On the boundary behavior of mappings with a finite integral over the spheres
aa r X i v : . [ m a t h . C V ] F e b Е.А. Севостьянов (Житомирский государственный университет имени Ивана Фран-ко; Институт прикладной математики и механики НАН Украины, г. Славянск)
Є.О. Севостьянов (Житомирський державний унiверситет iменi Iвана Франка; Iн-ститут прикладної математики i механiки НАН України, м. Слов’янськ)
E.A. Sevost’yanov (Zhytomyr Ivan Franko State University; Institute of Applied Ma-thematics and Mechanics of NAS of Ukraine, Slov’yans’k)
О граничном поведении отображений с конечным интегралом по сферахПро межову поведiнку вiдображень зi скiнченним iнтегралом по сферахOn the boundary behavior of mappings with a finite integral over the spheres
Изучаются отображения, удовлетворяющие обратному неравенству типа Полецкогов области евклидового пространства. Доказано, что такие отображения имеют непре-рывное продолжение на границу при некоторых условиях на геометрию прямой и отоб-раженной областей, если мажоранта, отвечающая за искажение семейств кривых, имеетконечные интегралы по множеству сфер положительной линейной меры.Дослiджено вiдображення, якi задовольняють обернену нерiвнiсть типу Полецькогов областi евклiдового простору. Доведено, що вказанi вiдображення мають неперервнепродовження на межу за умови на геометрiю прямої i оберненою областей, якщо ма-жоранта, що вiдповiдає за спотворення модуля сiмей кривих, має скiнченнi iнтегралипо множинi сфер додатної лiнiйної мiри.We study mappings that satisfy the inverse Poletskii-type inequality in a domain ofEuclidean space. It was proved that such mappings have a continuous extension to theboundary under some conditions on the geometry of the given and the mapped domains ifthe majorant responsible for the distortion of the families of paths has finite integrals overthe set of spheres of positive linear measure.
1. Вступ.
У нашiй спiльнiй вiдносно нещодавнiй публiкацiї [1] отримано деякi резуль-тати про локальну i межову поведiнку вiдображень з оберненою нерiвнiстю Полецького.Зокрема, за умови iнтегровностi деякої функцiї Q у визначальнiй нерiвностi отриманотеореми про одностайну неперервнiсть сiмей вiдповiдних вiдображень та можливiсть їхнеперервного продовження на межу заданої областi. В данiй статтi ми покажемо де-що бiльше, а саме, що вказанi результати виконуються не тiльки для iнтегровних Q, але й для тих, котрi мають скiнченнi iнтеграли по сферах з центром фiксованiй точцiпо множинi радiусiв деякої «не дуже малої» мiри. Вкажемо на приклади неiнтегров-них функцiй, що мають зазначенi скiнченнi iнтеграли по сферах i вiдображення, якi їмвiдповiдають (див., напр., [2, приклади 1, 2]).Звернемося до означень. Нехай y ∈ R n , < r < r < ∞ i A = A ( y , r , r ) = { y ∈ R n : r < | y − y | < r } . (1)Нехай x ∈ R n , тодi покладемо B ( x , r ) = { x ∈ R n : | x − x | < r } , B n = B (0 , ,S ( x , r ) = { x ∈ R n : | x − x | = r } . Для заданих множин
E, F ⊂ R n i областi D ⊂ R n позначимо через Γ( E, F, D ) сiм’ювсiх кривих γ : [ a, b ] → R n таких, що γ ( a ) ∈ E, γ ( b ) ∈ F i γ ( t ) ∈ D при t ∈ [ a, b ] . Якщо f : D → R n – задане вiдображення, y ∈ f ( D ) i < r < r < d = sup y ∈ f ( D ) | y − y | , то через Γ f ( y , r , r ) ми позначимо сiм’ю всiх кривих γ в областi D таких, що f ( γ ) ∈ Γ( S ( y , r ) , S ( y , r ) , A ( y , r , r )) . Нехай Q : R n → [0 , ∞ ] – вимiрна за Лебегом функцiя, Q ( x ) ≡ при x ∈ R n \ f ( D ) . Будемо говорити, що f задовольняє обернену нерiвнiстьПолецького в точцi y ∈ f ( D ) , якщо спiввiдношення M (Γ f ( y , r , r )) Z A ( y ,r ,r ) ∩ f ( D ) Q ( y ) · η n ( | y − y | ) dm ( y ) (2)виконується для довiльної вимiрної за Лебегом функцiї η : ( r , r ) → [0 , ∞ ] такiй, що r Z r η ( r ) dr > . (3)Вiдображення f : D → R n називається дискретним , якщо прообраз { f − ( y ) } кожноїточки y ∈ R n складається з iзольованих точок, i вiдкритим , якщо образ будь-якоївiдкритої множини U ⊂ D є вiдкритою множиною в R n . Вiдображення f областi D на D ′ називається замкненим , якщо f ( E ) є замкненим в D ′ для будь-якої замкненоїмножини E ⊂ D (див., напр., [3, розд. 3]). У подальшому, в розширеному просторi R n = R n ∪ {∞} використовується сферична (хордальна) метрика h ( x, y ) = | π ( x ) − π ( y ) | , де π – стереографiчна проекцiя R n на сферу S n ( e n +1 , ) в R n +1 , а саме, h ( x, ∞ ) = 1 q | x | , h ( x, y ) = | x − y | q | x | q | y | , x = ∞ 6 = y (4)(див., напр., [4, означення 12.1]). Всюди далi межа ∂A множини A i замикання A слiдрозумiти в сенсi розширеного евклiдового простору R n . Неперервне продовження вi-дображення f : D → R n також (якщо непорозумiння є неможливим) слiд розумiти зточки зору вiдображення зi значеннями в R n i вiдносно метрики h у (4). Нагадаємо,що область D ⊂ R n називається локально зв’язною в точцi x ∈ ∂D, якщо для будь-якого околу U точки x знайдеться окiл V ⊂ U точки x такий, що V ∩ D є зв’язним.Область D локально зв’язна на ∂D, якщо D локально зв’язна в кожнiй точцi x ∈ ∂D. Межа областi D називається слабо плоскою в точцi x ∈ ∂D, якщо для кожного P > i для будь-якого околу U точки x знайдеться окiл V ⊂ U цiєї ж самої точки такий,що M (Γ( E, F, D )) > P для будь-яких континуумiв E, F ⊂ D, якi перетинають ∂U i ∂V. Межа областi D називається слабо плоскою, якщо вiдповiдна властивiсть виконуєтьсяв будь-якiй точцi межi D. Правильною є наступна
Теорема 1.
Нехай D ⊂ R n , n > , – область, яка має слабо плоску межу, а область D ′ ⊂ R n є локально зв’язною на своїй межi. Припустимо, f – вiдкрите дискретне iзамкнене вiдображення областi D на D ′ , що задовольняє спiввiдношення (2) в кожнiйточцi y ∈ D ′ . Припустимо, що для кожної точки y ∈ D ′ i < r < r < r := sup y ∈ D ′ | y − y | знайдеться множина E ⊂ [ r , r ] додатної лiнiйної мiри Лебега така, що функцiя Q єiнтегровною на S ( y , r ) при кожному r ∈ E. Тодi вiдображення f продовжується донеперервного вiдображення f : D → D ′ , причому, f ( D ) = D ′ . Окремий результат має мiсце для усунення iзольованої сингулярностi, де не вимага-ються жоднi умови на вiдображену область.
Теорема 2.
Нехай D i D ′ – областi в R n , n > , x ∈ D, f – вiдкрите i дискретневiдображення областi D \ { x } на D ′ , яке задовольняє спiввiдношення (2) принаймнiв однiй скiнченнiй точцi y ∈ C ( f, x ) . Нехай також C ( f, x ) ⊂ ∂D ′ . Припустимо, щодля кожної точки y ∈ D ′ i < r < r < r := sup y ∈ D ′ | y − y | знайдеться множина E ⊂ [ r , r ] додатної лiнiйної мiри Лебега така, що функцiя Q є iнтегровною на S ( y , r ) при кожному r ∈ E. Тодi вiдображення f має неперервне продовження f : D → D ′ .
2. Доведення основних результатiв.
Доведення теореми 1.
Зафiксуємо довiльним чином точку x ∈ ∂D. Необхiдно пока-зати можливiсть неперервного продовження вiдображення f в точку x . Використову-ючи при необхiдностi мьобiусове перетворення ϕ : ∞ 7→ i враховуючи iнварiантiстьмодуля M в лiвiй частинi спiввiдношення (2) (див. [4, теорема 8.1]), ми можемо вважати,що x = ∞ . Припустимо, що висновок про неперервне продовження вiдображення f в точку x не є правильним. Тодi знайдеться не менше двох послiдовностей x i , y i ∈ D, i = 1 , , . . . , таких, що x i , y i → x при i → ∞ , причому, h ( f ( x i ) , f ( y i )) > a > (5)при деякому a > i усiх i ∈ N , де h – хордальна метрика, див. [4, означення 12.1]. Черезкомпактнiсть простору R n ми можемо вважати, що послiдовностi f ( x i ) i f ( y i ) збiгаютьсяпри i → ∞ до z i z , вiдповiдно, причому z = ∞ . Оскiльки вiдображення f замкнене,то воно зберiгає межу областi, див. [3, теорема 3.3], тому z , z ∈ ∂D ′ . Оскiльки область D ′ локально зв’язна на своїй межi, iснують непересiчнi околи U i U точок z i z такi,що W = D ′ ∩ U i W = D ′ ∩ U є зв’язними. Можна вважати, що W i W лiнiйнозв’язнi, оскiльки U i U можна вибрати вiдкритими (див., напр., [5, пропозицiя 13.2];див. малюнок 1). Можна вважати, що D f D ( ) fx x i y i ii ( ) , , i i D r U z z z * f x ( ) f x ( ) i f y ( ) i f y ( ) i ii =D Мал. 1: До доведення теореми 1 U ⊂ B ( z ∗ , R ) , B ( z ∗ , R ) ∩ U = ∅ , R > , (6)де z ∗ ∈ D ′ – деяка точка, достатньо близька до z . Ми також можемо вважати, що f ( x i ) ∈ W i f ( y i ) ∈ W при всiх i = 1 , , . . . . З’єднаємо точки f ( x i ) i f ( x ) кривою α i : [0 , → D ′ , а точки f ( y i ) i f ( y ) – кривою β i : [0 , → D ′ таким чином, що | α i | ⊂ W i | β i | ⊂ W при i = 1 , , . . . . Нехай e α i : [0 , → D ′ i e β i : [0 , → D ′ – повнiпiдняття кривих α i i β i з початком в точках x i i y i , вiдповiдно (цi пiдняття iснуютьза [3, лема 3.7]). Зауважимо, що у точок f ( x ) i f ( y ) в областi D може бути не бiльшескiнченного числа прообразiв при вiдображеннi f, див. [3, лема 3.2]. Тодi знайдеться r > таке, що e α i (1) , e β i (1) ∈ D \ B ( x , r ) при всiх i = 1 , , . . . . Оскiльки межа областi D є слабо плоскою, для кожного P > знайдеться i = i P > таке, що M (Γ( | e α i | , | e β i | , D )) > P ∀ i > i P . (7)Покажемо, що умова (7) суперечить визначенню вiдображення f в (2). Справдi, черезспiввiдношення (6) i з огляду на [6, теорема 1.I.5.46] f (Γ( | e α i | , | e β i | , D )) > Γ( S ( z ∗ , R ) , S ( z ∗ , R ) , A ( z ∗ , R , R )) . (8)З (8) випливає, що Γ( | e α i | , | e β i | , D ) > Γ f ( z ∗ , R , R ) . (9)У свою чергу, з (9) маємо наступне: M (Γ( | e α i | , | e β i | , D )) M (Γ f ( z ∗ , R , R )) Z A Q ( y ) · η n ( | y − z ∗ | ) dm ( y ) , (10)де A = A ( z ∗ , R , R ) i η – довiльна невiд’ємна вимiрна за Лебегом функцiя, яка за-довольняє спiввiдношення (3) при r := R and r := 2 R . Нижче ми використовуємостандартнi домовленостi: a/ ∞ = 0 при a = ∞ , a/ ∞ при a > i · ∞ = 0 (див.,напр., [7, 3.I]). Покладемо I = R Z R dttq / ( n − z ∗ ( t ) , (11)де q y ( r ) = 1 ω n − r n − Z S ( y ,r ) Q ( y ) d H n − ( y ) , (12)i ω n − позначає площу одиничної сфери S n − в R n , а q z ∗ ( t ) визначено в (12) при y := z ∗ . За припущенням, знайдеться множина E ⊂ [ R , R ] додатної лiнiйної мiри така,що q z ∗ ( t ) скiнченне при всiх t ∈ E. Отже, I = 0 у виразi (11). В такому випадку,функцiя η ( t ) = Itq / ( n − z ∗ ( t ) задовольняє спiввiдношення (3) при r := R i r := 2 R . Пiдставляючи цю функцiю у праву частину нерiвностi (10) i застосовуючи теоремуФубiнi, ми отримаємо, що M (Γ) ω n − I n − < ∞ . (13)Спiввiдношення (13) суперечить (7). Отримана суперечнiсть вказує на помилковiстьприпущення, зробленого в (5).Доведення рiвностi f ( D ) = D ′ проводиться аналогiчно доведенню останньої частинитеореми 3.1 в [1], i тому подробицi опускаються. ✷ Доведення теореми 2.
Без обмеження загальностi можна вважати x = ∞ . Всюдив подальшому h ( x, y ) позначає хордальну вiдстань мiж точками x, y ∈ R n (див., напр.,[4, Означення 12.1]). В силу дискретностi вiдображення f iснує < ε < dist ( x , ∂D ) таке, що ∞ 6∈ f ( S ( x , ε )) (якщо ∂D = ∅ , вiзьмемо довiльне ε > зi вказаною умовою).Позначимо g := f | B ( x ,ε ) \{ x } . Припустимо супротивне, а саме, що вiдображення f не має неперервного межовогопродовження в точку x . Тодi так само i вiдображення g не має неперервного межо-вого продовження в цю ж саму точку. Оскiльки простiр R n є компактним, C ( f, x ) = C ( g, x ) = ∅ . Тодi знайдуться y , y ∈ C ( f, x ) , y = y , i принаймнi двi послiдовностi x m , x ′ m ∈ B ( x , ε ) \ { x } такi, що x m , x ′ m → x при m → ∞ , при цьому, z m := g ( x m ) → y ,z ′ m = g ( x ′ m ) → y при m → ∞ . Можна вважати, що y = ∞ . Нехай D ∗ := f ( B ( x , ε ) \ { x } ) . Покажемо, що iснує ε > таке, що B ( y , ε ) ∩ f ( S ( x , ε )) = ∅ . (14)Зауважимо, що y ∈ ∂D ∗ . Дiйсно, якщо y – внутрiшня точка для D ∗ , то y такожвнутрiшня i для D ′ , оскiльки D ∗ ⊂ D ′ . Останнє суперечить умовi C ( f, x ) ⊂ ∂D ′ . Далi,оскiльки S ( x , ε ) – компакт в D, то i f ( S ( x , ε )) – компакт в D ′ , тому h ( f ( S ( x , ε )) , y ) > δ > . Звiдси dist ( y , f ( S ( x , ε ))) > δ > , (15)де dist ( A, B ) позначає евклiдову вiдстань мiж множинами A i B в R n . З огляду на (15),спiввiдношення (14) виконується для ε := δ . Тепер будемо мiркувати наступним чином. Нехай B ∗ ( y , ε ) = B ( y , ε ) при y = ∞ i B ∗ ( y , ε ) = { x ∈ R n : h ( x, ∞ ) < ε } при y = ∞ . Мiркуючи аналогiчно доведеннюспiввiдношення (14), можна показати, що iснує ε > , таке що B ∗ ( y , ε ) ∩ f ( S ( x , ε )) = ∅ . (16)Без обмеження загальностi, можна вважати, що B ( y , ε ) ∩ B ∗ ( y , ε ) = ∅ , крiм того, z m ∈ B ( y , ε ) i z ′ m ∈ B ∗ ( y , ε ) при всiх m = 1 , , . . . (див. малюнок 2). Зауважимо, D D IC C y * z z y CC C x * ** f x x Мал. 2: До доведення теореми 2що B ( y , ε ) є опуклим, а, B ∗ ( y , ε ) лiнiйно зв’язна. В цьому випадку, точки z i y можуть бути з’єднанi вiдрiзком I ( t ) = z + t ( y − z ) , t ∈ (0 , , який повнiстю лежитьв B ( y , ε ) . Аналогiчно, точки z ′ i y можна з’єднати кривою J = J ( t ) , t ∈ [0 , , якалежить в «кулi» B ∗ ( y , ε ) . Зауважимо, що за побудовою | I | ∩ ∂D ∗ = ∅ = | J | ∩ ∂D ∗ . Позначимо t ∗ := sup t ∈ [0 , I ( t ) ∈ D ∗ t , p ∗ := sup t ∈ [0 , J ( t ) ∈ D ∗ t . Нехай також C := I [0 ,t ∗ ) , C := J [0 ,p ∗ ) . За [8, лема 3.12] кривi C i C мають максимальнi пiдняття C ∗ : [0 , c ) → B ( x , ε ) \{ x } i C ∗ : [0 , c ) → B ( x , ε ) \{ x } при вiдображеннi g з початками у точках x i x ′ , вiдповiдно.Зауважимо, що випадок, коли C ( t ) → z при t → c − , де z ∈ B ( x , ε ) \ { x } , неможливий, бо в цiй ситуацiї з огляду на [8, лема 3.12] ми мали б, що c = t ∗ i I ( t ) → f ( z ) ∈ D ∗ , що суперечить означенню t ∗ . Тодi по [8, лема 3.12] h ( C ∗ ( t ) , ∂ ( B ( x , ε ) \ { x } )) → , t → c − . (17)Покажемо, що ситуацiя, коли h ( C ∗ ( t ) , S ( x , ε )) → при t → c − також є неможливою.Дiйсно, в протилежному випадку для якоїсь послiдовностi t k → c − ми мали б, що h ( C ∗ ( t k ) , S ( x , ε )) → при k → ∞ . В силу компактностi сфери S ( x , ε ) знайдетьсяпослiдовнiсть w k ∈ S ( x , ε ) така, що h ( C ∗ ( t k ) , S ( x , ε )) = h ( C ∗ ( t k ) , w k ) . Знову таки,оскiльки сфера S ( x , ε ) компактна, то ми можемо вважати, що w k → w при k →∞ . Тодi C ∗ ( t k ) → w при k → ∞ . Тодi за неперервнiстю вiдображення f в D звiдсивипливає, що f ( C ∗ ( t k )) = C ( t k ) → f ( w ) ∈ f ( S ( x , ε )) (18)при k → ∞ . Останнє суперечить умовi (14), бо одночасно f ( w ) ∈ f ( S ( x , ε )) i f ( w ) ∈| I | ⊂ B ( y , ε ) . Тодi з (17) випиває, що h ( C ∗ ( t ) , x ) → , t → c − . (19)Застосовуючи аналогiчнi мiркування до кривої C ∗ ( t ) , можна показати, що h ( C ∗ ( t ) , x ) → , t → c − . (20)З умов (19) i (20) i з огляду на [4, теорема 10.12] випливає, що M (Γ( | C ∗ ( t ) | , | C ∗ ( t ) | , B ( x , ε ) \ { x } )) = ∞ . (21)Покажемо, що (21) суперечить умовi (2) в точцi y = y . Оскiльки B ( y , ε ) ∩ B ∗ ( y , ε ) = ∅ , знайдеться ε ∗ > ε , для котрого ми ще маємо B ( y , ε ∗ ) ∩ B ∗ ( y , ε ) = ∅ . Нехай Γ ∗ = Γ( | C | , | C | , D ∗ ) . Зауважимо, що Γ ∗ > Γ( S ( y , ε ∗ ) , S ( y , ε ) , A ( y , ε , ε ∗ )) . (22)Дiйсно, нехай γ ∈ Γ ∗ , γ : [ a, b ] → R n . Оскiльки γ ( a ) ∈ | C | ⊂ B ( y , ε ) i γ ( b ) ∈ | C | ⊂ R n \ B ( y , ε ) , з огляду на [6, теорема 1.I.5.46] знайдеться t ∈ ( a, b ) таке, що γ ( t ) ∈ S ( y , ε ) . Без обмеження загальностi, можна вважати, що | γ ( t ) − y | > ε при t > t . Далi,оскiльки γ ( t ) ∈ B ( y , ε ∗ ) i γ ( b ) ∈ | C | ⊂ R n \ B ( y , ε ∗ ) , з огляду на [6, Theorem 1.I.5.46]знайдеться t ∈ ( t , b ) таке, що γ ( t ) ∈ S ( y , ε ∗ ) . Без обмеження загальностi, можнавважати, що | γ ( t ) − y | < ε ∗ при t < t < t . Отже, γ | [ t ,t ] – пiдкрива кривої γ, яканалежить Γ( S ( y , ε ∗ ) , S ( y , ε ) , A ( y , ε , ε ∗ )) . Таким чином, спiввiдношення (22) доведено.Встановимо тепер, що Γ( | C ∗ ( t ) | , | C ∗ ( t ) | , B ( x , ε ) \ { x } ) > Γ f ( y , ε , ε ∗ ) . (23)Дiйсно, якщо крива γ : [ a, b ] → B ( x , ε ) \ { x } належить до Γ( | C ∗ ( t ) | , | C ∗ ( t ) | , B ( x , ε ) \{ x } ) , то f ( γ ) належить D ∗ , причому f ( γ ( a )) ∈ | C | i f ( γ ( b )) ∈ | C | , тобто, f ( γ ) ∈ Γ ∗ . Тодi за доведеним вище i з огляду на спiввiдношення (22) крива f ( γ ) має пiдкриву f ( γ ) ∗ := f ( γ ) | [ t ,t ] , a t < t b, яка належить сiм’ї Γ( S ( y , ε ∗ ) , S ( y , ε ) , A ( y , ε , ε ∗ )) . Тодi γ ∗ := γ | [ t ,t ] є пiдкривою γ i вона належить Γ f ( y , ε , ε ∗ ) , що i потрiбно було довести.У свою чергу, з (23) маємо наступне: M (Γ( | C ∗ ( t ) | , | C ∗ ( t ) | , B ( x , ε ) \ { x } )) M (Γ f ( y , ε , ε ∗ )) M (Γ f ( y , ε , ε ∗ )) Z A Q ( y ) · η n ( | y − y | ) dm ( y ) , (24)де A = A ( y , ε , ε ∗ ) i η – довiльна невiд’ємна вимiрна за Лебегом функцiя, яка задо-вольняє спiввiдношення (3) при r := ε and r := ε ∗ . Як i вище, ми використовуємостандартнi домовленостi: a/ ∞ = 0 при a = ∞ , a/ ∞ при a > i · ∞ = 0 (див.,напр., [7, 3.I]). Покладемо I = ε ∗ Z ε dttq / ( n − y ( t ) , (25)де ω n − позначає площу одиничної сфери S n − в R n , а q y ( t ) визначено в (12). За при-пущенням, знайдеться множина E ⊂ [ ε , ε ∗ ] додатної лiнiйної мiри така, що q y ( t ) скiн-ченне при всiх t ∈ E. Отже, I = 0 у (25). В такому випадку, функцiя η ( t ) = Itq / ( n − y ( t ) задовольняє спiввiдношення (3) при r := ε i r := ε ∗ . Пiдставляючи цю функцiю управу частину нерiвностi (24) i застосовуючи теорему Фубiнi, ми отримаємо, що M (Γ( | C ∗ ( t ) | , | C ∗ ( t ) | , B ( x , ε ) \ { x } )) ω n − I n − < ∞ . (26)Спiввiдношення (26) суперечить (21). Отримана суперечнiсть завершує доведення тео-реми. ✷
3. Приклади.Приклад 1.
Передусiм скористаємося конструкцiєю з прикладу 1 в [2]. Розглянемофункцiю ϕ : (0 , → R , визначену за допомогою рiвностi ϕ ( t ) = ( , t ∈ (cid:0) k +1 , k (cid:1) , k = 1 , , . . . , t n , t ∈ (cid:2) k , k − (cid:3) , k = 1 , , . . . ,Q ( x ) = ϕ ( | x | ) , Q : B n \ { } → [0 , ∞ ) . (27)Покладемо також q ( t ) = 1 ω n − t n − Z S (0 ,t ) Q ( x ) d H n − ( x ) . За теоремою Фубiнi i з огляду на зчисленну адитивнiсть iнтегралу Лебега, отримаємо,що Z B n Q ( x ) dm ( x ) = Z Z S (0 ,r ) Q ( x ) d H n − dr = = ω n − Z r n − ϕ ( r ) dr > ω n − ∞ X k =1 1 / (2 k − Z / (2 k ) drr = ω n − ∞ X k =1 ln (cid:18) k k − (cid:19) . (28)Зауважимо, що ряд у правiй частинi спiввiдношення (28) розбiгається. Дiйсно, за теоре-мою Лагранжа про середнє ln (cid:0) k k − (cid:1) = ln(2 k ) − ln(2 k −
1) = θ ( k ) > k , де θ ( k ) ∈ [2 k − , k ] . Оскiльки ∞ P k =1 12 k = ∞ , ми отримаємо, що ∞ P k =1 ln (cid:0) k k − (cid:1) = ∞ i, отже, Z B n Q ( x ) dm ( x ) = ∞ . З iншого боку, Z dttq / ( n − ( t ) > ∞ X k =1 1 / (2 k ) Z / (2 k +1) drr = ∞ X k =1 ln 2 k + 12 k = ∞ . (29)Покладемо g ( x ) = x | x | ρ ( | x | ) , g (0) := 0 , де ρ ( r ) = exp − Z r dttq / ( n − ( t ) . (30)Зауважимо, що вiдображення g є гомеоморфiзмом одиничної кулi B n на себе. Встано-вимо, що g задовольняє спiввiдношення M ( g (Γ( S ( x , r ) , S ( x , r ) , D ))) Z D Q ( x ) · η n ( | x − x | ) dm ( x ) (31)для кожної невiд’ємної вимiрної за Лебегом функцiї η, яка задовольняє спiввiдношен-ня (3). Дiйсно, g належить класу ACL, а його якобiан i операторна норма похiдноїобчислюються за формулами k g ′ ( x ) k = exp ( − R | x | dttq / ( n − ( t ) ) | x | , | J ( x, g ) | = exp ( − n R | x | dttq / ( n − ( t ) ) | x | n q / ( n − ( | x | ) , див., напр., [9, доведення теореми 5.2]. Отже, g ∈ W ,n loc ( B n \ . Бiльше того, так званавнутрiшня дилатацiя K I ( x, g ) вiдображення g в точцi x обчислюється за правилом: K I ( x, g ) = q ( | x | ) (див. там же). В цьому випадку, g задовольняє спiввiдношення (31)при Q = K I ( x, g ) = q ( | x | ) (див., напр., [5, наслiдок 8.5 i теорема 8.6].Отже, вiдображення f = g − задовольняє спiввiдношення (2) в B n . Зауважимо, щофункцiя Q, продовжена нулем зовнi одиничної кулi, iнтегровна по майже всiх сферах зцентром в будь-якiй точцi x ∈ B n , оскiльки ця функцiя локально обмежена в B n \ { } . Зауважимо також, що вiдповiдних iнтегровних в B n функцiй Q не iснує. Справдi, впротилежному випадку ми мали б, що K I ( x, g ) c n Q ( x ) (див., напр., [10, теорема 3.1]),0але тодi б i внутрiшня дилатацiя K I ( x, g ) також була б iнтегровною в B n , що в силусказаного вище не є вiрним.Оскiльки вiдображення g є гомеоморфiзмом, то воно очевидно є вiдкритим, дискрет-ним i замкненим. Очевидно також, что одинична куля B n є локально зв’язною на своїймежi областю. Крiм того, B n є слабко плоскою (див., напр., [4, теорема 17.12]). Отже,для вiдображення f виконуються всi умови теореми 1. Приклад 2.
Можна вказати також приклад вiдображення з вiдповiдною функцiєю Q у (2), яка має сингулярнiсть на межi одиничної кулi. Для спрощення обмежимосявипадком n = 2 . Оберемо довiльним чином точку z ∈ ∂ B i z ∈ B ∩ B ( z , , i покладемо g ( z ) = z − z | z − z | ρ ( | z − z | ) , g ( z ) := 0 , де функцiю ρ, як i ранiше, визначено в (30). При z ∈ B \ B ( z , покладемо f ( z ) = z. Зауважимо, що g задовольняє спiввiдношення (31) при Q ( z ) = q ( | z − z | ) , де q ( z ) визначається з (27). З тим самих мiркувань Q ( z ) має скiнченнi iнтеграли по майжевсiх сферах з центрами в B , де, як звично, функцiя Q тотожно дорiвнює нулю зов-нi B . Покажемо, що функцiя Q має нескiнченнi iнтеграли по достатньо малих кулях B ( z , ε ) . Для цiєї мети впровадимо полярнi координати z = ( r, ϕ ) з центром в точцi z , де r позначає евклiдову вiдстань вiд z до z, а ϕ – кут мiж радiус-вектором z − z iдотичною до круга B , що проходить через точку z . Нехай θ = inf z ∈ B ∩ S ( z ,ε ) ϕ, θ = sup z ∈ B ∩ S ( z ,ε ) ϕ . Користуючись методами елементарної геометрiї, будемо мати, що sin θ = ε/ , sin( π − θ ) = ε/ . Тодi при ε → маємо: θ → , θ → π. Звiдси випливає, що iнтервал змiникути ϕ для z ∈ B ∩ B ( z , ε ) є близьким до π. Зокрема, при деякому (достатньо малому) ε маємо: θ − θ > π/ . Тодi, користуючись (28), маємо: Z B ∩ B ( z ,ε ) Q ( z ) dm ( z ) = ε Z Z S ( z ,r ) ∩ B ( z ,ε ) Q ( z ) | dz | dr == ε Z θ Z θ rϕ ( r ) dr > π · ε Z rϕ ( r ) dr = ∞ . Оскiльки g ( B ) є однозв’язною областю, за теоремою Рiмана про конформне вiдо-браження можна розглянути вiдображення ϕ таке, що ( ϕ ◦ g )( B ) = B . Покладемо f := g − ◦ ϕ − . Тодi вiдображення f задовольняє всi умови теореми 1, зокрема, нерiв-нiсть (2) при Q = Q ( z ) . Приклад 3.
Нарештi, побудуємо вiдповiднi приклади вiдображень з розгалуженням.Для цiєї мети, в позначеннях прикладу 1 покладемо: f ( z ) = ( ϕ ◦ f )( z ) , де ϕ ( z ) = z . Вiдображення f є вiдкритим, дискретним i замкненим, крiм того, воно задовольняєспiввiдношення (2) при Q := 2 K I ( x, g ) = 2 q ( x ) (див., напр., [11, теорема 3.2]).1 Список лiтератури [1]
Севостьянов Є.О., Скворцов С.О., Довгопятий О.П.
Про негомеоморфнi вiдображеняз оберненою нерiвнiстю Полецького // Укр. мат. вiсник. – 2020. – № 3. – С. 414–436; translation
Sevost’yanov E.A., Skvortsov S.A., Dovhopiatyi O.P.
On nonhomeomorphicmappings with the inverse Poletsky inequality // Journal of Mathematical Sciences. – 2021. – , no. 4. – P. 541–557.[2]
Sevost’yanov E.A. and Skvortsov S.A.
Logarithmic H¨older continuous mappings and Beltramiequation, https://arxiv.org/abs/2002.07855.[3]
Vuorinen M.
Exceptional sets and boundary behavior of quasiregular mappings in n -space //Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A 1. Math. Dissertationes. – 1976. – . – P. 1–44.[4] V¨ais¨al¨a J.
Lectures on n -Dimensional Quasiconformal Mappings. – Lecture Notes in Math.229, Berlin etc.: Springer–Verlag, 1971.[5] Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E.
Moduli in modern mapping theory. – NewYork: Springer Science + Business Media, LLC, 2009.[6]
Куратовский К.
Топология, т. 2. – М.: Мир, 1969.[7]
Сакс С.
Теория интеграла. – М.: Издательство иностранной литературы, 1949.[8]
Martio O., Rickman S., and V¨ais¨al¨a J.
Topological and metric properties of quasiregularmappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. – 1971. – . – P. 1–31.[9]
Il’yutko D.P. and Sevost’yanov E.A.
Boundary behaviour of open discrete mappings onRiemannian manifolds. - Sbornik Mathematics. – 2018. – no. 5. – P. 605–651.[10]
Севостьянов Е.А. и Салимов Р.Р.
О внутренних дилатациях отображений с неограни-ченной характеристикой // Укр. матем. вестник. – 2011. – , № 1. – С. 129–143; translation Sevost’yanov E.A. and Salimov R.R.
On inner dilatations of the mappings with unboundedcharacteristic // J. Math. Sci. (N. Y.). – 2011. – , no. 1. – P. 97–107.[11]
Martio O., Rickman S., and V¨ais¨al¨a J.
Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad.Sci. Fenn. Ser. A1. – 1969. – . – P. 1–40.
КОНТАКТНА IНФОРМАЦIЯ
Євген Олександрович Севостьянов1.
Житомирський державний унiверситет iм. I. Франковул. Велика Бердичiвська, 40м. Житомир, Україна, 10 0082.