Quantitative methods for deconvolution of true topographical properties of object on the basis of AFM-images: Part 1. Contact tip-sample deformations
aa r X i v : . [ c ond - m a t . m e s - h a ll ] J u l Количественные методики восстановленияистинных топографических свойствобъектов по измереннымАСМ-изображениям:Часть 1. Контактные деформации зонда иобразца
М. О. Галлямов, И. В. Яминский
Физический факультет Московского государственногоуниверситета им. М. В. Ломоносова, Москва
Аннотация
Сделано предположение, что эффект занижения высот объек-тов исследования АСМ обусловлен контактными деформациями.Для количественного описания эффекта применено решение кон-тактной задачи Герца. Построено общее численное решение задачи,а также, для случая цилиндрического образца, найдены прибли-женные аналитические решения, справедливые при определенныхсоотношениях параметров геометрии контакта. Обнаружено, чтонайденные решения хорошо согласуются с экспериментальнымирезультатами. Разработанный подход позволил определить упру-гие параметры отдельного микрообъекта, адсорбированного на по-верхность твердой подложки.
Несмотря на возможность достижения высокого пространственногоразрешения, информация, получаемая методами зондовой микроскопии(в частности — атомно-силовой микроскопии (АСМ)), в ряде случаевнеадекватно отображает реальные особенности поверхности вследствие артефактов метода, обусловленных влиянием инструмента исследова-ния на изучаемый объект . Эти артефакты, как правило, легко учиты-ваются на качественном уровне при интерпретации АСМ-результатов,1днако специфика ряда задач может потребовать количественных оце-нок и методов восстановления реальной геометрии объектов.Мы проанализировали два основных артефакта АСМ, влияние ко-торых особенно существенно при проведении исследований отдельных микрообъектов, адсорбированных на поверхность твердой подложки: эф-фекта уширения профиля (основные принципы методики учета этогоэффекта частично изложены в работе [1]) и эффекта занижения высотАСМ-изображений объектов исследования. Рассмотрение данного эф-фекта с позиций анализа контактных деформаций зонда и образца из-лагается ниже.
Контактные деформации
С первых работ по АСМ-визуализации молекул нуклеиновых кислот [2]отмечалось, что высоты АСМ-изображений ДНК существенно заниже-ны в сравнении с имеющимися модельными представлениями о струк-туре молекулы. В то же время для ряда других объектов (с близкимифизическими свойствами, но отличными радиусами кривизны) эффектзанижения высот проявлялся не столь выражение. Так, в работах [3, 4]были визуализованы вирусные частицы табачной мозаики (ВТМ) и мо-лекулы вирусной РНК, причем было обнаружено, что эффект занижениявысот для вирусных частиц несущественен, в то время, как высота АСМ-изображений молекул РНК занижена более чем на 50%, несмотря на то,что и те и другие объекты были, как правило, визуализованы на одномкадре при одной силе сканирования. Применение излагаемой ниже ме-тодики позволило нам количественно описать данный эффект и связатьего с различием радиусов частиц ВТМ ( ∼ нм) и нуклеиновых кислот( < нм).Следуя [5] мы предположили, что эффект занижения высот АСМ-изображений объектов связан с контактными деформациями . Действи-тельно, в процессе сканирования зонд и образец взаимодействуют с си-лами порядка (1 ÷ × − Н и, в силу малого радиуса кривизнызондирующего острия ( ∼ нм), оказывается, что контактное давлениеможет составлять значительную величину и приводить к контактнымдеформациям. Контакт двух тел
Впервые задача о контактных деформациях двух тел была решена Г. Герцемв 1882 г. [6], будем исходить из этого решения, изложенного, например,2 [7]. Если два контактирующих тела сдавливаются некоторой силой F ,то они будут деформироваться и сблизятся на некоторое расстояние h ,при этом областью соприкосновения уже будет не одна точка, а некото-рый участок конечной площади S .Анализ задачи включает рассмотрение суммарного тензора кривиз-ны контактирующих поверхностей χ αβ + χ ′ αβ главные значения которого A и B могут быть выражены через главные радиусы кривизны контак-тирующих поверхностей, соответствующие формулы для общего случаяприведены в [7].Решение контактной задачи , при условии малости деформаций всравнении с соответствующими радиусами кривизны, показывает, чтоформой области контакта является эллипс с полуосями a и b , и позво-ляет выразить эти величины, а также сближение за счет деформации h ,через известные параметры задачи: величину сдавливающей силы F , па-раметры геометрии контакта A и B , а также коэффициент D , обратныйэффективному модулю упругости: D = 34 − σ E + 1 − σ ′ E ′ ! , (1)здесь E , E ′ , σ и σ ′ модули Юнга и Пуассона материалов зонда и образца.Однако в силу того, что конечные формулы решения контактнойзадачи являются системой нелинейных уравнений с неявными зависи-мостями от искомых параметров a и b (см. [7]), то для удобства приме-нения этих соотношений при интерпретации экспериментальных резуль-татов необходимы либо реализация численного решения, либо дополни-тельный анализ с привлечением упрощающих предпосылок. Ниже рас-смотрим применение решения Герца к анализу важных для прикладныхзадач частных случаев. Контакт сферического зонда и сферического (или плос-кого) образца
Анализируемая здесь задача актуальна при рассмотрении контактныхдеформаций, возникающих при сканировании микрообъектов, форма ко-торых может быть аппроксимирована сферой , а также плоских образ-цов, например, тонких пленок.Если зонд и образец вблизи точки контакта описываются сфериче-скими поверхностями и характеризуются радиусами кривизны R и R ′ , например, молекул ряда белков и пр. A = B = 12 (cid:18) R + 1 R ′ (cid:19) откуда следует, что a = b и соотношения, связывающие параметры зада-чи существенно упрощаются: легко показать, что область контакта будетпредставлять собой окружность радиуса a : a = ( F D ) / (cid:18) R + 1 R ′ (cid:19) − / , (2)здесь D также описывается (1).Для величины h — сближения зонда и образца за счет контактнойдеформации — в этом случае справедлива формула: h = ( F D ) / (cid:18) R + 1 R ′ (cid:19) / (3)В этих формулах, как и ранее, F — сила, сдавливающая зонд и образец.Формулы (2, 3) используются, например, авторами работы [5] припроведении показательных оценок, весьма важных для адекватной ин-терпретации результатов АСМ-исследований (особенно биополимеров,характеризующихся невысокими значениями модуля Юнга: E ∼ ÷ Па).Однако указанные формулы являются следствием решения контакт-ной задачи для частного случая, и неприменимы, например, для анализаконтактных деформаций зонда и цилиндрического образца.
Контакт сферического зонда и цилиндрического об-разца
Именно модель цилиндрического образца следует рассматривать прианализе деформаций (в АСМ-исследованиях) микрочастиц цилиндриче-ской формы (вирусных частиц, различных линейных макромолекул ипр.).Для случая контакта сферического зонда радиуса R и боковой по-верхности цилиндра (образца) радиуса R ′ параметры A и B выражаютсяследующим образом: A = 12 (cid:18) R + 1 R ′ (cid:19) , B = 12 R . (4)Однако в этом случае соотношения, являющиеся решением контакт-ной задачи, напрямую не упрощаются. Реализация численного решения4озможна, но, в силу сложности решаемой системы, требует проведенияпредварительных аналитических преобразований. Поэтому мы провелидополнительные упрощения исходных соотношений и получили анали-тические формулы для двух частных случаев (близких и различающих-ся значений параметров A и B ), которые могут быть полезны для оце-нок при интерпретации экспериментальных результатов. Сравнение ре-шений, полученных по найденным приближенным формулам, с общимчисленным решением показало хорошее совпадение (при выполнении со-ответствующих условий приближений). Случай различающихся главных значений суммарного тензоракривизны контактирующих поверхностей
В случае контакта зонда и боковой поверхности цилиндра, при условии,что радиус цилиндра меньше радиуса зонда, из формулы (4) следует,что главные значения суммарного тензора кривизны поверхностей раз-личаются:
A > B . Исходя из общих формул решения контактной задачиможно показать, что в этом случае a < b . В случае, когда это различиесоставляет достаточную величину, мы можем упростить исходные нели-нейные интегральные соотношения (см. [7]), воспользовавшись ассимп-тотикой полного эллиптического интеграла, справедливой при условии a ≪ b , что, очевидно, не является жестким условием: K ( k ) = ln (cid:18) k ′ (cid:19) + . . . , (5)где k ′ = √ − k . Тогда для сближения за счет деформации h получим: h = (cid:18) π C (cid:19) / ( C + 1) × ( F D ) / × B / , (6)что по структуре совпадает с формулой (3) для сферического случая.Здесь безразмерный параметр C зависит, вообще говоря, от отношенияпараметров эллипса a и b : C = ln ba ! − Bb Aa . (7)Из уравнения (7) при известном отношении B/A можно численно опре-делить отношение b/a , и, соответственно, значение безразмерного па-раметра C . Численное решение показывает, что значение параметра C для многих задач лежит в диапазоне от 1 до 3, так, в частности, прианализе контакта зонда ( R = 10 нм) и молекулы нуклеиновой кислоты5 R ′ = 1 нм), с достаточной точностью можно воспользоваться соотноше-нием C ≃ .Формулы для параметров эллиптической области контакта a и b несколь-ко громоздки и мы их не приводим, но по своей структуре они совпада-ют с уравнением (2). Таким образом все искомые параметры могут быть непосредственно выражены через известные величины ( F , D , A , B ) ипараметр C , который можно определить из соотношения (7) или вос-пользоваться оценкой. Случай близких главных значений суммарного тензора кривиз-ны контактирующих поверхностей
Случай близких значений величин A и B реализуется, например, для за-дачи контакта сферического зонда и боковой поверхности цилиндра приусловии, что радиус цилиндра много больше радиуса зонда. Тогда, в си-лу соотношений (4), действительно A ∼ B , и, можно показать, что a ∼ b .В этом случае ассимптотика (5) теряет применимость и следует восполь-зоваться другой ассимптотикой полного эллиптического интеграла [8]: K ( k ) = π m )[1 + . . . ] , где m = (1 − k ′ ) / (1 + k ′ ) , а k ′ = √ − k . И в этом случае для параметровобласти контакта a и b можно вывести зависимости, совпадающие поструктуре с (2), но здесь мы их также не приводим. Для сближениязонда и образца за счет деформации получим: h = ( F D ) / × (cid:18) A + 14 B (cid:19) − / , (8)что, как и выше, имеет структуру, сходную с уравнениями (3) и (6).Т.о. и для случая близких значений A и B могут быть получены при-ближенные соотношения, позволяющие найти искомые величины непо-средственно по известным параметрам задачи.Выше мы рассмотрели контактные деформации в области соприкос-новения зонда и образца. Однако общая деформация, определяющая за-нижение высоты АСМ-профиля, включает еще и вклад деформаций в об-ласти контакта образца и подложки (имеется в виду случай, когда сверхуна образец давит зонд). Для этого случая, нужно лишь соответствующимобразом переопределить параметры A и B , рассмотрев геометрию кон-такта образца радиуса R ′ (на который сверху давит зонд радиуса R ) и образец следует рассматривать в этом случае как изогнутый цилиндр с радиусомизгиба поверхности, контактирующей с подложкой: R + 2 R ′ ′ Область контакта a и b P h ε , × Па 0,36 нм 18%образец/подложка 0,47 и 2,4 нм , × Па 0,34 нм 17%суммарная деформация: 0,7 нм 35%10 нм зонд/образец 1,1 и 1,8 нм , × Па 0,29 нм 1,4%образец/подложка 1,3 и 2,7 нм , × Па 0,21 нм 1%суммарная деформация: 0,5 нм 2,5%Таблица 1: Сравнительный анализ контактных деформаций для моде-ли цилиндрического образца при двух значениях радиуса: 1 и 10 нм.Используемые параметры задачи: модуль Юнга образца E ′ = 10 Па,зонда E = 10 Па, величина сжимающей силы F = 5 × − Н и радиускривизны кончика зонда R = 10 нмВ столбцах таблицы указаны: R ′ — радиус образца, a и b — параметрыобласти контакта, P — контактное давление, h — величина сближенияза счет деформации, ε — относительная деформация ( h/ R ′ × )плоской подложки: A = 12 R ′ , B = 12 (cid:18) R + 2 R ′ (cid:19) . (9)Анализ этого случая не отличается от проведенного выше для значений A и B , определяемых формулой (4). Применение разработанного алгоритма к срав-нительному анализу деформаций образцов сразличными значениями радиусов
В качестве теста мы применили разработанный алгоритм для вычис-ления контактных деформаций в модельных случаях цилиндрическогообразца с радиусом нм и нм. Результаты приведены в таблице 1, гдедля удобства сравнительного анализа используются одинаковые пара-метры задачи.В таблице приведены результаты численных расчетов точного реше-ния. Расчеты по приближенным методикам дают следующие различияс точным решением: для случая R ′ = 1 нм приближенное решение дляслучая различающихся A и B дает отличие в значениях a и b около 2%,и в значении h — 0,5%; для случая R ′ = 10 нм приближенное решениедля случая близких A и B дает отличие от точного решения для a и b около 10%, для h около 1%. 7сновной вывод из результатов таблицы тот, что, при прочих рав-ных условиях, относительные деформации объектов с меньшим радиу-сом кривизны существенно выше . Т.о. мы объяснили упомянутый вышеэкспериментальный эффект, проявляющийся в том, что относительные деформации молекул нуклеиновых кислот существенно превышают от-носительные деформации частиц ВТМ. Сравнение с экспериментальными данными
С целью экспериментальной проверки закона “две третьих” (см. форму-лы (6) и (8)): h ∼ ( F D ) / × f ( R, R ′ ) , (10)мы исследовали деформации вирусных частиц табачной мозаики и моле-кул ДНК при различных значениях нагружающей силы сканирования.Для вирусных частиц табачной мозаики наблюдалось хорошее совпа-дение эксперимента с теорией (с законом “две третьих” (10)), см. рис. 1.Экспериментальные погрешности определены как стандартные отклоне-ния средних арифметических при статистической обработке значений,полученных из анализа нескольких АСМ-изображений для конкретногозначения силы сканирования.Теоретическая зависимость получена по рассмотренной методике ана-лиза контактных деформаций цилиндрического образца (точное реше-ние), где использовались значения R = 25 нм и E ′ = 3 × Па (зна-чения определены экспериментально). Из рис. 1 следует, что закон “дветретьих” (10) справедлив для исследуемого случая в широком диапа-зоне сил, за исключением области минимальных воздействий. Это можетбыть связано с тем, что в эксперименте на воздухе присутствие капил-лярных сил не позволяет минимизировать силу воздействия зонда наобразец до величины меньшей, чем несколько наноньютонов.Для молекул ДНК соответствующая экспериментальная зависимостьизображена на рис. 2. Эксперимент проводился по той же схеме и в техже условиях, что и для случая анализа деформаций ВТМ. Однако в рас-сматриваемом случае деформации, по-видимому, не могут быть описанызаконом “две третьих” (10). Вместо этого мы наблюдаем обычную линей-ную зависимость, т.е. закон Гука, что объясняется невыполнением в этомслучае условия малости деформаций, при котором справедливы выводыконтактной теории. То, что для случая молекул ДНК экспериментальноизмеренные относительные деформации велики даже при малых силахвоздействия зонда, объясняется, опять же, присутствием капиллярныхсил (капиллярного мостика), не позволяющих минимизировать силу ска-8
25 50 75 100 125 150 17505101520 (cid:1) (cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:1)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:12)(cid:3)(cid:13)(cid:2) (cid:14) (cid:15) (cid:10) (cid:4) (cid:2) (cid:16) (cid:1) (cid:17) (cid:16) (cid:10) (cid:2) (cid:6) (cid:18) (cid:1) (cid:14) (cid:19) (cid:20) (cid:21) (cid:1) (cid:13) (cid:12) (cid:22)(cid:6)(cid:23)(cid:16)(cid:1)(cid:24)(cid:4)(cid:25)(cid:26)(cid:3)(cid:27)(cid:10)(cid:2)(cid:24)(cid:6)(cid:7)(cid:1)(cid:25)(cid:4)(cid:13)(cid:26)(cid:16)(cid:21)(cid:1)(cid:13)(cid:28)
Рис. 1: Экспериментальная и теоретическая зависимости деформациичастиц вируса табачной мозаики от величины нагружающей силы присканировании. (cid:1) (cid:2) (cid:3) (cid:4) (cid:5) (cid:6) (cid:7) (cid:8) (cid:4) (cid:9) (cid:10) (cid:11) (cid:12) (cid:9) (cid:7) (cid:13) (cid:14) (cid:15) (cid:16) (cid:7) (cid:17) (cid:8) (cid:18)(cid:19)(cid:9)(cid:6)(cid:7)(cid:20)(cid:4)(cid:21)(cid:22)(cid:10)(cid:23)(cid:3)(cid:5)(cid:20)(cid:19)(cid:24)(cid:7)(cid:21)(cid:4)(cid:17)(cid:22)(cid:6)(cid:16)(cid:7)(cid:17)(cid:14)
Рис. 2: Экспериментальная зависимость деформации молекул ДНК отвеличины нагружающей силы. 9ирования на воздухе до значений меньших, чем несколько наноньюто-нов.
Благодарность.
Работа была поддержана РФФИ, проект № 97-03-32778a.Авторы выражают глубокую благодарность Ю. Ф. Дрыгину, за приготов-ление образцов ВТМ, а также В. В. Прохорову и Д. В. Клинову за любез-но предоставленный образец ДНК.
Список литературы [1] А. С. Андреева, М. О. Галлямов, О. А. Пышкина, В. Г. Сергеев,И. В. Яминский, // Журнал физической химии. 1999. Т. 73. No. 11.С. 2062[2] С. Bustamante, J. Vesenka, С. L. Tang, W. Rees, M. Guthold, R. Keller// Biochemistry. 1992. V. 31. P. 22[3] Yu. F. Drygin, O. A. Bordunova, M. O. Gallyamov, I. V. Yaminsky //FEBS letters. 1998. V.425. P.217[4] M. О. Галлямов, Ю. Ф. Дрыгин, И. В. Яминский // Поверхность.1999. No. 7. С. 104[5] Z. Shao, J. Mou, D. M. Czajkowsky, J. Yang, J.-Y. Yuan // Advances inPhysics. 1996. V. 45. No. I.P.I[6] H. Herz // J. Reine Angew. Math. 1882. V. 92. Р. 156[7] Л. Д. Ландау, Е. M. Лифшиц. Теория упругости. M.: Наука, 1987. 246с.[8] Г. Б. Двайт. Таблицы интегралов. M.: Наука, 1973. 228с.
Quantitative methods for deconvolution of truetopographical properties of ob ject on the basisof AFM-images:Part 1. Contact tip-sample deformations