aa r X i v : . [ m a t h . C T ] S e p La 2-localización de una categoría de modelos
Tesis de Licenciatura Jaqueline Girabel
Abstract
In [
Homotopical Algebra , Springer LNM 43] Quillen introduces the notionof a model category : a category C provided with three distinguished classes ofmaps {W , F , co F } (weak equivalences, fibrations, cofibrations), and gives aconstruction of the localization C [ W − ] as the quotient of C by the congruencerelation determined by the homotopies on the sets of arrows C ( X, Y ) .We develop here the 2-categorical localization, in which the 2-cells of this2-localization are given by homotopies, and one can get the Quillen’s loca-lization when applying the connected components functor π on the hom-categories of the 2-localization. Our proof is not just a generalization of thewell-known Quillen’s one. We work with definitions of cylinders and homoto-pies introduced in [M.E. Descotte, E.J. Dubuc, M. Szyld, Model bicategoriesand their homotopy bicategories , arXiv:1805.07749 (2018)] considering onlya single family of arrows Σ . When Σ is the class W of weak equivalences ofa model category, we get the Quillen’s results. Resumen
Quillen en [
Homotopical Algebra , Springer LNM 43] presenta el conceptode categoría de modelos : una categoría C provista de tres clases de flechas {W , F , co F } (equivalencias debiles, fibraciones, cofibraciones), y construyela localización C [ W − ] como el cociente de C por la congruencia determinadapor las homotopías en los conjuntos de morfismos C ( X, Y ) .Aquí desarrollamos la localización 2-categórica, en la cual las homoto-pías determinan las 2-celdas de esta 2-localización, y es posible obtener lalocalización de Quillen tomando el funtor π de componentes conexas en lascategorías de morfismos de la 2-localización. Nuestra demostración no es unasimple generalización de la conocida demostración de Quillen. Se utilizan nue-vas definiciones de cilindro y de homotopía introducidas en [M.E. Descotte, Director Eduardo J. Dubuc, Departamento de Matematica, F.C.E. y N., Universidadde Buenos Aires.
Model bicategories and their homotopy bicategories ,arXiv:1805.07749 (2018)] considerando una única familia de morfismos Σ .Cuando Σ es la clase W de equivalencias débiles de una categoría de mode-los, se obtienen los resultados de Quillen. Introducción
El concepto de categoría de modelos fue introducido por Quillen previendouna de sus consecuencias más significativas, y particularmente atractiva: lateoría de homotopía abstracta asociada a una estructura de modelos dada. Sedefine la categoría homotópica como la localización de la categoría originalcon respecto a una clase distinguida de morfismos que no necesariamenteson inversibles, pero “ se asemejan ” a los isomorfismos . Con el desarrollo deesta teoría, Quillen provee una maquinaria ampliamente utilizada en diversoscontextos.En nuestra definición de localización, la categoría con dicha propiedaduniversal está determinada salvo equivalencia de categorías, a diferencia delas definiciones de Gabriel y Zisman, y de Quillen, para quienes la localizaciónqueda determinada en un sentido más fuerte: salvo isomorfismo de categorías.Desarrollamos este trabajo con el objetivo de construir una para una categoría de modelos, provista de un 2-funtor con lapropiedad universal de la 2-localización de dicha categoría con respecto a laclase de equivalencias débiles . Presentamos, así, una versión 2-dimensionalanáloga a la teoría de homotopía elaborada por Quillen para una categoríade modelos. Aplicando el funtor π o de componentes conexas en las categoríasde flechas de la 2-localización se obtienen los resultados de Quillen.A su vez, entendemos esta exposición como un caso particular de la ver-sión 2-dimensional original [1], en la que Descotte, Dubuc y Szyld introducenel concepto de bicategoría de modelos y construyen la bicategoría homotópica asociada. Consideramos una categoría de modelos como una bicategoría demodelos trivial en su estructura 2-dimensional. En el desarrollo de este ca-so particular se producen demostraciones más simples que no son una meraadaptación de aquellas demostraciones correspondientes al caso general.2ada una categoría de modelos C , las homotopías de Quillen pueden in-terpretarse como las 2-celdas de la 2-categoría buscada, en la que los objetosy las flechas son como en C . Pero, aunque las homotopías de Quillen se com-ponen bajo ciertas condiciones, no determinan directamente una estructurade 2-categoría.Generalizando el concepto de cilindro de Quillen y, luego, el conceptode homotopía de Quillen, una apropiada relación de equivalencia entre es-tas homotopías nos permite definir una 2-categoría en la que, efectivamente,objetos y morfismos son como en C , y las clases de equivalencia de homoto-pías se componen vertical y horizontalmente, verificando todos los axiomasrequeridos. De hecho, estos cilindros que generalizan los cilindros de Quillen,y con los que trabajamos en todo el desarrollo de la tesis, se definen en unacategoría C con una única clase distinguida de flechas, Σ , conteniendo a to-das las identidades, y la construcción de esta 2-categoría es independientedel contexto de categorías de modelos. Nos referimos a ella con el nombre de C , respecto de la clase Σ , y es denotada H o ( C ) .El 2-funtor i : C −→ H o ( C ) , dado por la inclusión, tiene la propiedad uni-versal correspondiente a la 2-localización de C , pero no es precisamente la2-localización debido a que los morfismos de la clase Σ no necesariamenteson equivalencias en H o ( C ) .Cuando C es una categoría de modelos y Σ es la clase de equivalen-cias débiles, que denotamos W , estudiamos las condiciones bajo las cua-les el 2-funtor i : C −→ H o ( C ) manda equivalencias débiles en equivalen-cias. Restringiendo i a la subcategoría C fc de objetos fibrantes-cofibrantes,obtenemos una sub-2-categoría H o fc ( C ) ⊆ H o ( C ) , y podemos demostrarque la inclusión i : C fc ֒ → H o fc ( C ) es la 2-localización de C fc respecto de W . Además, como una aplicación de esta construcción, tomando el 2-funtor π : H o fc ( C ) −→ π ( H o fc ( C )) de componentes conexas se tiene una categoría π ( H o fc ( C )) isomorfa a la categoría homotópica de Quillen de C fc , denotada π C fc en [11].Las conclusiones ya obtenidas para la subcategoría C fc nos permiten aho-ra producir resultados concernientes a la categoría C mediante un reemplazofibrante-cofibrante. Podemos percibir, así como en la exposición de Quillen,el rol fundamental que tienen las clases F , de fibraciones , y co F , de cofibra-ciones que hacen posible la construcción de la 2-localización con respecto a3na tercera clase, W . Al momento de definir un 2-funtor con la propiedaduniversal de la 2-localización de C , asumimos que las factorizaciones de lasque disponemos en una categoría de modelos son funtoriales. De esta for-ma, denotando C f y C c a las subcategorías de objetos fibrantes y cofibrantesde C , respectivamente, los reemplazos fibrante R : C −→ C f y cofibrante Q : C −→ C c resultan funtores, más que simples asignaciones, como lo son enel caso tratado por Quillen, que no asume funtorialidad en las factorizacio-nes. Consideramos, entonces, el 2-funtor C q ' ' Q / / C c R / / C fc i / / H o fc ( C ) ,y demostramos que este tiene la propiedad universal esperada.Aplicando el funtor de componentes conexas a la 2-localización de C ,lo que obtenemos en este caso es una categoría equivalente a la categoríahomotópica de C de Quillen, pero no isomorfa a ella. De todas maneras, estose condice con nuestra definición de localización de categorías, determinadasalvo equivalencias.Destacamos, por último, que las homotopías con las que trabajamos sonsiempre homotopías a izquierda, y no necesitamos de las homotopías a de-recha para generar los resultados esperados. Esto se debe a la funtorialidadde los reemplazos fibrante y cofibrante. Imitando la construcción de H o fc ( C ) considerando sólo homotopías a derecha se tiene, en principio, otra versiónde la 2-localización de C , pero demostramos que coincide con la 2-categoríaobtenida con las homotopías a izquierda. Estas conclusiones son una con-secuencia de un resultado esencial que nos permite asegurar, además, quelas categorías de flechas Hom ( X, Y ) de la 2-localización de una categoría demodelos son localmente pequeñas. 4 ndice
1. Preliminares 1
2. Categorías de Modelos 16
3. La 2-categoría homotópica H o ( C ) H o ( C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.1. Clases de equivalencia de homotopías . . . . . . . . . . 363.2.2. Composición vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.3. Composición horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3. Propiedades de H o ( C ) y 2-localización de C fc . . . . . . . . . 413.4. Localización de Quillen de C fc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4. La 2-localización de la categoría C . Preliminares En esta sección incluiremos las definiciones, las notaciones y los resultadosbásicos que ultilizaremos a lo largo de este trabajo. Luego de recordar losconceptos de equivalencia de categorías y de localización, adaptaremos estasnociones al contexto más general de 2-categorías.
Definición 1.1.
Sean X e Y dos categorías. Un funtor F : X −→ Y es una equivalencia de categorías si existen un funtor G : Y −→ X e isomorfismosnaturales F G ≃ Id y GF ≃ Id . En tal caso, G también es una equivalenciade categorías y decimos que X e Y son categorías equivalentes.Decimos que F es un isomorfismo de categorías si las transformacionesnaturales F G ≃ Id y GF ≃ Id son las identidades. Definiciones 1.2.
Sea F : X −→ Y un funtor.1) Decimos que F esi. pleno si para todo X, Y en X , F : X [ X, Y ] −→ Y [ F X, F Y ] es sur-yectivo,ii. fiel si para todo X, Y en X , F : X [ X, Y ] −→ Y [ F X, F Y ] es inyectivo,iii. plenamente fiel si a la vez pleno y fiel.2) Decimos que F es esencialmente suryectivo si todo objeto de Y esisomorfo a uno de la forma F X para X en X .Una caracterización importante de las equivalencias de categorías es lasiguiente ([8] Ch.IV § Proposición 1.3.
Consideramos un funtor F : X −→ Y . Son equivalentes:i. F es una equivalencia de categorías;ii. F es plenamente fiel y esencialmente suryectivo. A y un subconjunto multiplicativo S ⊂ A tal que / ∈ S , localizar A con respecto a S es construir de algún modo un anillo A S que contenga a los inversos multiplicativos de los elementos en S : se tieneun morfismo de anillos λ : A −→ A S tal que λ ( s ) es inversible para todo s ∈ S , y cualquier otro morfismo de anillos φ : A −→ B con esta propiedadse extiende a A S en forma única. ∃ φ ( a ) − ∀ a ∈ S A (cid:31) (cid:127) λ / / φ ❆❆❆❆❆❆❆❆ A S ∃ ! ¯ φ / ¯ φλ = φ (cid:15) (cid:15) ✤✤✤ B Notar que la misma definición tiene sentido sin requerir que S sea multi-plicativo, y cuando ∈ S se tiene que A S es el anillo trivial.Como un caso particular disponemos del álgebra de gérmenes de funcio-nes D p ( M ) , donde M es una variedad diferencial y p ∈ M , que guarda lainformación local alrededor de p . Este es un anillo local cuyo único ideal ma-ximal m p consiste de los gérmenes de funciones que se anulan en p . Resultaque D p ( M ) es la localización del anillo C ∞ ( M ) con respecto al complementodel ideal maximal m p = { f ∈ C ∞ ( M ) /f ( p ) = 0 } . Notar que si f ( p ) = 0 ,entonces f no se anula en todo un entorno de p. Dada una categoría C y una clase Σ de flechas en C , la idea de la lo-calización consiste en encontrar una nueva categoría C [Σ − ] que aproximeo extienda a la categoría original adjuntando los inversos de los morfismosen Σ , en el sentido de asegurar la existencia de un funtor q : C −→ C [Σ − ] que mande los elementos de Σ en isomorfismos, de manera tal que el par ( C [Σ − ] , q ) sea universal con esta propiedad. Definición 1.4.
Sean C una categoría y Σ una subclase de morfismos de C .La localización de C con respecto a Σ es una categoría C [Σ − ] junto con unfuntor q : C −→ C [Σ − ] tales que:1. para todo s ∈ Σ , q ( s ) es un isomorfismo;2. para toda categoría D , q induce una equivalencia en las categorías defuntores dada por la precomposición Hom ( C [Σ − ] , D ) q ∗ / / Hom + ( C , D ) , Hom + ( C , D ) son aquellos funtores que mandanla clase Σ en la clase Isos ( D ) . Observación 1.5. Si C [Σ − ] existe, es única salvo equivalencia de cate-gorías. Gabriel y Zisman ([3]), quienes introducen este concepto, y muchosautores después, requieren que q ∗ en la definición 1.4 sea un isomorfismo decategorías. Comentario 1.6.
Una construcción formal permite ver que C [Σ − ] siempreexiste, pero sus hom-sets no necesariamente son conjuntos, aún cuando la ca-tegoría C sí es localmente pequeña. En el contexto de categorías de modelos,la construcción de Quillen ([11]) muestra que la localización de una categoríade modelos localmente pequeña también es localmente pequeña.Cuando la clase Σ satisface ciertas condiciones, análogas a las propiedadesde un subconjunto multiplicativo en un anillo no conmutativo, C [Σ − ] puededescribirse en términos de “fracciones”; es decir, se construye una categoríade fracciones que satisface la definición de localización. Dicha descripciónde la localización C [Σ − ] es útil y necesaria en la práctica para demostraruna serie de propiedades, pero el problema conjuntístico en los hom-sets quemencionamos anteriormente aún persiste con esta definición explícita. El concepto de 2-categoría se entiende como una generalización de lascategorías, admitiendo, además de objetos y morfismos, una estructura adi-cional dada por las (o ), que pueden componerse de dosmaneras distintas respetando cierta condicion de compatibilidad. Un ejemploque clarifica esta noción de 2-celdas es el de las transformaciones naturales,que proveen a la categoría Cat de una estructura de 2-categoría, cuyos ob-jetos son las categorías (pequeñas) y los morfismos son los funtores.
Definición 1.7.
Una 2-categoría C consiste de:1. Una familia de objetos X , Y , Z , ...2. Para cada par de objetos X , Y en C , una categoría C [ X, Y ] . Los objetosde esta categoría son flechas f : X −→ Y mientras que los morfismosson 2-celdas α : f = ⇒ g entre flechas de X a Y . La composición enesta categoría es la composición vertical , denotada por ◦ . La identidadde una flecha f es la 2-celda denotada “ Id f ”.3ara cada objeto X se tiene un morfismo distinguido id X ∈ C [ X, X ] .3. Dados objetos X , Y , Z , un funtor C [ Y, Z ] × C [ X, Y ] −→ C [ X, Z ] quedefine una composición horizontal asociativa (tanto en los morfismoscomo en las 2-celdas), y es denotada por ∗ . Las identidades para estacomposición son las flechas id X y las 2-celdas Id id X , para todo X . Ade-más, para cada par de morfismos f : X −→ Y y g : Y −→ Z , dichacomposición horizontal satisface Id g ∗ Id f = Id g ∗ f .4. Un axioma de compatibilidad entre las composiciones horizontal y ver-tical, conocido como “Interchange law”:Dada una configuración en C X Y Z fglαβ f ′ g ′ l ′ α ′ β ′ se verifica ( β ′ ∗ β ) ◦ ( α ′ ∗ α ) = ( β ′ ◦ α ′ ) ∗ ( β ◦ α ) . Notación 1.8.
En general, las identidades de la composición vertical sedenotarán simplemente como flechas “ f ” en lugar de “ Id f ”. Además, omiti-remos la notación ∗ cuando las 2-celdas se compongan horizontalmente conlos morfismos. De manera que, si por ejemplo α e Id f son componibles en elsentido Id f ∗ α = f ∗ α , muchas veces escribiremos f α . Observación 1.9.
En presencia de composición vertical, para determinaruna composición horizontal de 2-celdas compatible basta definir una compo-sición horizontal entre 2-celdas y morfismos (interpretando a los morfismoscomo 2-celdas identidades), a la que algunos autores llaman wishkering :Para cada
X Y Z W, l fgα r supongamos que tenemosdefinidas 2-celdas rα y αl . Si se verifican los axiomas1. Para cada X f / / Y g / / Z , se tiene Id g f = gId f = Id gf ;4. Para cada X Y Z W l fgkαβ r , vale ( βl ) ◦ ( αl ) = ( β ◦ α ) l y ( rα ) ◦ ( rβ ) = r ( β ◦ α );
3. Para cada
X Y Z, fgα f ′ g ′ α ′ ( g ′ α ) ◦ ( α ′ f ) = ( α ′ g ) ◦ ( f ′ α ) entonces cualquier composición horizontal α ′ ∗ α como en el último axiomaqueda definida por ( g ′ α ) ◦ ( α ′ f ) = ( α ′ g ) ◦ ( f ′ α ) . El ejemplo prototípico de 2-categoría es el de
Cat , en donde las 2-celdasson las transformaciones naturales. La composición vertical de transforma-ciones naturales τ : F = ⇒ G , σ : G = ⇒ R , donde F, G, R son funtores coniguales dominio y codomio, se define como ( σ ◦ τ ) X = σ X τ X . Por otro lado, sitenemos C D E , FGα RSβ la composición horizontal es definida comola tranformación natural cuyas componentes son ( β ◦ α ) X = β GX Rα X paracada X en C . Notamos que de la conmutatividad del diagrama RF X β F X / / F α X (cid:15) (cid:15) SF X Sα X (cid:15) (cid:15) RGX β GX / / SGX también ( β ◦ α ) X = Sα X β F X . Definiciones 1.10. Un F : C −→ D entre 2-categorías mandaobjetos de C en objetos de D , morfismos de C en morfismos de D y 2-celdasde C en 2-celdas de D , preservando todas las estructuras: composicionesvertical y horizontal e identidades.Si G es otro 2-funtor entre las mismas 2-categorías, una transformación2-natural η : F = ⇒ G consiste de una familia de flechas η X : F X −→ GX en D , con X variando en C , de forma tal que para cada 2-celda α : f = ⇒ g se verifique la ecuación η Y F ( α ) = G ( α ) η X :5 X η X / / F g (cid:15) (cid:15)
F f (cid:15) (cid:15) F ( α ) ⇐ = GX Gg (cid:15) (cid:15) Gf (cid:15) (cid:15) G ( α ) ⇐ = F Y η Y / / GY Cuando α es una identidad, la igualdad anterior es la conmutatividad deldiagrama correspondiente a la naturalidad de las transformaciones naturalesque ya conocíamos.Más generalmente, decimos que η : F = ⇒ G es una transformaciónpseudonatural entre 2-funtores si asigna a cada objeto X en C una flecha η X : F X −→ GX en D y a cada flecha f : X −→ Y en C una 2-celdainversible η f : Gf η X −→ η Y F f en D F X η X / / F f (cid:15) (cid:15) GX Gf (cid:15) (cid:15) ⇐ η f GY η Y / / GY satisfaciendo los siguientes axiomas:1. Para cada X en C , η id X = Id η X ;2. Dadas X f / / Y g / / Z en C , se tiene que η g F ( f ) ◦ G ( g ) η f = η gf , deacuerdo a 1.8. F X η X / / F f (cid:15) (cid:15) GX Gf (cid:15) (cid:15) ⇐ η f F Y η Y / / F g (cid:15) (cid:15) GY Gg (cid:15) (cid:15) ⇐ η g = F Z η Z / / GZ F X η X / / F gf (cid:15) (cid:15) GX Ggf (cid:15) (cid:15) ⇐ η gf F Z η Z / / GZ
3. Para cada 2-celda α : f = ⇒ g : X −→ Y en C , vale la ecuación η g ◦ G ( α ) η X = η Y F ( α ) ◦ η f : X η X / / F g (cid:15) (cid:15) GX Gf (cid:15) (cid:15) Gg = (cid:15) (cid:15) G ( α ) = ⇒ ⇐ η g F Y η Y / / GY F X η X / / F g (cid:15) (cid:15)
F f (cid:15) (cid:15) F ( α ) ⇐ = GX Gf (cid:15) (cid:15) ⇐ η f F Y η Y / / GY Notamos que una transformación 2-natural es una transformación pseudo-natural tal que η f es la identidad para cada f , en cuyo caso las primerasdos condiciones son triviales y la tercera es el axioma de 2-naturalidad quemencionamos anteriormente.Supongamos ahora que τ, σ : F = ⇒ G son transformaciones 2-naturalesentre 2-funtores F, G : C = ⇒ D . Una modificación µ : τ −→ σ asigna a cadaobjeto X de C una 2-celda µ X : τ X = ⇒ σ X en D , de manera tal que paratodo par de flechas f, g : X −→ Y y para toda 2-celda α : f = ⇒ g en C severifica la igualdad µ Y F ( α ) = G ( α ) µ X : F X F Y GY
F fF gF α τ Y σ Y µ Y = F X GX GY. τ X σ X µ X GfGgGα Si τ y σ son pseudonaturales, una modificación µ : τ −→ σ será unaasignación como antes satisfaciendo la igualdad ( µ Y F ( α )) ◦ τ f = σ g ◦ ( G ( α ) µ X ) para cada α : f = ⇒ g en C . Observación 1.11.
Las transformaciones 2-naturales (pseudonaturales) ylas modificaciones se componen verticalmente y horizontalmente (ver, porejemplo, [5] I.2.4, p. 25).Si C y D son 2-categorías, entonces Hom ( C , D ) es la 2-categoría de2-funtores, que puede ser interpretada de dos maneras a partir de las defini-ciones anteriores:En el sentido débil, denotaremos Hom p ( C , D ) a la 2-categoría en la quelos objetos son los 2-funtores de C en D , las flechas son las transformacionespseudonaturales y las 2-celdas son las modificaciones.En el sentido estricto, Hom s ( C , D ) será la 2-categoría cuyos objetos sonlos 2-funtores de C en D , las flechas son las transformaciones 2-naturales ylas 2-celdas son las modificaciones. 7otamos que se tiene un 2-funtor Hom s ( C ) → Hom p ( C ) que es fiel perono es pleno. Y para cualquier par de 2-funtores F , G , el funtor Hom s ( C )[ F, G ] → Hom p ( C )[ F, G ] sí es plenamente fiel. Decimos que una flecha f : X −→ Y es una equivalencia si existe otraflecha g : Y −→ X que es interpretada como una “inversa” de f en el sentidomás general posible, según el contexto, y que recibe el nombre de cuasi-inversa de f :Si f es un morfismo en una categoría, entonces es una equivalencia sitiene una cuasi-inversa g que es una verdadera inversa (es decir, f es unisomorfismo).Si f es un morfismo en una 2-categoría, entonces es una equivalencia sitiene una cuasi-inversa g : Y −→ X en el sentido de que existen 2-celdasinversibles id X = ⇒ gf , f g = ⇒ id Y . Cuando estamos en la 2-categoría Cat ,estas son precisamente las equivalencias de categorías consideradas en la de-finición 1.1.
Observación 1.12.
La cuasi-inversa g está determinada salvo una 2-celdainversible.Siempre pueden elegirse una tal g y 2-celdas inversibles α : id X = ⇒ f g y β : gf = ⇒ id Y de forma tal que se verifiquen las ecuaciones triangulares : f gf fβ ❆❆❆❆❆❆❆❆ f αf > > ⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥ f y gf g gα ! ! ❈❈❈❈❈❈❈❈ g βg > > ⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤ g. Observación 1.13. Si s : X −→ Y en una 2-categoría C es una equivalencia,entonces induce equivalencias en las categorías de morfismos:Para cada objeto Z en C , el funtor s ∗ : C [ Y, Z ] −→ C [ X, Z ] dado porla precomposición f f s es una equivalencia de categorías. En efecto, se8ienen t : Y −→ X y 2-celdas inversibles α : ts = ⇒ id X , β : st = ⇒ id Y quenos permiten definir isomorfismos naturales η : Id C [ Y,Z ] = ⇒ ( st ) ∗ = t ∗ s ∗ y θ : Id C [ X,Z ] = ⇒ ( ts ) ∗ = s ∗ t ∗ . Para cada f en C [ Y, Z ] , tenemos una flecha η f := f β : f st = ⇒ f (una 2-celda en C ) que es un isomorfismo por ser unacomposición Id f ∗ β de isomorfismos. Además, η es natural en f y esto es unaconsecuencia de la compatibilidad de las composiciones vertical y horizontalen C . Análogamente, θ g es un isomorfismo natural en g ∈ Ob ( C [ X, Z ]) , ypor lo tanto t ∗ es una cuasi-inversa para s ∗ .Del mismo modo puede verse que s ∗ : C [ Z, X ] −→ C [ Z, Y ] es una equi-valencia de categorías.Más aún, se tiene la siguiente Proposición 1.14.
Dada s : X −→ Y en una 2-categoría C , entonces s esuna equivalencia si y sólo si s ∗ : C [ Y, Z ] −→ C [ X, Z ] es una equivalenciapara todo Z en C si y sólo si s ∗ : C [ Z, X ] −→ C [ Z, Y ] es una equivalenciapara todo Z en C . En una 3-categoría, una flecha f : X −→ Y será una equivalencia sitiene una cuasi-inversa g : Y −→ X en el sentido de que existen 2-celdas id X = ⇒ gf , f g = ⇒ id Y que son equivalencias en las 2-categorías de flechas Hom ( X, X ) y Hom ( Y, Y ) .Notamos que - Cat es una 3-categoría. De esta manera, el concepto deequivalencia entre categorías (es decir, una equivalencia en
Cat ) se extien-de a 2-categorías, usualmente con el nombre de pseudoequivalencia de 2-categorías:
Definiciones 1.15.
Sean C , D F, G : C −→ D F = ⇒ G es una equivalencia si lo es enla 2-categoría de 2-funtores Hom s ( C , D ) .2. Una transformación pseudonatural F = ⇒ G es una equivalencia si loes en la 2-categoría Hom p ( C , D ) . Definición 1.16.
Decimos que un 2-funtor F : C −→ D es una pseu-doequivalencia de 2-categorías si existen G : D −→ C y tranformacionespseudonaturales η : Id C = ⇒ GF , θ : F G = ⇒ Id D que son equivalencias en Hom p ( C , C ) y en Hom p ( D , D ) , respectivamente.9l 2-funtor F será una pseudoequivalencia de 2-categorías en el sentidoestricto cuando η y θ sean equivalencias en Hom s ( C , C ) y en Hom s ( D , D ) ,respectivamente.Dada η : F + G , una transformación pseudonatural entre 2-funtores F, G ∈ Hom ( C , D ) , tal que cada componente η X es una equivalencia concuasi-inversa θ X en la 2-categoría D , entonces es posible darle una estructurapseudonatural a la familia { θ X } X para definir así una cuasi-inversa θ de η en la 2-categoría Hom p ( C , D ) . Este hecho es utilizado frecuentemente en laliteratura pero no hemos podido encontrar una demostración del mismo, espor ello que aquí incluimos una.
Proposición 1.17.
Sea η : F = ⇒ G : C −→ D una transformación pseu-donatural entre 2-funtores. Entonces η es una equivalencia en Hom p ( C , D ) si y sólo si cada componente η X es una equivalencia en la 2-categoría D .Demostración. Si η es una equivalencia con cuasi-inversa θ , es claro que θ X es una cuasi inversa para η X , para cada X en C . Supongamos ahora que cada componente η X es una equivalencia en D concuasi-inversa θ X , y sean α X : θ X η X ⇒ id F X , β X : η X θ X ⇒ id GX inversibles.Podemos tomar α y β satisfaciendo las identidades triangulares θηθ θβ (cid:28) $ ❆❆❆❆❆❆❆ ❆❆❆❆❆❆❆ θ α − θ : B ⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥ ⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥ θ y ηθη αη (cid:29) % ❈❈❈❈❈❈❈❈ ❈❈❈❈❈❈❈❈ η β − η : B ⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥ ⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥ η. Queremos definir una transformación pseudonatural θ cuasi-inversa de η .Dado que η es pseudonatural, para cada f : X −→ Y en C existe una2-celda inversible η f : Gf η X = ⇒ η Y F f en D F X η X / / F f (cid:15) (cid:15) GX θ X z z ◗❳❴❢♠ Gf (cid:15) (cid:15) ⇐ η f F Y η Y / / GY. θ Y c c ✉♠❢❴❳◗■ Definimos θ f : F f θ X = ⇒ θ Y Gf como la composición10 f θ X α − Y F fθ X + θ Y η Y F f θ
X θ Y η − f θ X + θ Y Gf η X θ X θ Y Ggβ X + θ Y Gf.
Por ser una composición de isomorfismos, θ f = ( θ Y Gf β X ) ◦ ( θ Y η − f θ X ) ◦ ( α − Y F f θ X ) también es un isomorfismo.Teniendo en cuenta los axiomas de la definición de tranformación pseu-donatural en 1.10, veamos que θ satisface cada uno de estos.1. Se verifica θ id X = Id θ X . En efecto, como η id X = Id η X y se cumplen lasidentidades triangulares para α y β , entonces θ id X = ( θ X id GX β X ) ◦ ( θ X Id η X θ X ) ◦ ( α − X Id F X θ X )= ( θ X β X ) ◦ ( θ X η X θ X ) ◦ ( α − X θ X )= ( θ X β X ) ◦ ( α − X θ X ) = Id θ X .
2. Dadas X f / / Y g / / Z , se tiene el segundo axioma de pseudonatu-ralidad ( θ g Gf ) ◦ ( F gθ f ) = θ gf : Como η es pseudonatural, entonces η − gf = ( Ggη − f ) ◦ ( η − g F f ) y escri-bimos θ gf = ( θ Z GgGf β X ) ◦ ( θ Z η − gf θ X ) ◦ ( α − Z F gF f θ X )= ( θ Z GgGf β X ) ◦ ( θ Z Ggη − f θ X ) ◦ ( θ Z η − g F f θ X ) ◦ ( α − Z F gF f θ X ) (1.1)11 ( θ g Gf ) ◦ ( F gθ f ) = ( θ Z Ggβ Y Gf ) ◦ [ ( θ Z η − g θ Y Gf ) ◦ ( α − Z F gθ Y Gf ) ] ◦ [ ( F gθ Y Gf β X ) ◦ ( F gθ Y η − f θ X ) ] ◦ ( F gα − Y F f θ X )= ( θ Z Ggβ Y Gf ) ◦ [ ( θ Z η − g ) ◦ ( α − Z F g ) ] θ Y Gf ◦ F gθ Y [ ( Gf β X ) ◦ ( η − f θ X ) ] ◦ ( F gα − Y F f θ X )= ( θ Z Ggβ Y Gf ) ◦ [ ( θ Z η − g ) ◦ ( α − Z F g ) ] θ Y [ ( Gf β X ) ◦ ( η − f θ X ) ] ◦ ( F gα − Y F f θ X ) . (1.2)El diagrama que sigue representa el lado derecho de la ecuación (1.2). GX F Y F ZGX F Y F ZGX GY F Y F ZGX GY F Y F ZGX GY F ZGX GY F Z
F fθ X F gθ Y η Y F fθ X F gα − Y F fθ X Idη Y F fθ X θ Y Id F gGf θ Y ( Gfβ X ) ◦ ( η − f θ X ) θ Z Ggη Y Id ( θ Z η − g ) ◦ ( α − Z F g ) Gf θ Z Ggη Y θ Y Id IdGf θ Z GgId θ Z Ggβ Y Como consecuencia de la compatibilidad entre las composiciones hori-zontal y vertical, puede reescribirse de la siguiente manera:12
X F Y F ZGX F Y F ZGX F Y F ZGX GY F ZGX GY F ZGX GY F Z.
F fθ X F gF fθ X θ Z Ggη Y Id ( θ Z η − g ) ◦ ( α − Z F g ) θ Y η Y F fθ X θ Z Ggη Y α − Y F fθ X Idη Y F fθ X θ Z Ggη Y θ Y Idη Y F fθ X θ Z GgId θ Z Ggβ Y Gf θ Z Gg ( Gfβ X ) ◦ ( η − f θ X ) Id Componiendo las 2-celdas en el diagrama anterior, horizontalmente yluego verticalmente, y usando las identidades triangulares ya mencio-nadas, nos queda la expresión de la ecuación (1.1).3. Dada φ : f = ⇒ g : X −→ Y una 2-celda en C , veamos que θ g ◦ G ( φ ) η X = η Y F ( φ ) ◦ η f .Tenemos θ g ◦ F ( φ ) θ X = [( θ Y Ggβ Y ) ◦ ( θ Y η − g θ X )] ◦ [( α − Y F gθ X ) ◦ ( F ( φ ) θ X )]= [( θ Y Ggβ Y ) ◦ ( θ Y η − g θ X )] ◦ [( θ Y η Y F ( φ ) θ X ) ◦ ( α − Y F f θ X )] (1.3)y θ Y G ( φ ) ◦ θ f = ( θ Y Ggβ X ) ◦ ( θ Y G ( φ ) η X θ X ) ◦ ( θ Y η − f θ X ) ◦ ( α − Y F f θ X )= ( θ Y Ggβ X ) ◦ θ Y [( G ( φ ) η X ) ◦ ( η − f )] θ X ◦ ( α − Y F f θ X ) . η , entonces η − g ◦ η Y F ( φ ) = G ( φ ) η X ◦ η − f . Reemplazando esta expresión en (1.3) obtenemos la igualdad que que-riamos probar.Lo que queda de la demostración consiste en exhibir modificaciones in-versibles µ : η ◦ θ −→ Id G : G = ⇒ G y λ : θ ◦ η −→ Id F : F = ⇒ F .Definimos µ X = β X : η X θ X = ⇒ id GX , para cada X . Dada f : X −→ Y ,queremos ver que ( Id G ) g ◦ ( Gf µ X ) = µ Y Gf ◦ ( η ◦ θ ) f . Como ( Id G ) g = g , µ Y = β Y , µ X = β X y ( η ◦ θ ) f = ( η Y θ f ) ◦ ( eta f θ X ) , entonces la igualdad requerida es ( Gf β X ) = β Y Gf ◦ ( η Y θ f ) ◦ ( η f θ X ) . Por definición de θ f y usando la ecuación η Y α − Y F f = β − Y η Y F f se tiene ( β Y Gf ) ◦ ( η Y θ f ) ◦ ( η f θ X ) = η Y [( θ Y Gf β X ) ◦ ( θ Y η − f θ X ) ◦ ( α − Y F f θ X )] ◦ ( η f θ X )= ( β Y Gf ) ◦ ( η Y θ Y Gf β X ) ◦ ( η Y θ Y η − f θ X ) ◦ ( η Y α − Y F f θ X ) ◦ ( η f θ X )= ( β Y Gf ) ◦ ( η Y θ Y Gf β X ) ◦ ( β − Y Gf η X θ X )= ( β Y Gf ) ◦ ( β − Y Gf β X )= Gf β X . Por lo tanto, µ es una 2-celda inversible en Hom p ( F, F ) .Definiendo λ X = α X para cada X , podemos demostrar con una cuentasimilar que λ es una modificación inversible.14 bservación 1.18. La proposición anterior no vale para transformaciones2-naturales. Es decir, una transformación 2-natural que es una equivalenciapunto a punto no necesariamente es una equivalencia en
Hom s ( C , D ) . Definición 1.19.
Sean C una 2-categoría y Σ una subclase de morfismos.La de C con respecto a Σ es una 2-categoría C [Σ − ] junto conun 2-funtor q : C −→ C [Σ − ] tales que1. q ( s ) es una equivalencia para todo s ∈ Σ ;2. para toda 2-categoría D , q induce una pseudoequivalencia de 2-categoríasdada por la precomposición q ∗ : Hom p ( C [Σ − ] , D ) −→ Hom p + ( C , D ) ,donde Hom p + ( C , D ) consiste de los 2-funtores que mandan los elemen-tos de Σ en equivalencias. Observación 1.20.
La 2-categoría C [Σ − ] queda caracterizada salvo pseu-doequivalencias. Observación 1.21.
La definición de 2-localización que hemos dado es unaadaptación al contexto de 2-categorías de la definición de localización debicategorias (ver [10]).Decimos que el 2-funtor q es la 2-localización en el sentido estricto si el2-funtor inducido q ∗ es una pseudoequivalencia de 2-categorías en el sentidoestricto, de acuerdo a la definición 1.15.15 . Categorías de Modelos Las categorías de modelos fueron introducidas por Quillen ([11]) como unescenario en el cual es posible desarrollar una teoría de homotopía abstrayen-do ciertas propiedades que encontramos en el contexto particular de espaciostopológicos y que son comunes a muchos ejemplos conocidos. Una categoríade modelos consiste de tres clases distinguidas de flechas F (fibraciones), co F (cofibraciones) y W (equivalencias débiles) cumpliendo ciertos axiomas quecodifican sus propiedades. Si bien en la teoría de homotopía asociada a unacategoría de modelos lo que se quiere es invertir formalmente los elementosde la clase W , tanto fibraciones como cofibraciones son esenciales a la horade hacer posible una teoría que va más allá de una simple localización.La definición que usaremos nosotros es más fuerte que la definicion ori-ginal y es la que Quillen introduce con el nombre de categoría de modeloscerrada , en la que cualesquiera dos de las tres clases distinguidas de morfismosdeterminan la tercera.En general, no es fácil demostrar que una categoría admite una estructurade modelos, por lo que sólo mencionaremos algunos de los ejemplos másusuales, haciendo especial énfasis en la categoría T op de espacios topológicos. Definición 2.1.
Sea X una categoría. Decimos que un morfismo f en X tiene la propiedad de levantamiento a izquierda con respecto a un morfismo g si todo problema de la forma · / / f (cid:15) (cid:15) · g (cid:15) (cid:15) · / / h @ @ ✁✁✁✁ · tiene una solución h , no necesariamente única, que hace conmutar ambostriángulos. Equivalentemente, decimos que g tiene la propiedad de levanta-miento a derecha con respecto a f . Definición 2.2.
Dadas f : X −→ Y , g : X ′ −→ Y ′ en una categoría X ,entonces f es retracto de g si existe un diagrama conmutativo:16 / / id X ( ( f (cid:15) (cid:15) X ′ / / g (cid:15) (cid:15) X f (cid:15) (cid:15) Y / / id Y Y ′ / / Y La siguiente es una definición tratada por Goerss y Jardine en [4], eintroducida por Quillen ([11]) de manera equivalente.
Definición 2.3.
Una categoría de modelos es una categoría C provista detres clases de morfismos F , co F y W , que llamamos, respectivamente, Fi-braciones, Cofibraciones y Equivalencias Débiles, satisfaciendo los siguientesaxiomas.M1. C tiene límites finitos y colímites finitos.M2. Si una cofibración es además una equivalencia débil, entonces tienela propiedad de levantamiento a izquierda con respecto a cualquierfibración.Si una fibración es además una equivalencia débil, entonces tiene lapropiedad de levantamiento a derecha con respecto a cualquier cofibra-ción.M3. Si f es retracto de g y g es una fibración, una cofibración o una equi-valencia débil, entonces f también lo es. Además, las tres clases soncerradas por composición y contienen todas las identidades.M4. Todo morfismo f en C puede ser factorizado de dos maneras:i. f = pi , donde p es una fibración e i es una cofibración y tambiénes una equivalencia débil;ii. f = pi , donde p es una fibración y también es una equivalenciadébil e i es una cofibración.M5. Sean X Y Z f g en C . Si dos de los tres morfismos f , g y gf son equivalencias débiles, entonces los tres lo son.17 .4 Dualidad. Un objeto X ∈ C pensado en la categoría dual formal sedenota X ∈ C op . Los morfismos no cambian la notación y se tiene que unaflecha X f / / Y en C op es una flecha Y f / / X en C . Los axiomas de la definición 2.3 son auto-duales. Dada una categoría demodelos C , la categoría opuesta también admite una estructura de modelos,donde un morfismo f : Y −→ X en C op es1. una equivalencia débil si f : X −→ Y lo es en C .2. una cofibración si f es una fibración en C .3. una fibración si f es una cofibración en C .Observamos que, por el axioma M1, en una categoría de modelos siempredisponemos de un objeto inicial y de un objeto terminal, denotados y ,respectivamente. Definición 2.5.
Un objeto X en una categoría de modelos C es fibrante si X −→ es una fibración, y es cofibrante si −→ X es una cofibración. Definición 2.6.
Una (co)fibración es trivial si además es una equivalenciadébil. Usaremos la siguiente notación:i. · ◦ / / · (equivalencias débiles)ii. · / / / / · (fibraciones) y · ◦ / / / / · (fibraciones triviales)iii. · / / / / · (cofibraciones) y · / / ◦ / / · (cofibraciones triviales) Una función continua f : X −→ Y entre espacios topológi-cos es una equivalencia homotópica débil si induce un isomorfismo de gruposde homotopía f ∗ : π n ( X, x ) −→ π n ( Y, f ( x )) para todo n ≥ , para todo x ∈ X . Definición 2.8.
Una función continua p : X −→ Y es una fibración de Serre si tiene la propiedad de levantamiento a derecha con respecto a las inclusiones D n / / / / D n × [0 , , n ≥ . 18 n / / (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) X p (cid:15) (cid:15) D n × [0 , ttttt / / Y La categoría T op de espacios topológicos admite una estructura de ca-tegoría de modelos, donde las equivalencias débiles W son las equivalenciashomotópicas débiles, las fibraciones F son las fibraciones de Serre y las cofi-braciones C o F son aquellas funciones continuas con la propiedad de levanta-miento a izquierda respecto de toda función en F ∩ W .Algunas caracterizaciones de las clases F y C o F resultan útiles a la horade demostrar los axiomas:1. las fibraciones triviales son aquellas funciones continuas que tienenla propiedad de levantamiento a derecha respecto de las inclusiones S n − / / / / D n , n ≥ ;2. una función continua es una cofibración trivial si y sólo si es una cofi-bración y un retracto por deformación fuerte.Con estas caracterizaciones se puede ver que cualquier espacio topológicoes un objeto fibrante y la clase de objetos cofibrantes incluye a la familia deCW-complejos.La categoría T op tiene todos los límites y colímites pequeños. Además,por la definición de equivalencia débil, es evidente que el axioma M5 se verifi-ca. En cuanto a M3, por funtorialidad de π n y la conmutatividad del diagramade la definición 2.2 puede verse que la clase W es cerrada por retractos. Tan-to para F como para co F el argumento es muy similar y está basado en elsiguiente resultado categórico (junto con su versión dual): Si i es retracto de j y j tiene la propiedad de levantamiento a derechacon respecto a f , entonces i tiene la propiedad de levantamiento a derechacon respecto a f . · / / id % % i (cid:15) (cid:15) · / / j (cid:15) (cid:15) · / / i (cid:15) (cid:15) · f (cid:15) (cid:15) · / / id · ♣♣♣♣♣♣♣ / / · @ @ ✁✁✁✁ / / ·
19n relación al axioma de levantamiento M2, sólo hay que ver la segundaparte, ya que la primera es inmediata de la definición de cofibración. Dadauna función f : X −→ Y en co F ∩ W , consideramos una factorización f = pi donde p es una fibración e i es una cofibración trivial y, luego, lastres funciones están en W . Como f es cofibración y p una fibración trivial,existe un levantamiento d en el diagrama conmutativo · i / / f (cid:15) (cid:15) · p (cid:15) (cid:15) · d @ @ ✁✁✁✁ · y, por lotanto, f es retracto de i . Dado que la clase de morfismos con la propiedadde levantamiento es cerrada por retractos, f tiene dicha propiedad.Notamos que, partiendo de las caracterizaciones de fibraciones trivales ycofibraciones triviales que mencionamos antes, estas demostraciones de losaxiomas sólo usan argumentos puramente categóricos.Resta la mayor dificultad, que está en probar la existencia de las facto-rizaciones de M4, y para ello se emplean ciertas propiedades de los espaciostopológicos y las funciones continuas. La demostración de este axioma suelebasarse en un argumento introducido por Quillen en [11] con el nombre "smallobject argument" , que es una manera de producir factorizaciones cuando lasfibraciones están caracterizadas por tener la propiedad de levantamiento aderecha respecto de cierto conjunto de morfismos.Podemos encontrar estas demostraciones con todo detalle en [2] y [7]. Sean A un anillo con unidad y M od A la categoría de A -módulos a izquier-da. Se define la categoría Ch A de complejos de cadenas (graduados positiva-mente) sobre M od A como aquella en la que cada objeto M • consiste de una fa-milia { C k } k ≥ de A -módulos junto con morfismos de borde ∂ : M k −→ M k − para todo k ≥ tales que ∂ = 0 ; y una flecha f : M • −→ N • en Ch A es unacolección de morfismos de A -módulos f k : M k −→ N k tales que f k − ∂ = ∂f k .La categoría Ch A resulta una categoría de modelos, donde un morfismo f : M • −→ N • es1. una equivalencia débil si f induce isomorfismos f k : H k ( M ) −→ H k ( N ) para todo k ≥ , siendo H k ( · ) el k - ésimo grupo de homología;2. una cofibración si f k es un monomorfismo y además su co-núcleo es un A -módulo proyectivo, para cada k ≥ ;20. una fibración si f k es un epimorfismo, k ≥ .Como en el caso de espacios topológicos con los funtores π n , los axio-mas M3 y M5 son una consecuencia de la funtorialidad de la homología H n : Ch A −→ M od A . La categoría Ch A tiene todos los límites y colími-tes pequeños, que se calculan gradualmente. En cuanto a los axiomas defactorización y levantamiento de morfismos, estos se obtienen de algunasconstrucciones que requieren de las siguientes caracterizaciones:1. Sea f : M • −→ N • un morfismo en Ch A .Consideramos el pullback Z n − ( M ) × Z n − ( N ) N n / / ❴❴❴❴ (cid:15) (cid:15) ✤✤ N n , (cid:15) (cid:15) Z n − ( M ) / / Z n − ( N ) donde Z n ( · ) denota el n -ésimo ciclo del complejo.Son equivalentes: a ) f es una fibración trivial; b ) el morfismo inducido M n −→ Z n − ( M ) × Z n − ( N ) N n es un epimor-fismo para todo n ≥ .ii. Para cada n > , denotamos D n • al complejo tal que D nn = D nn − = A , D nk = 0 para todo k = n, n − y ∂ : D nn −→ D nn − es la identidad.Un morfismo f : M • −→ N • es una fibración si y sólo si tiene lapropiedad de levantamiento a derecha respecto de −→ D n • para todo n > : / / (cid:15) (cid:15) M kf k (cid:15) (cid:15) D nk / / = = ③③③③ M k . Las demostraciones de estas caracterizaciones y de los axiomas se encuen-tran en [12]. En otra versión [2], contamos con una demostración del axiomade factorización basada en el argumento del objeto pequeño.21 .2.3. Conjuntos simpliciales
Sea SS et la categoría de conjuntos simpliciales X : ∆ op −→ Set y trans-formaciones naturales. Denotamos d i : X n −→ X n − (para cada n ) a la i-ésima cara de X y s i : X n −→ X n +1 a la i-ésima degeneración de X . Un n -simplex de X es no degenerado si no está en la imagen de ningún s i .Recordemos algunos ejemplos de conjuntos simpliciales:1. Para n ∈ N , el funtor representable ∆ n := Hom ∆ ( − , [ n ]) : ∆ op −→ Set es el n- símplex estándar . Por el Lema de Yoneda ([8] Ch.III § Hom
SSet (∆ n , X ) ≃ X n , natural en X .Si consideramos la categoría ∆ ↓ X (la categoría de “elementos” de X ),donde los objetos son las flechas ∆ n −→ X ( n ≥ , entonces podemosescribir a X como un colímite de funtores representables : X ≃ colim −−−→ ∆ n −→ X ∆ n
2. El conjunto simplicial ∂ ∆ n es el subconjunto de ∆ n formado por todossus símplices menos el único n -símplex no degenerado. Este es el borde de ∆ n .3. El funtor Λ nk : ∆ op −→ Set es el conjunto simplicial formado por launión de todas las caras de ∆ n menos la k -ésima.Uno de los conceptos importantes a considerar en esta categoría es el dela realización geométrica , que nos permite interpretar a los conjuntos sim-pliciales (que se obtienen “pegando” símplices a través de sus bordes) comoCW-complejos (que se obtienen pegando celdas a través de sus bordes), yviceversa. Se define la realización geométrica de ∆ n como la cápsula convexade los vectores de la base canónica de R n +1 dotada de la topología subespa-cio (es decir, es el n -símplex topológico estándar). Esta definición se extiendea cualquier conjunto simplicial X tomando el colímite | X | := colim −−−→ ∆ n −→ X | ∆ n | .De hecho, | X | es un CW-complejo con una n -celda por cada n -símplex nodegenerado de X (ver [9]). Este es un caso particular de la caracterización de todo funtor contravariante a valoresen
Set (“prehaz”) como colímite de funtores representables (ver [8] Ch.III §
22a realización geométrica | · | : SS et −→ T op es funtorial y tiene unadjunto a izquierda, que es el funtor singular S : X ∈ T op S ( X ) ∈ SS et definido como S ( X ) n := Hom (∆ n , X ) , n ≥ .La categoría SS et es una categoría de modelos, donde f : X −→ Y es1. una equivalencia débil si su realización geométrica | f | : | X | −→ | Y | esuna equivalencia débil de espacios topológicos;2. una fibración si tiene la propiedad de levantamiento a derecha respectode las inclusiones Λ nk −→ ∆ n , para todo n ≥ y ≤ k ≤ n (fibraciónde Kan);3. una cofibración si es un monomorfismo (es decir, f n : X n −→ Y n es unafunción inyectiva para todo n ).Los objetos fibrantes en SS et son los complejos de Kan y cualquier objetoes cofibrante. Observación 2.9. En SS et , así como en T op , las fibraciones triviales sonaquellos morfismos con la propiedad de levantamiento a derecha respecto alas inclusiones ∂ ∆ n ֒ → ∆ n , n ≥ , ∂ ∆ n / / (cid:127) _ (cid:15) (cid:15) X (cid:15) (cid:15) ∆ n < < ②②②② / / Y. Como consecuencia de la adjunción S ⊣ | · | , una flecha p : E −→ B en T op es una fibración trivial si y sólo si S ( p ) lo es en SS et . En efecto, existeuna correspondencia entre los diagramas que son de la forma | ∂ ∆ n | / / (cid:127) _ (cid:15) (cid:15) E p (cid:15) (cid:15) | ∆ n | = = ③③③③③ / / B y ∂ ∆ n / / (cid:127) _ (cid:15) (cid:15) S ( E ) S ( p ) (cid:15) (cid:15) ∆ n ; ; ①①①①① / / S ( B ) en T op y SS et , respectivamente. 23 .2.4. Categorías pequeñas (Estructura de modelos de Thomason) La categoría
Cat de categorías pequeñas puede verse como una categoríade modelos de dos formas diferentes. Una de ellas es la estructura canóni-ca, donde las equivalencias débiles son las equivalencias de categorías. Laotra es la estructura de modelos de Thomason, en la que un morfismo F en Cat es una equivalencia débil si y sólo si tomando el nervio obtenemos unaequivalencia débil
N F en SS et .Para explicitar un poco más la estructura de Thomason necesitamos al-gunas definiciones previas:Dada una categoría pequeña C , definimos N ( C ) , el nervio de C , comoel conjunto simplicial cuyos vértices son los objetos de C y, para n ≥ , los n -símplices son las n -tuplas de morfismos componibles en C . La i -ésima cara d i : N ( C ) n −→ N ( C ) n − es la función dada por ( f , ..., f i − , f i , f i +1 , ..., f n ) ( f , ..., f i − , f i +1 , ..., f n ) , mientras que la i -ésima degeneración s i : N ( C ) n −→ N ( C ) n +1 consiste eninsertar la flecha identidad correspondiente en el lugar i -ésimo de cada tupla ( f , ..., f i , f i +1 , ..., f n ) ( f , ..., f i , id, f i +1 , ..., f n ) . Por ejemplo, tomando la categoría C con objetos x, y, z y dos morfismoscomponibles f : x → y , g : y → z , entonces N ( C ) = ∆ . x gf ! ! f / / y g / / z N / / /.-,()*+ y g (cid:31) (cid:31) ❄❄❄❄❄❄❄❄ ( f,g ) '&%$ !" x f ? ? ⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧ gf / / '&%$ !" z Más generalmente, pensando al conjunto ordenado [ n ] = { , , ..., n } comouna categoría, se tiene N ([ n ]) = ∆ n .Dada una flecha F : C −→ D en Cat , N ( F ) : N ( C ) −→ N ( D ) es latransformación natural cuyas componentes N ( F ) n : N ( C ) n −→ N ( D ) n son ( f , ..., f n − ) ( F f , ..., F f n − ) . Obtenemos de esta manera una asignaciónfuntorial N : Cat −→ SS et .El nervio N tiene un adjunto a izquierda, denotado c : SS et −→ Cat .Para cada conjunto simplicial X , c ( X ) es una categoría tomando como ob-jetos a los vértices de X , y los morfismos son generados libremente por los24 -símplices de X y cocientando por las relaciones d x = d xd x para todo -símplex x ([3] Ch.II § subdivisión del n -símplex estándar es un conjunto simplicial Sd ∆ n quese define como el nervio aplicado al poset de subconjuntos no vacíos de [ n ] .Así, por ejemplo, Sd ∆ está dado por los siguientes vértices, -símplices nodegenerados y -símplices no degenerados: { } (cid:0) (cid:0) ✁✁✁✁✁✁✁✁ (cid:30) (cid:30) ❂❂❂❂❂❂❂❂ (cid:15) (cid:15) { , } $ $ ■■■■ { , } z z ✉✉✉✉ { , , }{ } A A ☎☎☎☎☎☎☎☎☎☎ ✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐✐ / / { , } O O { } o o j j ❯❯❯❯❯❯❯❯❯❯❯❯ ] ] ✿✿✿✿✿✿✿✿✿✿ Esta definición se extiende a cualquier conjunto simplicial X tomando elcolímite SdX := colim −−−→ ∆ n −→ X Sd ∆ n . La asignación Sd : SS et −→ SS et tambiénes funtorial y tiene un adjunto a derecha E x ( X ) n := Hom SS et ( Sd ∆ n , X ) .Luego, se tiene una adjunción ( Sd ) ⊣ ( E x ) , donde ( Sd ) ( X ) = Sd ( Sd ( X )) y ( E x ) ( X ) = E x ( E x ( X )) . Esto induce un par de funtores adjuntos entre la categoría SS et y lacategoría Cat dados por las composiciones c ( Sd ) y ( E x ) N SS et ( Sd ) ) ) ⊥ SS et c ) ) ( Ex ) g g ⊥ Cat . N g g Un morfismo F en Cat es1. una equivalencia débil si ( E x ) N F es una equivalencia débil en SS et ,2. una fibración si ( E x ) N F es una fibración en SS et ,3. una cofibración si tiene la propiedad de levantamiento a izquierda res-pecto de las fibraciones triviales.25a categoría Cat es una categoría de modelos con W , F y co F comoacabamos de definir. Thomason ([13]) demuestra que, efectivamente, se veri-fican los axiomas de categorías de modelos, y toda la dificultad se concentraen M2 (la parte no trivial de M2 en este caso) y en M4.Con esta estructura se tiene que F es una equivalencia débil en Cat si y sólo si
N F lo es en SS et ,y puede verse que el nervio N induce una equivalencia entre las categoríashomotópicas de Quillen Ho ( Cat ) y Ho ( SS et ) .Por otro lado, los funtores Cat ( E x ) N / / o o c ( Sd ) SS et satisfacen las hipótesis delteorema de equivalencia entre teorías de homotopía establecido por Quillen([11], Ch.I § .) y, luego, este par de funtores adjuntos también induce unaequivalencia entre la clásica localización de SS et y la localización de Cat con respecto a las equivalencias débiles.
En una categoría C la estructura de modelos queda determinada por dosde las tres clases distinguidas F , co F , W . Esto será una consecuencia de lossiguientes resultados. Lema 2.10. Si f = hg es un morfismo en una categoría X tal que f tienela propiedad de levantamiento a izquierda con respecto a h , entonces f esretracto de g . Dualmente, si f tiene la propiedad de levantamiento a derechacon respecto a g , entonces f es retracto de h .Demostración. Si escribimos f : X −→ Y , g : X −→ Z y h : Z −→ Y , como f tiene la propiedad de levantamiento con respecto a h y f = hg , existe unmorfismo l que hace conmutar ambos triangulos en el diagrama X g / / f (cid:15) (cid:15) Z h (cid:15) (cid:15) Y l > > ⑥⑥⑥⑥ Y. Por lo tanto, tenemos 26 f (cid:15) (cid:15) X g (cid:15) (cid:15) X f (cid:15) (cid:15) Y l / / Z h / / Y, donde hl = id Y , y luego f es retracto de g .Por dualidad, f es retracto de h si tiene la propiedad de levantamientocon respecto a g . Proposición 2.11.
Sea C una categoría de modelos.i. Un morfismo en C es una cofibración (cofibración trivial) si y sólosi tiene la propiedad de levantamiento a izquierda con respecto a todafibración trivial (fibración).ii. Un morfismo en C es una fibración (fibración trivial) si y sólo si tienela propiedad de levantamiento a derecha con respecto a toda cofibracióntrivial (cofibración).Demostración. Sea f : X −→ Y en C con la propiedad de levantamientoa izquierda respecto a la clase F y sea f = pi una factorización, con i una cofibración trivial y p una fibración. Por el lema previo, f es retractode i . Dado que las tres clases son cerradas por retractos, f es también unacofibración trivial. Por otro lado, el axioma M2 garantiza que toda cofibracióntrivial tiene dicha propiedad de levantamiento.Como para el resto de los casos el argumento es muy similiar, podemosconcluir la demostración. Observación 2.12.
La proposición anterior nos dice que la clase F quedadeterminada por ( co F , W ) y la clase co F está determinada por ( F , W ) .Además, un morfismo f es una equivalencia débil si y sólo si admite unafactorización f = pi , donde p es una fibración trivial e i es una cofibracióntrivial: la implicación ( ⇒ ) se debe a los axiomas M4 y M5, mientras que larecíproca es evidente ya que la clase W es cerrada por composición. Proposición 2.13. Si C es una categoría de modelos, entonces las clase decofibraciones y de cofibraciones triviales son ambas estables por pushouts. Lasfibraciones y las fibraciones triviales son clases estables por pullbacks. emostración. Nuevamente, la segunda afirmación del enunciado se obten-drá de la primera por un argumento de dualidad.Sean i : X −→ Y una cofibración y f : X −→ Z cualquier morfismo en C . Consideramos el pushout de i y fX f / / (cid:15) (cid:15) i (cid:15) (cid:15) Z j (cid:15) (cid:15) Y g / / W ,y queremos ver que j ∈ C o F . Por la proposición anterior, es equivalentever que j tiene la propiedad de levantamiento a izquierda con respecto atoda fibración trivial. Sea, entonces, p ∈ F ∩ W , junto con un diagramaconmutativo Z f ′ / / j (cid:15) (cid:15) X ′ p (cid:15) (cid:15) W g ′ / / Y ′ .Como i tiene dicha propiedad de levantamiento, existe un morfismo dia-gonal d : Y −→ Y ′ haciendo conmutar un nuevo diagrama: X f / / i (cid:15) (cid:15) Z f ′ / / X ′ p (cid:15) (cid:15) Y g / / d ♥♥♥♥♥♥♥♥ W g ′ / / Y ′ De la propiedad universal del pushout se obtiene una flecha h : W −→ X ′ tal que hg = d y hp = f ′ . Además, de la unicidad del morfismo que sale de W como consecuencia de la misma propiedad universal se deduce que ph = g ′ .Para el caso en el que i es una cofibración trivial la demostración esanáloga: la diferencia está en usar la correspondiente versión de la proposición2.11. Aclaración 2.14.
Si bien F ( F ∩ W ) y co F ( co F ∩ W ) son clases cerradaspor pullbacks y pushouts, respectivamente, no es cierto que la clase W deequivalencias débiles tenga alguna de estas propiedades.Los siguientes ejemplos, propuestos por Jonathan Barmak, muestran quelas equivalencias débiles no son estables por pullbacks ni por pushouts en lacategoría de modelos de espacios topológicos.28ea I = [0 , . Tomamos el pullback del diagrama {∗} , (cid:15) (cid:15) S (cid:31) (cid:127) i / / I donde i es la inclusión de S = { , } en el intervalo, y la función {∗} → I es una equivalencia homotópica (en particular, equivalencia débil). Si estaúltima manda al punto en el o el , el pullback es {∗} / / (cid:15) (cid:15) {∗} (cid:15) (cid:15) S (cid:31) (cid:127) i / / I, y si manda al punto en cualquier otro elemento de I distinto de y elpullback es ∅ / / (cid:15) (cid:15) {∗} (cid:15) (cid:15) S (cid:31) (cid:127) i / / I. Cualquiera sea el caso, el pullback de {∗} → I no es equivalencia débil. Estomuestra que la clase W no es cerrada por pullbacks en T op. Por otro lado, sean I → {∗} la función al punto y exp : I → D la funcióndada por t e πit . Tomando el pushout, obtenemos I exp / / (cid:15) (cid:15) D (cid:15) (cid:15) {∗} i / / D (cid:30) S . La función del intervalo al punto es una equivalencia homotópica, pero elcociente D −→ D (cid:30) S ≃ S no es equivalencia débil. Así, las equivalenciasdébiles no son estables por pushouts en T op. . La 2-categoría homotópica H o ( C ) Quillen ([11]) introduce las nociones de cilindro y de homotopía desarro-llando una teoría asociada a una categoría de modelos C . Demuestra quelas homotopías definen una relación de equivalencia en los morfismos de lasubcategoría plena C fc de objetos fibrantes-cofibrantes y, cocientando por es-ta relación de equivalencia, construye una categoría π C fc cuyos objetos sonlos objetos de C fc y los morfismos son clases de flechas en C fc . El funtor C fc −→ π C fc resulta equivalente a la localización que se obtiene inviertiendolos elementos de la clase W de equivalencias débiles.En esta sección estudiaremos una versión análoga a la construcción de lacategoría homotópica de Quillen. Fijada una categoría de modelos C , que-remos definir una 2-categoría H o ( C ) cuyos objetos y flechas sean como en C y cuyas 2-celdas estén dadas por homotopías entre flechas, con el objetivode obtener resultados relativos a la 2-localización de C respecto de la clase W . Este será un caso particular de la versión 2-dimensional presentada porDescotte, Dubuc y Szyld ([1]) en una exposición en la que introducen el con-cepto de bicategoría de modelos y desarrollan, en este contexto, una teoríacuyo resultado principal es el teorema de la 2-localización.Daremos una definición de cilindro más general que la definición de Qui-llen, y consecuentemente obtendremos una definición de homotopía tambiénmás general. Con q -cilindro y q -homotopía nos referiremos a las nocionesoriginales introducidas por Quillen, para distinguirlas de estas nuevas defini-ciones. Esto nos permitirá establecer una apropiada relación de equivalenciaentre homotopías, que depende sólo de la clase de equivalencias débiles W ,y además nos permitirá componer homotopías de forma tal que esta compo-sición resulte compatible con dicha relación, y se verifiquen los axiomas de2-categoría.Una vez definida la 2-categoría H o ( C ) , la inclusión i : C −→ H o ( C ) no será precisamente la 2-localización de C ya que, en general, no mandaequivalencias débiles en equivalencias, y es por esta razón que necesitaremosrestringir el funtor i a la subcategoría de objetos fibrantes-cofibrantes paraquedarnos con una sub-2-categoría H o fc ( C ) de H o ( C ) . Usando los axiomasde la definición 3.3, podremos ver que i : C fc −→ H o fc ( C ) es la 2-localizaciónde C fc respecto de W .Tomando el funtor π de componentes conexas, obtendremos los resulta-dos de Quillen como una consecuencia de esta construcción.30 .1. Homotopías de Quillen Definición 3.1. Un q-cilindro C = ( W, d , d , s ) para un objeto X en C esuna factorización de la codiagonal X ` X ∇ X $ $ ( d d ) / / W s / / X, donde (cid:0) d d (cid:1) es una cofibración y s es una equivalencia débil.Dualmente, un q-path object P = ( V, δ , δ , σ ) para un objeto Y es unafactorización de la diagonal Y ∆ Y $ $ σ / / V ( δ ,δ ) / / Y × Y, con ( δ , δ ) una fibración y σ una equivalencia débil. Observación 3.2.
Dado X en C , diremos que un q -cilindro C es fibrante si s : W −→ X es una fibración.Por el axioma M4, existe al menos un q -cilindro fibrante para X , que seobtiene factorizando la codiagonal ∇ X de la siguiente forma X ` X ∇ X / / ( d d ) ❍❍❍❍❍❍❍❍❍ X,W s ◦ ⑥⑥⑥ > > > > ⑥⑥⑥ Lema 3.3. Si X es cofibrante y C = ( W, d , d , s ) es un q -cilindro para X ,entonces d y d son cofibraciones triviales.Demostración. Dado que id X y s son equivalencias débiles, y que sd = id X y sd = id X , por el axioma M5 obtenemos que d y d son equivalenciasdébiles.Por otro lado, tenemos el pushout / / (cid:15) (cid:15) X i (cid:15) (cid:15) X i / / X ` X −→ X es una cofibración y la clase C o F es cerrada por pushouts, setiene que i e i son cofibraciones y, luego, d = (cid:0) d d (cid:1) ◦ i y d = (cid:0) d d (cid:1) ◦ i loson también. Definición 3.4.
Sean f, g : X −→ Y en C . Una q-homotopía a izquierda H : f + /o/o /o/o g con q -cilindro C = ( W, d , d , s ) (para X ) es un morfismo h : W −→ Y tal que hd = f y hd = g . X ` X / / ( d d ) / / ∇ X ❍❍❍❍❍❍❍❍❍ W h / / s ◦ ⑦⑦⑦⑦ ~ ~ ⑦⑦⑦ Y,X
Diremos que H es fibrante si es una homotopía con cilindro fibrante.Análogamente, una q-homotopía a derecha K : f + /o/o /o/o g con q -path-object P = ( V, δ , δ , σ ) (para Y ) es un morfismo k : X −→ V satisfaciendo δ k = f y δ k = g. X k / / V ( δ ,δ ) / / / / Y × YY σ ◦ ❅❅❅ _ _ ❅❅❅❅ ∆ Y ; ; ✇✇✇✇✇✇✇✇✇ ,En adelante, trabajaremos sólo con homotopías a izquierda. Lema 3.5.
Sean f, g, l : X −→ Y , y sean H : f + /o/o /o/o g , H ′ : g + /o/o /o/o l dos q-homotopías con cilindros C y C ′ , respectivamente. Si X es cofibrante,entonces existe una q-homotopía H ′′ : f + /o/o /o/o l con cilindro C ′′ , donde C ′′ se obtiene del pushout de d y d ′ .Demostración. Como X es cofibrante, d , d , d ′ y d ′ son cofibraciones trivia-les.El pushout de d y d ′ nos permite definir un cilindro C ′′ como podemos veren el siguiente diagrama 32 " " α " " ❊❊❊❊ s ◦ ' ' X < < d < < ③③③③③③③③ < < d < < ③③③③③③③③ " " d ′ " " ❉❉❉❉❉❉❉❉ " " d ′ " " ❉❉❉❉❉❉❉❉ W ′′ ∃ s ′′ ◦ ❴❴❴ / / ❴❴❴ X.W ′ < < β < < ③③③③ s ′ ◦ Dado que sd = id X = s ′ d ′ , por la propiedad universal de W ′′ , exite s ′′ que factoriza tanto a s como a s ′ . Además, como d y d ′ son cofibracionestriviales, por M3 α y β también lo son. Luego, del axioma M5 y del hechode que s y s ′ son equivalencias débiles, se deduce que s ′′ es una equivalenciadébil. Si escribimos d ′′ = αd y d ′′ = d ′ β , entonces se tiene que (cid:0) d ′′ d ′′ (cid:1) es unacofibración:Consideramos los pushouts X ` X ( d ′ d ′ ) / / d + id X (cid:15) (cid:15) W ′ β (cid:15) (cid:15) W ` X ( αd ) / / W ′′ y X d / / i (cid:15) (cid:15) W i (cid:15) (cid:15) X ` X d + id X / / W ` X, y se tiene que (cid:0) αd (cid:1) y d + id X son ambas cofibraciones, porque (cid:0) d ′ d ′ (cid:1) y d loson. Luego, X ` X ( d ′′ d ′′ ) ( ( d + id X / / W ` X ( αd ) / / W ′′ . es también una cofibración.Así, C ′′ = ( W ′′ , d ′′ , d ′′ , s ′′ ) es, efectivamente, un q -cilindro para X .Nuevamente, de la propiedad universal del pushout se tiene una q -homotopía H ′′ de f a l con cilindro C ′′ . En efecto, ampliamos el diagrama anterior dela siguiente forma 33 α " " ❊❊❊❊❊❊❊❊ s ◦ ' ' h ! ! X < < d < < ③③③③③③③③ < < d < < ③③③③③③③③ " " d ′ " " ❉❉❉❉❉❉❉❉ " " d ′ " " ❉❉❉❉❉❉❉❉ W ′′ s ′′ ◦ ❴❴❴ / / ❴❴❴ h ′′ ❯ ❳ ❭ ❴ ❜ ❢ ✐ X YW ′ β < < ③③③③③③③③ s ′ ◦ h ′ = = donde la existencia del morfismo h ′′ se debe a que hd = g = h ′ d ′ , yobtenemos, por lo tanto, H ′′ : f + /o/o /o/o l dada por H ′′ = ( C ′′ , h ′′ ) . Observación 3.6.
Para construir la categoría homotópica de una categoríade modelos C , Quillen demuestra que las homotopías definen una relación deequivalencia entre los morfismos de la subcategoría plena de objetos cofibran-tes, y el lema anterior se corresponde con la transitividad de esta relaciónentre flechas. En nuestro caso, dadas H : f + /o/o /o/o g y H ′ : g + /o/o /o/o l , podemospensar a la homotopía H ′′ de este resultado como una manera de definir lacomposición vertical H ◦ H ′ . Sin embargo, si bien las homotopías se compo-nen cuando los objetos son cofibrantes, esta composición que acabamos deexhibir no determina ni una 2-categoría ni una bicategoría. Es necesario, porlo tanto, definir una adecuada relación de equivalencia entre homotopías, demanera que si tomamos como 2-celdas a las clases de equivalencia se verifi-quen, entonces, los axiomas de 2-categorías. La categoría así obtenida tendrátodas sus 2-celdas inversibles (ver lema 3.21). Comentario 3.7. En T op , el pushout que permite definir la composiciónvertical anterior es precisamente el cilindro que se obtiene pegando los pri-meros dos, definiendo así una nueva homotopía como consecuencia del lemadel pegado: 34 (cid:25) (cid:25) h W ′′ X d . . d d ′ d ′ h ′′ / / ❴❴❴❴❴❴❴ Y h ′ : : W ′ H o ( C ) Recordemos que el problema que queremos resolver consiste en definiruna 2-categoría H o ( C ) junto con un 2-funtor i : C −→ H o ( C ) que tenga lapropiedad universal de la 2-localización: C i / / F ❅❅❅❅❅❅❅❅ H o ( C ) ∃ e F { { ✇ ✇ ✇ ✇ ✇ D (3.1)para todo 2- funtor F : C −→ D tal que F ( W ) ⊆ Equiv ( D ) .Con el objetivo de establecer una relación entre homotopías para que seanparte de la estructura de 2-categoría de H o ( C ) , en adelante vamos a trabajarcon una generalización de los cilindros y de las homotopías de Quillen que yaconocemos. Estas nuevas definiciones pueden ser introducidas en el contextode una categoría con una única clase de morfismos Σ conteniendo a las iden-tidades, y por el momento trabajaremos con estas nociones prescindiendo dela estructura de modelos de C . Definición 3.8.
Sea Σ una familia de morfismos en una categoría C conte-niendo a todas las identidades. Un cilindro C = ( W, Z, d , d , s, x ) para unobjeto X en C es una configuración 35 d / / d / / x (cid:31) (cid:31) ❄❄❄❄❄❄❄❄ W, s ◦ ⑥⑥⑥ ~ ~ ⑥⑥⑥⑥ Z donde s ∈ Σ y sd = sd = x .Una homotopía (a izquierda) H = ( C, h ) de f a g con cilindro C = ( W, Z, d , d , s, x ) es una flecha h : W −→ Y cumpliendo hd = f y hd = g . Notamos, como antes, H : f + /o/o /o/o g . X f " " g " " d / / d / / x ❅❅❅❅❅❅❅❅ W h / / s ◦ ⑥⑥⑥⑥ ~ ~ ⑥⑥⑥⑥ Y.Z
La relación de equivalencia que buscamos se desprenderá de la siguien-te observación, que además sugiere cómo debemos definir el 2-funtor e F deldiagrama 3.1 en las clases de homotopía. Observación 3.9.
Sea D una 2-categoría y consideremos en D el siguientediagrama conmutativo X f ! ! g ! ! d / / d / / x ❅❅❅❅❅❅❅❅ W h / / s ~ ~ ⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥ YZ donde el morfismo s es una verdadera equivalencia .Para cada objeto X ′ en D , s induce un funtor plenamente fiel36 [ X ′ , W ] s ∗ / / D [ X ′ , Z ] y, tomando X ′ = X , existe entonces una única 2-celda b C : d = ⇒ d talque s b C = x (ver 1.13): X W Z d d ˆ C s = X Z sd = xsd = xid x Sean ahora C F / / D un 2-funtor que manda las flechas de la clase Σ en equivalencias, y H = ( C, h ) una homotopía de f a g en C con cilindro C = ( W, Z, d , d , s, x ) .Aplicando F al diagrama en la definición 3.8 resulta F X
F f $ $ F g $ $ F d / / F d / / F x " " ❊❊❊❊❊❊❊❊❊ F W
F h / / F s | | ①①①①①①①①① F Y,F Z que es un diagrama conmutativo en D .Como F s es una equivalencia, hay una única 2-celda d F C : F d = ⇒ F d que satisface F s d F C = F x . Definición 3.10.
Dada una homotopía H = ( C, h ) en C y dado un 2-funtor F : C −→ D que manda la clase Σ en equivalencias, definimos una 2-celda d F H en D como d F H := F h d F C : F f = ⇒ F g , donde d F C : F d = ⇒ F d es laúnica tal que F s d F C = F x . Definición 3.11.
Sean f, g : X −→ Y morfismos en C y H, H ′ : f + /o/o /o/o g dos homotopías. Decimos que H ∼ H ′ si y sólo si d F H = d F H ′ para todo2-funtor F : C −→ D tal que F (Σ) ⊆ Equiv ( D ) , para toda 2-categoría D .37ás generalmente, dadas homotopías f H + /o/o /o/o g K + /o/o /o/o l y f H ′ + /o/o /o/o g ′ K ′ + /o/o /o/o l ,decimos que ( K, H ) ∼ ( K ′ , H ′ ) si y sólo si d F K ◦ d F H = d F K ′ ◦ d F H ′ , paratodo 2-funtor F : C −→ D que manda la clase Σ en equivalencias de D . Es claro cómo de esta manera podemos establecer una relación de equi-valencia entre secuencias de homotopías componibles. Definimos una 2-celdaen H o ( C ) como la clase [ H n , ..., H ] de una secuencia finita de homotopías f H + /o/o /o/o f . . . f n − H n + /o/o /o/o f n , donde ( H n , ..., H ) ∼ ( K m , ..., K ) si y sólo si [ F H n ◦ ... ◦ [ F H = [ F K m ◦ ... ◦ [ F K .Veamos que, así, H o ( C ) es efectivamente una 2-categoría. Definimos la composición vertical de homotopías como la yuxtaposición [ K ] ◦ [ H ] = [ K, H ] . X Y fg l [ H ][ K ] = X Y fl [ K,H ] La asociatividad es una consecuencia de la asociatividad de la composiciónvertical en D . En efecto, para todo F : C −→ D tal que F (Σ) ⊆ Equiv ( D )[ L, K ] ◦ [ H ] = [ L ] ◦ [ K, H ] si y sólo si ( c F L ◦ d F K ) ◦ d F H = c F L ◦ ( d F K ◦ d F H ) . Observación 3.12.
Las clases de secuencias de una sola homotopía generanlas 2-celdas en H o ( C ) . Sea f ∈ C [ X, Y ] y sea H : f + /o/o /o/o f una homotopía con cilindro C .Por cómo está definida la relación de equivalencia entre secuencias dehomotopías, es claro que [ H ] = Id f en H o ( C ) si y sólo si d F H = Id F f en D para todo F ∈ Hom + ( C , D ) . Así, por ejemplo, la homotopía H dada por38 f " " f " " id X / / id X / / id X ❆❆❆❆❆❆❆❆ X f / / id X ◦ ⑥⑥⑥⑥ ~ ~ ⑥⑥⑥ Y.X es tal que [ H ] = Id f . En efecto, por definición tenemos que d F H = F f d F C ,donde d F C : id F X = ⇒ id F X es como en la definición 3.10, y la 2-celda Id id F X satisface id F X ∗ Id id F X = id F X , entonces d F C = Id id F X , y luego [ F Id f = Id F f .Análogamente puede verse que si H es la homotopía X f ! ! f ! ! f / / f / / f (cid:31) (cid:31) ❅❅❅❅❅❅❅❅ Y id Y / / id Y ◦ ⑧⑧⑧⑧ (cid:127) (cid:127) ⑧⑧⑧ Y,Y entonces [ H ] = Id f . Denotamos I f a cualquier homotopía H tal que d F H = Id F f . De esta forma, C [ X, Y ] es una categoría para cada par de objetos X , Y en C . Dado que ya tenemos composición vertical, si definimos la composicioneshorizontales con las identidades l ∗ [ H ] = [ Id l ] ∗ [ H ] y [ H ] ∗ r = [ H ] ∗ [ Id r ] , lacomposición horizontal de 2-celdas se obtiene de la siguiente manera: X Y Y ′ fgH f ′ g ′ H ′ = def X Y ′ f ′ fg ′ gf ′ ∗ HH ′ ∗ g = (1) X Y ′ , f ′ fg ′ gH ′ ∗ fg ′ ∗ H (1) , de acuerdo a la observación1.9.Sean X ′ l / / X f / / g / / Y r / / Y ′ y H = ( C, h ) : f + /o/o /o/o g una homoto-pía con cilindro C = ( W, Z, d , d , s, x ) .Consideramos Hl = ( Cl, h ) : f l + /o/o /o/o gl y rH = ( C, rh ) : rf + /o/o /o/o rg ,donde Cl = ( W, Z, d l, d l, s, xl ) es un cilindro para X ′ . X ′ l / / xl + + X f & & g & & d / / d / / x ❅❅❅❅❅❅❅❅ W h / / s ◦ ⑥⑥⑥⑥ ~ ~ ⑥⑥⑥⑥ Y r / / Y ′ Z Es claro que tanto Hl como rH resultan homotopías. Además, se tienenlas ecuaciones \ F ( Hl ) = d F HF l y \ F ( rH ) = F r d F H, (3.2)ya que, como \ F ( Hl ) = F h \ F ( Cl ) y F s ( d F CF l ) = (
F s d F C ) F l = xl , por launicidad de \ F ( Cl ) en la definición 3.10 se tiene que \ F ( Cl ) = d F CF l y, luego, \ F ( Hl ) = d F HF l . La segunda ecuación es evidente, dado que H y rH tienenel mismo cilindro.Definimos [ H ] ∗ l = [ Hl ] y r ∗ [ H ] = [ rH ] . Más generalmente, [ K, H ] ∗ l := [ Kl, Hl ] y r ∗ [ K, H ] := [ rK, rH ] .Ahora, si H ∼ H ′ , entonces \ F ( Hl ) = \ F HF l = d F HF l = d F H ′ F l = \ F H ′ F l = \ F ( H ′ l ) .Esto nos dice que la composición con l está bien definida, y de la mismamanera se ve la buena definición de la composición con r .De las ecuaciones \ F ( Hl ) = d F HF l y \ F ( rH ) = F r d F H , y de la compatibili-dad entre las composiciones vertical y horizontal en D , se deduce la igualdad (1) requerida, correspondiente al último axioma en 1.9.Además, por definición también se tiene que40 [ K ] ∗ l ) ◦ ([ H ] ∗ l ) = ([ Kl ]) ◦ ([ Hl ]) = [ Kl, Hl ] = [
K, H ] ∗ l = ([ K ] ◦ [ H ]) ∗ l , [ I f ] ∗ l = [ I f l ] = [ I fl ] . Luego, los axiomas de la observación 1.9 se verifican, por lo que la com-posición horizontal de 2-celdas en H o ( C ) queda determinada y es compatiblecon la composición vertical.En virtud de las mismas ecuaciones (3.2) se tiene que la composiciónhorizontal también es asociativa, y las identidades en este caso son como en C : para cada objeto X , tenemos la 2-celda [ I id X ] = [ Id id X ] , que escribimos [ Id X ] para simplificar la notación. Comentario 3.14.
En el caso en el que Σ es la clase W de equivalenciasdébiles de una categoría de modelos, la composición r [ H ] = [ rH ] está biendefinida incluso si H es una q -homotopía, ya que rH también lo es, pero noocurre lo mismo con Hl . Sin embargo, veremos más adelante que cuando nosrestringimos a la subcategoría C fc , dada cualquier homotopía H existe unahomotopía de Quillen que está en la misma clase, de manera que será posibledefinir la composición con l cuando los objetos sean fibrantes y cofibrantes(ver 3.29). H o ( C ) y 2-localización de C f c Junto con la 2-categoría H o ( C ) se obtiene un 2-funtor i : C −→ H o ( C ) dado por la inclusión, y si bien no manda equivalencias débiles en equivalen-cias de H o ( C ) , tiene la siguiente propiedad universal. Proposición 3.15.
Sean i : C −→ H o ( C ) la inclusión, D una 2-categoríay F : C −→ D un 2-funtor que manda los elementos de Σ en equivalencias.Entonces, existe un único 2-funtor e F : H o ( C ) −→ D tal que e F X = F X y e F f = F f : C (cid:31) (cid:127) i / / F ❅❅❅❅❅❅❅❅ H o ( C ) ∃ ! e F { { ✇ ✇ ✇ ✇ ✇ D emostración. Definimos e F en las clases de homotopías como e F ([ H ]) = d F H, (3.3)y por la observación 3.12 podemos extender funtorialmente esta definición acualquier 2-celda en H o ( C ) , siendo e F ([ H n , ..., H ]) = [ F H n ◦ ... ◦ [ F H . De este modo, e F resulta un funtor para la composición vertical.Como e F l e F ([ H ]) = F l d F H = \ F lF H = \ F ( lH ) = e F ([ lH ]) y, análogamen-te, e F ([ H ]) e F r = e F ([ Hr ]) , entonces de la definición 3.2.3 se sigue que e F esfuntorial respecto a la composición horizontal.Queremos ver ahora la unicidad de e F .Sea R : H o ( C ) −→ D un 2-funtor tal que Ri = F . Si H = ( C, h ) es unahomotopía en C con cilindro C = ( W, Z, d , d , s, x ) , escribimos H = hH donde H = ( C, id W ) . X d / / d / / x ❅❅❅❅❅❅❅❅ W id W / / s ◦ ⑥⑥⑥⑥ ~ ~ ⑥⑥⑥⑥ W h / / YZ Como R ([ H ]) = RhR ([ H ]) = F hR ([ H ]) y e F ( H ) = d F H = F h c F c , paraprobar que R coincide con e F en [ H ] , alcanza con ver que R ([ H ]) = c F c .Sabemos que c F c : F d = ⇒ F d es la única tal que F s c F c = id x . Por otrolado F sR ([ H ]) = RsR ([ H ]) = R ( s [ H ]) = R ([ sH ]) , y [ sH ] = [ id x ] ya que F id x id F x = id F x = F s c F c . X d / / d / / x ❅❅❅❅❅❅❅❅ W s / / s ◦ ⑥⑥⑥⑥ ~ ~ ⑥⑥⑥⑥ ZZ ∼ X x / / x / / x ❅❅❅❅❅❅❅❅ Z id Z / / id Z ◦ ⑦⑦⑦⑦ (cid:127) (cid:127) ⑦⑦⑦ ZZ Luego,
F sR ([ H ]) = R ([ id F x ]) = id Rx = id F x y, por unicidad de c F c , es R ([ H ]) = c F c . 42enotaremos
Hom p + ( C , D ) y Hom s + ( C , D ) a las subcategoría de Hom p ( C , D ) y Hom s ( C , D ) , respectivamente, cuyos objetos son los funtores F tales que F (Σ) ⊆ Equiv ( D ) .La última proposición nos dice que la precomposición i ∗ : Hom s + ( H o ( C ) , D ) −→ Hom s + ( C , D ) es un funtor biyectivo en los objetos; en particular, es esencialmente suryec-tivo. Veamos que además es plenamente fiel. Lema 3.16.
Sean D una 2-categoría, F, G ∈ Hom + ( C , D ) y un cilindro C = ( W, Z, d , d , s, x ) para un objeto X ∈ C . Si θ : F = ⇒ G es unatransformación natural, entonces vale θ W d F C = d GCθ X . F X θ X / / F d (cid:15) (cid:15) d F C ⇒ F d (cid:15) (cid:15) GX Gd (cid:15) (cid:15) d GC ⇒ Gd (cid:15) (cid:15) F W θ W / / GW Demostración.
Como d GC : Gd = ⇒ Gd es la única 2-celda que satisface Gs d GC = Gx , entonces d GCθ X es la única tal que Gs ( d GCθ X ) = Gxθ X . Luego,basta ver que Gs ( θ W d F C ) =
Gxθ X .De la naturalidad de η se obtiene Gsθ W = θ Z F s y θ Z F x = Gxθ X . F W
F s / / θ W (cid:15) (cid:15) F Z θ Z (cid:15) (cid:15) GW Gs / / GZ F X
F x / / θ X (cid:15) (cid:15) F X θ Z (cid:15) (cid:15) GX Gx / / GZ Por lo tanto, Gs ( θ W d F C ) = (
Gsθ W ) d F C = ( θ Z F s ) d F C = θ Z F x = Gxθ X . Proposición 3.17. Si F, G : C −→ D mandan las flechas de Σ en equiva-lencias y θ : F = ⇒ G es una transformación natural, entonces existe unaúnica transformación 2-natural e θ : e F = ⇒ e G tal que e θi = θ . emostración. Para cada X en C , sabemos que e F i = F y e Gi = G . Definimos e θ X : e F X −→ e GX como e θ X = θ X y veamos, entonces, que e θ satisface lascondiciones de 2-naturalidad.Sean f, g : X −→ Y y [ H ] : f = ⇒ g una 2-celda en H o ( C ) . Queremosprobar la igualdad e θ Y e F [ H ] = e G [ H ] e θ X . Si H = ( C, h ) , de la naturalidad de θ se tiene θ Y F h = Ghθ X , por lo que θ Y d F H = θ Y F h d F C = Ghθ W d F C . Además, d GHθ X = Gh d GCθ X . Del lema anterior obtenemos θ W d F C = d GCθ X y, luego, θ Y d F H = d GHθ X , que por definición de e F , e G y de e θ , es exactamente lo quequeríamos ver.Como consecuencia de los resultados anteriores obtenemos que la precom-posición con i induce, para toda 2-categoría D , una equivalencia de catego-rías, que de hecho es un isomorfismo. En cuanto al aspecto 2-categórico, setiene el siguiente Lema 3.18.
Sean
F, G ∈ Hom + ( C , D ) . Si η , θ : F = ⇒ G son transforma-ciones naturales y µ : η −→ θ una modificación, existe una única ˜ µ : ˜ η −→ ˜ θ tal que ˜ µi = µ .Demostración. Definimos ˜ µ : ˜ η −→ ˜ θ como ˜ µ X = µ X para cada X .Sean f, g : X −→ Y y H una homotopía de f a g . Queremos ver que ˜ µ Y ˜ F [ H ] = ˜ G [ H ]˜ µ X ; es decir, µ Y d F H = d GHµ X . Como µ es una modificación, θ Y F g = Ggµ X , y por el lema 3.16 también tenemos η W d F C = d GCη X , demanera que µ Y d F H = µ Y F g ◦ η Y d F H = Ggµ X ◦ η Y F h d F C = Ggµ X ◦ Ghη W d F C = Ggµ X ◦ Gh d GCη X = Ggµ X ◦ d GHη X = d GHµ X . Corolario 3.19.
El funtor i ∗ : Hom s + ( H o ( C ) , D ) −→ Hom s + ( C , D ) es unisomorfismo de 2-categorías. Observación Importante 3.20.
El corolario anterior también puede obte-nerse en términos de 2-funtores y transformaciones pseudonaturales con unademostración muy similar a la que exhibimos para los resultados 3.16, 3.17y 3.18. Es decir, la inclusión i induce un isomorfismo de 2-categorías i ∗ : Hom p + ( H o ( C ) , D ) −→ Hom p + ( C , D ) . C . Para que la 2-categoría H o ( C ) sea la localización de C con respecto a la clase W , sólo necesitamos que lainclusión i : C −→ H o ( C ) mande las equivalencias débiles en equivalen-cias. Sin embargo, vamos a poder demostrar esto si nos restringimos a lasubcategoría plena C fc de objetos fibrantes-cofibrantes, obteniendo de estaforma la propiedad universal de la 2-localización para C fc respecto de W . Lademostración requiere del siguiente lema. Lema 3.21.
Toda 2-celda en H o ( C ) es inversible.Demostración. Fijemos H = ( C, h ) una homotopía de f a g con cilindro C = ( W, Z, d , d , s, x ) . Definimos H − = ( C − , h ) , donde C − es el cilindroque se obtiene de C intercambiando d y d , por lo que H − es una homotopíade g a f . Veamos que [ H − ] ◦ [ H ] = [ Id f ] .Sea F : C −→ D un 2-funtor. Tenemos d F C : F d = ⇒ F d y \ F C − : F d = ⇒ F d satisfaciendo las ecuaciones F s d F C = F x y F s \ F C − = F x .Luego, para la composición se tiene
F s ( \ F C − ◦ d F C ) =
F x ◦ F x = F x ,pero como existe una única 2-celda de
F d en F d que satisface la igualdadanterior, entonces \ F C − ◦ d F C = Id F d = F d . De esta forma, \ F H − ◦ d F H = F h \ F C − ◦ F h d F C = F h ( \ F C − ◦ d F C ) =
F hF d = F f ;es decir, [ H − , H ] = [ Id f ] . Una cuenta similar muestra que [ H, H − ] = [ Id g ] ,por lo tanto [ H ] es inversible y su inversa es [ H ] − = [ H − ] . Definición 3.22.
Un morfismo f : X −→ Y es una sección si admite unainversa a izquierda; es decir, existe g : Y −→ X que satisface gf = id X .Dualmente, decimos que f es una retracción si tiene una inversa a derecha. Teorema 3.23.
Sea s : X −→ Y una equivalencia débil en una categoría demodelos C . Si X es fibrante e Y es cofibrante, entonces s es una equivalenciaen H o ( C ) .Demostración. Consideramos una factorización s = pi , donde p es una fibra-ción, i una cofibración y alguna de las dos es una equivalencia débil, usandoel axioma M4. Como s es una equivalencia débil, por M5 obtenemos que lostres morfismos lo son. 45hora, dado que X es fibrante, i resulta una sección: como es una cofibra-ción trivial y además X −→ es una fibración, la propiedad de levantamien-to garantiza la existencia de la flecha punteada en el diagrama conmutativo X (cid:15) (cid:15) i ◦ (cid:15) (cid:15) X (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) Z > > ⑥⑥⑥⑥ / / , por lo que i tiene una inversa a izquierda.Dualmente, p es una retracción gracias a que Y es cofibrante. Luego, bastaver que si una equivalencia débil es además una sección o una retracción,es una equivalencia en H o ( C ) , ya que las equivalencias son cerradas porcomposición.Supongamos entonces que s es una sección con r : Y −→ X una inversa aizquierda. Para ver que es una equivalencia en H o ( C ) , tenemos que mostrarque hay un isomorfismo entre id Y y la composición sr , pero como en H o ( C ) toda 2-celda es inversible, entonces sólo necesitamos probar la existencia deuna homotopía sr + /o/o /o/o id Y .Dado que rsr = r , el diagrama Y sr / / id Y / / r ❆❆❆❆❆❆❆ Y id Y / / r ◦ ⑦⑦⑦⑦ ~ ~ ⑦⑦⑦ YX es conmutativo y, efectivamente, nos da una homotopía de sr a id Y .Como el caso en el que s es una retracción es completamente análogo,podemos concluir la demostración.Denotaremos H o fc ( C ) a la subcategoría de H o ( C ) cuyos objetos y flechasson como en C fc y cuyas 2-celdas son clases de homotopías en C . Observación 3.24.
Dado que toda equivalencia débil es una equivalenciaen H o fc ( C ) , entonces todo 2-funtor H o fc ( C ) −→ D manda equivalenciasdébiles en equivalencias; es decir, Hom s + ( H o fc ( C ) , D ) = Hom s ( H o fc ( C ) , D ) y Hom p + ( H o fc ( C ) , D ) = Hom p ( H o fc ( C ) , D ) . Teorema 3.25.
La inclusión i : C fc −→ H o fc ( C ) es la 2-localización, enel sentido estricto, de la subcategoría C fc con respecto a la clase W (verdefinición 4.13). ás aún, los 2-funtores i ∗ : Hom s ( H o fc ( C ) , D ) −→ Hom s + ( C fc , D ) e i ∗ : Hom p ( H o fc ( C ) , D ) −→ Hom p + ( C fc , D ) son ambos isomorfismos de 2-categorías. C f c Fijamos una categoría de modelos C y consideramos C fc ⊆ C . Quillendefine la categoría homotópica de C como la localización (en el sentido es-tricto) con respecto a la clase de equivalencias débiles, denotada Ho ( C ). Losobjetos de esta categoría coinciden con los objetos de C y las flechas sonclases de equivalencia de morfismos en C fc que se obtienen mediante reem-plazos fibrante y cofibrante, donde las clases de equivalencia se definen por larelación de homotopía. Quillen demuestra que Ho ( C ) es equivalente a la ca-tegoría de objetos fibrantes-cofibrantes C fc cocientada por la misma relaciónen los morfismos, denotada π C fc . Cuando la categoría que se quiere localizares C fc , dicha localización Ho ( C fc ) es isomorfa a π C fc .En lo que sigue veremos cómo obtener la categoría homotópica de C fc apartir de la 2-categoría H o fc ( C ) . Comenzamos introduciendo el concepto de morfismo de cilindros , y probaremos que si dos homotopías se conectan porun morfismo de estos, entonces ambas definen la misma 2-celda en H o ( C ) ,lo que facilitará, luego, algunas demostraciones. Definición 3.26.
Sean C = ( W, Z, d , d , s, x ) , C ′ = ( W ′ , Z ′ , d ′ , d ′ , s ′ , x ′ ) dos cilindros para X en C . Un morfismo de cilindros C −→ C ′ consiste deun par de morfismos φ : W −→ W ′ y ψ : Z −→ Z ′ que hacen conmutativoel diagrama W s ◦ (cid:15) (cid:15) φ ' ' ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ X d ♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣ d ♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣ d ′ d ′ W ′ s ′ ◦ (cid:15) (cid:15) Z ψ ' ' ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ X x ♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣ x ′ Z ′ efinición 3.27. La relación de gérmenes entre homotopías es la relaciónde equivalencia generada por los morfismos de cilindros: dadas H = ( C, h ) y H ′ = ( C ′ , h ′ ) dos homotopías de f a g , decimos que H ∼ g H ′ si existe unmorfismo de cilindros C ( φ,ψ ) / / C ′ tal que h ′ ◦ φ = h . Lema 3.28. Si H , H ′ : f + /o/o /o/o g son dos homotopías tales que H ∼ g H ′ ,entonces [ H ] = [ H ′ ] .Demostración. Escribimos H = ( C, h ) y H ′ = ( C ′ , h ′ ) , C = ( W, Z, d , d , s, x ) y C ′ = ( W ′ , Z ′ , d ′ , d ′ , s ′ , x ′ ) . Sea C ( φ,ψ ) / / C ′ un morfismo de cilindros tal que h ′ φ = h .Si D es una 2-categoría y F : C −→ D es un funtor que manda equi-valencias débiles en equivalencias, como F ψF s = F s ′ F φ , entonces se tiene
F x = F ψF x = F ψF s d F C = F s ′ F φ d F C , y
F φ d F C : F d ′ = ⇒ F d ′ . Por unici-dad de d F C ′ , resulta F φ d F C = d F C ′ , y luego, de la ecuación hφ = h ′ obtenemos d F H ′ = F h ′ F ψ d F C = F h d F C = d F H.
Lema 3.29.
Sean X e Y ambos fibrantes y cofibrantes, f, g : X −→ Y y H una homotopía de f a g . Entonces existe H ′ , una q -homotopía en C fc tal que [ H ] = [ H ′ ] .Demostración. Podemos suponer que H es una homotopía fibrante (ver de-finición 3.4). En efecto, si H es de la forma X d / / d / / x ❅❅❅❅❅❅❅❅ W h / / s ◦ ⑥⑥⑥⑥ ~ ~ ⑥⑥⑥⑥ YZ consideramos una factorización de s dada por W s ◦ / / j ◦ ❆❆❆❆ ❆❆❆ Z f W ˜ s ◦ ⑦⑦⑦ ? ? ? ? ⑦⑦⑦⑦ , y un mor-fismo ˜ h : f W −→ Y haciendo conmutar el diagrama W h / / (cid:15) (cid:15) j ◦ (cid:15) (cid:15) Y (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) f W ˜ h ? ? ⑦⑦⑦⑦ / / .48omando ˜ d := jd y ˜ d := jd queda definida una homotopía de f a g dada por X ˜ d / / ˜ d / / x (cid:31) (cid:31) ❄❄❄❄❄❄❄❄ f W ˜ h / / ˜ s ◦ ⑦⑦⑦⑦ (cid:127) (cid:127) (cid:127) (cid:127) ⑦⑦⑦⑦ YZ , que es fibrante y está en la mismaclase que H ya que ( j, id Z ) es un morfismo de cilindros tal que ˜ hj = h .Suponiendo entonces que s es una fibración trivial, tomando el pullbackde x y s obtenemos X δ (cid:15) (cid:15) ✤✤✤✤✤✤ δ (cid:15) (cid:15) ✤✤✤✤✤✤ X d (cid:15) (cid:15) d (cid:15) (cid:15) P t / / p.b.σ ◦ (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) W s ◦ (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) X x / / Z donde σ es también una fibración trivial por ser el pullback de s que es unmorfismo en la misma clase, y la existencia de δ y δ se debe a la propiedaduniversal.Luego, ( P, X, δ , δ , σ, id X ) es un cilindro para X , y con k := ht : P −→ Y tenemos una homotopía de f a g X δ / / δ / / id X ❆❆❆❆❆❆❆❆ P k / / σ ◦ ⑦⑦⑦⑦ ~ ~ ⑦⑦⑦ YX , que estáen la clase de H dado que ( t, x ) es un morfismo de cilindros satisfaciendo ht = k . Notamos que P es fibrante porque X lo es y, luego, la composición P σ ◦ / / / / X / / / / es una fibración.Como (cid:0) σ σ (cid:1) no necesariamente es una cofibración, el diagrama anteriorno necesariamente es una q -homotopía. Consideramos, entonces, la siguientefactorización X ` X ( σ σ ) / / ( d ′ d ′ ) ❍❍❍❍❍❍❍❍❍ PW ′ p ◦ ⑦⑦⑦ > > > > ⑦⑦⑦⑦ , junto con s ′ := σp : W ′ −→ X y49 ′ := kp : W ′ −→ Y , y definimos H ′ como X d ′ / / d ′ / / x ❆❆❆❆❆❆❆❆ W ′ h ′ / / s ′ ◦ ⑤⑤⑤⑤ } } ⑤⑤⑤⑤ YX Dado que h ′ d ′ = kpd ′ = kδ = f y h ′ d ′ = kδ = g , entonces H ′ es una q -homotopía de f a g que está en la misma clase que H .Además, como P es fibrante y p es una fibración, W ′ también es fibrante,y de la composición / / / / X / / i / / X ` X / / ( d ′ d ′ ) / / W ′ se deduce que W ′ escofibrante; por lo que H ′ es una q -homotopía en C fc . Lema 3.30.
Dadas f, g, l : X −→ Y en C fc y dos homotopías componibles H : f + /o/o /o/o g y H ′ : g + /o/o /o/o l , existe H ′′ : f + /o/o /o/o l tal que [ H ′′ ] = [ H ′ , H ] .Demostración. Como X e Y son fibrantes y cofibrantes, por el lema anteriorpodemos suponer que tanto H como H ′ son q -homotopías. Si H = ( C, h ) y H ′ = ( C ′ , h ′ ) , consideremos la homotopía H ′′ = ( C ′′ , h ′′ ) del lema 3.5 yveamos que [ F H ′′ = d F H ′ ◦ d F H para todo 2-funtor F : C −→ D que mandaequivalencias débiles en equivalencias.La homotopía H ′′ queda determinada por el diagrama conmutativo W α " " ❊❊❊❊❊❊❊❊ s ◦ ' ' h ! ! X d < < ③③③③③③③③ d < < ③③③③③③③③ d ′ " " ❉❉❉❉❉❉❉❉ d ′ " " ❉❉❉❉❉❉❉❉ W ′′ s ′′ ◦ / / h ′′ X YW ′ β < < ③③③③③③③③ s ′ ◦ h ′ = = Como d F H ′ ◦ d F H = F h ′′ F β d F C ′ ◦ F h ′′ F α d F C = F h ′′ ( F β d F C ′ ◦ F α d F C ) ,basta ver que F β d F C ′ ◦ F α d F C = [ F C ′′ . De las ecuaciones s = s ′′ α y s ′ = s ′′ β se deduce que id F X = id F X ◦ id F X = F s ′′ F α d F C ◦ F s ′′ F β d F C ′ = F s ′′ ( F β d F C ′ ◦ F α d F C ) y, luego, F α d F C ◦ F β d F C ′ = [ F C ′′ .50on lo visto hasta el momento podemos asegurar que cuando nos restrin-gimos a la subcategoría C fc existe una correspondencia entre las clases de q -homotopías y las clases de secuencias finitas de homotopías componibles,y se tiene de esta manera la siguiente proposición Proposición 3.31.
La 2-categoría H o fc ( C ) es aquella cuyos objetos y mor-fismos son como en C fc y cuyas 2-celdas son las clases de q -homotopías,donde dos q -homotopías se identifican conforme a la relación de equivalenciadefinida en 3.11. Comentario 3.32.
La relación de gérmenes (3.27) permitiría definir otra2-categoría homotópica. Pueden definirse las composiciones vertical y ho-rizontal, y demostrarse todos los requisitos, salvo el axioma que relacionaambas composiciones.Quillen también define una relación de equivalencia entre homotopías (ver[11] Ch.I § C fc aplicando el funtor de com-ponentes conexas π : 2 - Cat −→ Cat , definido como:1. Por cada 2-categoría D , π ( D ) es una categoría cuyos objetos son losde D y, por cada par de objetos X , Y en D , π ( D )[ X, Y ] = D [ X, Y ] (cid:30) ≡ ,donde “ ≡ ” es la clausura transitiva de la relación f ∼ g ⇔ existe una 2-celda f = ⇒ g o existe una 2-celda g = ⇒ f .2. Dado un 2-funtor G : D −→ D , π ( G ) : π ( D ) −→ π ( D ) es π ( G ) X = GX para todo X en D y π ( G )[ f ] = [ Gf ] para toda f en D . Observación 3.33.
Sea d : Cat −→ - Cat el funtor que asocia cada ca-tegoría X consigo misma vista como 2-categoría discreta. Entonces, π esadjunto a izquierda de d : 51ara cada 2-categoría D , existe un 2-funtor θ D : D −→ π D tal que paratoda categoría X y para todo 2-funtor F : D −→ X existe un único funtor e F : π D −→ X satisfaciendo e F θ D = F D θ D / / ∀ F (cid:15) (cid:15) π D . ∃ ! e F w w ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ X El 2-funtor θ D se define de la siguiente manera. En los objetos, θ D ( X ) = X para todo X en D ; en las flechas, θ D ( f ) = [ f ] para toda f en D ; y, además, θ D manda toda 2-celda de D en la 2-celda trivial correspondiente. Quedadefinida, así, una transformación θ : Id − Cat = ⇒ dπ natural en la variable D . Dado que esto quiere decir que π : 2 - Cat −→ Cat es adjunto a izquierdadel funtor d , ambas categorías X y π D son interpretadas como 2-categorías;es decir, el diagrama anterior es un diagrama en - Cat , y tenemos d ( X ) enlugar de X y d ( π D ) en lugar de π D , pero hacemos aquí un abuso denotación.Además, en adelante denotaremos π en lugar de θ D .Para cada 2-categoría D , el 2-funtor π : D −→ π D induce un isomor-fismo en las categorías de funtores: Proposición 3.34.
El funtor π ∗ : Hom ( π D , X ) −→ Hom ( D , X ) es unisomorfismo de categorías.Demostración. Sólo resta probar que es plenamente fiel.Dados 2-funtores
F, G : D −→ X y η : F = ⇒ G una transformación2-natural, definimos ˜ η : e F = ⇒ e G como ˜ η X = η X . La buena definición de ˜ η se debe a que π es la identidad en los objetos, y entonces F X = e F X , GX = e GX para todo X . Por otro lado, como además e F [ f ] = F f para toda f , de la naturalidad de η obtenemos que ˜ η es una transformación natural, y ˜ ηπ = η . 52 roposición 3.35. Dados los 2-funtores i : C fc −→ H o fc ( C ) del teorema3.25 y π : H o fc ( C ) −→ π ( H o fc ( C )) de la observación 3.33, el funtor defi-nido por la composición π i : C fc −→ π ( H o fc ( C )) es la localización de C fc con respecto a la clase W .Más aún, la precomposición ( π i ) ∗ : Hom + ( π ( H o fc ( C )) , X ) −→ Hom ( C fc , X ) es un isomorfismo de categorías, para toda categoría X .Demostración. El funtor π i manda equivalencias débiles en isomorfismos yaque i ( W ) ⊆ Equiv ( H o fc ( C )) y, por cómo está definido π en las 2-celdas,este manda equivalencias en isomorfismos.Por otro lado, como i ∗ es un isomorfismo por 3.19 y π ∗ es un isomorfismopor 3.34 C fc (cid:31) (cid:127) i / / F (cid:25) (cid:25) ✹✹✹✹✹✹✹✹✹✹✹✹✹ H o fc ( C ) π / / ∃ ! b F (cid:2) (cid:2) ☎ ☎ ☎ ☎ ☎ ☎ ☎ π ( H o fc ( C )) , ∃ ! ˜ F u u ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ ❧ X entonces la composición i ∗ π ∗ es también un isomorfismo de categorías.53 . La 2-localización de la categoría C Queremos definir ahora un funtor C −→ C fc y tomar la composicióncon i : C fc −→ H o fc ( C ) . Probaremos que este 2-funtor, que llamaremos q : C −→ H o fc ( C ) , es la 2-localización de la categoría C respecto de laclase W , que es nuestro principal objetivo. Para esto vamos a considerarlas subcategorías plenas C f y C c de objetos fibrantes y cofibrantes, respec-tivamente, y dos asignaciones R : C −→ C f y Q : C −→ C c que puedenconstruirse a partir de los axiomas de categorías de modelos de la definición2.3, pero que no necesariamente son funtoriales; en ese caso, la composición q no será exactamente un 2-funtor y en consecuencia no podrá determinarla localización buscada. Por esta razón, vamos a pedir que la factorizacióndel axioma M4 sea funtorial, y si bien esto modifica la definición original decategoría de modelos que hemos dado, gran parte de los ejemplos conocidoscumplen esta axiomática (por ejemplo, todas las categorías de modelos cofi-brantemente generadas - ver 4.5), que también es ampliamente utilizada en laliteratura. Asumiendo que la estructura de modelos de C admite una factori-zación funtorial, las flechas C Q / / C c R / / C fc determinarán efectivamenteun funtor y, junto con lo que vimos en la sección 3 para la subcategoría C fc ,nos permitirá concluir el teorema de la localización. Definición 4.1. Un sistema de factorización débil en una categoría X esun par ( L , R ) de clases distinguidas de morfismos tales que1. Todo morfismo h en X puede ser factorizado como h = gf , con f ∈ L y g ∈ R .2. L es precisamente la clase de morfismos que tienen la propiedad delevantamiento a izquierda con respecto a todo morfismo de R . R es la clase de morfismos que tienen la propiedad de levantamiento aderecha con respecto a todo morfismo en L . Ejemplos 4.2.
En las categorías
Set , Grp y R - M od , donde R es un anillocon unidad, las clases L = monomorf ismos y R = epimorf ismos formanun sistema de factorización débil. 54i C es una categoría de modelos, las clases ( C ∩ W , F ) son un sistemade factorización débil, asi como también lo son ( C , F ∩ W ) . Definición 4.3.
Decimos que una factorización débil ( L , R ) es funtorial sicada vez que tenemos un diagrama conmutativo · u / / f (cid:15) (cid:15) · g (cid:15) (cid:15) · v / / · existen morfismos ( λ f , ρ f ) , ( λ g , ρ g ) y un morfismo F ( u, v ) haciendo conmutarel diagrama · u / / λ f (cid:15) (cid:15) f (cid:26) (cid:26) · g (cid:4) (cid:4) λ g (cid:15) (cid:15) · F ( u,v ) / / ❴❴❴❴❴❴ ρ f (cid:15) (cid:15) · ρ g (cid:15) (cid:15) · v / / · donde λ f , λ g ∈ L , ρ f , ρ g ∈ R , y F ( u, v ) depende funtorialmente de u y v ; esdecir, F ( u ◦ u ′ , v ◦ v ′ ) = F ( u, v ) ◦ F ( u ′ , v ′ ) y si f = g entonces F ( id, id ) = id . Observación 4.4.
Denotamos −→ C a la categoría cuyos objetos son los mor-fismos de C y una flecha de f a g en −→ C es un par ( u, v ) de morfismos de C tales que gu = vf . Sean dom, codom : −→ C −→ C los funtores que proyectan adominio y codominio, respectivamente. La definición anterior nos dice preci-samente que un sistema ( L , R ) es funtorial si existen un funtor F : −→ C −→ C y transformaciones naturales λ : dom −→ F y ρ : F −→ codom tales quepara toda f en C se tiene 55 om ( f ) f / / λ f $ $ ■■■■■■■■■ codom ( f ) F ( f ) ρ f ssssssssss con λ f ∈ L , ρ f ∈ R .Decimos que ( F, λ, ρ ) es una realización funtorial (functorial realization) para la factorización débil ( L , R ) . Ver [12].En adelante trabajaremos sobre una categoría de modelos C en la que lasfactorizaciones del axioma M4 pueden elegirse funtorialmente en el sentidode la definición 4.3. Comentario 4.5.
La mayoría de las estructuras de modelos conocidas son cofibrantemente generadas , es decir que la clase R de la factorización débil esdefinida como aquellos morfismos que tienen la propiedad de levantamientoa derecha con respecto a cierto conjunto de flechas (y, consecuentemente, laclase L consiste precisamente de aquellos morfismos que tienen la propiedadde levantamiento a izquierda respecto de la clase R ), donde además dichoconjunto permite el argumento del objeto pequeño (small object argument) ,que es un proceso de factorización asociado a este conjunto, y es la prin-cipal herramienta para producir factorizaciones funtoriales. Las categorías T op , SS et , Ch A y Cat que mencionamos en la sección 3 son ejemplos deestructuras cofibrantemente generadas. Podemos encontrar en [7] una des-cripción más precisa de este tipo de estructuras junto con algunos ejemplosque también son presentados con todo detalle.
Definición 4.6.
Sea C c ⊆ C la subcategoría de objetos cofibrantes. Defini-mos un funtor Q : C −→ C c de la siguiente forma:1. Para cada X en C , factorizamos −→ X obteniendo un objeto cofi-brante QX y una fibración trivial p X : QX −→ X .Si F : −→ C −→ C es el funtor de la realización funtorial asocida a estafactorización, entonces QX = F (0 → X ) .2. Dada f : X −→ Y , se define Qf : QX −→ QY cumpliendo la ecuación p Y Qf = f p X como vemos en el diagrama56 / / / / (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) QY p Y ◦ (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) QX Qf ①①①① < < ①①①① p X ◦ / / / / X f / / Y Notamos que Qf = F ( id , f ) . Además, por el axioma M5, si f ∈ W entonces Qf ∈ W .De la funtorialidad de F se deduce que Q también es un funtor: / / (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) QX id QX / / p X ◦ (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) QX p X ◦ (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) y X id X / / Y / / (cid:15) (cid:15) / / (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) QX Q ( gf ) ) ) Qf / / p X ◦ (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) QY Qg / / p Y ◦ (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) QZ p Z ◦ (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) X f / / Y g / / Z Dualmente, obtenemos también un funtor R : C −→ C f con RX unobjeto fibrante y una cofibración trivial i X : X −→ RX factorizando elmorfismo X −→ , para todo X ; y una flecha Rf : RX −→ RY satisfaciendo Rf i X = i Y f , para cada f : X −→ Y en C . Además, si f es una equivalenciadébil, entonces Rf también.Los funtores Q y R se conocen como reemplazo cofibrante (cofibrant re-placement) y reemplazo fibrante (fibrant replacement) , respectivamente. Observación 4.7.
Pensando a Q y a R como funtores de C en C se obtie-nen transformaciones naturales p : Q = ⇒ Id e i : Id = ⇒ R definidas por p X e i X , respectivamente, para cada X en C : de las definiciones de Q y R enlos morfismos se tienen las ecuaciones que demuestran la naturalidad de p e i .Notamos que, por definición, p X e i X son equivalencias débiles.57 efinición 4.8. Restringiendo R a la subcategoría C c y precomponiendocon Q tenemos un funtor RQ : C −→ C fc . Definimos q : C −→ H o fc ( C ) como la composición C Q / / q ( ( C c R / / C fc (cid:31) (cid:127) i / / H o fc ( C ) Observación Importante 4.9. Si s es una equivalencia débil en C , RQs esuna equivalencia débil en C fc y, luego, resulta una equivalencia en H o fc ( C ) ,por lo que q manda la clase W en equivalencias. Queremos ver que tenemos una pseudoequivalencia de 2-categorías
Hom p ( H o fc ( C ) , D ) q ∗ / / Hom p + ( C , D ) , para toda 2-categoría D .Recordemos que el funtor i : C fc −→ H o fc ( C ) se obtiene restringiendo i : C −→ H o ( C ) como es indicado en el siguiente diagrama C fc i / / (cid:127) _ (cid:15) (cid:15) H o fc ( C ) (cid:127) _ (cid:15) (cid:15) C i / / H o ( C ) . Si bien esta última inclusión no manda equivalencias débiles en equiva-lencias, sí cumple la propiedad universal de la proposicion 3.15: C ≡ (cid:31) (cid:127) i / / F ( W ) ⊆ Equiv ( D ) F ❆❆❆❆❆❆❆❆❆ H o ( C ) ∃ ! ¯ F z z ✉ ✉ ✉ ✉ ✉ H o ( C ) ¯ q x x r r r r r D H o fc ( C ) . Tomando D = H o fc ( C ) y F = q , existe entonces un único 2-funtor ¯ q talque ¯ qi = q . 58 roposición 4.10. Dado F : H o fc ( C ) −→ D , el 2-funtor F ¯ q manda laclase W en equivalencias.Demostración. Como ¯ qi = q y q manda equivalencias débiles en equivalen-cias, entonces ¯ q también. Luego, necesariamente F ¯ q ( W ) ⊆ Equiv ( D ) . Fijemos una 2-categoría D . Tenemos el 2-funtor dado por la precomposi-ción ¯ q ∗ : Hom p ( H o fc ( C ) , D ) −→ Hom p + ( H o ( C ) , D ) .Como q ∗ = i ∗ ¯ q ∗ , para probar que q ∗ es una pseudoequivalencia será sufi-ciente ver que tanto ¯ q ∗ como i ∗ : Hom p + ( H o ( C ) , D ) −→ Hom p + ( C , D ) sonambos pseudoequivalencias de 2-categorías. En cuanto a i ∗ , ya vimos (3.20)que, de hecho, es un isomorfismo.Consideremos la inclusión j : H o fc ( C ) −→ H o ( C ) y el 2-funtor inducido j ∗ : Hom p + ( H o ( C ) , D ) −→ Hom p ( H o fc ( C ) , D ) . Teorema 4.11.
Los 2-funtores
Hom p ( H o fc ( C ) , D ) ¯ q ∗ / / o o j ∗ Hom p + ( H o ( C ) , D ) determinan una pseudoequivalencia de 2-categorías.Demostración. Sea ¯ q ∗ j ∗ : Hom p + ( H o ( C ) , D ) −→ Hom p + ( H o ( C ) , D ) . Defi-nimos una transformación pseudonatural η : id Hom p + ( H o ( C ) , D ) = ⇒ ¯ q ∗ j ∗ de lasiguiente forma:Sea F ∈ Hom + ( H o ( C ) , D ) . Para cada objeto X en C , sabemos que i X y p X son equivalencias débiles, y aplicando F obtenemos equivalencias F RQX o o F i QX F QX
F p X / / F X . Tomando la inversa de
F p X , se tiene una equi-valencia F X ( η F ) X ( ( o o ∼ F QX ∼ / / F RQX .Definimos η F : F = ⇒ F j ¯ q asociando a cada X ∈ Ob ( H o ( C )) el morfismo ( η F ) X : F X −→ F RQX . Notamos que η F es una transformación naturalporque p e i lo son; es decir que para toda flecha f : X −→ Y en H o ( C ) se59iene F j ¯ q ( f )( η F ) X = ( η F ) Y F f . Usando el lema 3.16 y con una demostraciónanáloga a la de la proposición 3.17 puede verse que η F es 2-natural. En parti-cular, η F es una flecha en Hom p + ( H o ( C ) , D ) , y es además una equivalencia,ya que lo es punto a punto (ver proposición 1.17).A su vez, si η es pseudonatural, entonces será una equivalencia en lacorrespondiente 2-categoría de 2-funtores, ya que por lo anterior cada com-ponente η F lo es.En los objetos de Hom p + ( H o fc ( C ) , D ) , tenemos a η ya definida. Ahora,dada σ : F = ⇒ G una flecha en Hom p + ( H o ( C ) , D ) , queremos definir unamodificación inversible η σ : q ∗ j ∗ ( σ ) ◦ η F −→ η G ◦ σF η F + σ (cid:11) (cid:19) F qj q ∗ j ∗ ( σ ) (cid:11) (cid:19) ← η σ G η G + Gqj.
Definimos η σ punto a punto de la siguiente manera:Para cada X en C tenemos ( η F ) X = F ( i QX ) F ( p X ) − , ( η G ) X = G ( i QX ) G ( p X ) − y el siguiente diagrama F X ( η F ) X % % q ♥ ❦ ❤ ❡ ❜ ❴ ❭ ❨ ❱ ❙ P ▼ σ X (cid:15) (cid:15) ⇒ σ pX F QX F ( p X ) o o F ( i QX ) / / σ QX (cid:15) (cid:15) F RQX σ RQX (cid:15) (cid:15) ⇐ σ iQX GX ( η G ) X ❏ ▼ P ❙ ❱ ❨ ❭ ❴ ❜ ❡ ❤ ❦ ♥ q GQX G ( p X ) o o G ( i QX ) / / GRQX, donde F ( p X ) − y G ( p X ) − denotan las respectivas cuasi-inversas de F ( p X ) y G ( p X ) , y σ p X , σ i QX son 2-celdas inversibles en D .Tenemos α G : id GQX = ⇒ G ( p X ) − G ( p X ) y β F : F ( p X ) F ( p X ) − = ⇒ id F X σ RQX ( η F ) X ≃ (1) + G ( i QX ) σ QX F ( p X ) − ≃ (2) + ( η G ) X G ( p X ) σ QX F ( p X ) − ( η G ) X G ( p X ) σ QX F ( p X ) − ≃ (3) + ( η G ) X σ X F ( p X ) F ( p X ) − ≃ (4) + ( η G ) X σ X , donde (1) es la 2-celda σ i QX F ( p X ) − , (2) es la 2-celda G ( i QX ) α G σ QX F ( p X ) − , (3) es ( η G ) X σ − p X F ( p X ) − y (4) es ( η G ) X σ X β F . Notamos que α G y β F dependende X . Tomamos η σ X como la composición de ambas secuencias: ( η σ ) X = [( η G ) X σ X β F ] ◦ [( η G ) X σ − p X F ( p X ) − ] ◦ [ G ( i QX ) α G σ QX F ( p X ) − ] ◦ [( σ i QX F ( p X ) − ] . Se puede ver que η σ es efectivamente una modificación y, con esta definición, η satisface los axiomas de pseudonaturalidad. Luego, η es una equivalenciaen la 2-categoría de 2-funtores de Hom p + ( H o ( C ) , D ) en Hom p + ( H o ( C ) , D ) . De la misma forma puede definirse θ : j ∗ ¯ q ∗ = ⇒ id Hom ( H o fc ( C ) , D ) tomando ( θ F ) X como la composición F RQX ( θ F ) X ( ( o o F i QX F QX
F p X / / F X ,para cada F ∈ Hom p ( H o fc ( C ) , D ) , X ∈ Ob ( H o fc ( C )) . Además, θ tambiénes una equivalencia en la correspondiente 2-categoría de 2-funtores y, por lotanto, podemos concluir la demostración. Observación 4.12.
El teorema anterior nos dice que la composición de losreemplazos fibrante y cofibrante QR : C −→ C fc induce una pseudoequiva-lencia de 2-categorías C i (cid:15) (cid:15) QR / / C fci (cid:15) (cid:15) H o ( C ) QR / / ❴❴❴❴❴ H o fc ( C ) . Como consecuencia del teorema 4.11 obtenemos el resultado principal deesta tesis: 61 eorema 4.13.
Dada una categoría de modelos C , se tiene que el funtor q : C −→ H o fc ( C ) de la definición 4.8 es la 2-localización de C con respectoa la clase W , en el sentido que manda los elementos de W en equivalenciasy, además, el 2-funtor q ∗ : Hom p ( H o fc ( C ) , D ) −→ Hom p + ( D , D ) es unapseudoequivalencia de 2-categorías para toda 2-categoría D . Aplicando el funtor de componentes conexas π concluimos un resultadoanálogo a la proposición 3.35. Más precisamente, lo que se tiene es la locali-zación de la categoría C con respecto a la clase de equivalencias débiles enel sentido de la definición 1.4. A diferencia de lo hecho en la sección 4, dondepudimos obtener la categoría homotópica de la subcategoría C fc , en este casoobtenemos un funtor π q : C −→ π ( H o fc ( C )) con la propiedad universal dela localización pero no en el sentido estricto, por lo que no es exactamente lalocalización de Quillen, sino que es equivalente a ella. Observación 4.14.
Consideremos una categoría X . El 2-funtor q ∗ del teo-rema 4.13, tomando D = X , ahora es un funtor entre las categorías de2-funtores q ∗ : Hom ( H o fc ( C ) , X ) −→ Hom + ( C , X ) , ya que Hom p ( H o fc ( C ) , X ) = Hom s ( H o fc ( C ) , X ) = Hom ( H o fc ( C ) , X ) , Hom p + ( C , X ) = Hom + ( C , X ) , y todas las modificaciones son identidades.Además, q ∗ es una equivalencia de categorías. Notamos que esto quieredecir que existe una cuasi-inversa para q ∗ tal que la unidad y la counidad, di-gamos η y θ , son isomorfismos naturales. En principio, el teorema 4.13 afirmaque η y θ son equivalencias como transformaciones pseudonaturales, pero, denuevo, una transformacion pseudonatural entre funtores es una transforma-ción natural y las modificaciones son necesariamente identidades, de maneraque tanto la unidad como la counidad son isomorfismos. Tenemos entonces: Proposición 4.15.
Dados los 2-funtores q : C −→ H o fc ( C ) de la definición4.8 y π : H o fc ( C ) −→ π ( H o fc ( C )) de 3.33, se tiene que la composición π q : C −→ π ( H o fc ( C )) es la localización de C con respecto a la clase W en el sentido de la definición 1.4.Demostración. Como q manda equivalencias débiles en equivalencias y π manda equivalencias en isomorfismos, entonces la composición manda la clase W en Isos ( π ( H ( C ))) . 62or otro lado, hay que ver que q ∗ π ∗ : Hom ( π ( H o fc ( C )) , D ) −→ Hom + ( C , D ) es una equivalencia de categorías para toda categoría D . Pero como se tie-ne un isomorfismo π ∗ : Hom ( π ( H o fc ( C )) , X ) −→ Hom ( H o fc ( C ) , X ) yademás q ∗ : Hom ( H o fc ( C ) , X ) −→ Hom + ( C , X ) es una equivalencia porla observación anterior, entonces la composición define una equivalencia decategorías. De lo hecho en 4.1 vemos que, en presencia de funtorialidad en las facto-rizaciones, las homotopías a derecha no son necesarias, a diferencia del casocon las factorizaciones no funtoriales de los axiomas de Quillen.La categoría H o fc ( C ) también puede obtenerse tomando como 2-celdasa las clases de secuencias finitas de homotopías a derecha. Generalizando elconcepto de path-object como lo hicimos para los cilindros, obtenemos unaversión de homotopías a derecha también más general que la de Quillen.Decimos que dos homotopías a derecha K y K ′ están en la misma clase siy sólo si d F K = d F K ′ para todo 2-funtor F : C −→ D tal que F ( W ) ⊆ Equiv ( D ) , para toda 2-categoría D . Definimos las composiciones vertical yhorizontal como lo hicimos antes, construyendo de esta forma una 2-categoríaque llamamos H o ( C ) r para distinguirla de H o ( C ) l := H o ( C ) .Considerando la inclusión j : C −→ H o ( C ) r , la precomposición tambiénnos da un isomorfismo como en el corolario 3.19, pero esto no quiere decirque ambas categorías sean isomorfas, ya que ni i ni j mandan equivalenciasdébiles en equivalencias.Por otro lado, una homotopía a derecha K = ( P, k ) y una homotopía aizquierda H = ( C, h ) están relacionadas si d F K = d F H para todo F : C −→ D que manda equivalencias débiles en equivalencias. Si bien H o ( C ) r y H o ( C ) l no tienen por qué coincidir, el siguiente resultado nos permitirá establecercierta correspondencia cuando los objetos sean fibrantes y cofibrantes. Observación 4.16.
Por el axioma M4 en la definición 2.3, dado un objeto Y existe al menos un path-object P = ( V, δ , δ , σ ) para Y que se obtiene63actorizando la diagonal ∆ Y de la siguiente forma Y ∆ Y / / (cid:31) (cid:31) ◦ ❅❅❅❅ (cid:31) (cid:31) ❅❅❅ Y × YV ( δ ,δ ) ; ; ; ; ✇✇✇✇✇✇✇✇✇ . Proposición 4.17.
Sean f, g : X −→ Y , H : f l + /o/o /o/o g una q -homotopía y P = ( V, δ , δ , σ ) un path-object de Y . Si X es cofibrante, entonces existe una q -homotopía a derecha K : f r + /o/o /o/o g con path-object P tal que [ K ] = [ H ] .Demostración. Si H es de la forma X d / / d / / id ❅❅❅❅❅❅❅❅ W h / / s ~ ~ ⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥ Y,X por ellema 3.3 tanto d como d son cofibraciones triviales, de manera que existeun morfismo k ′ : W −→ V que hace conmutar el diagrama siguiente X σf / / (cid:15) (cid:15) d ◦ (cid:15) (cid:15) V ( δ ,δ ) (cid:15) (cid:15) (cid:15) (cid:15) W ∃ k ′ < < ②②②②②②②②② ( fs,h ) / / Y × Y Definiendo k = K ′ d se obtiene una q -homotopía a derecha K dada por X k / / V δ o / / δ / / Y.Y σ ◦ ❅❅❅ ` ` ❅❅❅❅ id > > ⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦ Si F : C −→ D , veamos que d F H = d F K . Escribimos d F H = F h c F c y d F K = c F pF k , donde además
F h = F δ F k ′ y F k = F k ′ F d . Luego, F X F Y
F fF g d F H = F X F Y F V F Y
F fF g d F H F σ F δ F δ c F p F X F V F Y
F σfF σgF σ d F H F δ F δ c F p = F X F V F Y
F σfF σgId
F σf
F σ d F H F σ F σ c F pId
F σ = F X F W F V F Y
F d F d d c F c F k ′ F σ F σ c F pId
F σ = F X F W F V F Y
F d F d c F cd F k ′ F σ F σ Id F σ c F p = F X F Y
F fF f F gF fs c F c c F pF k = F X F Y.
F fF g d F K
Esto nos dice entonces que K ∼ H , concluyendo la demostración.De la proposición anterior junto con su versión dual se deduce que cuandolos objetos son fibrantes y cofibrantes las clases de q -homotopías a derecha secorresponden con las clases de q -homotopías a izquierda. Dado que, asi comoocurre con las homotopías a izquierda, en C fc no distinguimos entre clasesde secuencias de homotopías y clases de q -homotopías a derecha, entonces65 o fc ( C ) es la misma 2-categoría para cualquiera de las dos versiones.Además, de este último resultado se deduce también que las hom-categoríasde la 2-categoría H o fc ( C ) son localmente pequeñas: Corolario 4.18.
Sean X , Y fibrantes-cofibrantes, y sean f, g : X −→ Y morfismos en C . Entonces H o fc ( C )[ X, Y ][ f, g ] es un conjunto.Demostración. Dado un path-object fijo, las clases de q -homotopías a derechade f a g correspondientes a este path-object forman un conjunto y, como X e Y son cofibrantes y fibrantes, por la proposición anterior junto con suversión dual dicho conjunto está en biyección con las clases de q -homotopíasa izquierda de f a g . 66 eferencias [1] M.E. Descotte, E.J. Dubuc, M. Szyld, Model bicategories and their ho-motopy bicategories , arXiv:1805.07749 (2018).[2] W. G. Dwyer, J. Spalinski,
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