Inconsistencies and errors in traditional approaches to energy in our introductory courses
Alvaro Suarez, Daniel Baccino, Arturo C. Marti, Martin Monteiro
Inconsistencies and errors in traditional approaches to energy in our introductory courses
Inconsistencias y errores en los enfoques tradicionales sobre la energía en nuestros cursos introductorios (Versión en español a partir de la página 13)
Álvaro Suárez, Daniel Baccino,
Arturo C. Martí, Martín Monteiro
Álvaro Suárez ORCID https://orcid.org/0000-0002-5345-5565 Consejo de Formación en Educación, Instituto de Profesores Artigas, Montevideo, Uruguay [email protected]
Daniel Baccino ORCID https://orcid.org/0000-0001-5572-2623 Consejo de Formación en Educación, Instituto de Profesores Artigas, Montevideo, Uruguay [email protected]
Arturo C. Martí https://orcid.org/0000-0003-2023-8676 Instituto de Física, Facultad de Ciencias, Udelar, Montevideo, Uruguay [email protected]
Martín Monteiro https://orcid.org/0000-0001-9472-2116 Universidad ORT, Montevideo, Uruguay [email protected]
Abstract:
We present a critical analysis of the classical approaches to energy subjects, based on the work-energy theorem and the conservation of mechanical energy proposed in the courses of the first years of tertiary education. We show how these approaches present a series of inconsistencies and errors that are a source of conceptual difficulties among students. We then analyze a modern treatment of mechanical courses based on the results of research in physics education over the last 40 years. We place special emphasis on the principle of conservation of energy as one of the fundamental principles of nature, prioritizing the concepts of system, surrounding, and energy transfer and transformation.
Resumen:
Presentamos un análisis crítico de los enfoques clásicos de los contenidos de energía, basados en el teorema trabajo-energía y la conservación de la energía mecánica que se proponen en los cursos de los primeros años de educación terciaria. Mostramos cómo estos enfoques presentan una serie de inconsistencias y errores que son fuente de dificultades conceptuales en los estudiantes. Analizamos luego un tratamiento moderno dirigido a cursos de mecánica basado en los resultados de las investigaciones en educación de la Física de los últimos 40 años. Hacemos especial énfasis en el principio de conservación de la energía como uno de los principios fundamentales de la naturaleza, jerarquizando los conceptos de sistema, ambiente, transferencia y transformación de energía.
1. The classic approach to energy and its inconsistencies
For several decades, some physicists have led a crusade to expose the shortcomings in the classical approaches with which many of us learned the work-energy theorem and the law of conservation of mechanical energy. Despite a substantial number of articles published in that line (see, for example, Arons, 1989 and 1999; Sherwood, 1983; Sherwood and Bernard, 1984; Jewett, 2008 a, 2008 b; Hetch, 2019; Chabay, Sherwood and Titus, 2019), it took several years before there was a significant impact on the most widely used physics textbooks in basic tertiary-level courses. In recent years, however, more modern approaches based on Physics Education Research (P.E.R.) have gradually emerged. In our country, Uruguay, the only work published so far revealing some of the shortcomings in the classical approaches is the article “Comentarios sobre el trabajo de las fuerzas aplicadas sobre sólidos reales” (Comments on the work of applied forces on real solids; Núñez, 2011), which appeared in the journal
Educación en Física of the Uruguayan Association of Physics Teachers (APFU). The article shows the need for using the model of a deformable solid body to explain the existence of the dry friction force and the characteristics of the work it does. These facts, which can be easily understood from the principle of conservation of energy, have profound implications for the way we approach our mechanics courses. Consider, for instance, the process of warming our hands. When we rub them together, if we take one hand as a system, the internal energy of that hand increases as its temperature rises. This increase in energy arises simply from the transfer of energy from the work done by the force exerted by the other hand. Within this simple example, however, lies a problem that we do not generally address until we deal with the first principle of thermodynamics: the only model of a body that allows us to consider changes in temperature is that of a deformable solid, according to which bodies can change their internal energy. This means that the behavior of something as “simple” as a block sliding on a surface cannot be studied energetically without considering the object as a deformable solid body. But what are the implications of this observation? Newton's laws are at the heart of traditional approaches to mechanics courses. They are the starting point for studying the behavior of bodies, from the simplest to the most complex. Usually, one starts by positing the particle model to deduce the theorems of conservation of mechanical energy and momentum. The rigid body model is then introduced, followed by the study of fluids and thermodynamics, usually relegating the analysis of deformable solids to the far ends of the curriculum. In the latter—which is necessary for modelling daily situations, as shown below—there appear some problems with energy propositions stemming from Newton's laws that lead to inconsistent results. In addition to this problem, as we will discuss later, both the usual definition of the work done by a force and the deduction of the work-energy theorem present limitations and often lead to confusion among students. In this work we present a modern approach to addressing the concept of energy in basic physics courses at the tertiary level. To that end, the article is structured as follows: in section 2 we present some qualitative examples of the inconsistencies derived from applying the definition of work and the work-energy theorem to deformable solid bodies; in section 3 we introduce the concept of pseudowork and the energy equation of the center of mass; in section 4 we define the energy principle, analyzing the role of the systems and the role of external and internal forces at the core of the principle of conservation of energy; in section 5 we study some classical examples of mechanics, comparing classical and modern approaches; in section 6 we briefly review the historical evolution of the approach to energy, concluding with our final considerations in section 7.
2. Some qualitative examples
Imagine that a person on skates who is initially at rest exerts a force 𝐹⃗ on a wall, as shown in figure 1. As a result, the person is driven in the opposite direction, increasing his or her speed and thus his or her translational kinetic energy. If we apply the work-energy theorem to this situation, we will immediately arrive at a contradiction. Since the point of application does not move, the force does not do work. Therefore, although the person increases his or her translational kinetic energy, the net work done on him or her is zero. Figure 1. Diagram of a person on skates who moves by exerting a force 𝐹⃗ on the wall. The above example reveals the inconsistencies associated with the definition of work based on the particle model. In the particle model, the displacement of the point of force application always coincides with the displacement of the particle, whereas in a deformable solid body that is not always the case. This approach to energy, which does not take into account the mechanical aspects of deformable solids, is a source of confusion for students (Lindsey, Heron and Shaffer, 2009; Gutierrez-Berraondo, Goikoetxea, Guisasola and Zavala, 2017). It is also worth noting that the work-energy theorem, in its simplest formulation, is only valid for particles and applies to a limited set of situations. As a second example, let us consider a block placed on a rugged horizontal surface and pushed by a horizontal force
𝑇⃗⃗ so that it moves along a distance ( d ) with constant velocity, as shown in figure 2 (Resnick and Halliday, 2002). Figure 2. Diagram of a block pulled by a rope and moving with constant speed along a rugged horizontal surface.
If we consider the block as a system and apply the work-energy theorem, we can conclude that the net work is zero. We could have deduced this in two ways: on the one hand, by seeing that the speed of the block is constant and, therefore, so is its kinetic energy; or, alternatively, by recognizing that if the block moves at a constant speed, the net force is zero and thus the net work is also zero. Although the previous analysis seems reasonable, it is highly inconsistent from a physical point of view. If the net work on the block were zero, there would be no transfer of energy from the surrounding and the total energy of the block would have to remain constant; however, we know that as the block slides on the surface, its temperature increases and, consequently, so does its internal energy. Therefore, we conclude that there should be a transfer of energy as work towards the block, i.e., the net work should be positive . Several relevant observations can be made about the previous example. Firstly, it is clear that the work-energy theorem cannot be applied to the situation described, since it is only valid for particles, and the block, given the increase of its internal energy, must be modeled as a deformable solid. Secondly, if the net work done on the block is positive, the work of the force
𝑇⃗⃗ must be greater than the work of the friction force. As an immediate consequence of this, the absolute value of the work done by the friction force has to be less than 𝑓 𝑓𝑟𝑖𝑐 𝑑 . As a matter of fact, it is not possible to calculate the friction work exactly, because the effective distance is generally less than the displacement of the block (Sherwood and Bernard, 1984). The difference between the usual and the correct calculation could be regarded, beforehand, as rather insignificant. However, it can be shown that the absolute value of the work of the friction force, depending on the characteristics of the two surfaces in contact, can vary between 0 and 𝑓 𝑓𝑟𝑖𝑐 𝑑 (Sherwood and Bernard, 1984). Under certain conditions of symmetry, particularly when two identical bodies slide against each other, it can be easily shown that the work of friction is half the work that would be obtained by classical calculation (Sherwood and Bernard, 1984; Chabay and Sherwood, 2015, p. 391). As a third and final observation, since the net work on the block is positive, the work done by the net force is not equal to the sum of the work done by each force, i.e., even if the net force on the block is zero, the net work is not. Although this may seem anti-intuitive, it is directly related to the fact that the equivalence is only valid for particles or rigid bodies, but not for deformable solids. From the examples presented, it is possible to see the inconsistencies and possible confusion that may arise from applying the work-energy theorem to objects that change their internal energy. The only rightful way to understand these processes is to approach them based on the principle of conservation of energy as explained by the first principle of thermodynamics. This is a general principle that cannot be deduced from Newton's laws. Although in the present work we only present two situations, similar contradictions appear in the energy analysis of most daily life phenomena (e.g., a person walking or jumping, the wheels of an accelerating car spinning without sliding, or simply a ball hitting the ground), when the principle of conservation of energy is not taken as the starting point for the analysis (Güémez, 2013). Another relevant aspect to be highlighted along with the above limitations is that the classical approaches to energy, based on Newton's laws, generally relegate the concept of system to background, as well as the role of external and internal forces in the transfer and transformation of energy. Familiarity with these concepts is crucial to fully understand the conservation of energy as a fundamental principle of nature.
3. Pseudowork and energy equation of the center of mass
A widespread way of presenting the concept of energy in introductory high school and university physics courses is to define the work of a force and demonstrate the work-energy theorem. The work that a force 𝐹⃗ does on a particle, along a trajectory C, is defined as the path integral: 𝑊 𝐹 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟⃗ 𝐶 . Once this new physical magnitude is established, Newton's second law 𝐹⃗ 𝑛𝑒𝑡 = 𝑚𝑎⃗ is applied to develop the work integral of the net force and to arrive at the conclusion that the net work is equal to the variation of a certain quantity K, which is equal to ( 𝑚𝑣 ). This quantity is called kinetic energy of the particle, with which the work-energy theorem in its first form says that 𝛥𝐾 = 𝑊 𝑛𝑒𝑡 . The member on the left is a kinematic property of the particle, while the one on the right refers to the dynamics of the interactions between the surrounding and the particle. The work-energy theorem, as presented above, is an integral version of Newton's second law, and as such is universal within the framework of classical mechanics. Although it does not introduce any new physical principle, it proves to be a useful tool in the treatment of numerous situations. The fact that the work-energy theorem is an essentially dynamic equation may be more evident if we deduce it, for example, from the three Cartesian components of Newton's second law, 𝑚 𝑑𝑣 𝑥 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑛𝑒𝑡−𝑥 (1) 𝑚 𝑑𝑣 𝑦 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑛𝑒𝑡−𝑦 (2) 𝑚 𝑑𝑣 𝑧 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑛𝑒𝑡−𝑧 (3) By integrating both sides of the equality, we arrive at the following:
12 𝑚𝛥(𝑣 𝑥2 ) = ∫ 𝐹 𝑛𝑒𝑡−𝑥 𝑑𝑥 𝐶 (4)
12 𝑚𝛥(𝑣 𝑦2 ) = ∫ 𝐹 𝑛𝑒𝑡−𝑦 𝑑𝑦 𝐶 (5)
12 𝑚𝛥(𝑣 𝑧2 ) = ∫ 𝐹 𝑛𝑒𝑡−𝑧 𝑑𝑧 𝐶 (6) by adding the members of the three equations,
12 𝑚𝛥(𝑣 𝑥2 + 𝑣 𝑦2 + 𝑣 𝑧2 ) = ∫ 𝐹 𝑛𝑒𝑡−𝑥 𝑑𝑥 𝐶 + ∫ 𝐹 𝑛𝑒𝑡−𝑦 𝑑𝑦 𝐶 + ∫ 𝐹 𝑛𝑒𝑡−𝑧 𝑑𝑧 𝐶 (7) we arrive at the definitive form of the theorem 𝛥𝐾 = 𝑊 𝑛𝑒𝑡 (8)
The fact that equation 8 can be expressed in components (equations 4 to 6) makes it clear that, despite its name, the work-energy theorem is a dynamic equation but not a complete expression of the conservation of energy, as mentioned above. When equation 8, which is valid for a particle, is applied to systems with an internal structure, certain contradictions appear, such as those mentioned in the examples of section 2. We could say that there are at least two ways of avoiding these contradictions: resorting to the correct application of dynamics or to the principle of conservation of energy. A correct application of dynamics would be to apply Newton's second law for the center of mass of a particle system, 𝐹⃗ 𝑛𝑒𝑡−𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎⃗ 𝐶𝑀 . With a progression similar to the one followed for a particle, we arrive at an energy equation of the centre of mass, 𝛥𝐾 𝐶𝑀 = ∫ 𝐹⃗ 𝑛𝑒𝑡−𝑒𝑥𝑡 ∙ 𝑑𝑟⃗ 𝐶𝑀𝐶 (9) where the left member is the kinetic energy variation of the center of mass and the right member is the path integral of the external net force as if it were applied at the center of mass. This leads to an equation very similar to that of the work-energy theorem, but with an integral that despite being very similar to work should not be confused with it, since the forces are generally not applied at the center of mass. For this reason, many authors refer to that integral as pseudowork (Penchina, 1978; Sherwood, 1983; Arons, 1989; Mallinckrodt and Leff, 1992; Jewett, 2008 a). This highlights an aspect that should always be considered: the fact that the energy equation of the center of mass is an essentially dynamic equation (as is the work-energy theorem) and not a true energy equation. As a dynamic equation, it is not surprising that the energy equation of the center of mass can be applied without any contradiction to systems with internal structure, such as the examples in section 2. In the case of the skater, the external force exerted by the wall does pseudowork because the center of mass is displaced, and that pseudowork is equal to the kinetic energy acquired by the skater. In the case of the block, the constancy of the kinetic energy results in the fact that the pseudowork done by the net force is zero, from which it is concluded that the friction force has the same modulus as the force
𝑇⃗⃗ . These two examples show, once again, that the work-energy theorem and its variant for the center of mass are in fact dynamic equations.
4. Principle of energy and the importance of the system’s definition.
The principle of conservation of energy was formulated based on the works of Joule and other scientists, being valid not only for particles but also for systems with an internal structure. The internal energy is thus introduced, consisting of the sum of the kinetic and potential energies of the microscopic constituents of the system, so that the total energy of the system can be expressed as 𝐸 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 = 𝐾 + 𝑈 + 𝐸 𝑖𝑛𝑡 and its change can be due to multiple forms of energy transfer including work, heat, mass, waves, and radiation, among others (Serway and Jewett, 2015). That is to say: 𝛥(𝐾 + 𝑈 + 𝐸 𝑖𝑛𝑡 ) = 𝑊 + 𝑄+. .. (10)
This expression is called the principle of conservation of energy, or more simply, the principle of energy (Fred Reif, quoted by Sherwood, 2019). Thus, the total energy of a system may not be constant, but its increase or decrease can always be explained in terms of some input or output across the system’s boundary. This is the meaning of conservation of energy.
The total energy of a system may not be constant, yet the energy is always conserved.
From the principle of energy, we can infer, following a different path than usual, the theorem of conservation of mechanical energy. To do this, let us start from equation 10 and consider an isolated system, i.e., a system in which the net work of external forces, as well as other forms of energy transfer from the surrounding, are zero: 𝛥𝐸 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 = 𝛥𝐾 + 𝛥𝑈 + 𝛥𝐸 𝑖𝑛𝑡 = 0 (11) Being isolated, the only forces that can act between the different parts of the system are internal. These forces, unlike the external ones that can transfer energy to the system by means of work, are the ones that cause the transformations of energy within the system by means of internal work, and can be classified as conservative and nonconservative (Resnick, Halliday and Krane, 2002; Knight, 2004; Jewett, 2008 b). Let us now assume that the internal forces acting on the system are all conservative. In that case, there are no changes of internal energy, 𝛥𝐸 𝑖𝑛𝑡 = 0 , and all the internal work is due to the conservative forces, being therefore associated to the variations in the potential energies of the system. Thus, the only possible energy transformations are from potential to kinetic and vice versa. Equation 11 now becomes: 𝛥𝐾 + 𝛥𝑈 = 0 (12)
As mechanical energy is the sum of kinetics and potential, we obtain the expression for the theorem of conservation of mechanical energy: 𝛥𝐸 𝑚𝑒𝑐 = 0 (13) From the approach presented above, the assumptions on which this theorem is based are evident. It is only valid for an isolated system where the internal forces at work are all conservative . Therefore, the theorem of conservation of mechanical energy is clearly not a fundamental principle of physics, but it is a theorem derived from the principle of energy, whose scope of validity is limited. From a semantic point of view, "conservation of mechanical energy" may lead to conceptual errors, since it is a quantity that, under certain conditions, may or may not remain constant. Therefore, we emphasize that it is not correct to identify a constant magnitude with a general principle of conservation. We can take the principle of energy, once again, as a starting point, but we assume that the only transfers of energy into the system come from external work, i.e.:
𝛥(𝐾 + 𝑈 + 𝐸 𝑖𝑛𝑡 ) = 𝑊 (14)
When we apply this equation, the concrete expression of the different terms depends on the choice of the system boundary. Of course, that boundary is artificial, since we are free to choose the elements that comprise the system, but it is mandatory that we make such a choice. Because depending on the system some contributions will remain on the left side of the equation, constituting part of the energy state of the system, and other contributions will remain on the right side, as part of the interactions with the surrounding, which make the system gain or lose energy. Not choosing the system explicitly can lead to errors, as shown in the following example. Consider the following situation: an apple of mass m that falls to the ground from a height h . If the system is only the apple, then there is no change of potential energy or internal energy, and there is an external force which is the one exerted by the Earth, then, 𝛥𝐾 = 𝑊 (15) or alternatively
12 𝑚𝑣 − 0 = 𝑚𝑔ℎ (16) Conversely, if we consider the apple-Earth system, then there is no external force, although there is a potential energy shift,
𝛥𝐾 + 𝛥𝑈 = 0 (17) which easily translates into
12 𝑚𝑣 − 𝑚𝑔ℎ = 0 (18) Evidently, both approaches are valid and lead to the same result, i.e., a final speed is 𝑣 = √2𝑔ℎ . When due attention is not paid to the definition of the system, when the boundary is diffuse or simply not defined, errors such as the following may occur,
𝛥𝐾 + 𝛥𝑈 = 𝑊 (19) i.e., including the interaction of the system as potential energy and, at the same time, as work, which would erroneously result in 𝑣 = √4𝑔ℎ .
5. Analysis of a "classic" example
As an example, in this section we analyze, from a near quantitative approach, a situation that usually appears in many textbooks. Based on the propositions discussed in the previous sections, we study, from an energy point of view, some characteristics of the movement of a child sliding down a slide, shown schematically in figure 3. Figure 3. Diagram of a child sliding down a slide. The analysis takes the principle of energy presented in section 3 as the starting point. We then introduce some simplifying hypotheses to problematize the situation, depending on how we define the system and its respective surrounding. We show some limitations, advantages and disadvantages, in terms of that essential initial definition, which should also be made explicit in this energy context. There is at least one other aspect that we should consider carefully. The mechanical energy dissipated due to the existence of kinetic friction between the child and the slide is transformed into internal energy for both bodies , modelled as deformable solids. If it were analyzed according to an introductory course, it would not be easy to know which part of that energy goes to the child and which part is transferred to the slide. From now on we will assume some simplifying hypothesis that will help us to highlight some aspects of the situation. We will accept as valid that the effect of air on the child is irrelevant. Furthermore, we postulate that the energy transfers between the defined system and its surrounding are carried out exclusively through work (for example, that the temperatures of both bodies are similar, so there is no transfer of energy through heat). The latter assumption may be questionable, especially for some defined systems, but we make it in order to highlight the aspects that are relevant in the context of the article. We will now analyze the proposed situation under different choices of system.
If we define the system "child", its surrounding comprises the slide and the Earth. In this case, there are two works that cross the system's boundary. They are, therefore, external works. The gravitational work can be determined if we know the weight of the child and the displacement of its center of mass. Reaffirming the example of the apple at the end of section 4, no gravitational potential energy is defined for this system. As we saw in section 2, there are significant difficulties in determining the work associated with the force of kinetic friction. If we consider the usual approach of asking what is the speed of the child at the bottom of the slide, we can use the principle of energy as a starting point and add the aforementioned definitions and hypotheses to conclude that it is not possible to determine said speed (at least exactly) because the energy transferred to the system by the effects of friction is unknown. For the definition of the "child-Earth" system, its surrounding is exclusively the slide. Therefore, to apply the principle of energy we must know the work done by the force of friction made by the slide. We find here the same difficulties referred to in the previous paragraph.
5b "Child-Slide-Earth" system
This choice, together with the hypotheses we define, implies that there is no transfer of energy between the system and its surrounding, i.e., it is an isolated system . This choice does not require the determination of the work of friction, the difficulty of which we have already noted. Regarding the energy transformations inside the system, changes in the kinetic energy, in the gravitational potential energy, and in the internal energy take place. The starting point to propose a solution to the problem is the principle of energy , in this case for an isolated system: 𝛥𝐸 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚 = 0 . Given the assumptions made when presenting the problem, the child-slide system is the only one that keeps the energy constant . How do we formulate the transformation of energy in the system? If we compare an initial situation (the child at the top of the slide) with a final situation (the child coming out of the slide), we can identify a change in the gravitational configuration, therefore 𝛥𝑈 𝑔 ≠ 0 . The kinetic energy K of the system also changes if we measure it from a fixed reference to the floor. Finally, there is an increase in the internal energy of the system due to the effect of friction on the sliding bodies, associated with temperature increases of the child and the slide. In our elementary model, the principle of energy is expressed as: 𝛥𝑈 𝑔 + 𝛥𝐾 + 𝛥𝐸 𝑖𝑛𝑡 = 0 (20) The first term has a negative sign since the parts of the system move closer; it can be expressed as 𝑚𝑔(ℎ 𝑓 − ℎ 𝑖 ) . The second term has a positive sign because the child travels faster at the end than at the beginning; if the child starts moving from a state of rest, the term is 𝑚𝑣 [1] . Particular attention should be given to the third term (also positive), which corresponds to the variation of the child's internal energy and the slide. It can be demonstrated, based on Newton's second law and other energy considerations (Tipler and Mosca, 2010; Serway and Jewett, 2015; Chabay and Sherwood, 2015; Knight, 2017), that this variation is given by 𝛥𝐸 𝑖𝑛𝑡 = 𝑓 𝑓𝑟𝑖𝑐 𝑑 (21) being d the distance traveled by the child on the slide. Assuming that the child’s kinetic energy can be properly expressed by a translational term exclusively.
Note that the product 𝑓 𝑓𝑟𝑖𝑐 𝑑 is not equal to the absolute value of the work of the friction force exerted by the slide on the child; it is the variation of the internal energy of the two bodies that interact through the friction force. It is clear then (as mentioned in section 2) that taking the product 𝑓 𝑓𝑟𝑖𝑐 𝑑 as the absolute value of the work of the friction force exerted by the slide on the child is physically incorrect. Having defined the energy variations, we are able to formulate equation 20 in terms of quantities that are usually already known in a "sample" problem: 𝑚𝑔(ℎ 𝑓 − ℎ 𝑖 ) + 12 𝑚𝑣 + 𝑓 𝑓𝑟𝑖𝑐 𝑑 = 0 (22) This approach makes it possible, for example, to determine the child's final speed if the rest of the quantities are known: 𝑣 = √ 2𝑚 (−(𝑚𝑔(ℎ 𝑓 − ℎ 𝑖 ) + 𝑓 𝑓𝑟𝑖𝑐 𝑑)) (23) If we consider exclusively the final expression, we see that it is the same as that which would be obtained with other approaches, such as that in which the system has not been defined in the same way, or that in which the child has been modelled as a particle, or that in which 𝛥𝐸 𝑚 = 𝑊 𝑛𝑐 . However, the fact that we arrive at a correct result does not mean that the process leading to it is also correct. In this sense, we want to emphasize that the classical approach that leads to equation 23, based on the fact that the work of friction, is given by −𝑓 𝑓𝑟𝑖𝑐 𝑑 , is not correct. The quantity 𝑓 𝑓𝑟𝑖𝑐 𝑑 has a very different physical meaning from the one it is usually given, i.e., it is equal to the variation of the internal energy of the two bodies sliding on each other. From what has been exposed in this work, we see how only an approach based on the principle of energy allows us to root out the inconsistencies from the classical approach to the subject that do not contribute to its conceptual understanding by the students. In the following section, we will review the evolution of the treatment of this subject, focusing on an example that many readers will find paradigmatic: the first volume of the classic Resnick-Halliday textbook.
6. Historical evolution.
She said, “Suppose you push a block across the floor at constant speed. The net force (your push and the opposing friction force) is zero, so choosing the block as the system no work is done, yet the block’s temperature rises, so the internal energy is increasing. I’m very confused.” I said, “Oh, I can explain this. You just, uh, well, you see, uh…..I have no idea.”
The previous quotes is taken from an anecdote that Bruce Sherwood shares in his blog (Pseudowork and real work, 2017), from when he was responsible for a teaching project. He quotes an exchange dating back to 1971 between an undergraduate student, Lynell Cannell, and Sherwood himself. The student's assignment was to write a tutorial on energy, and her lack of progress on the work led to the exchange. The interest of the project’s leader in the subject led Sherwood to write, not without difficulty, two of his best-known articles on these topics (Sherwood, 1983; Sherwood and Bernard, 1984) In 2017, Sherwood published a post on his personal blog where he transcribes part of a response from D. Halliday to a letter Sherwood sent him in 1983, in which he raised his concerns about the treatment of the subject of energy in deformable systems in classic textbooks, such as the one Halliday had published jointly with Resnick. In his response, Halliday wrote:
Let me say at once that we are well aware of its serious flaws, along precisely the lines that you describe. We have tried several times to patch things up in successive printings but the matter runs too deep for anything but a total rewrite. We have, in fact, such a rewrite at hand, awaiting a possible next edition.
Other contributions can be identified in this process of reviewing the way energy is approached in introductory courses; we shall mention three examples.
Energy and the Confused Student is a series of five articles that refer to the confusion on the subject among students. In our list of references, we cite the first two of the five issues (Jewett, 2008 a and 2008 b), which deal with the concepts of work and systems. The third example is
Developing the energy concepts in introductory physics (Arons, 1989). This revisionist process, which has been illustrated here by citing some articles, has also permeated the newer editions of some textbooks currently used in introductory physics courses. A typical example, for several generations of students, is the classic
Halliday-Resnick , where structural changes can be identified when reviewing the editions of its first volume. For an initial approach to the problem, we examined the thematic table contents of the first five editions in Spanish, from the 60s through the 2000s. This overview allowed us to identify two subsets of editions. The first four editions include a similar structure in terms of content. A change of structure in the treatment of the topic of energy is evidenced from the fifth English edition (corresponding to the fourth Spanish edition) (Resnick, Halliday y Krane, 2002). Which qualitative aspects regarding energy stand out in the first four editions as a whole? The first chapter in which the subject is explained is Work and Energy (chapter 7 in all three editions). It can be considered the closing of a cycle focused on the treatment of particle movement, whose development initially includes a kinematic approach followed by a dynamics perspective. The following chapter,
Conservation of Energy , deals essentially with conservative systems, introducing the concepts of conservative force and potential energy. The concept of internal energy is explained later in chapter related to thermodynamics (Chapter 22:
Heat and the first law of thermodynamics , in the fifth English edition).
Our general overview of the last editions show at least two aspects that differ from the first editions. The three chapters that initially refer to energy appear farther away from the beginning (chapters 11 to 13 in the fitth English edition), after chapters referring to particle systems (kinematics and rotational dynamics). Chapter 13 develops a novel treatment in comparison with the previous editions, which could be considered a "preview of the first principle of thermodynamics".
The last statement of the previous paragraph requires some explanation. The first section,
Work done on a system by external forces , conveys the idea that the system in its surrounding is limited by a boundary, and that work is a way to measure the transference. The second section,
Internal energy of a particle system , extends the approach beyond mechanical energy and into the macroscopic realm, while
Frictional work is perhaps the chapter’s most dissenting section, showing aspects that we have mentioned before in this work (Sherwood and Bernard, 1984; Núñez, 2011), in reference to the inconsistencies associated with the previous approach. The section
Energy of the center of mass presents an approach that we have mentioned in this work (Sherwood, 1983), addressing some questions about deformable systems. The chapter closes with the section
Energy transfer by heat , in which the first law of thermodynamics is presented. The first law of thermodynamics reappears in a later chapter near the end of the volume. Perhaps the most relevant conceptual change observed in our general overview of
Halliday-Resnick is that the last chapter on energy in the 5 th English editions is closer to living up to its name than in the first editions. This is because in the first editions the focus is on the conservation of mechanical energy, whereas in the more recent editions the focus is on the idea of the conservation of energy.
In the previous paragraphs we presented a transformation in one of the "classic" texts. This revision of the treatment of the subject of energy can also be seen in other books used at this level, such as Serway and Jewett (2015) or Tipler and Mosca (2010). An example of an introductory text that considers several of the guidelines mentioned in this work, particularly in reference to the treatment of energy, is
Matter and Interactions (Chabay and Sherwood, 2015). We close this section with a quote that invites us to reflect on the convenience of revising curricular plans associated with the subject of energy, given the importance that this has in the contribution that science makes to understanding the environment, not only concerning our discipline. According to Chabay and Sherwood (2019), This is how we refer to the complete set of five editions, detailed in our list of References.
Rather than attempting to add activities that give students practice in dealing with such confusion , we advocate a restructuring of the energy component of the introductory physics curriculum in a manner that is coherent, consistent, and contemporary, and which empowers students to analyze interesting phenomena such as fission and fusion simply by applying fundamental principles.
7. Concluding remarks.
We began this article by showing the most important inconsistencies of the treatments of energy derived from Newton's laws when applied to deformable solids, and then presented a modern approach that results from Physics Education Research (P.E.R.). From this new perspective, the conservation of mechanical energy is not derived from Newton's laws, but rather from the principle of conservation of energy, emphasizing concepts that have not been traditionally considered, such as system, surrounding, transfer and transformation of energy. In traditional courses, the principle of conservation of energy is not addressed until the study of thermodynamics is finally introduced. One of the most important principles of nature should certainly play a much more central role in physics courses. In this sense, approaching it after studying point mechanics allows the students to have a more general vision of mechanics and be able to study and understand more complex problems. On the other hand, the principle of conservation of energy, given its nature, enables interdisciplinary dialogue and multidisciplinary approaches, so necessary for a quality scientific training. As a final reflection, we observe that education, contrary to other activities, has always been propelled by sheer inertia, which slows down the processes of change. The teaching of physics has not escaped this. As we discussed in the present work, it took nearly 20 years since the first article pointing out the inconsistencies and errors in the usual treatments of energy was published in the
American Journal of Physics for the new approaches to appear in some of the main texts on General Physics with which many of us were trained. These changes are not random, but they have been appearing concurrently with the development of P.E.R. that has been taking place worldwide. Many aspects of the classic textbooks are slowly beginning to be restructured and changed based on the results of research. At the same time, new texts with completely new and research-based approaches have appeared, for example,
Matter and Interactions , in which the treatment of mechanics is focused on the principles of conservation instead of on Newton's laws. As with any process of change—and now speaking specifically of us, the teachers—it is usually more difficult to assimilate and put into practice new approaches when we have been trained in a different way. First, we must have total conviction about these new approaches and the shortcomings of the previous ones to be able to carry out the process of didactic transposition with confidence. In this sense, we are convinced that an in-depth reflection on the subject addressed in this article, based on the results arising from P.E.R., it is paramount to continue training ourselves, improving in our task and bringing our students closer to a more modern and comprehensive understanding of physics.
Acknowledgements
We thank ANII and CFE for the financial support to the project "Knowing and influencing the epistemological conceptions of future physics teachers" (FSED_3_2019_1_157320).
8. References
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Inconsistencias y errores en los enfoques tradicionales sobre la energía en nuestros cursos introductorios Álvaro Suárez, Daniel Baccino,
Arturo C. Martí, Martín Monteiro
Álvaro Suárez ORCID https://orcid.org/0000-0002-5345-5565 Consejo de Formación en Educación, Instituto de Profesores Artigas, Montevideo, Uruguay [email protected]
Daniel Baccino ORCID https://orcid.org/0000-0001-5572-2623 Consejo de Formación en Educación, Instituto de Profesores Artigas, Montevideo, Uruguay [email protected]
Arturo C. Martí https://orcid.org/0000-0003-2023-8676 Instituto de Física, Facultad de Ciencias, Udelar, Montevideo, Uruguay [email protected]
Martín Monteiro https://orcid.org/0000-0001-9472-2116 Universidad ORT, Montevideo, Uruguay [email protected]
Resumen:
Presentamos un análisis crítico de los enfoques clásicos de los contenidos de energía, basados en el teorema trabajo-energía y la conservación de la energía mecánica que se proponen en los cursos de los primeros años de educación terciaria. Mostramos cómo estos enfoques presentan una serie de inconsistencias y errores que son fuente de dificultades conceptuales en los estudiantes. Analizamos luego un tratamiento moderno dirigido a cursos de mecánica basado en los resultados de las investigaciones en educación de la Física de los últimos 40 años. Hacemos especial énfasis en el principio de conservación de la energía como uno de los principios fundamentales de la naturaleza, jerarquizando los conceptos de sistema, ambiente, transferencia y transformación de energía.
1. El enfoque clásico de la energía y sus inconsistencias
Desde hace varias décadas, algunos físicos han liderado una cruzada para mostrar las debilidades que presentan los abordajes clásicos con los que muchos de nosotros aprendimos el teorema de trabajo-energía y la ley de la conservación de la energía mecánica. Pese a la presencia de un número no despreciable de artículos publicados en esa dirección (véase por ejemplo, Arons, 1989 y 1999; Sherwood, 1983; Sherwood y Bernard 1984; Jewett, 2008 a, 2008 b; Hetch, 2019; Chabay, Sherwood y Titus, 2019), tuvieron que pasar varios años para que el impacto en los textos de Física más utilizados en los cursos básicos de nivel terciario fuera significativo. En los últimos años, sin embargo, han aparecido paulatinamente enfoques más modernos basados en las investigaciones derivadas de la investigación en educación de la Física o PER (por sus siglas en inglés). En nuestro país, el Uruguay, el único trabajo publicado hasta ahora que desnuda algunas falencias en los abordajes clásicos es el artículo “Comentarios sobre el trabajo de las fuerzas aplicadas sobre sólidos reales” que apareció en la revista Educación en Física (Núñez, 2011) de la Asociación de Profesores de Física del Uruguay (APFU). En dicho artículo se muestra la necesidad de utilizar el modelo de un cuerpo sólido deformable para explicar la existencia de la fuerza de rozamiento seca, así como las características del trabajo que realiza. Estos hechos, que se pueden entender fácilmente a partir del principio de conservación de la energía, tienen profundas implicaciones en el abordaje que hacemos en nuestros cursos de mecánica. Pensemos por un instante en el proceso de calentarnos las manos. Cuando las frotamos entre sí, si tomamos como sistema a una de las manos, aumenta la energía interna de la misma (ya que aumenta su temperatura). Este aumento de energía surge simplemente de la transferencia de energía a través del trabajo realizado por la fuerza que ejerce la otra mano. Este simple ejemplo, esconde un problema que en general no abordamos hasta que tratamos el primer principio de la termodinámica: el único modelo de un cuerpo que permite tomar en cuenta los cambios en su temperatura es el del sólido deformable, ya que es en dicho modelo donde los cuerpos pueden cambiar su energía interna. Esto significa que no puede realizarse un estudio energético del comportamiento de algo “tan simple” como un bloque deslizando por una superficie sin considerar al mismo como un cuerpo sólido deformable. Pero, ¿cuáles son las implicancias de esta observación? Las leyes de Newton están en el centro de los enfoques tradicionales de los cursos de mecánica. Son el punto de partida para estudiar el comportamiento de los cuerpos desde los más simples a los más complejos. Usualmente se comienza planteando el modelo de partícula para deducir los teoremas de conservación de la energía mecánica y de la cantidad de movimiento. Posteriormente se continúa con el modelo de cuerpo rígido, para pasar directamente al estudio de fluidos y termodinámica, quedando en general completamente relegado el análisis de los sólidos deformables. Es en este último, requerido para modelar situaciones cotidianas como mostraremos en breve aquí, donde aparecen problemas con planteos energéticos originados en las leyes de Newton que conducen a resultados inconsistentes. Junto a este problema, como veremos más adelante, tanto la definición usual del trabajo realizado por una fuerza, como la deducción del teorema trabajo-energía presentan limitaciones y son muchas veces fuentes de confusión para los estudiantes. En lo que sigue de este trabajo presentamos un enfoque moderno para abordar los conceptos de energía en cursos de Física básica de nivel terciario. Con ese fin, el artículo está estructurado de la siguiente manera: en la siguiente sección presentamos algunos ejemplos cualitativos referidos a las incongruencias que derivan de aplicar la definición de trabajo y el teorema trabajo-energía a cuerpos sólidos deformables. A continuación, en la sección 3, introducimos el concepto de pseudotrabajo y la ecuación de energía del centro de masa. En la sección 4 definimos el principio de la energía, analizando el rol de los sistemas y el rol de las fuerzas externas e internas como eje estructurador del principio de conservación de la energía. Estudiamos, en la sección 5, algunos ejemplos clásicos de mecánica comparando los enfoques clásicos con los modernos. Una breve reseña de la evolución histórica del tratamiento de la energía es presentada en la sección 6. Finalmente, las consideraciones finales son presentadas en la sección 7.
2. Algunos ejemplos cualitativos
Imaginemos una persona en patines que se encuentra inicialmente en reposo ejerce una fuerza 𝐹⃗ sobre una pared tal como se muestra en la figura 1. Como resultado se impulsa en sentido contrario, aumentando su velocidad y por ende su energía cinética de traslación. Es posible ver que si aplicamos el teorema trabajo-energía a esta situación llegamos rápidamente a una contradicción. Dado que su punto de aplicación no se desplaza, la fuerza no realiza trabajo. Por lo tanto, aunque la persona aumentó su energía cinética de traslación, el trabajo neto realizado sobre ella es nulo. Figura 1. Diagrama de una persona en patines que se impulsa ejerciendo una fuerza 𝐹⃗ contra la pared. El ejemplo anterior revela las inconsistencias asociadas a la definición de trabajo a partir del modelo de partícula. En dicho modelo, el desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza siempre coincide con el de la partícula, sin embargo, en un cuerpo sólido deformable no siempre ocurre así. Este abordaje de la energía que no tiene en cuenta los aspectos de la mecánica de sólidos deformables, es fuente de confusión en los estudiantes (Lindsey, Heron y Shaffer, 2009; Gutierrez-Berraondo, Goikoetxea, Guisasola y Zavala, 2017). Es importante destacar también que el teorema trabajo-energía, en su formulación más simple, sólo es válido para partículas y es aplicable a un conjunto acotado de situaciones. Como segundo ejemplo, consideremos un bloque apoyado sobre una superficie horizontal rugosa que es empujado por una fuerza horizontal
𝑇⃗⃗ de modo que se mueve a lo largo de una distancia d con velocidad constante tal como se indica en la figura 2 (Resnick y Halliday, 2002). Figura 2. Diagrama de un bloque arrastrado por una cuerda que se desplaza con velocidad constante a lo largo de una superficie horizontal rugosa.
Si tomamos al bloque como sistema y aplicamos el teorema trabajo-energía, concluimos rápidamente que el trabajo neto es nulo. Esto en principio lo podíamos haber deducido de dos formas. Por un lado, viendo que la velocidad del bloque es constante y, por ende, su energía cinética también o, alternativamente, reconociendo que, si se mueve con velocidad constante, la fuerza neta es nula y entonces también el trabajo neto resulta nulo. Aunque el análisis anterior parece razonable, tiene una gran incongruencia desde el punto de vista físico. Si el trabajo neto sobre el bloque fuera nulo, no habría transferencia de energía desde el ambiente y la energía total del bloque debería permanecer constante, sin embargo, sabemos que a medida que desliza por la superficie, aumenta su temperatura y por consiguiente su energía interna. Por lo tanto, concluimos que debe existir una transferencia de energía en forma de trabajo hacia el bloque, es decir, el trabajo neto debe ser positivo.
A partir del ejemplo anterior destacamos varias observaciones relevantes. Primeramente, queda en evidencia que el teorema trabajo-energía no puede aplicarse a la situación descrita, ya que es válido solamente para partículas y el bloque al aumentar su energía interna, debe modelarse como un sólido deformable. En segundo lugar, si el trabajo neto realizado sobre el bloque es positivo, el trabajo de la fuerza
𝑇⃗⃗ debe ser mayor que el trabajo de la fuerza de fricción. Esto tiene una consecuencia inmediata, el valor absoluto del trabajo realizado por la fuerza de fricción tiene que ser menor que 𝑓 𝑟𝑜𝑧 𝑑 . De hecho, en principio, no es posible calcular con exactitud el trabajo de fricción; esto se debe a que la distancia efectiva a lo largo de la que realiza trabajo es en general menor que el desplazamiento del bloque ( Sherwood y Bernard, 1984) . Se podría llegar a pensar a priori que la diferencia entre el cálculo habitual y el correcto es muy pequeña. Sin embargo, se puede mostrar que el valor absoluto del trabajo de la fuerza de fricción, dependiendo de las características de las dos superficies en contacto, puede variar entre 0 y 𝑓 𝑟𝑜𝑧 𝑑 (Sherwood y Bernard, 1984). Bajo ciertas condiciones de simetría, en particular cuando se tiene dos cuerpos idénticos que deslizan entre sí, se puede demostrar con relativa sencillez que el trabajo de fricción es la mitad del que se obtendría por el cálculo clásico (Sherwood y Bernard, 1984; Chabay y Sherwood, 2015, pág. 391). Finalmente, como tercera observación, recalcamos que dado que el trabajo neto sobre el bloque es positivo, el trabajo realizado por la fuerza neta no es igual a la suma de los trabajos realizados por cada fuerza, es decir, aunque la fuerza neta sobre el bloque sea nula, el trabajo neto no lo es. Esto que parece anti-intuitivo, nuevamente está directamente relacionado con el hecho que esa igualdad sólo es válida para partículas o cuerpos rígidos, pero no para sólidos deformables. De los ejemplos presentados, se desprende el conjunto de incongruencias y fuentes de posibles confusiones para los estudiantes que pueden surgir de aplicar el teorema trabajo-energía a objetos de estudio que cambian su energía interna. La única manera lícita de poder comprender estos procesos, es abordando los mismos desde el principio de conservación de la energía en el sentido que se le da al primer principio de la termodinámica. Este es un principio general que no puede deducirse de los de Newton. Aunque aquí presentamos solamente dos situaciones, el análisis energético de la gran mayoría de los fenómenos de la vida cotidiana lleva a contradicciones similares a las presentadas, cuando no se parte del principio de conservación de la energía. Pensemos en situaciones tales como una persona caminando o saltando, un auto acelerando cuyos neumáticos ruedan sin deslizar o simplemente una pelota que se golpea contra el piso (Güémez, 2013). Otro aspecto a destacar junto a las limitaciones anteriores es que los enfoques clásicos de energía, basados en los principios de Newton, dejan en general relegado a un segundo plano el concepto de sistema, así como el rol de las fuerzas externas e internas en las transferencias y transformaciones de energía. La familiaridad con estos conceptos es clave para entender cabalmente la conservación de la energía como principio fundamental de la naturaleza.
3. Pseudotrabajo y ecuación de energía del centro de masa.
Una forma muy extendida de presentar el concepto de energía en los cursos introductorios de física de nivel secundario y universitario, consiste en definir el trabajo de una fuerza y demostrar el teorema trabajo-energía . El trabajo que una fuerza 𝐹⃗ realiza sobre una partícula, a lo largo de una trayectoria C, se define como la integral de camino: 𝑊 𝐹 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟⃗ 𝐶 . Una vez establecida esta nueva magnitud física, se aplica la segunda ley de Newton 𝐹⃗ 𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑚𝑎⃗ , para desarrollar la integral del trabajo de la fuerza neta y llegar a la conclusión de que el trabajo neto es igual a la variación de una cierta cantidad K, que es igual a ( 𝑚𝑣 ). Esa cantidad se denomina energía cinética de la partícula, con la cual el teorema trabajo-energía en su primera forma dice que, 𝛥𝐾 = 𝑊 𝑛𝑒𝑡𝑜 . El miembro de la izquierda es una propiedad cinemática de la partícula, mientras que el de la derecha tiene que ver con la dinámica de las interacciones entre el entorno y la partícula. El teorema trabajo-energía, así presentado, es entonces una versión integral de la segunda ley de Newton, y como tal es universal dentro del marco de la mecánica clásica. A pesar de que no introduce ningún principio físico nuevo resulta ser una herramienta útil en el tratamiento de numerosas situaciones. El hecho de que el teorema trabajo-energía se trata de una ecuación esencialmente dinámica puede resultar más evidente cuando se deduce a partir de la segunda ley de Newton. Tomando componentes cartesianas 𝑚 𝑑𝑣 𝑥 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑛𝑒𝑡𝑎−𝑥 (1) 𝑚 𝑑𝑣 𝑦 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑛𝑒𝑡𝑎−𝑦 (2) 𝑚 𝑑𝑣 𝑧 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑛𝑒𝑡𝑎−𝑧 (3) integrando a ambos lados de la igualdad se obtiene,
12 𝑚𝛥(𝑣 𝑥2 ) = ∫ 𝐹 𝑛𝑒𝑡𝑎−𝑥 𝑑𝑥 𝐶 (4)
12 𝑚𝛥(𝑣 𝑦2 ) = ∫ 𝐹 𝑛𝑒𝑡𝑎−𝑦 𝑑𝑦 𝐶 (5)
12 𝑚𝛥(𝑣 𝑧2 ) = ∫ 𝐹 𝑛𝑒𝑡𝑎−𝑧 𝑑𝑧 𝐶 (6) sumando miembro a miembro las tres ecuaciones,
12 𝑚𝛥(𝑣 𝑥2 + 𝑣 𝑦2 + 𝑣 𝑧2 ) = ∫ 𝐹 𝑛𝑒𝑡𝑎−𝑥 𝑑𝑥 𝐶 + ∫ 𝐹 𝑛𝑒𝑡𝑎−𝑦 𝑑𝑦 𝐶 + ∫ 𝐹 𝑛𝑒𝑡𝑎−𝑧 𝑑𝑧 𝐶 (7) se llega a la forma definitiva del teorema 𝛥𝐾 = 𝑊 𝑛𝑒𝑡𝑜 (8)
Observemos que el hecho que la ecuación 8 se pueda expresar en componentes (ecuaciones 4 a 6), evidencia que, a pesar de su nombre, el teorema trabajo-energía, como mencionamos anteriormente, no es una expresión completa de la conservación de la energía sino una ecuación dinámica. Cuando la ecuación 8, que es válida para una partícula, se aplica a sistemas con estructura interna, se llega a contradicciones como las mencionadas en los ejemplos de la sección 2. Podríamos decir que hay por lo menos dos formas de escapar de estas contradicciones: recurrir a la aplicación correcta de la dinámica, o al principio de conservación de la energía . Una aplicación correcta de la dinámica sería aplicar la segunda ley de Newton para el centro de masa de un sistema de partículas, 𝐹⃗ 𝑛𝑒𝑡𝑎−𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎⃗ 𝐶𝑀 . Un desarrollo similar al realizado para una partícula conduce a una ecuación de energía del centro de masa, 𝛥𝐾 𝐶𝑀 = ∫ 𝐹⃗ 𝑛𝑒𝑡𝑎−𝑒𝑥𝑡 ∙ 𝑑𝑟⃗ 𝐶𝑀𝐶 (9) donde el miembro de la izquierda es la variación de energía cinética del centro de masa y el de la derecha es la integral de camino de la fuerza neta externa como si estuviera aplicada en el centro de masa. Se llega así a una ecuación muy similar a la del teorema trabajo-energía, pero con una integral que, siendo muy similar al trabajo, de ningún modo debe confundirse con este, ya que en general las fuerzas no están aplicadas en el centro de masa. Por todo esto es que muchos autores denominan a esa integral como pseudotrabajo (Penchina, 1978; Sherwood, 1983; Arons, 1989; Mallinckrodt y Leff, 1992; Jewett, 2008 a). Esto último subraya un aspecto que no se debe perder nunca de vista, y es el hecho de que la ecuación de energía del centro de masa es una ecuación esencialmente dinámica (al igual que el teorema trabajo-energía) y no una verdadera ecuación de energía. Siendo una ecuación dinámica, no es de extrañar que la ecuación de energía del centro de masa se puede aplicar sin ninguna contradicción a sistemas con estructura interna, como los ejemplos de la sección 2. En el caso de la patinadora, la fuerza externa realizada por la pared realiza pseudotrabajo, debido a que el centro de masa se desplaza y ese pseudotrabajo es igual a la energía cinética adquirida por la patinadora. En el caso del bloque, la constancia de la energía cinética conduce a que el pseudotrabajo realizado por la fuerza neta es nulo, de donde se concluye que la fuerza de fricción tiene igual módulo que la fuerza
𝑇⃗⃗ . Estos dos ejemplos vuelven a mostrar que el teorema trabajo-energía y su variante para el centro de masa, son en realidad ecuaciones dinámicas.
4. Principio de la energía e importancia de la definición del sistema.
A partir de los trabajos de Joule y otros científicos se formuló el principio de conservación de la energía que no solo vale para partículas sino para sistemas con estructura interna. Es así que se introduce la energía interna, que consiste en la suma de las energías cinéticas y potenciales de los constituyentes microscópicos del sistema, de tal modo que la energía total del sistema se puede expresar como 𝐸 𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝐾 + 𝑈 + 𝐸 𝑖𝑛𝑡 y su cambio puede deberse a múltiples formas de transferencia de energía: trabajo, calor, masa, ondas, radiación, entre otras (Serway y Jewett, 2015). Es decir: 𝛥(𝐾 + 𝑈 + 𝐸 𝑖𝑛𝑡 ) = 𝑊 + 𝑄+. .. (10)
Esta expresión es lo que se denomina principio de conservación de la energía, o más simplemente, principio de la energía (Fred Reif, citado por Sherwood 2019). La energía total de un sistema, entonces, puede no ser constante, pero su incremento o reducción siempre se puede explicar en términos de algún ingreso o egreso a través de la frontera del sistema. Este es el sentido de la conservación de la energía.
La energía total de un sistema puede no ser constante, pese a lo cual la energía se conserva siempre.
Partiendo del principio de la energía, podemos deducir desde un camino diferente al usual, el teorema de la conservación de la energía mecánica. Para ello partamos de la ecuación 10 y consideremos un sistema aislado, es decir, un sistema tal que el trabajo neto de las fuerzas externas, así como otras formas de transferencia de energía del ambiente son nulas: 𝛥𝐸 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝛥𝐾 + 𝛥𝑈 + 𝛥𝐸 𝑖𝑛𝑡 = 0 (11) Al estar aislado, las únicas fuerzas que pueden actuar entre las distintas partes del sistema son internas. Estas fuerzas, a diferencia de las externas que mediante trabajo pueden transferir energía al sistema, son las que provocan las transformaciones de energía dentro del sistema mediante trabajos internos, siendo estas fuerzas internas las que podemos clasificar entre conservativas y no conservativas (Resnick, Halliday y Krane, 2002; Knight, 2004; Jewett, 2008 b). Supongamos ahora, que las fuerzas internas que actúan sobre el sistema son todas conservativas. En ese caso no hay cambios de energía interna, 𝛥𝐸 𝑖𝑛𝑡 = 0 y los trabajos internos son todos debidos a las fuerzas conservativas, estando entonces asociados a las variaciones en las energías potenciales del sistema. De esta manera, las únicas transformaciones de energía que se pueden producir son de potencial a cinética y viceversa. La ecuación 11 se transforma en: 𝛥𝐾 + 𝛥𝑈 = 0 (12)
Como la energía mecánica es la suma de la cinética y potencial, obtenemos la expresión para el teorema de la conservación de la energía mecánica: 𝛥𝐸 𝑚𝑒𝑐 = 0 (13) Observemos que, desde el enfoque presentado, queda patente cuáles son las suposiciones en las que se basa dicho teorema. Este solamente es válido para un sistema aislado donde las fuerzas internas que actúan son todas conservativas.
Queda claro entonces, que el teorema de conservación de la energía mecánica no es un principio físico fundamental, sino que es un teorema derivado del principio de la energía, cuyo marco de validez es limitado.
Desde el punto de vista semántico, la “conservación de la energía mecánica” puede resultar confuso o inducir a errores conceptuales, pues se trata de una cantidad que, bajo ciertas condiciones puede, o no, permanecer constante. Recalcamos entonces que no es correcto identificar una magnitud constante con un principio general de conservación. Tomemos nuevamente el principio de la energía como punto de partida, pero suponiendo que las únicas transferencias de energía al sistema pueden provenir de trabajos externos, es decir:
𝛥(𝐾 + 𝑈 + 𝐸 𝑖𝑛𝑡 ) = 𝑊 (14)
Un aspecto fundamental es que cuando aplicamos esta ecuación, la expresión concreta de los diferentes términos depende de la elección de la frontera del sistema. Por supuesto que tal frontera es un artificio, es decir, que tenemos plena libertad de elegir los elementos que integran el sistema, pero más fuerte que eso, tenemos la obligación de realizar tal elección. Porque dependiendo del sistema algunas contribuciones quedarán a la izquierda de la ecuación, constituyendo parte del estado energético del sistema, y otras contribuciones quedarán a la derecha de la ecuación, formando parte de las interacciones con el ambiente, que hacen que el sistema gane o pierda energía. La no elección explícita del sistema puede llevar a errores, como se muestra en el ejemplo siguiente. Consideremos la siguiente situación: una manzana de masa 𝑚 , que cae al suelo desde una altura ℎ . Si el sistema es solamente la manzana, entonces no hay cambio de energía potencial ni de energía interna, y hay una fuerza externa que es la realizada por la Tierra, entonces, 𝛥𝐾 = 𝑊 (15) o alternativamente
12 𝑚𝑣 − 0 = 𝑚𝑔ℎ (16) Si en cambio se considera el sistema manzana-Tierra, entonces ahora no hay fuerza externa, sin embargo, hay cambio de energía potencial,
𝛥𝐾 + 𝛥𝑈 = 0 (17) que se traduce fácilmente como
12 𝑚𝑣 − 𝑚𝑔ℎ = 0 (18) Evidentemente ambos abordajes son válidos y conducen al mismo resultado, es decir que la velocidad final es 𝑣 = √2𝑔ℎ
Cuando no se presta debida atención a la definición del sistema, cuando la frontera es difusa o simplemente no se define, se puede llegar a errores como el siguiente,
𝛥𝐾 + 𝛥𝑈 = 𝑊 (19) es decir, incluir la interacción del sistema como energía potencial y al mismo tiempo como trabajo, de donde se obtendría erróneamente que 𝑣 = √4𝑔ℎ .
5. Análisis de un ejemplo “clásico”
En esta sección nos proponemos analizar a modo de ejemplo una situación propuesta habitualmente en muchos textos desde una perspectiva que se aproxime a un enfoque cuantitativo. Nos apoyamos en el tratamiento propuesto en las secciones anteriores para estudiar desde el punto de vista energético algunas características del movimiento de un niño que desliza por un tobogán desde su parte alta, que esquemáticamente se muestra en la figura 3.
Figura 3. Diagrama de un niño que desciende por un tobogán.
El trayecto del análisis tiene como punto de partida el principio de la energía, que enunciamos en la sección 3. Incorporamos luego algunas hipótesis simplificadoras para problematizar la situación, en función de cómo definimos el sistema y su ambiente respectivo. Mostramos algunas limitaciones, ventajas, desventajas, en términos de esa elección inicial imprescindible y que es conveniente hacer explícita también en este contexto energético. Hay al menos otro aspecto que debemos considerar con atención. La energía mecánica disipada debido a la existencia de fricción cinética entre el niño y el tobogán, se transforma en energía interna de ambos cuerpos, modelados como sólidos deformables. Mediante un análisis acorde a un curso introductorio no es fácil saber qué parte de esa energía va al niño y que parte es transferida al tobogán. En adelante asumiremos algunas hipótesis simplificadoras, que nos ayudarán a visibilizar aspectos de la situación. Aceptaremos la validez de que los efectos del aire no son relevantes sobre el niño. Además, postulamos que las transferencias de energía entre el sistema definido y su ambiente se realizan exclusivamente mediante trabajo (por ejemplo, que las temperaturas de ambos cuerpos son similares, entonces no hay transferencia de energía mediante calor). Esta última decisión puede ser cuestionable, especialmente para algunos sistemas definidos, pero la preferimos en aras de destacar los aspectos que nos resultan relevantes en el contexto del artículo. A continuación, analizaremos la situación propuesta bajo diferentes elecciones del sistema.
Si definimos al sistema “niño”, su ambiente está conformado por el tobogán y la Tierra. En este caso, existen dos trabajos que atraviesan la frontera del sistema. Se trata, por tanto, de trabajos externos al sistema. El trabajo gravitatorio se puede determinar si se conoce el peso del niño y el desplazamiento de su centro de masas. Reafirmando lo planteado en el ejemplo de la manzana, al final de la sección 4, para este sistema no se define una energía potencial gravitatoria. Como vimos en la sección 2, existen dificultades importantes para determinar el trabajo asociado a la fuerza de fricción cinética. Pensemos en un planteo usual en el que se pregunta la rapidez del niño en la parte baja del tobogán. Concluimos que, si partimos del principio de la energía y agregamos las definiciones e hipótesis anotadas, no es posible determinar (al menos de forma exacta) la rapidez del niño en la parte baja del tobogán, porque se desconoce la energía transferida al sistema por efectos de la fricción. Para la definición del sistema “niño - Tierra”, su ambiente es exclusivamente el tobogán. Aplicar el principio de la energía requiere, por tanto, conocer el trabajo realizado por la fuerza de fricción realizada por el tobogán. Nos encontramos aquí con las mismas dificultades referidas en el párrafo anterior.
5b Sistema “niño – tobogán - Tierra”
Esta elección, conjuntamente con las hipótesis que definimos, implica que no existe transferencia de energía entre el sistema y su ambiente, es decir que se trata de un sistema aislado . Esta elección no requiere de la determinación de trabajo de la fricción, cuya dificultad de determinar hemos reiterado. Con respecto a las transformaciones de energía en el interior del sistema, nos encontramos con cambios en la energía cinética, en la energía potencial gravitatoria, y la energía interna. El punto de partida para plantear una solución al problema, es el principio de la energía , en ese caso para un sistema aislado: 𝛥𝐸 𝑠𝑖𝑠𝑡 = 0 . Observemos que, dadas las suposiciones realizadas en el planteamiento del problema, el sistema niño-tobogán-Tierra es el único que mantiene constante la energía. ¿Cómo escribimos la transformación de la energía en el sistema? Si comparamos una situación inicial (el niño en la parte superior del tobogán) con una final (el niño saliendo del tobogán) identificamos un cambio de configuración gravitatorio, por tanto 𝛥𝑈 𝑔 ≠ 0 . La energía cinética K del sistema también cambió, si la medimos desde un referencial fijo al piso. Finalmente, hay un aumento de energía interna del sistema debido al efecto de la fricción sobre los cuerpos que deslizan, asociado a aumentos de temperatura del niño y el tobogán. En nuestro modelo elemental, el principio de la energía queda expresado: 𝛥𝑈 𝑔 + 𝛥𝐾 + 𝛥𝐸 𝑖𝑛𝑡 = 0 (20) El primer término tiene signo negativo dado que las partes del sistema se acercan; puede expresarse 𝑚𝑔(ℎ 𝑓 − ℎ 𝑖 ) . El segundo término tiene signo positivo, ya que el niño viaja más rápido al final que al principio; si el niño parte del reposo el término vale 𝑚𝑣 [4] . El tercer término (también positivo), corresponde a la variación de energía interna del niño y el tobogán y merece particular atención. Se puede demostrar, partiendo de consideraciones energéticas y la segunda ley de Newton (Tipler y Mosca, 2010, Serway y Jewett, 2015; Chabay y Sherwood, 2015 y Knight, 2017), que dicha variación está dada por: 𝛥𝐸 𝑖𝑛𝑡 = 𝑓 𝑟𝑜𝑧 𝑑 (21) Siendo d la distancia recorrida por el niño en el tobogán. Observemos que, el producto 𝑓 𝑟𝑜𝑧 𝑑 no es igual al valor absoluto del trabajo de la fuerza de fricción ejercida por el tobogán sobre el niño, sino que es la variación de la energía interna de los dos cuerpos que interactúan a través de la fuerza de fricción. Queda claro entonces (tal como mencionamos en la sección 2), que tomar al producto 𝑓 𝑟𝑜𝑧 𝑑 como el valor absoluto de trabajo de la fuerza de fricción ejercida por el tobogán sobre el niño es físicamente incorrecto. Definidas las variaciones de energía, tenemos la posibilidad de escribir la ecuación 20 en términos de cantidades que usualmente son conocidas previamente en un problema “de muestra”: 𝑚𝑔(ℎ 𝑓 − ℎ 𝑖 ) + 12 𝑚𝑣 + 𝑓 𝑟𝑜𝑧 𝑑 = 0 (22) Este planteo permite, por ejemplo, determinar la rapidez final del niño si se conocen el resto de las cantidades: 𝑣 = √ 2𝑚 (−(𝑚𝑔(ℎ 𝑓 − ℎ 𝑖 ) + 𝑓 𝑟𝑜𝑧 𝑑)) (23) Si nos detenemos exclusivamente en la expresión final, vemos que es igual a la que se obtendría partiendo de otros enfoques, como, por ejemplo, aquel en el que no se ha definido de igual manera el sistema, o aquel en el Estamos suponiendo también que la energía cinética del niño puede expresarse adecuadamente con un término de traslación exclusivamente. que se ha modelado al niño como una partícula, o aquel en el que se ha planteado que 𝛥𝐸 𝑚 = 𝑊 𝑛𝑐 . Sin embargo, que se llegue a un resultado correcto, no significa que el proceso que lleve al mismo también lo sea. En este sentido, queremos remarcar que el planteamiento clásico que lleva a la ecuación 23, partiendo de que el trabajo de la fricción está dado por −𝑓 𝑟𝑜𝑧 𝑑 no es correcto . La cantidad 𝑓 𝑟𝑜𝑧 𝑑 tiene un significado físico muy diferente al dado usualmente, a saber, es igual a la variación de la energía interna de los dos cuerpos que deslizan entre sí. A partir de lo expuesto en este trabajo, vemos como solo un abordaje a partir del principio de la energía, permite eliminar las inconsistencias en el planteo clásico del tema, favoreciendo el entendimiento conceptual de los estudiantes. En la sección siguiente les proponemos revisar la evolución del tratamiento de esta temática, centrándonos en un ejemplo que a buena parte de los lectores les resultará paradigmático: el primer volumen del clásico Resnick-Halliday.
6. Evolución histórica.
Ella dijo: “Supongamos que empujas un bloque por el piso a velocidad constante. La fuerza neta es cero, por lo que al elegir el bloque como el sistema no se realiza ningún trabajo, la temperatura del bloque aumenta, por lo que la energía interna aumenta. Estoy muy confundida." Le dije: "Oh, puedo explicar esto. Simplemente, eh, bueno, ya ves, eh...no tengo idea”
El párrafo anterior contiene la traducción de una anécdota que Bruce Sherwood comparte en su blog (Pseudowork and real work, 2017), mientras era responsable de un proyecto de enseñanza. Cita un intercambio datado en 1971 entre una estudiante de grado, Lynell Cannell, y el propio Sherwood. La tarea asignada a la estudiante era redactar un tutorial sobre energía. La falta de progreso en el trabajo originó el intercambio. El interés sobre la temática del responsable del proyecto lo llevó, no sin dificultades, a escribir dos de sus artículos más conocidos sobre estos tópicos (Sherwood, 1983, Sherwood y Bernard, 1984) En el 2017, Sherwood publica un post en su blog personal donde transcribe parte de una respuesta de D. Halliday a una carta que le envió en 1983, donde le planteaba su preocupación sobre el tratamiento del tema energía en sistemas deformables, en los libros de texto clásicos, como el que Halliday había publicado conjuntamente con Resnick. Le decía Halliday:
Permítanme decir de inmediato que somos conscientes de sus serias fallas, exactamente a lo largo de las líneas que usted describe. Hemos intentado varias veces arreglar las cosas en impresiones sucesivas, pero el asunto es demasiado profundo para cualquier cosa que no sea una reescritura total. De hecho, tenemos una reescritura a la mano, esperando una posible próxima edición.
En este proceso de revisión del planteo del tema de la energía en cursos introductorios pueden identificarse otros aportes; mencionamos tres ejemplos. Una serie de cinco artículos refiere a la confusión en los estudiantes en el tema:
Energy and the Confused Student . Anotamos en las referencias los primeros dos de los cinco que tratan los conceptos de trabajo y de sistemas (Jewett, 2008 a y 2008 b). El tercer ejemplo es
Developing the energy concepts in introductory physics (Arons, 1989) El proceso de revisión, que se ha ejemplificado aquí mediante la cita de algunos artículos, ha permeado también a las ediciones más nuevas de algunos libros de texto presentes en la bibliografía de cursos introductorios de física. Un ejemplo emblemático, para varias generaciones de estudiantes, es el clásico
Halliday-Resnick , donde se pueden identificar cambios estructurales al revisar las ediciones de su primer volumen. Para tener una primera aproximación al problema, indagamos en la lista de contenidos temáticos de sus primeras cinco ediciones en español que abarcan desde los años 60’ hasta el 2000. Esta mirada panorámica permite identificar dos subconjuntos de ediciones. Las primeras ediciones incluyen una estructura similar en términos de contenidos. Un cambio de estructura en el tratamiento de la temática de la energía explicitado en la lista de contenidos, se aprecia a partir de la quinta edición en inglés y cuarta en español (Resnick, Halliday y Krane, 2002). ¿Qué aspectos cualitativos se destacan en el conjunto de las primeras ediciones, referidos a la temática de nuestro interés? El primer capítulo en el que se explicita la temática es
Trabajo y energía , en todos los casos el número 7. Puede pensarse como el cierre de un ciclo en el que se ha desarrollado el tratamiento del movimiento de la partícula, cuyo desarrollo incluye primero un enfoque cinemático y luego un planteo desde la dinámica. El capítulo siguiente,
Conservación de la energía , trata fundamentalmente sistemas conservativos, donde aparecen los conceptos de fuerza conservativa y energía potencial. El concepto de energía interna se formaliza recién en los capítulos de Termodinámica. La última edición indagada (Resnick, Halliday y Krane, 2002) muestra, aún en una mirada panorámica como esta, al menos dos aspectos que difieren de las primeras ediciones. Los tres capítulos que primero refieren a la energía están en una ubicación más alejada del comienzo de la obra (capítulos 11 a 13), debido a que se desarrollan previamente capítulos referidos a los sistemas de partículas: cinemática y dinámica rotacional. Es en el capítulo 13 donde se desarrolla un tratamiento novedoso si lo comparamos con las ediciones anteriores, que podría pensarse como un “adelanto del primer principio de la termodinámica”. Intentemos fundamentar la última afirmación del párrafo anterior. La primera sección,
Trabajo realizado sobre un sistema por fuerzas externas , recupera la idea que pone al sistema en su entorno limitado por una frontera, y pone al trabajo como una forma de medir la transferencia. La segunda sección,
Energía interna de un sistema de partículas , amplía el planteo más allá de la energía mecánica en el ámbito macroscópico. Quizás la sección más removedora refiere al
Trabajo de fricción . En ella se muestran aspectos que hemos mencionado antes en este trabajo (Sherwood y Bernard, 1984; Núñez, 2011) referidos a las inconsistencias asociadas al planteo previo. En la sección
Energía del centro de masa , se elabora un enfoque que hemos mencionado en este trabajo (Sherwood, 1983) y que habilita responder algunas preguntas en sistemas deformables. El capítulo cierra con la sección
Transferencia de energía por calor , en la que se plantea la Primera ley de la termodinámica. El planteo sobre la Primera ley se retoma en un capítulo al final del volumen. Quizás el cambio conceptual más relevante en “Halliday-Resnick”, observable a partir de esta mirada panorámica parcial, es que el último capítulo de energía de la quinta edición en inglés y cuarta en español (Resnick, Halliday y Krane, 2002) está más cerca de hacer honor a su nombre, que en las primeras ediciones. Esto debido que en las primeras ediciones el centro de la cuestión refiere a la conservación de la energía mecánica, mientras que en las más recientes el planteo se acerca a la idea de la conservación de la energía. En los párrafos anteriores presentamos una transformación en uno de los textos “clásicos”. El replanteo del tratamiento de la temática de la energía se observa también en otros libros adecuados al nivel. Ejemplo de ellos son Serway y Jewett (2015), Tipler y Mosca (2010), entre otros. Un ejemplo de texto introductorio que considera varios lineamientos mencionados en este trabajo, en particular referidos al tratamiento del tema energía, es
Materia e Interacciones (Chabay y Sherwood, 2015). Cerramos esta sección con una cita que nos convoca a reflexionar sobre la conveniencia de revisar propuestas curriculares y programáticas que estén asociadas a la temática de la energía, dada la importancia que esta tiene en el aporte que hace la ciencia para entender el entorno, no solamente asociado a nuestra disciplina. Afirman Chabay y Sherwood (2019):
En lugar de intentar agregar actividades que brinden a los estudiantes práctica para lidiar con tales confusiones , abogamos por una reestructuración del componente energético del plan de estudios introductorio de física. de manera coherente, consistente y contemporánea, y que permita a los estudiantes analizar fenómenos interesantes como la fisión y la fusión simplemente aplicando principios fundamentales.
7. Comentarios finales.
En este trabajo comenzamos mostrando las inconsistencias más importantes de los tratamientos energéticos derivados de las Leyes de Newton cuando se aplican a sólidos deformables, para posteriormente presentar un Antes, han listado inconsistencias que pueden ser causas de las dificultades observada en el aprendizaje de los estudiantes en la temática. enfoque moderno, producto de investigaciones derivadas de PER. Desde esta nueva óptica, no se deriva la conservación de la energía mecánica de las Leyes de Newton, sino que se parte del principio de conservación de la energía, haciendo énfasis en conceptos poco tenidos en cuenta tradicionalmente, como los de sistema, ambiente, transferencia y transformación de energía. En los cursos tradicionales, el principio de conservación de la energía es tratado recién en el estudio de la Termodinámica. Parece claro que uno de los principios más importantes de la naturaleza, tendría que jugar un rol mucho más central en nuestros cursos. En este sentido, su abordaje a continuación de la mecánica del punto, permite a los estudiantes tener una visión más general de la mecánica, dándoles además la posibilidad de estudiar y comprender problemas más complejos. Por otro lado, el principio de conservación de la energía, dado su carácter, habilita el diálogo entre muchas disciplinas, posibilitando tratamientos interdisciplinarios tan necesarios para una formación científica de calidad. Finalmente, a modo de reflexión, a diferencia de otras actividades, la educación en general siempre ha tenido una inercia muy grande, siendo los procesos de cambio mucho más lentos. En este sentido, la enseñanza de la Física no ha estado exenta a esto. Tal como discutimos en el presente trabajo, tuvieron que pasar cerca de 20 años del primer artículo publicado en la American Journal of Physics, donde se señalaron las incongruencias y errores en los tratamientos usuales de la energía, para que empezaran a aparecer los nuevos enfoques en algunos de los principales textos de Física General en los que muchos de nosotros nos formamos. Estos cambios, no son azarosos, sino que han ido apareciendo en paralelo con el desarrollo de P.E.R. que se ha dado en todo el mundo. Lentamente están empezando a reestructurarse y cambiar muchos aspectos de los libros clásicos, atendiendo los resultados de las investigaciones. En paralelo, también han aparecido textos nuevos con enfoques completamente novedosos y basados en investigaciones, como es el caso de Materia e Interacciones, donde el tratamiento de la mecánica se centra en los principios de conservación, y no en las leyes de Newton. Como todo proceso de cambio, y ahora hablando específicamente de nosotros los docentes, el haber sido formados de otra manera, hace que en muchos casos sea más difícil asimilar y poner en práctica nuevos enfoques, ya que primeramente debemos estar nosotros convencidos de ellos y de las falencias de los anteriores, para poder realizar con seguridad y confianza el proceso de transposición didáctica. En este sentido, estamos convencidos de que es fundamental reflexionar con profundidad sobre la temática abordada en este artículo a partir de los resultados surgido de P.E.R. de forma de continuar formándonos, mejorar en nuestra tarea y acercar a nuestros estudiantes visiones más modernas y completas de la Física.
Agradecimientos
Agradecemos a la ANII y CFE por el apoyo financiero al proyecto "Conociendo e incidiendo sobre las concepciones epistemológicas de los futuros profesores de física" (FSED_3_2019_1_157320).
8. Referencias
Arons, A. B. (1989). Developing the energy concepts in introductory physics.
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