four-vectors of muon, electron and photon, re-spectively, ε is the polarization of a photon. A photon emission from anon-relativistic nucleus is neglected.By using Dirac equations these relations can be simplified u µ → − e · ( kε ∗ )( kq ) u µ , ¯ u e → e · ¯ u e · ( k ε ∗ )( k q ) . As a result amplitude M of muon-electron conversion with the soft pho-ton emission can be factorized according to M = M el · e (cid:20) ( k ε ∗ )( k q ) − ( kε ∗ )( kq ) (cid:21) , (3)where M el is the amplitude of the same process of µ → e conversionwithout photon emission. This is well-know general result which is processindependent.Summing up over the photon polarization and by applying standardtechnique of calculation of process probability the differential probabilityto emit a single soft photon with momentum q in the process of µ → e conversion is given by d Γ soft = d Γ el · πα " k k )( k q )( kq ) − ( m e )( k q ) − ( m µ )( kq ) d q (2 π ) ω . (4)Integration of Eq.(4) over an electron momentum within kinematic limitsgives the spectrum of soft photons in the process of muon-electron conversion1Γ el d Γ soft dω = 2 απ · ln ( m µ m e ) · ω . (5)Note that the same expression for the spectrum of soft photon emissioncan be obtain by applying the classical consideration [2] instead of Feynmandiagram technique.The limit ω → λ the integral over ω becomes well-defined and the5robability of the soft photon emission is derived from Eq.(5) by integratingover the photon energy from the small photon mass to the maximum energy ω max of emitted soft photonsΓ soft = Γ el · απ ln m µ m e ln ω max λ . (6) Probability of radiative muon - electron conversion
The inner bremsstrahlung spectrum diverges for low energy photons butthis divergence in the total rate is canceled by virtual photon corrections.Therefore physically observable is the sum of probabilities of the elasticprocess corrected by the virtual photon emission and of the soft photonemission.By adding the probabilities Γ virt and Γ soft the infrared divergences fromthe soft bremsstrahlung and from the lepton vertex corrections cancel eachother producing a finite probability of radiative µ → e ( γ ) conversion withthe emission of soft photon with the energy below ω max :Γ = Γ el · (cid:20) − απ ln m µ m e ln m µ ω max (cid:21) . (7)Note that this is the probability of radiative µ → e ( γ ) conversion calcu-lated in the first order in electromagnetic constant α .Table 1 shows the ratio of probabilities Γ / Γ el of µ → e conversioncalculated with and without radiative corrections. Radiative correctionsinclude the virtual photon emission and soft photon emission with energybelow ω max . ω max (MeV) 0.1 0.5 1 1.5 2 2.5Γ / Γ el µ → e conversion calculated with andwithout radiative corrections versus maximum soft photon energy ω max .One can see that radiative corrections reduce the probability calculatedwithout radiative corrections. For ω max = 1 . M eV this corrections is about61%.
Spectrum of conversion electrons
In this section we consider the process of soft photon emission with energybelow ω max = 1 . M eV because as it was discussed above the selectioncriterion of µ → e ( γ ) conversion events is an electron momentum above thethreshold momentum of 103.5 MeV/c , which corresponds to the maximumenergy loss of 1.5 MeV.It is important to note that one does not need to simulate the photonspectrum down to very small photon energies. A straggling in a target leadsto a smearing of the electron momentum. To get the electron momentumdistribution from a target a pattern recognition and track reconstructionprocedure [3] based on the Kalman filter technique [4] was applied takinginto account backgrounds, delta-rays and straw inefficiency. It will be shownbelow that an electron momentum distribution from a target can be fittedby a Gaussian with a standard deviation σ = 200 keV/c. Therefore a pho-ton emission below 200 keV is indistinguishable from the elastic process ofmuon - electron conversion and it is not required to simulate this photonemission. In the following we will simulate photon emission in the rangefrom ω min = 100 keV to ω max = 1 . M eV . The particular choice of ω min is not important because as we mentioned above for photon energies below200 keV the process of µ → e ( γ ) conversion will look as the elastic process.Moreover a formula for the total probability of µ → e ( γ ) process containslogarithm of ω min and therefore it is not very sensitive to ω min .The relative probability Γ soft / Γ el of photon emission in the range from ω min to ω max with respect to the probability of the corresponding elasticprocess can be calculated by integrating the photon spectrum Eq.(5) ofradiative µ → e conversion over photon energy:Γ soft Γ el = 2 απ · ln ( m µ m e ) · ln ( ω max ω min ) . (8)Figure 3 shows the relative probability to emit a photon for the radiative µ → e conversion.Table 2 shows the relative probability to emit a photon in the range from ω min to ω max for radiative muon-electron conversion calculated by Eq.(8).Let’s consider two subranges of the photon energy: below 100 keV andfrom 100 keV to 1.5 MeV. Below 100 keV we consider the process as the7 hoton Energy Upper Limit, (MeV) 0 20 40 60 80 100 120Photon Energy Upper Limit, (MeV) 0 20 40 60 80 100 120 e l ΓΓ e Conversion → µ Relative Probability of Radiative
Soft Approximation
Figure 3: Relative probability to emit a photon in the range from ω min to ω max for radiative muon-electron conversion in the approximation of softphoton emission. Minimal photon energy is ω min = 100 keV . ω max (MeV) 0.5 1 1.5 2 3 4 5probability (%) 4 5.7 6.7 7.4 8.4 9.1 9.7Table 2: Relative probability to emit a photon in the range from 100 keVto ω max .elastic one occurring according to Table 1 for ω max = 100 keV with therelative rate Γ / Γ el = 82.8%.Photons emitted in the subrange 100 keV - 1.5 Mev carry away a partof energy released in µ → e ( γ ) conversion. This leads to the appearanceof low energy tail in the electron distribution. According to Table 2 withthe relative rate Γ soft / Γ el = 6.7% in the process of µ → e ( γ ) conversion the8lectron energy is distributed in the range 103.5 - 104.863 MeV.In Monte Carlo simulations the elastic process is simulated with theprobability 82 . / (82 . . ≈ .
5% and the process of soft photonemission in the range from 100 keV to 1.5 MeV with the probability6 . / (82 . . ≈ . µ → e ( γ ) con-version events including the elastic process and one photon emission is N = (0 .
828 + 0 . N = 0 . N where N is the number of elastic eventscalculated without radiative corrections. We take into account the photonenergy distribution in the simulation by sampling the photon spectrum (5)according to the equation ω = ω min · ( ω max ω min ) r where r is distributed uniformlyfrom 0 to 1.The spectrum of electrons produced in the process of radiative µ → e conversion is shown in Figure 4 in linear (left) and logarithmic (right)scale. Due to the photon emission a low energy tail in the electron spectrumappears.
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
Trad
Entries 100000Mean 104.8RMS 0.5404
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
Trad
Entries 100000Mean 104.8RMS 0.5404
Muon Conversion Radiative Correction
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
Trad
Entries 100000Mean 104.8RMS 0.5404
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 Trad
Entries 100000Mean 104.8RMS 0.5404
Muon Conversion Radiative Correction
Figure 4: Momentum distribution of electrons produced in the process of µ → e ( γ ) conversion in linear and logarithmic scale. Soft photon emissionis taking into account.The momentum distribution of electrons from a target smeared by strag-gling is shown in Figure 5 in linear (left) and logarithmic (right) scale byneglecting the photon emission.By comparing of Figures 4 and 5 one can see that the effect of thephoton emission is small in comparison with the effects of straggling in thetarget. 9
00 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
Pin
Entries 107862Mean 103.8RMS 0.8262 / ndf χ ± ± ±
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110020004000600080001000012000
Pin
Entries 107862Mean 103.8RMS 0.8262 / ndf χ ± ± ± Pin
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
Pin
Entries 107862Mean 103.8RMS 0.8262 / ndf χ ± ± ±
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 Pin
Entries 107862Mean 103.8RMS 0.8262 / ndf χ ± ± ± Pin
Figure 5: Momentum distribution of electrons from a target. This distri-bution does not include a photon emission.In the soft photon approximation the average energy of photons emittedin the range from ω min to ω max ¯ ω = Γ − Z ω max ω min ω d Γ soft dω dω = απ ln m µ m e · ( ω max − ω min )1 − απ ln m µ m e ln m µ ω max . (9)For ω min ≪ ω max = 1.5 MeV this equation gives ¯ ω ≈ Inner bremsstrahlung in the radiative pion decay
In order to understand qualitatively a hard photon emission and to validatethe range of application of soft photon approximation the radiative piondecay is considered. In previous section the spectrum of soft photons wasfound for the process of µ → e ( γ ) conversion. In order to get predictionsfor the high energy part of the photon spectrum one has to relay on a vari-ety of specific models for the µ − e vertex. In order to avoid complicationsin analysis of the high energy photon spectrum we just consider the inner10remsstrahlung in the process of radiative pion decay that possesses similarkinematic behavior and similar mass scale as µ → e ( γ ) conversion. Equa-tions describing the photon and electron spectra for the radiative pion decayare given in Appendix.Figure 6 shows the differential photon spectrum in relative photon en-ergy x = 2 ω/m π for the inner bremsstrahlung in the radiative pion de-cay. Lower curve is the result of calculations based on the exact formulaof Appendix. Upper curve is obtained in the approximation of soft photonemission where only a term proportional to x − ln ( m π /m e ) contributes. Relative Photon Energy (x) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Relative Photon Energy (x) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 d x e l Γ / Γ d -2 -1 γ ν e → π Photon Spectrum of
Exact formula
Soft Approximation
Figure 6: Differential spectrum in relative photon energy x = 2 ω/m π forthe inner bremsstrahlung in the radiative pion decay. Lower curve is basedon the exact formula, upper curve is obtained in the approximation of softphoton emission.It follows from this plot that up to the photon energy ω = 5 MeV theexact photon spectrum can be approximated by soft photon emission 1 /ω with the precision better than 10%. At high energies the spectra differsignificantly because as x tends to the kinematic boundary x = 1 − ∆ where ∆ = m e /m π the exact spectrum tends to 0.This behavior of the photon spectrum is of general nature. In particular11n the case of µ → e ( γ ) conversion low energy spectrum is exactly thesame if one uses the proper mass scale. At high energies one could expectqualitatively similar photon spectra for µ → e ( γ ) conversion and radiativepion decay.Figure 7 shows the differential electron spectrum in relative electronenergy y = 2 E/m π for the inner bremsstrahlung in the radiative pion decay.Lower curve is based on the exact formula of Appendix, upper curve isobtained in the approximation of soft photon emission. This spectrum isdivergent as y tends to 1 + ∆ because this limit corresponds to the emissionof low energy photons. Relative Electron Energy (y) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Relative Electron Energy (y) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 d y e l Γ / Γ d -2 -1 γ ν e → π Electron Spectrum of
Exact formula
Soft Approx.
Figure 7: Differential spectrum in relative electron energy y = 2 E/m π forthe inner bremsstrahlung in the radiative pion decay. Lower curve is basedon the exact formula, upper curve is obtained in the approximation of softphoton emission.By integrating the photon spectrum of radiative pion decay over photonenergy one gets a relative probability Γ / Γ el of photon emission in the rangefrom ω min to ω max with respect to the probability of the correspondingelastic process (see Appendix). Figure 8 shows the relative probability ofphoton emission for the radiative pion decay. Minimal photon energy is12 min = 100 keV . Lower curve is based on the exact formula, upper curve isobtained in the approximation of soft photon emission. Photon Energy Upper Limit, (MeV) 0 10 20 30 40 50 60 70Photon Energy Upper Limit, (MeV) 0 10 20 30 40 50 60 70 e l Γ / Γ γ ν e → π Relative Probability of
Exact formula
Soft Approx.
Figure 8: Relative probability to emit a photon in the range from ω min to ω max for the radiative pion decay. Minimal photon energy is ω min =100 keV . Lower curve is based on the exact formula, upper curve is obtainedin the approximation of soft photon emission.In particular, it follows from Figure 8 that the relative probability toproduce a photon in the energy range 100 keV - 1.5 MeV is 7% which iscomparable, due to an increase in a rate of photon emission at low ener-gies, with the probability of 7.8% to produce a high energy photon in muchbroader range 1.5 MeV - 70 MeV. Note that the range 100 keV - 1.5 MeV isdescribed with high precision (better than 1%) by the approximate formulaof soft photon emission.A comparison of this plot with the corresponding Figure 3 for µ → e ( γ )conversion, which was obtained in the approximation of soft photon emissionby Eq.(8) shows that the relative probabilities ΓΓ el of these processes are quiteclose even though the energies released in these processes are somewhatdifferent. 13 onclusion This study has shown that radiative corrections including a virtual photoncorrection and soft photon emission below 1.5 MeV lead to a reduction byabout 10% in the probability of µ → e conversion process calculated withoutradiative corrections. It is not necessary to consider a photon emission above1.5 MeV because these events do not survive a cut in the electron momentumof 103.5 MeV.The soft photons emission below 1.5 MeV contributes to a change ofelectron spectrum from monoenergetic one at 105 MeV to a spectrum with alow energy tail. The effect of smearing of the initial momentum distributiondue to the soft photon emission is small in comparison with a smearing dueto energy loss fluctuations in the target. The average energy of photonsemitted below 1.5 MeV is found to be small of about 40 keV.By analyzing the radiative pion decay which possesses the same kine-matic properties and a comparable energy scale as µ → e ( γ ) conversion itwas found that up to the photon energy ω = 5 MeV the exact photon spec-trum can be approximated by soft photon emission dN/dω ∼ /ω with theprecision better than 10%.We wish to thank A.Mincer and P.Nemethy for fruitful discussions andhelpful remarks. References [1] E.M.Lifshitz, L.P.Pitaevskii and V.B.Berestetskii, Quantum Electrody-namics, v.4, 2nd Edition by Butterworth-Heinemann, 1982[2] J.D.Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition by Wiley, 1998[3] R.Djilkibaev and R.Konoplich, hep-ex/0312022 (2003)[4] R.E.Kalman, Transactions of the ASME: J.Basic Engineering,
D82 , 35,(1960).[5] S.G.Brown and S.A.Bludman, Phys.Rev. 136, 1160 (1964)14 ppendixSpectra of the radiative pion decay
According to [5] the double differential rate of pion decay including theinner bremsstrahlung with respect to photon energy ω and electron energyE is given by d Γ dxdy = α π · Γ( π → eν )1 − ∆ · I IB (10). where Γ( π → eν ) is the decay rate for non-radiative pion decay, ∆ = m e /m π .In Eq.( 10) I IB is I IB = (cid:20) − y + ∆ x ( x + y − − ∆ ) (cid:21) · (cid:20) x + 2(1 − x )(1 − ∆ ) + 2 x ∆ (1 − ∆ ) x + y − − ∆ (cid:21) (11)where x = 2 ω/m π and y = 2 E/m π are relative photon and electronenergies, respectively. These energies are directly measurable in radiativepion decay.Differential distributions in photon energy ω and electron energy E areobtained from Eq.( 10) by integrating over corresponding kinematic regions.It follows from the conservation of four-momenta p π = k + q + p e , where p π , k, q, p e are the four-momenta of pion, neutrino, photon, and electron,respectively, that k = ( p π − q − p e ) = m π − m π ( ω + E ) + 2 ω ( E − | p e | z ) + m e = 0where z = cosθ , θ is the angle between the electron and photon mo-menta.Since | z | ≤ − x − y + xy/ − x ( y / − ∆ ) ≤ ≤ y ≤ , − y/ − ( p ( y − )) / ≤ x ≤ − y/ p ( y − )) / ≤ x ≤ − ∆ , (1 + ∆ − x + x ) / (1 − x ) ≤ y ≤ . Additional conditions were used to get ranges above: y − ≥ p π − p e ) ≥
0, (1 + ∆ − x + x ) / (1 − x ) ≤ .By integrating the double differential rate Eq.( 10) in correspondinglimits one gets for the photon spectrum d Γ dx = α π · Γ( π → eν )1 − ∆ · (cid:20) ( x − − ∆ ) + 2(1 − ∆ ) /x ) ln ( 1 − x ∆ ) − x (1 − ∆ / (1 − x )) (cid:21) and for the electron spectrum d Γ dy = α π · Γ( π → eν )1 − ∆ ·
11 + ∆ − y · ( A + B ) A = 2(1 − ∆ )(2∆ − y ) ln " (1 − y/ p ( y − ) / − y B = (1 + ∆ ( − ) − y + y ) ln " ( y/ − ∆ + p ( y − ) / ∆ (1 + ∆ − y ) ..