TThe New SI and the Fundamental Constants of Nature
Miguel A. Martin-Delgado Departamento de F´ısica Te´orica, Universidad Complutense, 28040 Madrid, Spain.CCS-Center for Computational Simulation, Campus de Montegancedo UPM, 28660 Boadilla del Monte, Madrid, Spain.
The launch in 2019 of the new international system of units is an opportunity to highlight the key role thatthe fundamental laws of physics and chemistry play in our lives and in all the processes of basic research,industry and commerce. The main objective of these notes is to present the new SI in an accessible way for awide audience. After reviewing the fundamental constants of nature and its universal laws, the new definitionsof SI units are presented using, as a unifying principle, the discrete nature of energy, matter and information inthese universal laws. The new SI system is here to stay: although the experimental realizations may change dueto technological improvements, the definitions will remain unaffected. Quantum metrology is expected to beone of the driving forces to achieve new quantum technologies of the second generation.La puesta en marcha en 2019 del nuevo sistema internacional de unidades es una oportunidad para re-saltar el papel fundamental que las leyes fundamentales de la F´ısica y la Qu´ımica juegan en nuestra vida yen todos los procesos de la investigaci´on fundamental, la industria y el comercio. El principal objetivo deestas notas es presentar el nuevo SI de forma accesible para una audiencia amplia. Tras repasar las constantesfundamentales de la naturaleza y sus leyes universales, se presentan las nuevas definiciones de las unidadesSI utilizando como principio unificador la naturaleza discreta de la energ´ıa, la materia y la informaci´on enesas leyes universales. El nuevo sistema SI tiene vocaci´on de futuro: aunque las realizaciones experimentalescambien por mejoras tecnol´gicas, las definiciones permanecer´an inalteradas. La Metrolog´ıa cu´antica est´allamada a ser uno de las fuerzas motrices para conseguir nuevas tecnolog´ıas cu´anticas de segunda generaci´on.
Contents
I. Introduction II. The New SI of Units III. The Fundamental Constants of Nature IV. Revision of the SI based on the fundamentalconstants
V. A ‘Gravitational Anomaly’ in the SI VI. Conclusions Acknowledgments References VII. Introducci´on VIII. El Nuevo SI de Unidades IX. Las Constantes Fundamentales de la Naturaleza X. Revisi´on del SI basado en las ConstantesFundamentales
XI. Una ‘Anomal´ıa Gravitacional’ en el SI XII. Conclusiones Acknowledgments References I. INTRODUCTION
On May 20th, 2019, matching with the World Metrol-ogy Day, the new international system (SI) of units that wasapproved at the assembly of the 26th General Conferenceof Weights and Measures (CGPM) met in Versailles duringNovember 13nd-16th, 2018 [1]. This is a historical achieve-ment. It is the culmination of many efforts during many yearsof joint work between the national metrology institutes fromthe member states and the BIPM (Bureau International desPoids et Mesures), providing a wonderful example of interna-tional collaboration.The CGPM approved to review in 2018 four of the baseunits (the kilogram, the ampere, the kelvin and the mole). Inthis way, all the basic measurement units are linked to physicalconstants instead of arbitrary references. This means the re-tirement of the famous mass pattern, the kilo IPK [1–3], whichwas the only standard linked to a remaining material device.Now all the base units are associated with nature’s rules tocreate our measurement rules [1]. What underlies all theseredefinitions is the possibility of carrying out measurementsat atomic and quantum scales to perform the units at macro-scopic scale. a r X i v : . [ phy s i c s . pop - ph ] A p r Figure 1: The international prototype of the IPK kilogram, kept atthe BIPM near Paris, and its six official copies, t´emoins . (Credit:BIPM).
Although removing of artifacts to define base units is usefulto better guarantee their stability and universality, however thenew system brings with it the enormous challenge of explain-ing its functioning to society in layman words, and to highschools and universities. Artifacts are tangible (see Fig.18),while the fundamental laws of nature (physics and chemistry)are abstract and harder to grasp by the general public. In thissense, in X A a unified treatment of all definitions of SI unitsis presented using as a common framework the discretizationof energy, matter and information that is the fundamental in-gredient of the laws of physics and chemistry to which thenew SI units are linked. These notes arise from several intro-ductory lectures to explain the relationship of the fundamentalconstants with the new unit definitions.When introducing the constants of nature in section IX, adistinguishing feature has been highlighted among the fiveuniversal constants associated with fundamental laws of na-ture. While h, c and e are associated with principles of sym-metry, it is not the case of Botzmann’s k and Avogadro’s N A constants.Even though all the new definitions of the base units arepresented here, however an exhaustive presentation of all theirexperimental realizations is avoided for it is far too technicalfor the purpose of these notes. There is more detailed docu-mentation for that [2–4]. The case of the ‘quantum kilo’ de-serves a special treatment, as it is so novel and mass somethingso common in daily life. Thus, the Kibble balance, which is Constant Value h .
626 070 15 × − J s e .
602 176 634 × − C k .
380 649 × − JK − N A .
022 140 76 × mol − Table I: CODATA 2018 values [5, 6] for universal constants whosevalue has been set to define the kilo, ampere, kelvin and mole in thenew SI of units enacted by BIPM since May 20th, 2019. the practical realization of the new kilo, is given a simple de-scription of how it works.The rest of the article is organized as follows: in sectionVIII, the new methodology of separating unit definitions fromtheir experimental realizations is explained; section IX de-scribes the fundamental constants of nature appearing in thenew definition of SI units as preparation for the explicit defi-nition in section X A of the seven base units. In X B the role ofquantum metrology in the new SI is explained through threeexamples: quantum clocks, the Kibble balance and the ‘quan-tum kilo’, and the quantum metrological triangle. In sectionXI we reflect on the absence of the universal gravitational con-stant G in the new system of units and its implications. Sec-tion XII is devoted to conclusions. II. THE NEW SI OF UNITS
The new International System (SI) of units that is ruling asof May 20th, 2019 represents a great conceptual and practicalrevolution since for the first time all units are linked to naturalconstants, many of them universal, and it means a dream ofPhysics and Chemistry come true.The foundation of the new SI is based on the followingpremises [2, 3]:1. The separation of unit definitions from their particularexperimental realizations.2. The linking of unit definitions to natural constants.3. The new unit system is designed to last over time andnot be subject to changes due to the continuous ad-vances in the methods of experimental measurement.The great conceptual advance of the new SI consists in sep-arating the practical realization of units from their definitions.This allows the units to be materialized independently any-where and at any time as envisioned by the Committee ofExperts of the Decimal Metric System in 1789. This also al-lows new types of realizations to be added in the future as newtechnologies get developed, without having to modify the def-inition of the unit itself. An example of this comes from thenew quantum technologies and the development of the quan-tum clock that will change the experimental realization of asecond in the near future (see subsection X A).In the new SI, the units of mass (kg), electric current (A),temperature (K) and quantity of substance (mol) are redefined
Figure 2: Schematic relationship between the base units of the newSI and its associated natural constants. In the central part the unitsand their dependencies among each other appear: the second influ-ences the definition of five units, while the mole appears decoupled.The symbols of the constants used to define the units appear on theoutside. See subsection X A. (Credit: Emilio Pisanty/Wikipedia). by linking them to the four universal constants that appear intable VII, whereas the units of time (s), length (m) and lumi-nous efficacy (cd) remain associated with constants of natureas before (see Fig.19).The new dependencies among the units in the new SI arenow much more symmetrical than in the previous system asleaps to the eye by taking a look at Fig.19. The second is stillthe base unit on which all the others depend, except for themole that appears decoupled from the rest of the units. Thefundamental constants that are set to an exact value appearoutside the scheme and their linked units appear inside. Theseredefinitions have fundamental consequences in certain mag-nitudes, such as the electrical (cid:15) and magnetic µ constantsin vacuum that cease to be exact and become experimentallydetermined in the new SI. Thus, the magnetic constant is de-termined by the equation [2]: µ = 2 αe hc , (1)so that all constants in this equation have a fixed value (see ta-ble VII) except for the electromagnetic fine structure constant α that is experimentally measured. In turn, this results in avalue given by (CODATA2018) µ = 4 π [1 + 0 . . × − ] × − NA − (2) = 1 . × − NA − . (3)Then, the electric constant in vacuum is obtained from therelationship, (cid:15) = 1 µ c , (4)yielding the current value (CODATA2018) (cid:15) = 8 . × − Fm − . (5) Symbol Constant Law c speed of light Theory of Relativity h Planck Quantum Physics k Botzmann Thermodynamics e Electron charge Quantum Electrodynamics N A Avogadro Atomic TheoryTable II: The five universal constants of nature and their correspond-ing laws they are associated with. The laws of Physics and Chemistryallow us to describe natural phenomena once the values of the con-stants are known.
However, in our daily life the changes will not cause any trou-ble because they typically correspond to changes of a part in , or even less. Their effects are very important though inthe high precision measurements that are needed in researchlaboratories and metrology institutes where it is essential to beable to make exact and precise measurements to know whethera new discovery has been really found. III. THE FUNDAMENTAL CONSTANTS OF NATURE
Underlying every universal constant of nature there is oneof the fundamental laws of Physics and Chemistry. Of theseven units of the new SI, five are associated to universal con-stants of nature as shown in table IV.The fundamental constants are like the DNA of our uni-verse. Other universes, if they exist, may have a different setof universal constants. In our universe, depending on the par-ticular physical phenomenon and its scale, we will need somefundamental constants to explain it. With this handful of con-stants we can describe our physical world from atomic, meso-scopic, microscopic, macroscopic, astronomical to cosmolog-ical scales.In addition to these 5 universal constants, in the new SIthere are two extra constants that are used to determine theunit of time and that of luminous efficacy. The first of theseis the hyperfine transition frequency of the unperturbed fun-damental state of the cesium atom 133, denoted by ∆ ν Cs . Al-though this is a constant of nature, we cannot consider it asfundamental on an equal footing with the other five. If wedid, any energy gap in the spectrum of any atom would alsobe fundamental and we would end up with an infinite num-ber of fundamental constants. In addition, this frequency iscomputable in principle using the laws of quantum electro-dynamics, while constants such as those in table VII are notcalculable from the first principles currently known. As forthe light efficiency K cd , the associated constant is not evenuniversal and is purely conventional. In summary, only 5 ofthe 7 constants used in the new SI are really fundamental inthe sense expressed here.There is another essential aspect that deserves to be high-lighted: three of these five universal constants are associatedwith symmetry principles of nature. The speed of light con-stant c is responsible for the unification of space and timein the theory of Relativity [7], one of the pillars of modernphysics. What underlies this fundamental law is the Principleof Relativity, which declares all inertial reference frames inrelative motion as physically equivalent. It is this symmetrythat is responsible for the constancy of the speed of light. If c were not constant, Lorentz’s transformations and thereforethe Relativity Principle, would be broken.The Planck constant h is responsible for the physical quan-tities such as energy, angular momentum, etc. can take on dis-crete values, called quanta. It is the fundamental constant ofQuantum Mechanics, another of the pillars of modern physics.What underlies this fundamental law is the Unitary Principle,enforcing the probability of finding the particles in their quan-tum state to be preserved throughout their temporal evolution.Even more basic is the linearity of Quantum Mechanics rep-resented by the Superposition Principle of states that is neces-sary to guarantee unitarity. If h were not constant, the Unitar-ity Principle would be broken. It is the Principle of Superpo-sition (linearity) of Quantum Mechanics that is at the root ofall the counterintuitive surprises that quantum physics bringsabout as R. Feynman [8, 9] teaches us. Precision tests on thepossible lack of non-linearity of Quantum Mechanics can beperformed using non-linear models that provide theoretical es-timates of linearity validity rates of only − error [10], andup to × − with direct measures [11]. It so happens thatto obtain these estimations, the highly exact measurements ofthe radio-frequency transitions probed in the frequency stan-dards are used. It turns out that a possible non-linearity wouldproduce a de-tuning of those resonant transitions in the stan-dards.The charge of the electron e is the value of the elementary(unconfined) source of electric field in Quantum Electrody-namics, the first of the known elementary particle theories andthe one that serves as a reference for the rest of fundamentalinteractions. What underlies this fundamental law is the Prin-ciple of Gauge Invariance that describes known elementaryinteractions. In the case of electromagnetism, the invariancegroup is the simplest U (1) . It is this symmetry that is re-sponsible for the constancy of the electron charge: if e is notconstant, the gauge symmetry breaks down.In these three examples, the values of the fundamental con-stants c, h and e are protected by nature’s symmetries. An in-creasingly accurate measurement of them may result in a lackof constancy, and therefore, the violation of one of the funda-mental laws of physics. Then metrology is also a source ofdiscovery of new physics through the improvement over timeof its measurement methods. A very important example of thisfact within the new SI is the so-called quantum metrologicaltriangle that we will see in the subsection X B, and also thepossible variations in the electromagnetic structure constant α or the ratio of the proton mass to the electron mass (see X B).The Boltzmann constant k is the conversion factor that al-lows the thermodynamic temperature T of a body to be relatedto the thermal energy of its microscopic degrees of freedom(constituents). This is the fundamental constant in StatisticalPhysics, which studies the relationship between macroscopicphysics and its microscopic constituents, another of the pil-lars of physics. The constant k appears in the description ofthe macroscopic world in the probability P i , or Boltzmann factor, of finding a system in a microscopic state i when it isin thermodynamic equilibrium at the temperature T : P i = e − EkT
Z , (6)where Z is the partition function characteristic of the system.Boltzmann established the relationship between macroscopicand microscopic worlds in his formula for entropy S : S = k ln W, (7)where W is the number of different microscopic states cor-responding to a macroscopic state of the system with givenenergy E . This is the famous equation that appears in the fron-tispiece of Boltzmann’s tomb in Vienna. However, Boltzmannestablished the relationship (46) as a proportionality law, with-out explicitly introducing his constant. Historically, Planckwas the first to write it in his article where he laid down theblack body radiation law, along with his constant h of energyquanta [12]. Planck was the first to give numerical valuesto these two constants using the experimental values of theuniversal constants that appear in the Wien law of displace-ment and the Stefan-Boltzmann’s law, which describe essen-tial properties of radiation in thermal equilibrium. These firstvalues turned out to be very close to the current ones [12] (seeTable VII): h = 6 . × − erg s ; k = 1 . × − erg degree − . (8)The Boltzmann constant has no associated symmetry princi-ple, unlike the other three constants mentioned above.Avogadro’s constant N A is a conversion factor that re-lates the macroscopic amount of a substance to the numberof its elementary constituents, whether they are atoms, ions,molecules, etc. It is a fundamental constant in the AtomicTheory of matter in Physics and Chemistry. The mole is in-troduced to handle macroscopic quantities of a substance thatis made of a huge number of elementary entities. Avogadro’sconstant N A is the proportionality factor between the mass ofone mole of substance (molar mass) and the average mass ofone of its molecules, or whatever its elementary constituents. N A is also approximately equal to the number of nucleons in agram of matter. To define the mole, the oxygen atom was ini-tially taken as a reference and then carbon. In the new SI, themass of one mole of any substance, be it hydrogen, oxygenor carbon, is N A times the average mass of each of its con-stituent particles, which is a physical quantity whose valuemust be determined experimentally for each substance.The origin of the word mol comes from the Latin moles which means mass, and molecula which means small portionof mass. Avogadro’s constant has also no symmetry principleassociated.As both the Boltzmann constant k and Avogadro’s N A areconversion factors for macroscopic and microscopic proper-ties, they are also related to one another: R = N A k, (9)where R is the constant of the ideal gases that relates pressure,volume and temperature: P V = nRT , with n the number ofmoles in the gas.The Atomic Hypothesis plays a fundamental role in the de-scription of nature. It states that matter is not a continuum,but is discrete and made of elementary entities called atoms.Feynman considered it the most important idea of all sciencebecause it contains a lot of information in a few words, andfrom which, you can reconstruct many of the properties sur-rounding us, such as that there are different states of matterdepending on the temperature and its phase changes [8]. Atthe time of Boltzmann in the second half of XIX century, theexistence of atoms and molecules was still under debate andis one of the reasons why the Boltzmann constant was intro-duced late because then macroscopic energies were used withthe gas constant, instead of energies per molecule (48) [13].The works on the Brownian motion, theoretical by Einsteinand experimental by Perrin, were essential to establish the va-lidity of the Atomic Hypothesis at the beginning of the XXcentury. IV. REVISION OF THE SI BASED ON THEFUNDAMENTAL CONSTANTSA. The New Definitions
The explanations of the new SI are greatly facilitated bythe new viewpoint adopted to separate the definitions of units,which are linked to the constants of nature, from their con-crete experimental realizations. The latter may be changingwith the technology and the development of new measurementmethods in the laboratory (section VIII).The visible universe is made of matter and radiation.Physics is the science devoted to the study of matter and ra-diation, and their interactions. The new SI uses the discretenature of matter and radiation to define its units based on nat-ural constants. The discrete character of matter is historicallycalled the atomic hypothesis and the discrete character of ra-diation, the quantum hypothesis.Let us start with electromagnetic radiation, one of whoseforms is light. Its velocity c has a property that makes it spe-cial for measuring times and distances: it is a universal con-stant and has the same value for all inertial observers, that is,those who measure physical, i.e. observable, magnitudes.Since time is the most difficult magnitude to define, thenit is defined first as the most basic one. For this we use anoscillator that is very stable: the cycles of cesium atoms in anatomic clock. Galileo used pendulums, or even his own pulse,to measure time. The definition of time given by Einstein isfamous: “What is time? Time is what a clock measures”. It isa very simple and at the same time a very deep definition. Infact, it is a metrological definition of time that fits very wellin the new SI: once the time is defined in a generic way interms of an oscillator or clock, the choice of a suitable clockis left for the realization of the unit second (s). According tothe rules of the new SI, the definition and realization of thesecond is as follows: second : “The second, symbol s, is defined by setting the fixednumerical value of the cesium frequency ∆ ν Cs , the unper-turbed ground-state hyperfine transition frequency of the cae- sium 133 atom, in 9 192 631 770, when expressed in the unitof Hz (hertz), equal to 1/s”. (cid:3) The realization of the second by means of the transitionfrequency of cesium ∆ ν Cs = 9192631770 Hz , (10)implies that the second is equal to the duration of 9 192 631770 periods of the radiation corresponding to the transitionbetween the two hyperfine levels of the unperturbed ground-state of the atom Cs.This materialization of the time standard is an example ofthe provisional character of the experimental realizations ofthe SI units. Standards based on cesium have been aroundsince the 60s of the XX century. We currently have more pre-cise realizations using quantum clocks and a renewal of thesecond using this quantum technology is already planned bythe BIPM before 2030 (see X B). However, the definition oftime will remain unchanged.The metre is then defined with the time and the speed oflight c : metre : “The metre, symbol m , is defined by taking the fixednumerical value of the speed of light in vacuum c as 299 792458 when expressed in the unit ms − , where the second isdefined in terms of the cesium frequency ∆ ν Cs ”. (cid:3) With this definition, a metre is the length of the path trav-eled by the light in vacuum during a time interval with a dura-tion of 1/299 792 458 of a second. This definition is based onsetting the speed of light in vacuum exactly at c = 299792458 ms − . (11)The methods for measuring the speed of light have changedover time, from the initial of Ole R¨omer in 1676, based on thetransit of the moon Io of Jupiter measured by a telescope, tomodern techniques using laser interferometry.Next, the natural thing is to define the unit of mass, the kilo.It turns out that light has also another property that makes itvery useful for defining the kilo: light of a fixed frequency(monochromatic) has a minimum discrete energy called pho-ton whose energy is proportional to their frequency as discov-ered by Planck [12], and then Einstein [16]. That constant ofproportionality is Planck’s h constant. The units of this con-stant are the basic three of what was once called the MKSSystem, precursor of the current SI: metre, kilo and second inthe following proportion, [ h ] = kg m s − . (12)It is important to note that Newton’s universal gravitation con-stant G has also units of the MKS system, although in anotherproportion: [ G ] = kg − m s − . (13)It turns out that h and G are the only fundamental constantswith MKS units. There are other constants associated withfundamental interactions, but do not contain mass but otherelementary charges. However, for G this is not enough todefine the unit of mass with the accuracy that is needed inmetrology. The problem is that the precision with which G is measured is much worse than that of h . The ‘gravitationalkilo’ is not a good practical metrological unit. This fact is theorigin of the ‘quantum way’ for the kilo as we will see. Inshort, we can use h to define the kilo from the second and themetre that are already defined once the value of c is set.Were it not for this lack of precision in measuring G , theconstant h could be decoupled from the kilo and set indepen-dently through the purely quantum effects of Hall and Joseph-son (see X B): h = 4 K J R K = 6 . . . . × − Js . (14)But if this other quantum route were taken, so natural in the-ory, then we would decouple the kilogram from h and it wouldbe linked to an artifact again: we find ourselves forced tochoose the ‘quantum kilo’.Once the path of the ‘quantum kilo’ is chosen, the nextquestion is how to use the Planck constant h to define it. Todo this, we use the prescription from the new SI to use the h units and the second and metre definitions already introducedabove. So, the definition of kilo looks like this: kilo : “The kilogram, symbol kg, is defined by taking the fixednumerical value of the Planck constant, h as . × − , when expressed in unit J s, equal to kg m s − , wherethe metre and the second are defined in terms of c and ∆ ν Cs ”. (cid:3) Or in equations, kg = (cid:16) h , × − (cid:17) m − s = 1 , . . . × h ∆ ν Cs c (15)This definition is equivalent to the exact relationship h = 6 . × − Js . (16)After the definition of the ’quantum kilo’, the problemarises as to how to do it experimentally. The simplest thingat first sight would be to use the fundamental energy relationsof Einstein [17] and Planck [12], respectively: E = mc and E = hν. (17)The basis of the ‘quantum kilo’ is to have a very precisemethod to measure h and then use it to define the kilo. But forthis, the previous fundamental relationships present a prob-lem. The photon, being a quantum of light energy, has nomass. If we want the quantum to have a mass, what is betterdefined is its de Broglie wavelength [18]: E = hcλ . (18)However, measuring a wavelength is easy for a plane wave,which is again more typical of monochromatic radiation. Tohave a real mass m , we need a particle with an associatedwavelength. This corresponds to a mass localized in space,which is more naturally described with a wave packet. How-ever, this one does not have a single wavelength in turn. Thus, using the most basic relations of energy (56) is not the mostmetrologically sensible thing to do.Hence, the quantum way for the kilo is realized throughthe Kibble Balance (see X B). This leads us to an importantquestion: What kind of mass, inertial or gravitational, appearsin the units of h , and therefore in the new definition of kilo?In the case of the photon that has no mass, such a distinctiondoes not exist. When we have a particle with mass, then itwill depend on the mechanical relationship we use to relate itto h , and thus decide wether the kilo we define is inertial orgravitational. For example, if we use Einstein’s relationship,the kilo will be inertial, if we use a balance, then the kilo willbe gravitational. Therefore, the Kibble Balance provides uswith a definition of a quantum gravitational kilo. Now, theEquivalence Principle tells us that both types of mass are equaland is experimentally proven with an accuracy greater than themeasurement of the fundamental constants involved in the SI:an uncertainty of (0 . ± . × − [19]. Thus, we can omitthe gravitational term while the precision of the EquivalencePrinciple is greater than that of the fundamental constants.The description of the ‘quantum kilo’ by means of the Kib-ble Balance belongs to the part of the new SI system corre-sponding to the practical realization of the kilo unit, not to itsdefinition (see X B).To continue defining the other SI units and derive themfrom the previous ones already defined, we turn to the discretenature of matter. Thus, we know that there are atoms (neutral)and electrons (charged). The most elementary charged matter(unconfined) is the electron and with it the ampere is definedusing the second already defined: ampere : “The ampere, symbol A, is defined by taking thefixed numerical value of the elementary charge, e , as: e = 1 . × − C , (19)when expressed in the unit coulomb, C, equal to A s, and thesecond is defined in terms of ∆ ν Cs ”. (cid:3) Consequently, an ampere is the electric current correspond-ing to the flow of / (1 . × − ) elementarycharges per second. The advantage of the new ampere is thatit can be really measured, unlike the old one that had an awfuland impracticable definition that actually left it outside the SIsystem. In addition, it is independent of the kilogram and theuncertainty of the electrical quantities is reduced.To experimentally realize the ampere, several techniqueshave been proposed: a) the most direct is to use the currentdefinition of SI through single electron transport (SET) (seeX B) [3, 4] although it is still under development to make itcompetitive; b) using Ohm’s law and the Hall and Josephsoneffects to define volt and ohm (see X B) [3, 4]; c) the relation-ship between the electric current and the temporal variation ofthe bias voltage in a capacitor [3, 4].As for atoms, historically, they are the elementary units ofsubstance and with them the mole can be defined as the unitof quantity of a certain substance. Behind this definition is thediscrete nature of matter through the atomic hypothesis andthe natural constant associated to it is Avogadro’s (48): mol : “The mole, symbol mol, is the unit of the amount of Figure 3: The first quantum revolution of technologies is based on thediscrete nature of physical quantities, such as energy states in atoms.Photons of the electromagnetic radiation allow us to manipulate thestates of well-defined energy (56). Credit Wikipedia (adapted).. substance. One mole contains exactly . × el-ementary entities”. (cid:3) This value comes from setting the numerical value of theAvogadro constant to N A = 6 . × mol − , (20)in units mol − . As a consequence, the mole is the amount ofsubstance in a system that contains . × spec-ified elementary entities. The amount of substance in a sys-tem is a measure of the number of elementary quantities. Anelementary quantity can be an atom, a molecule, an ion, anelectron, any other particle or a specific group of particles.For the experimental realization of the ampere, several tech-niques have been proposed [3, 4]: a) the Avogadro project (In-ternational Avogadro Coordination), b) gravimetric methods,c) equation of gas, and d) electrolitic methods.We still need the fundamental unit to measure temperature,the kelvin. Following the new SI, we must link it to a funda-mental constant of nature, in this case the Boltzmann constant k . Boltzmann’s constant serves as a conversion factor betweenenergy and temperature: E = kT. (21)We can also see this constant as a result of nature’s discretecharacter. For example, the atomic hypothesis for ideal noblegases allows to calculate their kinetic energy as: E c = 32 kT. (22)The resulting new definition for kelvin as the unit of thermo-dynamic temperature is: kelvin : “The kelvin, symbol K, is defined by taking the fixednumerical value of the Boltzman constant, k, as k = 1 . × − JK − , (23)when it is expressed in units kg m s − K − , where the kilo-gram, metre and second are defined according to h, c and ∆ ν Cs ”. (cid:3) Figure 4: The second quantum revolution of technologies is basedon the principle of superposition of quantum mechanics. The sim-plest case is exemplified by the two-slit experiment [8, 9] where theproperties of a single particle get in superposition. When quantumsuperposition involves several particles, the resulting phenomenon isquantum entanglement, which is the fundamental resource in quan-tum information [29]. Credit: R. Sawant et al. [30]
This definition implies that the kelvin is equal to a thermo-dynamic change in temperature resulting in a change in ther-mal energy kT of . × − J. As a consequence ofthe new definition, the triple point of water ceases to have anexact value and now has an uncertainty given by: T TPW = 273 . K ± . K , (24)as a result of inheriting the uncertainty that the Boltzmannconstant k had before the new definition.Following the guiding principle used so far to introduce thenew definitions of SI units using the discrete nature of energy(56) and matter (48), we can go further on and use the dis-crete nature of information to introduce the Boltzmann con-stant. Thus, another way to substantiate the discrete origin ofBoltzmann’s constant is through the Landauer Principle [20]which establishes that the minimum energy dissipated in theform of heat at a temperature T in the simplest elementarysystem, whether classical (bit) or quantum (qubit), is: E = ln 2 kT. (25)The underlying origin of the Landauer Principle is the irre-versible nature of information deletion or erasure [21, 22] in asystem, which leads to a minimum dissipation of energy [23].Its experimental verification has been possible directly in sev-eral recent works [24–27]. In this way, we have a unified vi-sion of all SI units based on the fundamental property that bothenergy, matter and information possess: their discrete naturein our universe.Several techniques have been proposed for the experimentalrealization of the kelvin [3, 4]: a) by acoustic gas thermom-etry, b) radiometric spectral band thermometry, c) polarizinggas thermometry and d) Johnson noise thermometry.The seventh base SI unit used to measure the light efficiencyof a source deserves a special comment. It is a measure of thegoodness of a light source when its visible light is perceivedby the human eye. It is clearly conventional and subjective.Average values of human eye behavior are used. It is quanti-fied by the ratio of the luminous flux to the power, measured Figure 5: Diagram of a LIGO type gravitational wave detector. Thetwo perpendicular arms of four km each are shown. The gravitationalwaves caused by the collision of two black holes can be detectedin the interference pattern thanks to the extreme sensitivity of thedevice that allows ressolving distances thousands of times smallerthan the atomic nucleus. (Credit Johan Jarnestad/The Royal SwedishAcademy of Sciences [35]). in lumens (lm) per watt in the SI. There is no universal law ofphysics associated with this unit, for the light source does nothave to be in thermodynamic equilibrium. The basic conceptfor the candle is maintained in the new SI: candela : “The candela, symbol cd, is the SI unit of luminousintensity in a given direction. It is defined by taking the fixednumerical value of the luminous efficacy of monochromaticfrequency radiation × Hz, K c d , to be 683 when ex-pressed in the unit lm W − , which is equal to cd sr W − , orcd sr kg − m − s , where the kilogram, metre and second aredefined in terms of h, c and ∆ ν Cs ”. (cid:3) This definition is based on taking the exact value for theconstant K cd = 683 cd sr kg − m − s , (26)for monochromatic radiation of frequency ν = 540 × Hz.As a consequence, a candela is the light intensity, in a givendirection, of a source that emits monochromatic radiation offrequency ν = 540 × Hz and has a radiating intensity inthat direction of (1/683) W/sr.For the experimental realization of the candela, severaltechniques have been proposed [3, 4] such as the practicalrealization of radiometric units, using two types of primarymethods: those based on standard detectors such as the elec-trical replacement radiometer and photodiodes of predictablequantum efficiency, and those based on standard sources suchas Planck’s radiator and synchrotron radiation. In practice, astandard lamp with optimized design is more commonly usedto emit in a defined direction and at a long distance from thedetector.
Figure 6: Value differences for the Hubble constant H measuredwith the Planck 2018 satellite in the early universe and extrapolatedwith the standard cosmological model (blue) [41], and local mea-surements made with the cepheid and supernova distance ladders.(Credit Riess et al. [43]). B. Quantum Metrology and the New SI
The foundation of the laws of quantum mechanics in thefirst quarter of the twentieth century allowed us to understandnature on an atomic scale. As a result of that better under-standing of the atomic world, applications emerged in theform of new quantum technologies. This first period is knownas the first quantum revolution and has produced technolo-gies as innovative as the transistor and the laser. Even today’sclassic computers are a consequence of these first-generationquantum advances. With the beginning of the 21st century, weare seeing the emergence of new, second-generation quantumtechnologies [28] that constitute what is known as the secondquantum revolution. Both revolutions are based on exploitingspecific aspects of the laws of quantum mechanics. Thus, wecan classify these technological revolutions into two groups:
First Quantum Revolution : It is based on the discrete char-acter of the quantum world’s properties: energy quanta (suchas photons), angular momentum quanta, etc. This discrete na-ture of physical quantities is the first thing that surprises inquantum physics. (see Fig.20). (cid:3)
Second Quantum Revolution : It is based on the superposi-tion principle of quantum states. With it, information can bestored and processed as a result of its quantum entanglementproperties (see Fig.21). (cid:3)
In the second quantum revolution, five working areas havebeen identified that will lead to new technological develop-ments. Enumerating them from least to greatest complexity
Figure 7: Above: Overview of a trapped-ions quantum clock devel-oped by Rainer Blatt’s group in the University of Innsbruck labora-tory. It is a compact prototype that fits into a small functional spaceand is marketed by the company Alpine Quantum Technologies [47].Below: detail of the central part of the clock showing the trap, whereions are confined using electromagnetic fields. (Credit: Rainer BlattLab). are: quantum metrology, quantum sensors, quantum cryptog-raphy, quantum simulation and quantum computers.Quantum metrology is considered one of the quantum tech-nologies with most immediate development. It is the part ofmetrology that deals with how to perform measurements ofphysical parameters with high resolution and sensitivity usingquantum mechanics, especially exploiting their entanglementproperties. A fundamental question in quantum metrology ishow accuracy scales when measured in terms of the variance ∆ m , used to estimate a physical parameter, with the numberof particles used N or repetitions of the experiment. It turnsout that the classical interferometers for light, electrons etc.cannot overcome the so-called shot-noise limit [31–33] givenby ∆ m ≥ √ N , (27)whereas with second-generation quantum metrology it is pos-sible to reach the Heisenberg limit given by ∆ m ≥ N . (28)An example of a very important application of quantummetrology to basic research is the detection of gravitationalwaves by experiments such as LIGO (Laser InterferometerGravitational-Wave Observatory) [34] (see Fig.22) , where you need to measure distances between separate masses ofthe order of a few kilometers with a very high precision (thou-sandth of the diameter of a proton). These variations in dis-tance occur in the lengths of the interferometer arms whena gravitational wave passes through them. Using ‘squeezedlight’, a form of quantum optics [36], the sensitivity of inter-ferometers can be improved according to the quantum limit(67) [37–39].The LIGO-type experiment measures may have another ba-sic application to try to elucidate the controversy that hasrecently arisen with the Hubble constant H . In the stan-dard cosmological model denoted by Λ CDM ( Λ =dark energy,CDM=cold dark matter) H measures the speed with whichthe universe is currently expanding according to Hubble’s law.It is a parameter of capital importance in cosmology. Thereare two sources of measures that give discrepant values. Onthe one hand, the value provided by the Planck satellite in2018 by analyzing the microwave radiation background of theearly universe and extrapolating the Hubble parameter to itscurrent value with the standard model Λ CDM gives a value of H = 67 . ± . kilometers per second and per megaparsecdistance [41]. On the other hand, measurements made in thecurrent universe using distance ladders based on cepheids andtype 1a supernovae result in H = 74 . ± . kms − Mpc − [42]. This discrepancy implies a statistical confidence of 4.4sigma (standard deviations), very close to the 5 sigma bar-rier that is considered as clear evidence that they are differ-ent results. If that were the case, it would amount to newphysics that the standard model has not taken into account (seeFig.23). In addition, to increase the controversy, there is alsoa measure of the current universe with another distance ladderthat yields an intermediate value between the two discrepants, H = 69 . kms − Mpc − [44]. All measurements made withthe current universe give values above the values obtainedwith the early universe and the standard model. Then, eitherthere are systematic errors, or it may be the indication of newphysics beyond the current cosmological model, such as theexistence of dynamic dark energy, to name just one possibleexample [43].LIGO experiments can be very useful in the future to elu-cidate this controversy, one more, about the Hubble constant.This time, it is not about analyzing black hole collisions as inthe original discovery of gravitational waves, but about binaryneutron star collisions. It turns out that when two neutron starsmerge, the resulting gravitational waves can be used to ob-tain information about the position of the stars, and hence thegalaxies where they are found. By making statistics of at least50 events of these collisions one could have a direct measureof the Hubble constant with an accuracy not achieved to dateand resolve the dispute [45]. And recent results improve theseexpectations. It has already been possible to detect a neu-tron star fusion event useful to estimate the Hubble constant,whose resulting value is precisely H = 70 kms − Mpc − with an uncertainty of the order of ∼ [46]. It is estimatedthat with 15 events the error can be reduced to 1% and beginto resolve the discrepancy.Let us look now at three important examples of applica-tions of quantum metrology to the new SI, both from quantum0 Figure 8: Comparison of the recent temporal evolution of uncer-tainties in cesium atomic (microwave) clocks and quantum (optical)clocks: trapped ions and neutral atoms in optical networks. Thereis clearly a change in trend with a gain of accuracy in quantumclocks. (Credit: Reproduced with kind permission of Societ`a Ital-iana di Fisica from N. Poli et al. [40]). technologies of first and second revolution.
1. Quantum Clocks
The basic mechanism of a clock consists of a system withvery stable periodic oscillations where each period defines theunit of time such that the clock counting those periods, mea-sures time. In the past, natural periodic movements such asthat of the Earth around its axis or around the sun have beenused, as well as mechanical oscillators such as pendulums orquartz crystal resonators. In the 60s of the last century, atomicoscillations began to be used to measure time using cesiumatoms for their greater accuracy and stability than mechanicalsystems. The current reference to define the time standard iscesium 133 using the resonance frequency corresponding tothe energy difference between the two hyperfine levels of itsfundamental state (see X A). Cesium atomic clocks can typi-cally measure time with an accuracy of one second in 30 mil-lion years. In general, the accuracy and stability of an atomicclock is greater the higher the frequency of the atomic transi-tion and the smaller the width of the electronic transition line.If we make the frequency of the oscillator bigger we can in-crease the resolution of the clock by reducing the period weuse as a reference.Atomic clocks have allowed us to improve multiple tech-nological developments that we are used to in our daily lives:controlling the frequency of television broadcasting waves,global satellite navigation systems such as GPS, financialtransactions, internet, mobile phones etc. .The new quantum clocks are a type of atomic clocks wherethe increase in accuracy is due to using atomic transition fre-quencies in the optical range instead of the microwaves usedby cesium clocks. Optical frequencies of visible light are
Figure 9: Kibble NIST-4 balance used to measure the Planck con-stant h with an uncertainty of 13 parts in one billion in 2017, con-tributing to the redefinition of the kilogram as a unit of mass in thenew SI in 2019. (Credit NIST). about five orders of magnitude greater than microwaves. Inorder to make this leap, it was necessary to use ion traps (seeFig.24) with quantum logic techniques used in quantum com-puting [48, 49], a part of the second revolution quantum tech-nologies [50–52]. Quantum clocks achieve an uncertainty ofonly one part in s, which is equivalent to an error of a sec-ond in a quantum clock that would have begun ticking 13.7billion years ago, what represents the whole age of the uni-verse. An ion clock is an instance of quantum clock, which isbased on quantum logic and is an example of cooperation be-tween two ions where each provides complementary function-alities. For example, the aluminum ion Al + has a transitionfrequency in the optical range that is useful for the clock ref-erence frequency. However, its atomic level structure makesit a bad candidate to cool it down to the temperatures neces-sary for stabilization. Instead, this is possible with a berylliumion Be + . Using quantum computing protocols, informationon the internal state of the spectroscopic ion Al + , after prob-ing its transition with a laser, can be faithfully transferred tothe logical ion Be + , where this information can be detectedwith almost 100% efficiency [53]. Each ion species providesa different functionality, the reference frequency or the cool-ing method, and the quantum entanglement between the statesof both ions allows them to function as a quantum clock alto-1 Figure 10: Kibble balance operating in weighing mode. Explana-tions in the text. (Credit Robinson-Schlamminger [63]). gether.Current quantum clocks use either a) one or two trappedions, or b) ultra-cold atoms confined in electromagnetic fieldsin the form of optical lattices.Each of these realizations has pros and cons. Ion clockshave a very high accuracy for they can confine the ion by cool-ing it down in a trap so that we get very close to the ideal ofan isolated system from external disturbances. However, byusing only one ion for the absorption signal, less stability isachieved as the ratio of the signal to external noise gets re-duced. On the contrary, clocks of atoms in optical lattices canwork with a large number of atoms achieving greater stabilityand a better signal-to-noise ratio.Different teams working with both options are developingtechniques to get better and better performances. The mostrecent record with trapped ions has an uncertainty of . × − s [54]. Quantum clocks in optical lattices also achieve − s accuracy. There is still time to decide which of thetwo alternatives will be chosen to realize a new revision ofthe second, or whether both of them are complementary (seeFig.25).The improvements in time measurement provided by quan-tum clocks also have important applications. The technologi-cal applications are similar to those mentioned above and it isof great interest to be able to send one of these quantum clocksin space missions and to improve navigation systems. Anotherapplication is the high precision measurement of the gravita-tional field for, according to Einstein’s general relativity, thereis a time dilation due to gravitational effects in addition to thespeedup due to velocity. With a quantum clock you can distin-guish gravitational fields only 30 cm high [55], and even less.These measures will allow to better define the heights abovesea level, since this is not measured in the same way in differ-ent parts of the world and is crucial to know the activity of theoceans. Similarly, these quantum devices can be applied togeodesy, hydrology and telescope network synchronization.Basic research is one of the first fundamental applicationsof them. Comparing the operation of several quantum clocks Figure 11: Kibble balance operating in moving mode. Explanationsin the text. (Credit: Robinson-Schlamminger [63]). over time we can discover if any of the fundamental con-stants of physics changes with time, which is essential to findnew physics and to define the base units according to the newSI (see X A). Examples of fundamental constants that can beprobed for their temporal dependence are the electromagneticfine structure constant α (40) and the ratio of the proton to theelectron mass µ := m p /m e . In the past there has been con-troversy over possible temporal variations of α and µ detectedby measures of atomic transitions in distant quasars comparedto current measurements in the laboratory [56, 57]. It so hap-pens that all atomic transitions functionally depend on α andalso hyperfine transitions depend significantly on the µ ratio.It turns out that quantum clocks allow to improve the levelsof variation of these fundamental constants. With these exper-iments, the ratio of optical frequencies between ions of Al + and Hg + can be measured providing a bound to the time vari-ation for α of − . ± . × − per year, and with the yter-bium ion Yb + a bound for µ of . ± . × − per year,which are better by a factor of ten than the astrophysical mea-surements [58, 59]. These negative results for the temporalvariation of the fundamental constants serve as justificationfor the new SI unit system and its universality regardless ofspace and time, at least as long as the experiments continue toconfirm such results.
2. Kibble Balance
The Kibble balance is the current experimental realizationof the unit of mass through the quantum way in the new SI[60–63]. In this way, we are fulfilling the new methodology ofseparating unit definitions from their practical materialization(see VIII). Whereas the definition of the new kilo linked tothe Planck constant has already been explained in X A, wewill now see how to realize it in the laboratory with currenttechnology.The realization of the ‘quantum kilo’ consists of two dis-2
Figure 12: An example of an integer quantum Hall effect deviceused by NIST to measure resistances. This Hall bar uses graphenecomponents that are outlined by white lines. The source and drainof electrons are at the left and right ends of the bar. The electricalcontacts above and below the bar are not shown. (Credit NIST). tinct parts: a) the Kibble balance and b) the quantum determi-nation of the electric power. The Kibble balance (see Fig.26)aims to establish the equivalence of a mechanical power intoelectrical power. This is then related to Planck’s constantthrough metrology procedures of the first quantum revolution:integer quantum Hall and Josephson effects.Let us start with the Kibble balance. We present a simpli-fied discussion, but sufficient to understand its foundations. Itlooks like an ordinary balance in which it also has two arms,but while in the ordinary balance two masses are compared,one standard and another unknown, in Kibble’s we comparegravitational mechanical forces with electromagnetic forces.Its functioning consists of two operating modes: i/ WeighingMode and ii/ Moving Mode.
Weighing Mode : A test mass m is available in one of thearms, which could be for example the IPK standard. On theother plate, a circuit of electric coils is mounted where a cur-rent I is passed through (see Fig.27). The circuit is suspendedin a very strong magnetic field created by magnets with a sta-tionary and permanent field B . The length of the circuit is L . Then, the current induces an electromagnetic field that in-teracts with the constant magnetic field of the magnet. Theresulting vertical electromagnetic force is equal to the weightof the test mass, BLI = mg. (29)During this operating mode, the intensity of direct electric cur-rent is measured very accurately by appropriate instruments(integer quantum Hall effect), and it is proportional to the ver-tical force. The current is adjusted so that the resulting forceequals the weight of the test mass. (cid:3) Moving Mode : This is a calibration mode that is necessary asthe quantity BL is very difficult to measure accurately. Were Figure 13: Close-up view of a modern Josephson junction used inNIST. Josephson’s junctions are built in green circular wells wherethe two superconducting layers overlap. See explanation in text.(Credit: M. Malnou/NIST/JILA). it not for this, the weighing mode would suffice. An electricmotor is used to move the wire circuit vertically through theexternal magnetic field at a constant speed v (see Fig.28). Thismovement induces a voltage V in the circuit whose origin isalso a Lorentz force and is given by, BLv = V. (30)During this operating mode, the voltage is measured very ac-curately by appropriate instruments (Josephson effect), andtherefore the magnetic field that is proportional. Laser sensorsare also used to monitor the vertical movement of the electri-cal circuit by interferometry. With this, variations of the orderof the laser’s semi-wavelength used can be detected. In all,it is ensured that the vertical movement happens at constantspeed and the constant magnetic field can be measured. (cid:3) The result of comparing the weighing mode with the mov-ing mode, eliminating the quantity BL , is the equivalence be-tween mechanical and electrical powers: mgv = IV. (31)Although it is usual to call the Kibble balance as a poweror watt balance, however, note that the Kibble balance doesnot measure real, but virtual, powers. This point is of crucialimportance in metrology: were the mechanical power reallymeasured, then the device would be subject to uncontrollablefriction losses; otherwise, if the electrical power were mea-sured directly, then it would be subject to heat dissipation. Wesee that the moving mode is essential and provides adequatecalibration.It turns out that experimentally it is more accurate to mea-sure resistance than current intensities. Using Ohm’s law, wecan obtain the mass on the Kibble balance based on resistance3
Figure 14: Example of a single-electron transport device (SET) usedin the NIST for the definition of the ampere. The interaction betweenthe blue and green electrodes (gates) controls the movement of indi-vidual electrons in and out of an “island” in the center. Explanationsin the text. The colors are illustrative only. (Credit NIST). and voltage measurements: m = V R VgvR , (32)where V R and V are the two necessary voltage measurements.In the second part of the experimental realization of the‘quantum kilo’ we need to relate the electrical power in (70)to the Planck constant h . This is done through the measure-ment of the electric intensity I in the weighing mode and thevoltage V in the moving mode of the Kibble balance. For this,the following quantum effects are used. Integer Quantum Hall Effect : a two-dimensional samplecontains electrons constrained to move in that plane subjectto a longitudinally aligned coplanar electric field and a veryintense constant magnetic field B applied perpendicularly tothe sample (see Fig.29). In addition, the electronic sample iscooled down to temperatures nearby the absolute zero. Then,the system departs from the classical Ohm’s law and entersinto a quantum regime. As in the classic case, a transverseelectric current appears that induces a transverse voltage biascalled Hall voltage V H . The electron system enters a newquantum behavior characterized by the appearance of jumpsand plateaus in the relationship between the transverse currentand the magnetic field [64]. In particular, the Hall resistance R H associated to that Hall potential is quantized R H = 1 n (cid:48) he , (33)where n (cid:48) is an integer, giving rise to those plateaus appearingin the curves of the Hall resistivity. The von Klitzing constant R K is defined as R K := he , (34)which has dimensions of resistance and is the elementary re-sistance. The integer quantum Hall effect allows resistance Figure 15: Quantum metrological triangle: schematic relationshipbetween the universal constants of the Hall effect (73), Josephson ef-fect (75) and the charge of the electron in a SET device. The triangleestablishes a constraint between them and the Planck constant h andthe elementary charge e . (Credit: Piquemal et al. [67]). to be measured with an uncertainty of a few parts in − ohms. For this reason it is used to perform the resistance stan-dard [1–3]. (cid:3) Josephson Effect : when a superconducting wire is inter-rupted at a point with a contact made of insulating materialthat joins two superconducting portions, the superconductingcurrent can be maintained due to a tunnel effect of the super-conducting Cooper pairs. This is known as a Josephson junc-tion (see Fig.30). Under these circumstances, if a radiofre-quency radiation ν is applied, a potential V is induced throughthe junction that is proportional to the frequency and is quan-tized [65, 66]: V J = n h e ν, (35)where n is an integer, e is the Cooper pair charge and theJosephson constant is defined as K J := 2 eh . (36)This is the so-called Josephson DC effect and Josephsonjunctions can be made with metallic points or with constric-tions, in addition to insulators. It allows measuring voltageswith an uncertainty of − , − volts, that is, of the order ofnano volts or less. For this reason it is used for the realizationof the voltage standard [1–3]. (cid:3) Now we can relate the test mass (71) that is used in theweighing mode with the Planck constant that appears whenmeasuring the resistance, also in the weighing mode, and thevoltage in the moving mode. Using the integer quantum Halleffect (72) to measure the resistance and the Josepshon effect(74) to measure the voltages V R and V , we obtain the desiredrelationship m = (cid:18) n (cid:48) n n ν ν gv (cid:19) h, (37)4where the integer numbers that appear come from the con-crete measurements of the corresponding quantum effects(72), (74). To measure g a high precision absolute gravime-ter is used and v with interferometric methods. With all thesehigh precision measures, the expression (76) has a dual utility:on the one hand, given a standard mass m like that of the oldIPK, we can determine h with great precision. On the otherhand, since h can be measured with this method with greatprecision, we can set this value of h as exact and define theunit of mass based on h : this way we can carry out the ‘quan-tum kilo’ route and detach the mass unit from the kilo IPKartifact.
3. Quantum Metrology Triangle
The new definition of the ampere linked to the value of theelectron elementary charge e stands out for its clarity and sim-plicity compared to the old definition based on the Ampere’slaw and an unrealizable construction using infinite and null-thick conductor wires [4]. However, it also entails the need tomaterialize it in some way, and it is not easy for the number ofelectrons in an ordinary system is immensely large. The BIPMhas approved three methods for the practical realization of theampere [2–4]. One of them uses the direct definition of am-pere A = C/s and a single-electron transport device (SET),which has to be cooled to temperatures close to absolute zero(see Fig.31). Through a SET, electrons pass from a source toa drain. A SET consists of a region made of silicon, called anisland, between two gates that serve to electrically manipulatethe current. The island temporarily stores the electrons com-ing from the source using another voltage gate. By controllingthe voltages at the two gates, you can get a single electron toremain on the island before moving to the drain. Repeatingthis process many times and very quickly, it is possible to es-tablish a current from which its electrons can be counted.The electrical sector is the most quantum of them all withinthe SI system of units. Now that the ampere has been rede-fined in the new SI by linking it to a fixed value of the elec-tron charge, it is possible to relate the three magnitudes thatappear in Ohm’s law, V = IR , in terms of only two uni-versal constants, h and e . This is visualized by the so-calledquantum metrological triangle (see Fig.32). This triangle rep-resents an experimental constraint that the voltage, resistanceand intensity standards must fulfil, so that the three are notindependent. Thus, if we measure Josephson’s constant (75)on the one hand and von Klitzing’s on the other (73), they al-low us to obtain values for the unit of charge e of the electronthat must be compatible, within experimental uncertainties,with the value of e obtained with a single-electron transport.And the same goes for any pair of magnitudes that we takein the triangle. Therefore, the quantum metrological triangleallows us to test experimentally, as better accuracy and pre-cision are achieved, whether the constants h and e are reallyconstants as assumed in the new SI. The uncertainties in theseconstants must be compatible using these three experimentalrealizations. If at some point these uncertainties do not over-lap, then this is an indication of new physics as it would affect the very foundations of quantum mechanics or quantum elec-trodynamics as explained in section IX. Again, this is an ex-ample of how the Metrology not only serves to maintain unitstandards, but to open up new paths to new fundamental lawsof nature. V. A ‘GRAVITATIONAL ANOMALY’ IN THE SI
Despite the fact that the new system of SI units amounts to acomplete linking from the base units to fundamental constantsof nature, it is still striking the absence of one of the oldestuniversal constants of Physics: Newton’s universal gravitationconstant G (see Fig.33), colloquially called big G , as opposedto the small g representing local acceleration of gravity at apoint on Earth.The main reason to exclude G from the new SI system ofunits is the lack of precision enough to define a unit of mass.As explained in X A, this is the origin of the ‘quantum way’for the definition of the kilo when you want to detach it from amaterial artifact such as the cylinder of the kilo IPK. This factis related to the so-called ‘Newton’s Big G Problem’ [68–71].This problem is the lack of compatibility of the G measuresin the last thirty years. Various metrology laboratories aroundthe world have tried to measure G with experimental devicesdesigned to reduce uncertainty in the value of G . The resultis surprising: G values do not converge to a consistent singlevalue and their uncertainties do not overlap in a compatibleway. This can be seen in Fig.34, which shows the results ofmultiple experiments and a vertical zone where a G commit-ment value is chosen. The situation has become desperate andthe NSF (National Science Foundation) has launched a globalinitiative trying to clarify the problem [72].A fundamental question then arises: what is the origin ofNewton’s big G problem? The most natural solution is thatit is due to possible systematic errors in the experiments. Fa-voring this interpretation is the fact that, despite the increasingsophistication trying to measure G more accurately, all the ex-perimental methods used are variants of the famous Cavendishbalance [73, 74]. However, in Fig.34 there appears a value[75] whose experimental method is completely different fromthe methods based on the Cavendish balance. It is a quantummethod of measuring G . Their device uses a technique basedon atomic interferometry with ultra-cold atoms. With it, thequantum nature of atoms is used at temperatures close to ab-solute zero, to obtain an accurate measure of the accelerationof gravity.The Cold Atoms in Gravity (CAG) method consists of 2steps: Step 1: measure of the constant small g : value of thelocal terrestrial gravity. Step 2: measure of the constant big G .The technique consists of turning cold atoms vertically, upand down, repeatedly. This serves to probe Earth’s gravitywith a cloud of rubidium atoms Rb in free fall. With this pro-cedure it is possible to measure the force of gravity betweenan atom of Rb and a reference mass of 516 kg. The result is ameasure of G with a relative uncertainty of . . Remark-ably, it is the first time that a quantum method is admitted to5 Figure 16: The scheme with the dependencies of the natural con-stants and the base units of the new SI in Fig.19 presents a notableabsence: the constant G of Newton’s universal gravitation. The trian-gle encompasses the excluded G with the units on which it depends(52) that are the same as Planck’s constant h (51), but in anotherproportion. Credit: Emilio Pisanty/Wikipedia (adapted). be part of the set of values used to determine G .This gravitational anomaly is still a reflection of the bigproblem that affects modern physics: the lack of compatibil-ity between the two great theories of our time, quantum me-chanics and general relativity. An important observation (seeConclusions) is that the CAG method is an indirect measure-ment method for Newton’s big G : it is done by first measur-ing small g . This contrasts with the classic methods based onthe Cavendish balance where G can be measured directly. Adirect quantum measure of G would be a first experimentalindication of quantum effects on gravity and a first step for aquantum gravity theory. As seen in Fig.34, the CAG value isstill outside the shaded vertical zone of the most recent rec-ommended value for G . This may be indicative that the CAGmethod does not suffer from possible systematic errors as inthe classical methods of measurement of G and could be thebeginning for the solution of Newton’s big G problem. Theway to confirm this hypothesis is to encourage more CAG ex-periments in more independent laboratories and use quantummetrology techniques to reduce their uncertainties. If the re-sult of all these new classical and quantum experiments werethat there are no systematic errors, then the conclusion wouldbe even more exciting as it would be again a door opened bymetrology to new physics.Direct methods to measure G are not known. In fact, thereare few physics equations where G and h appear together. Oneof them can help us to see the difficulties of getting a directquantum method to measure G . This is the equation of theChandrasekhar limit for the radius of a white dwarf star. Ifwe thought naively of producing a gravitational condensate ofnucleons (fermions) that were the result of compensating thegravitational pressure of N nucleons of mass M with the de-generation pressure due to the Pauli exclusion principle, using Figure 17: Comparative diagram of the measurements of the constant G over time using classical methods based on variants of the torsionbalance, except that of Rossi et al. [75] using the Cold Atoms inGravity (CAG) method. (Credit: NIST [68]). non-relativistic quantum mechanics and Newtonian gravita-tion to simplify, we get [76] a value of the equilibrium radiusgiven by R = (cid:18) π (cid:19) / (cid:126) q / GmM N / , (38)where N is the number of nucleons and q the number of elec-trons per nucleon with mass m . It has been assumed that thedensity of the spherical condensate is uniform. To make asimple estimate, consider a system of only neutrons ( q = 1 , m = M n mass of the neutron), and substituting the knownexperimental values, we obtain R = 5 . × N − / m . (39)If we want to have a fermion system condensed in a spherewith a radius of the order of one meter to be manageable in aterrestrial laboratory, we can estimate the number of necessaryneutrons obtained with (78) as something of the order of N ∼ , an intractable amount if we take into account that thenumber of atoms in the observable universe is of the order of . This difficulty is a reflection of the disparity of scaleswhere gravity acts against quantum effects. VI. CONCLUSIONS
The adoption of the new SI system of units brings severalconcrete advantages over the previous system: it solves theampere problem and the electrical units that had been left outof the SI, it eliminates the dependence of the kilo with theartifact of the kilo IPK, conceptually it is more satisfactory todefine them in terms of natural constants, future technologicalimprovements will no longer affect the definitions etc.6The new SI of units has no direct impact on our daily life,but it does in research laboratories and in national metrologycenters where they need measures of great accuracy and pre-cision to conduct these investigations and to guard and dis-seminate the primary unit standards. As usual, in the long runthese new discoveries result in applications that do modify ourdaily life for the better.Therefore, it is a great conceptual challenge to explain andconvey what it entails and is behind the new system of units.In section X A a common view of all the new definitions hasbeen presented using as an unifying principle the discrete na-ture of energy, matter and information in the fundamentallaws of Physics and Chemistry to which each base unit islinked. Interestingly, the only thing that remains non-discreteis spacetime. An advantage of the new SI is that it facilitatesthe explanation of the new definitions as it does not need to ex-plain the measuring devices necessary to perform these units.Metrology has a double mission: 1) To maintain the unitstandards and their definitions compatible with the currentlaws of physics. 2) To measure with increasing accuracy andprecision in order to open new doors to discover new laws ofphysics.As for its more traditional mission 1), the adoption of thenew SI allows to get rid of a material device to define the kilo,which was a long sought-after goal. With this, it is possible tomaterialize primary standards of the base units in different na-tional metrology centers for the first time. In particular, quan-tum metrology will drastically change the dissemination andtraceability of units by ensuring that they can be materializedautonomously without the need for a single stored standard.It is interesting to note that in the course of the construc-tion of the new SI the three most famous balances of physicshave appeared: Cavendish [73, 74], E¨otv¨os [19] and Kibble[63]. As well as the seminal papers of Einstein in his annusmirabilis c, h and e , as they are associated with sym-metry principles of the universe, such as the principle of rel-ativity, unitarity and gauge symmetry. The other two are theBotzmann constant k and the Avogadro constant N A , neitherof which has an associated symmetry.Now that the physical units are defined by the fundamentalphysics of the universe, and not by a human construct usingartifacts, then as for the fundamental constants of the universe:Are they a machination of something? Why do they take thosevalues? And until when? We have thus reached the most fun-damental questions of physics. That is why metrology reallygoes beyond maintaining measurement standards. Acknowledgments
These notes are the result of several lectures given during2017, 2018 and 2019. I would like to thank the organizersJos´e Manuel Bernab´e and Jos´e ´Angel Robles from CentroEspa˜nol de Metrolog´ıa (CEM) for their kind invitation to the o Congreso Espa˜nol de Metrolog´ıa (2017), to o SeminarioIntercongresos de Metrolog´ıa (2018) and the Congreso del 30Aniversario del CEM (2019); to Alberto Galindo and ArturoRomero from Real Academia de Ciencias Exactas, F´ısicas yNaturales de Espa˜na for their kind invitation to Ciclo Cienciapara Todos (2018) and Jornada sobre “La revisi´on del Sis-tema Internacional de Unidades, (SI). Un gran paso para laciencia” (2019); to Federico Finkel and Piergiulio Tempestafor their kind invitation to the homage of Artemio Gonz´alezL´opez on the occasion of his 60th anniversary. M.A.M.-D. ac-knowledges financial support from the Spanish MINECO, FIS2017-91460-EXP, PGC2018-099169-B-I00 FIS-2018 and theCAM research consortium QUITEMAD+, Grant S2018-TCS-4243. The research of M.A.M.-D. has been supported in partby the U.S. Army Research Office through Grant No. W911NF- 14-1-0103. https://physics.nist.gov/cuu/pdf/wall_2018.pdf [6] D B Newell1, F Cabiati, J Fischer, K Fujii, S G Karshenboim,H S Margolis, E de Mirand´es, P J Mohr, F Nez, K Pachucki, T J Quinn, B N Taylor, M Wang, B M Wood and Z Zhang; “TheCODATA 2017 values of h, e, k, and N A for the revision of theSI”. Metrologia, Volume 55, Number 1, (2018).[7] A. Einstein; “Zur Elektrodynamik bewegter K¨oper” [On theElectrodynamics of Moving Bodies]. Annalen der Physik (inGerman). 17 (10): 891-921, (1905).[8] Richard P. Feynman; “Six Easy Pieces”. Perseus, New York2011.[9] Robert P Crease; “The most beautiful experiment”; PhysicsWorld, Volume 15, Number 9, p.15 (2002).[10] Steven Weinberg; “Precision Tests of Quantum Mechanics”.Phys. Rev. Lett. 62, 485 (1989).[11] J. J. Bollinger, D. J. Heinzen, W. M. Itano, S. L. Gilbert, andD. J. Wineland; “Test of the linearity of quantum mechanics byrf spectroscopy of the 9Be+ ground state” Phys. Rev. Lett. 63,1031, (1989).[12] M. Planck; “ ¨Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Nor-malspectrum” [On the law of the distribution of energy in thenormal spectrum]. Annalen der Physik. 4th series (in German). https://qt.eu/app/uploads/2018/04/93056_Quantum-Manifesto_WEB.pdf + Quantum-Logic Clock with a Systematic Uncertainty be-low − . Phys. Rev. Lett. 123, 033201, (2019).[55] C.W. Chou, D.B. Hume, T. Rosenband and D.J. Wineland, Sci-ence 329, 1630 (2010).[56] J. K. Webb, J. A. King, M. T. Murphy, V. V. Flambaum, R.F. Carswell, and M. B. Bainbridge, “Indications of a SpatialVariation of the Fine Structure Constant”; Phys. Rev. Lett. 107,191101 (2011).[57] J. Bagdonaite, P. Jansen, C. Henkel, H. L. Bethlem, K. M.Menten, and W. Ubachs, “A Stringent Limit on a DriftingProton-to-Electron Mass Ratio from Alcohol in the Early Uni-verse”; Science 339, 46 (2012) .[58] N. Huntemann, B. Lipphardt, Chr. Tamm, V. Gerginov, S. Wey-ers, and E. Peik, “Improved Limit on a Temporal Variation ofmp/me from Comparisons of Yb + o R115. o Congreso Espa˜nol de Metrologia. San Fernando de Cadiz.(2017).[72] National Science Foundation. “Ideas Lab: Mea-suring ‘Big G’ Challenge”. Available online:https://nsf.gov/pubs/2015/nsf15591/nsf15591.htm[73] A. Moreno; “
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El d´ıa 20 de mayo de 2019 coincidiendo con el D´ıa Mundialde la Metrolog´ıa ha entrado en vigor el nuevo sistema inter-nacional (SI) de unidades que fue aprobado en la asambleade la 26 Conferencia General de Pesos y Medidas (CGPM)reunida en Versalles del 13 al 16 de noviembre de 2018 [1].Esto es un logro hist´orico. Supone la culminaci´on de muchosesfuerzos durante muchos a˜nos de trabajo conjunto entre loscentros nacionales de metrolog´ıa de los estados miembros yel BIPM (Bureau International des Poids et Mesures), dandoun magn´ıfico ejemplo de colaboraci´on internacional.La CGPM aprob´o revisar en 2018 cuatro de las unidadesb´asicas (el kilogramo, el amperio, el kelvin y el mol). De estaforma, la totalidad de las unidades b´asicas de medida quedanvinculadas a constantes f´ısicas en vez de a referencias arbi-trarias. Esto supone la jubilaci´on del famoso patr´on de masa,el kilo IPK [1–3], que era el ´unico patr´on ligado a un arte-facto material que quedaba. Ahora todas las unidades b´asicasquedan asociadas a reglas de la naturaleza para crear nuestrasreglas de medida [1]. Lo que subyace a todas estas redefini-ciones el la posibilidad de realizar medidas a escalas at´omicasy cu´anticas para realizar las unidades a escala macrosc´opica.Aunque la eliminaci´on de artefactos para definir lasunidades b´asicas sirve para garantizar mejor su estabilidad yuniversalidad, sin embargo el nuevo sistema trae consigo elenorme desaf´ıo de explicar su funcionamiento a la sociedaden general, y a los centros educativos. Los artefactos son tan-gibles (ver Fig.18), mientras que el conocimiento de las leyesfundamentales de la naturaleza f´ısica y qu´ımica dista muchode ser de amplio dominio p´ublico. En este sentido, en X A sepresenta un tratamiento unificado de todas las definiciones delas unidades SI usando como marco com´un la discretizaci´onde la energ´ıa, la materia y la informaci´on que es el ingredientefundamental de las leyes de la F´ısica y la Qu´ımica a las queaparecen vinculadas las nuevas unidades SI. Estas notas sur-gen de varias conferencias de divulgaci´on con el fin explicarla relaci´on de las constantes fundamentales con las nuevasdefiniciones de la unidades.Al introducir las constantes de la naturaleza en la secci´onIX se ha resaltado un rasgo diferenciador entre las cinco con-stantes universales asociadas a leyes fundamentales de la nat-uraleza. Mientras que h, c y e est´an asociadas a principios desimetr´ıa, no es el caso de las constantes de Botzmann k y deAvogadro N A .Se presentan todas las nuevas definiciones de las unidadesb´asicas, sin embargo no se hace una presentaci´on exhaustivade todas sus realizaciones experimentales por ser demasiadot´ecnico para la intenci´on de estas notas. Existe documentaci´onm´as detallada [2–4]. Excepci´on aparte merece el caso delnuevo ‘kilo cu´antico’, que por ser tan novedoso y la masa algode uso diario tan habitual, se ha hecho una descripci´on sencilladel funcionamiento de la balanza de Kibble con la que se llevaa la pr´actica su materializaci´on.El resto del art´ıculo se organiza como sigue: en la secci´onVIII se explica la nueva metodolog´ıa de separar las defini-ciones de las unidades de sus realizaciones experimentales; enla secci´on IX se describen las constantes fundamentales de la Figure 18: El prototipo internacional del kilogramo IPK, guardado enel BIPM cerca de Paris, y sus seis copias oficiales, t´emoins . (Cr´edito:BIPM). Constante Valor h . × − J s e . × − C k . × − JK − N A . × mol − Table III: Los valores CODATA 2018 [5, 6] para las constantes uni-versales cuyo valor ha sido fijado para definir el kilo, el amperio, elkelvin y el mol en el nuevo SI de unidades puesto en vigor por elBIPM desde el 20 de mayo de 2019. naturaleza que aparecen en la nueva definici´on de las unidadesSI como preparaci´on a la definici´on expl´ıcita en la secci´onX A de las siete unidades b´asicas, as´ı como la descripci´on enX B del papel de la metrolog´ıa cu´antica en el nuevo SI a trav´esde tres ejemplos: los relojes cu´anticos, la balanza de Kibble yel ‘kilo cu´antico’, y el tri´angulo metrol´ogico cu´antico. En lasecci´on XI se reflexiona sobre la ausencia de la constante dela gravitaci´on universal G en el nuevo sistema de unidades ysus implicaciones. La secci´on XII se dedica a conclusiones. VIII. EL NUEVO SI DE UNIDADES
El nuevo Sistema Internacional (SI) de unidades que ha en-trado en vigor el 20 de mayo de 2019 representa una gran0revoluci´on a todos los niveles pues por primera vez todas lasunidades se vinculan a constantes de la naturaleza, muchasde ellas universales, y constituye un sue˜no de la F´ısica y laQu´ımica hecho realidad.
Figure 19: Relaci´on esquem´atica entre las unidades b´asicas delnuevo SI y sus constantes naturales asociadas. En la parte centralaparecen las unidades y sus dependencias entre s´ı: el segundo in-fluye en la definici´on de cinco unidades, mientras que el mol aparecedesacoplado. En la parte exterior aparecen los s´ımbolos de las con-stantes que sirven para su definici´on. Ver subsecci´on X A. (Cr´edito:Emilio Pisanty/Wikipedia).
El fundamento del nuevo SI se basa en las siguientespremisas [2, 3]:1. La separaci´on de las definiciones de las unidades de susrealizaciones experimentales particulares.2. Las vinculaci´on de las definiciones de las unidades aconstantes de la naturaleza.3. El nuevo sistema de unidades est´a dise˜nado para queperdure en el tiempo y no est´e sujeto a cambios debidosa los continuos avances en los m´etodos de medida ex-perimental.El gran avance conceptual del nuevo SI consiste en la sepa-rar la realizaci´on pr´actica de las unidades de sus definiciones.Esto permite materializar las unidades de forma independienteen cualquier lugar y en cualquier tiempo propmulgada porel Comit´e de Sabios del Sistema M´etrico Decimal en 1789.Esto permite que nuevas realizaciones sean a˜nadidas en el fu-turo seg´un se vayan desarrollando nuevas tecnolog´ıas, sin porello tener que modificar la definici´on de la propia unidad. Unejemplo de esto proviene de las nuevas tecnolog´ıas cu´anticasy el desarrollo del reloj cu´antico que cambiar´a la realizaci´onexperimental del segundo (ver subsecci´on X A).En el nuevo SI, las unidades de masa (kg), corrienteel´ectrica (A), temperatura (K) y candidad de sustancia (mol)se redefinen vincul´andolas a las cuantro constantes univer-sales que aparecen en la tabla VII, mientras que las unidadesde tiempo (s), longitud (m) y eficacia luminosa (cd) per-manecen asociadas a constantes de la naturaleza como ante-riormente (ver Fig.19). Las nuevas dependencias entre las unidades en el nuevoSI son ahora mucho m´as sim´etricas que en el anterior sis-tema como se ve a simple vista en la Fig.19. El segundosigue siendo la unidad b´asica de la cual dependen todas lasdem´as, excepto el mol que aparece desacoplado del resto deunidades. Las constantes fundamentales que se fijan a un valorexacto aparecen en el exterior del esquema y sus unidadesvinculadas aparecen en el interior. Estas redefiniciones tienenconsecuencias fundamentales en ciertas magnitudes, como lasconstantes el´ectrica (cid:15) y magn´etica µ en el vacio que dejan deser exactas y pasan a tener una indeterminaci´on experimentalen el nuevo SI. As´ı, la constante magn´etica se determina porla f´ormula [2]: µ = 2 αe hc , (40)de modo que todas las constantes en esta ecuaci´on tienen unvalor fijo (ver tabla VII) salvo la constante de estructura finaelectromagn´etica α que se mide experimentalmente, resul-tando un valor de (CODATA2018) µ = 4 π [1 + 0 . . × − ] × − NA − (41) = 1 . × − NA − . (42)Entonces, la constante el´ectrica en el vacio c´asico se obtienede la relaci´on, (cid:15) = 1 µ c , (43)resultando un valor actual de (CODATA2018) (cid:15) = 8 . × − Fm − . (44)Sin embargo, en nuestra vida cotidiana los cambios no supo-nen ning´un trastorno pues t´ıpicamente corresponden a cam-bios de una parte en , o a veces menos. Sus efectos s´ıson muy importantes en las medidas de alta precisi´on que senecesitan en los laboratorios de investigaci´on e institutos demetrolog´ıa donde es imprescindible poder hacer medidas ex-actas y precisas para saber si se ha encontrado un nuevo des-cubrimiento. IX. LAS CONSTANTES FUNDAMENTALES DE LANATURALEZA
Detr´as de cada constante universal de la naturaleza hay unade las leyes fundamentales de la F´ısica y la Qu´ımica. De lassiete unidades del nuevo SI, cinco est´an asociadas a constantesuniversales de la naturaleza como se muestra en la tabla IV.Las constantes fundamentales son como el ADN de nue-stro universo. Otros universos, si existen, pueden tener otroconjunto distinto de constantes universales. En nuestro uni-verso, dependiendo del fen´omeno f´ısico de que se trate y desu escala, necesitaremos algunas de constantes fundamentalespara poder explicarlo. Con este pu˜nado de constantes pode-mos describir nuestro mundo f´ısico desde escalas at´omicas,1
S´ımbolo Constante Ley c velocidad de la luz Teor´ıa de la Relatividad h Planck F´ısica Cu´antica k Botzmann Termodin´amica e Carga del electr´on Electrodin´amica Cu´antica N A Avogadro Teor´ıa At´omicaTable IV: Las cinco constantes universales de la naturaleza y susleyes correspondientes a las que est´an asociadas. Las leyes de laF´ısica y la Qu´ımica permiten describir fen´omenos naturales una vezque los valores de las constantes son conocidos. mesosc´opicas, microsc´opicas, macrosc´opicas, astron´omicashasta cosmol´ogicas.Adem´as de estas 5 constantes universales, en el nuevoSI hay otras 2 constantes que se utilizan para determinar launidad de tiempo y la de eficacia luminosa. La primera deellas es la frecuencia de transici´on hiperfina del estado fun-damental no perturbado del ´atomo de cesio 133, denotadapor ∆ ν Cs . Si bien esta es una constante de la naturaleza,no la podemos considerar como fundamental en pie de igual-dad con las otras cinco. Si lo hici´eramos, tambi´en ser´ıanfundamentales cualquier salto de energ´ıa en el espectro decualquier ´atomo y resultar´ıan infinitas constantes fundamen-tales. Adem´as, esta frecuencia en principio es calculable us-ando las leyes de la electrodin´amica cu´antica, mientras queconstantes como las de la tabla VII no son calculables desdeprimeros principios conocidos actualmente. En cuanto a laeficiencia luminosa K cd , la constante asociada ni siquiera esuniversal y es puramente convencional. En resumen, solo 5de las 7 constantes empleadas en el nuevo SI son realmentefundamentales en este sentido aqu´ı expresado.Hay otro aspecto esencial que merece ser resaltado: tres deestas cinco constantes universales est´an asociadas a principiosde simetr´ıa de la naturaleza. La constante c de la velocidadde la luz es la responsable de la unificaci´on del espacio y eltiempo en la teor´ıa de la Relatividad [7], uno de los pilares dela f´ısica moderna. Lo que subyace a esta ley fundamental es elPrincipio de Relativiad, que declara f´ısicamente equivalentestodos los sistemas de referencia inerciales en movimiento rel-ativo. Es esta simetr´ıa la responsable de la constancia de lavelocidad de la luz. Si c no es constante, las transformacionesde Lorentz y por ende el Principio de Relativiad, se rompen.La constante de Planck h es la responsable de que las mag-nitudes f´ısicas como la energ´ıa, momento angular, etc. puedantomar valores discretos, llamados cuantos. Es la constantefundamental de la Mec´anica Cu´antica, otro de los pilares dela f´ısica moderna. Lo que subyace a esta ley fundamental es elPrincipio de Unitariedad, que fuerza a que la probabilidad deencontrar a las part´ıculas en su estado cu´antico se preserve alo largo de su evoluci´on temporal. M´as b´asico a´un es la lineal-idad de la Mec´anica Cu´antica representada por el Principio deSuperposici´on de estados y que es necesario para garantizarla unitariedad. Si h no fuese constante, el Principio de Uni-tariedad se quebrar´ıa. Es el Principio de Superposici´on (lin-ealidad) de la Mec´anica Cu´antica el que est´a en la ra´ız de todaslas sorpresas contra-intuitivas que nos brinda la f´ısica cu´antica como nos ense˜na R. Feynman [8, 9]. Se pueden realizartest de precisi´on sobre la posible falta de no-linealidad de laMec´anica Cu´antica usando modelos no-lineales y poni´endolosa prueba obteni´endose cotas de validez de la linealidad de soloun error de − con estimaciones te´oricas usando resulta-dos experimentales [10], y de hasta × − con medidasdirectas [11]. Precisamente, para obtener estas cotas se usanlas medidas de las transiciones de radiofrecuencia tan exactasempleadas en los est´andares de frecuencia. Resulta que unaposible no-linealidad producir´ıa una desintonizaci´on de esastransiciones resonantes en los est´andares.La carga del electr´on e es el valor de la fuente elemen-tal (no confinada) de campo el´ectrico en la Electrodin´amicaCu´antica, la primera de las teor´ıas de part´ıculas elementalesconocidas y que sirve de referencia para el resto de interac-ciones fundamentales. Lo que subyace a esta ley fundamentales el Principio de Invariancia Gauge que describe las inter-acciones elementales conocidas. En el caso del electromag-netismo, el grupo de invariancia es el m´as simple U (1) . Esesta simetr´ıa la responsable de la constancia del valor de lacarga del electr´on: si e no es constante, la simetr´ıa gauge serompe.En estos tres ejemplos, los valores de las constantes fun-damentales c, h y e est´an protegidos por sendas simetr´ıas dela naturaleza. Una medici´on cada vez m´as precisa de ellaspuede resultar en una falta de constancia, y por tanto, la vio-laci´on de un de las leyes fundamentales de la F´ısica. Luego lametrolog´ıa es tambi´en una fuente de descubrimiento de nuevaf´ısica a trav´es de la mejora con el tiempo de sus m´etodos demedida. Un ejemplo muy importante de este hecho dentro delnuevo SI es el llamado Tri´angulo Metrol´ogico Cu´antico queveremos en la subsecci´on X B, y tambi´en las posibles varia-ciones en la constante de estructura electromagn´etica α o laraz´on de la masa del prot´on al electr´on (ver X B).La constante de Boltzmann k es el factor de conversi´onque permite relacionar la temperatura termodin´amica T macrosc´opica de un cuerpo con la energ´ıa t´ermica de sus gra-dos de libertad (constituyentes) microsc´opicos. Esta es laconstante fundamental en la F´ısica Estad´ıstica que estudia larelaci´on entre la f´ısica macrosc´opica y sus constituyentes mi-crosc´opicos, y es otro de los pilares de la f´ısica. La constante k aparece en la descripci´on del mundo macrosc´opico en laprobabilidad P i , o factor de Boltzmann, de encontrar un sis-tema en un estado microsc´opico i cuando est´a en equilibriotermodin´amico a la temperatura T : P i = e − EkT
Z , (45)donde Z es la funci´on de partici´on caracter´ıtica del sis-tema. Boltzmann estableci´o la relaci´on entre los mundosmacrosc´opicos y microsc´opicos en su f´ormula para la entrop´ıa S : S = k ln W, (46)donde W es el n´umero de estados microsc´opicos distintoscorrespondientes a un estado macrosc´opico del sistema conenerg´ıa E . Esta es la famosa ecuaci´on que aparece en el2frontispicio de la tumba de Boltzman en Viena. Sin em-bargo, Boltzmann estableci´o la relaci´on (46) como una leyde proporcionalidad, sin introducir expl´ıcitamente su con-stante. Hist´oricamente, fue Planck el primero en escribirlaen su art´ıculo donde enunci´o la ley de radiaci´on del cuerponegro, junto con su constante h de los cuantos de energ´ıa[12]. Planck fue el primero en dar valores num´ericos a es-tas dos constantes usando los valores experimentales de lasconstantes universales que aparecen en la ley de Wien deldesplazamiento y la ley de Stefan-Boltzman, que describenpropiedades esenciales de la radiaci´on en equilibrio t´ermico.Estos primeros valores resultaron estar muy cercanos a los ac-tuales [12] (ver Tabla VII): h = 6 . × − erg s ; k = 1 . × − erg grad − . (47)La constante de Boltzmann no tiene asociado ning´un princi-pio de simetr´ıa, a diferencia de las otras tres constantes men-cionadas m´as arriba.La constante de Avogadro N A es un factor de conversi´onque relaciona la cantidad macrosc´opica de una sustancia conel n´umero de sus constituyentes elementales, ya sean es-tos ´atomos, iones, mol´eculas etc. Es una constante funda-mental en la Teor´ıa At´omica de la materia en la F´ısica y laQu´ımica. El mol se introduce para poder manejar cantidadesmacrosc´opicas de una sustancia que est´a hecha de un n´umeroenorme de entidades elementales. La constante de Avogadro N A es el factor de proporcionalidad entre la masa de un molde sustancia (masa molar) y la masa promedio de una de susmol´eculas, o cualesquiera que sean sus constituyentes elemen-tales. N A tambi´en es aproxim´adamente igual al n´umero denucleones en un gramo de materia. Para definir el mol, ini-cialmente se tom´o como referencia el ´atomo de oxigeno yposteriormente al carbono. En el nuevo SI, la masa de un molde cualquier sustancia, ya sea hidrogeno, oxigeno o carbono,es N A veces la masa promedio de cada una de sus part´ıculasconstituyentes, la cual es una cantidad f´ısica cuyo valor debedeterminarse experimentalmente para cada sustancia.El origen de la palabra mol proviene del lat´ın moles quesignifica masa, y mol´ecula que significa porci´on peque˜na demasa. La constante de Avogadro tampoco tiene asociadoning´un principio de simetr´ıa.Al ser tanto la constante de Boltzmann k como lade Avogadro N A factores de conversi´on de propiedadesmacrosc´opicas y microsc´opicas, tambi´en est´an relacionadosentre s´ı: R = N A k, (48)donde R es la constante de los gases ideales que relacionapresi´on, volumen y temperatura: P V = nRT , con n eln´umero de moles del gas.La Hip´otesis At´omica juega un papel fundamental en la de-scripci´on de la naturaleza. Establece que la materia no es uncontinuo, sino que es discreta y est´a hecha de entidades ele-mentales llamadas ´atomos. Feynman la consider´o la idea m´asimportante de toda la ciencia porque contiene una gran can-tidad de informaci´on en muy pocas palabras, y a partir de lacual, se puede reconstruir muchas de las propiedades de la materia que nos rodea, como que hay distintos estados de lamateria dependiendo de la temperatura y sus cambios de fase[8]. En ´epoca de Boltzmann en la segunda mitad del sigloXIX la existencia de ´atomos y mol´eculas esta todav´ıa objetode debate y es una de las razones por las que la constantede Boltzmann se introdujo tard´ıamente pues entonces se em-pleaban energ´ıas macrosc´opicas, no por mol´ecula, y se em-pleaba la constante de los gases (48) [13]. Los trabajos sobreel movimiento browniano, te´oricos de Einstein [14] y exper-imentales de Perrin [15], fueron esenciales para establecer lavalidez de la Hip´otesis At´omica a principios del siglo XX. X. REVISI ´ON DEL SI BASADO EN LAS CONSTANTESFUNDAMENTALESA. Las Nuevas Definiciones
Las explicaciones del nuevo SI se ven enormemente facil-itadas por la nueva visi´on adoptada por el SI de separar lasdefiniciones de unidades, que van vinculadas a las constantesde la naturaleza, de sus realizaciones experimentales concre-tas, que son cambiantes con la tecnolog´ıa y los desarrollos denuevos m´etodos de medici´on en el laboratorio (secci´on VIII).El universo visible est´a hecho de materia y radiaci´on. LaF´ısica es la ciencia que estudia la materia y la radiaci´on, ysus interacciones. El nuevo SI utiliza la naturaleza discretade la materia y la la radiaci´on para definir sus unidades enfunci´on de constantes de la naturaleza. El car´acter discreto dela materia se denomina hist´oricamente la hip´otesis at´omica yel car´acter discreto de la radiaci´on, la hip´otesis cu´antica.Empecemos por la radiaci´on electromagn´etica, una decuyas formas es la luz. Su velocidad c tiene una propiedadque la hace especial para medir tiempos y distancias: es unaconstante universal y tiene el mismo valor para todos los ob-servadores inerciales, es decir, los que miden las magnitudesf´ısicas u observables.Como el tiempo es lo m´as dif´ıcil de definir, se define loprimero como lo m´as b´asico y para ello usamos un osciladorque sea muy estable: los ciclos de los ´atomos de cesio enun reloj at´omico. Galileo utiliz´o p´endulos, o incluso su pro-pio pulso, para medir tiempos. Es famosa la definici´on detiempo dada por Einstein cuando le preguntaron: “¿Qu´e es eltiempo? Lo que miden los relojes”. Es una definici´on muysimple y a la vez muy profunda. De hecho, es una definici´onmetrol´ogica de tiempo que encaja muy bien en el nuevo SI:una vez definido el tiempo de forma gen´erica en t´erminos deun oscilador o reloj, queda para la materializaci´on de la unidadsegundo (s) la elecci´on de un reloj adecuado. Seg´un la normasdel nuevo SI, la definici´on y realizaci´on del segundo queda as´ı: segundo : “El segundo, de s´ımbolo s, se define estableciendoel valor num´erico fijo de la frecuencia ∆ ν Cs del cesio, la fre-cuencia de transici´on hiperfina del estado fundamental no per-turbado del ´atomo de cesio 133, en 9 192 631 770, cuando seexpresa en la unidad de Hz (herzio), igual a 1/s.” (cid:3) La realizaci´on del segundo por medio de la frecuencia de3transici´on del cesio ∆ ν Cs = 9192631770 Hz , (49)implica que el segundo es igual a la duraci´on de 9 192 631 770per´ıodos de la radiaci´on correspondiente a la transici´on entrelos dos niveles hiperfinos del estado fundamental no pertur-bado del ´atomo de Cs.Esta materializaci´on del patr´on de tiempo es un ejemplode la provisionalidad de las realizaciones experimentales delas unidades del SI. Los patrones basados en relojes de cesiollevan us´andose desde los a˜nos 60 del siglo XX. Actualmentetenemos realizaciones m´as precisas usando relojes cu´anticos yya hay prevista por el BIPM una renovaci´on de la realizaci´ondel segundo usando esta tecnolog´ıa cu´antica antes de 2030(ver X B). Sin embargo, la definici´on de tiempo permanecer´ainalterada.El metro entonces se define con el tiempo y de la velocidadde la luz c : metro : “El metro, de s´ımbolo m , se define tomando el valornum´erico fijo de la velocidad de la luz en el vac´ıo c como299 792 458 cuando se expresa en la unidad ms − , donde elsegundo se define en t´erminos de la frecuencia de cesio ∆ ν Cs ”. (cid:3) Con esta definici´on, un metro es la longitud del caminorecorrido por la luz en el vac´ıo durante un intervalo detiempo con una duraci´on de 1/299 792 458 de segundo. Estadefinici´on se basa en fijar la velocidad de la luz en el vac´ıoexactamente en c = 299792458 ms − . (50)Los m´etodos para medir la velocidad de la luz han ido cambi-ado a trav´es de los tiempos, desde el inicial de Ole R¨omer en1676, basado en el tr´ansito de la luna ´Io de J´upiter mediante untelescopio, hasta las modernas t´ecnicas usando interferometr´ıacon l´aseres.A continuaci´on lo natural es definir la unidad de masa, elkilo. Resulta que la luz tambi´en tiene otra propiedad que lahace muy ´util para la definici´on del kilo: la luz de una frecuen-cia fija (monocrom´atica) tiene un m´ınimo de energ´ıa discretollamado fot´on cuya energ´ıa es proporcional a su frecuenciaseg´un descubrieron Planck [12], y luego Einstein [16]. Esaconstante de proporcionalidad es la constante h de Planck.Las unidades de esta constante son las tres b´asicas de lo queuna vez se llam´o el Sistema MKS, precursor del SI actual:metro, kilo y segundo en las siguiente proporci´on, [ h ] = kg m s − . (51)Es importante hacer notar que la constante de la gravitaci´onuniversal G de Newton tambi´en tiene unidades del sistemaMKS, aunque en otra proporci´on: [ G ] = kg − m s − . (52)Resulta que h y G son las ´unicas constantes fundamentalescon unidades MKS. Hay otras constantes asociadas a interac-ciones fundamentales, pero no contienen la masa sino otrascargas elementales. Pero con G esto no es suficiente para definir la unidad de masa con la exactitud que se necesita enmetrolog´ıa. El problema radica en que la precisi´on con la quese mide G es mucho peor que la de h . El ‘kilo gravitatorio’no es una buena unidad metrol´ogica pr´actica. Este hecho esel origen de la ‘via cu´antica’ del kilo como vamos a ver. Endefinitiva, podemos usar h para definir el kilo a partir del se-gundo y el metro que ya est´an definidos una vez fijado el valorde c .Si no fuera por esta falta de precisi´on en la medida de G ,la constante h se podr´ıa desacoplar del kilo y fijarla de formaindependiente a trav´es de los efectos puramente cu´anticos deHall y de Josephson (ver X B): h = 4 K J R K = 6 . . . . × − Js . (53)Pero si se tomara esta otra via cu´antica, tan natural en teor´ıa,entonces desacoplamos el kilo de h y se volver´ıa a quedarvinculado a un artefacto: nos vemos pues abocados al ‘kilocu´antico’.Una vez tomada la via del ‘kilo cu´antico’, la siguientecuesti´on es c´omo usar la constante de Planck h para definirlo.Para ello, usamos la prescripci´on del nuevo SI de usar lasunidades de h y las definiciones de segundo y metro ya intro-ducidas anteriormente. Entonces, la definici´on de kilo quedaas´ı: kilogramo : “El kilogramo, s´ımbolo kg, se define tomandoel valor num´erico fijo de la constante de Planck, h como . × − , cuando se expresa en la unidad J s,igual a kg m s − , donde el metro y el segundo se definenen t´erminos de c y ∆ ν Cs ”. (cid:3) O en ecuaciones, kg = (cid:16) h , × − (cid:17) m − s = 1 , . . . × h ∆ ν Cs c (54)Esta definici´on es equivalente a la relaci´on exacta h = 6 . × − Js . (55)Tras la definici´on del ‘kilo cu´antico’ surge el problemade como realizarlo experimentalmente. Lo m´as sencillo aprimera vista ser´ıa usar las relaciones fundamentales de en-erg´ıa de Einstein [17] y Planck [12], respectivamente: E = mc y E = hν. (56)El fundamento del ‘kilo cu´antico’ consiste en tener un m´etodomuy preciso para medir h y luego usarlo para definir el kilo.Pero para esto, las relaciones fundamentales anteriores pre-sentan un problema. El fot´on como cuanto de energ´ıa lumi-nosa no tiene masa. Si queremos que el cuanto tenga unamasa, lo que est´a mejor definido es su longitud de onda de deBroglie [18]: E = hcλ . (57)Sin embargo, medir una longitud de onda es f´acil para unmovimiento tipo onda plana, que de nuevo es m´as t´ıpico de4 Figure 20: La primera revoluci´on cu´antica de las tecnolog´ıas sebasa en el car´acter discreto de las magnitudes f´ısicas como los es-tados de energ´ıa en los ´atomos. Los fotones de la radiaci´on electro-magn´etica permiten manipular los estados de energ´ıa bien definida(56). Cr´edito: Wikipedia (adapted). una radiaci´on monocrom´atica. Para tener una masa real m ,necesitamos una part´ıcula con una longitud de onda asociada,es decir, una masa localizada en el espacio la cual se describem´as naturalmente con un paquete de ondas, el cual no tieneuna sola longitud de onda. As´ı que usar las relaciones m´asb´asicas de de la energ´ıa (56) no es lo metrol´ogicamente m´as´util.De ah´ı que la via cu´antica del kilo se realize a trav´es de laBalanza de Kibble (ver X B). Esto nos lleva a una pregunta im-portante: ¿Qu´e tipo de masa, inercial o gravitatoria, apareceen las unidades de h , y por ende en la nueva definici´on de kilo?Para el caso del fot´on que no tiene masa, tal distinci´on no ex-iste. Cuando tenemos una part´ıcula con masa, entonces de-pender´a de la relaci´on mec´anica que usemos para relacionarlacon h , y as´ı decidir si el kilo que definimos es inercial o grav-itatorio. Por ejemplo, si usamos la relaci´on de Einstein, elkilo ser´a inercial, si usamos una balanza, entonces el kiloser´a gravitatorio. Por tanto, la Balanza de Kibble nos pro-porciona una definici´on de kilo gravitatorio cu´antico. Ahorabien, el Principio de Equivalencia nos dice que ambos tipos demasa son iguales y est´a comprobado experimentalmente conuna precisi´on superior a la medici´on de las constantes fun-damentales que intervienen en el SI: una incertidumbre de (0 . ± . × − [19]. Con lo cual, podemos omitir eladjetivo gravitatorio mientras que la precisi´on del Principiode Equivalencia sea superior a la de las constantes fundamen-tales.La descripci´on del ‘kilo cu´antico’ mediante la Balanza deKibble pertenece a la parte del nuevo sistema SI correspon-diente a la realizaci´on pr´actica de la unidad kilo, no a sudefinici´on (ver X B).Para continuar definiendo el resto de unidades SI y derivar-las de las anteriores ya definidas, nos volvemos a fijar en elcar´acter discreto de la materia. As´ı, existen ´atomos (neutros)y electrones (cargados). La materia m´as elemental cargada(sin confinar) es el electr´on y con el se define el amperio us-ando el segundo ya definido: amperio : “El amperio, s´ımbolo A, se define tomando el valor Figure 21: La segunda revoluci´on cu´antica de las tecnolog´ıas se basaen el principio de superposici´on de la mec´anica cu´antica. El casom´as sencillo se ejemplifica con el experimento de la doble rendija[8, 9] donde se superponen las propiedades de una sola part´ıcula.Cuando la superposici´on cu´antica involucra varias part´ıculas da lu-gar al entrelazamiento cu´antico que es el recurso fundamental en lainformaci´on cu´antica [29]. Cr´edito: R. Sawant et al. [30]. num´erico fijo de carga elemental, e , como: e = 1 . × − C , (58)cuando se expresa en la unidad culombio, C, igual a A s, y elsegundo se define en t´erminos de ∆ ν Cs .” (cid:3) En consecuencia, un amperio es la corriente el´ectrica cor-respondiente al flujo de / (1 . × − ) cargas el-ementales por segundo. La ventaja del nuevo amperio es quese puede medir, no como el antiguo que ten´ıa una definici´onimpracticable que le dejaba de hecho fuera del sistema SI.Adem´as, es independiente del kilogramo y se reduce la in-certidumbre de las magnitudes el´ectricas.Para la realizaci´on experimental del amperio se han prop-uesto varias t´ecnicas: a) la m´as directa es usar la definici´on ac-tual del SI mediante el transporte mono-electr´onico (ver X B)[3, 4] aunque todav´ıa est´a en vias de desarrollo para ser com-petitiva; b) usando la ley de Ohm y los efectos Hall y Joseph-son para definir el voltio y el ohmio (ver X B) [3, 4]; c) larelaci´on entre la corriente el´ectrica y la variaci´on temporal delpotencial en un condensador [3, 4].En cuanto a los ´atomos, hist´oricamente, son las unidadeselementales de sustancia y con ellos se puede definir el molcomo la unidad de cantidad de una cierta sustancia. Detr´asde esta definici´on est´a la naturaleza discreta de la materia atrav´es de la hip´otesis at´omica y la constante de la naturalezaasociada es la de Avogadro (48): mol : “El mol, s´ımbolo mol, es la unidad de la cantidad desustancia. Un mol contiene exactamente . × entidades elementales.” (cid:3) Este valor sale de fijar el valor num´erico de la constante deAvogadro a N A = 6 . × mol − , (59)en unidades de mol − . Como consecuencia, el mol es la can-tidad de sustancia de un sistema que contiene . × entidades elementales especificadas. La cantidad de sus-tancia de un sistema es una medida del n´umero de cantidadeselementales. Una cantidad elemental puede ser un ´atomo, una5 Figure 22: Esquema de un detector de ondas gravitacionales tipoLIGO. Se muestran los dos brazos perpendiculares de cuatro km cadauno. Las ondas gravitacionales causadas por la colisi´on de dos agu-jeros negros se pueden detectar en el patr´on de interferencias graciasa la extremada sensibilidad del aparato que permite resolver distan-cias miles de veces m´as peque˜nas que el n´ucleo at´omico. (Cr´edito:Johan Jarnestad/The Royal Swedish Academy of Sciences [35]) mol´ecula, un ion, un electr´on, cualquier otra part´ıcula o ungrupo espec´ıfico de part´ıculas.Para la realizaci´on experimental del amperio se han prop-uesto varias t´ecnicas [3, 4]: a) el proyecto Avogadro (Interna-tional Avogadro Coordination), b) m´etodos grav´ım´etricos, c)ecuaci´on de los gases, y d) m´etodos electrol´ıticos.Nos falta todav´ıa la unidad fundamental para medir la tem-peratura, el kelvin. Siguiendo el nuevo SI, la debemos vincu-lar a una constante fundamental de la naturaleza, en este casola constante de Boltzmann. La constante de Boltzmann sirvecomo un factor de conversi´on entre energ´ıa y temperatura: E = kT. (60)Tambi´en esta constante la podemos ver como resultado delcar´acter discreto de la naturaleza. Por ejemplo, la hip´otesisat´omica para gases nobles ideales permite calcular la energ´ıacin´etica de estos como: E c = 32 kT. (61)La nueva definici´on resultante del kelvin como la unidad detemperatura termodin´amica es: kelvin : “El kelvin, s´ımbolo K, se define tomando el valornum´erico fijo de la constante de Boltzman, k, como k = 1 . × − JK − , (62)cuando se expresa en las unidades kg m s − K − , donde elkilogramo, el metro y el segundo se definen de acuerdo con h, c y ∆ ν Cs ”. (cid:3) Figure 23: Diferencias de valores para la constante de Hubble H medidas con el sat´elite Planck 2018 en el universo temprano y ex-trapoladas con el modelo cosmol´ogico es´andar (azul) [41], y las me-didas locales realizadas con las escaleras de distancias de cefeidas ysupernovas [42, 43]. (Cr´edito: Riess et al. [43]). Esta definici´on implica que el kelvin es igual a un cambiotermodin´amico de temperatura que resulta en un cambio enla energ´ıa t´ermica kT de . × − J. Como conse-cuencia de la nueva definici´on, el punto triple del agua dejade tener un valor exacto y ahora tiene una incertidumbre dadapor: T TPW = 273 . K ± . K , (63)como consecuencia de heredar la incertidumbre que ten´ıa laconstante de Boltzmann k antes de la nueva definici´on.Siguiendo el principio gu´ıa usado hasta ahora para intro-ducir las nuevas definiciones de las unidades SI utilizando elcar´acter discreto de la energ´ıa (56) y la materia (48), podemosir m´as all´a y usar el car´acter discreto de la informaci´on paraintroducir la constante de Boltzmann. As´ı, otra manera defundamentar el origen discreto de la constante de Boltzmannes a trav´es del Principio de Landauer [20] que establece queel m´ınimo de energ´ıa disipada en forma de calor a una tem-peratura T en el sistema elemental m´as simple, ya sea cl´asico(bit) o cu´antico, c´ubit, es: E = ln 2 kT. (64)El origen del Principio de Landauer reside en el car´acter ir-reversible del borrado de informaci´on [21, 22] en un sistemaque conlleva una disipaci´on m´ınima de energ´ıa [23]. Su ver-ificaci´on experimental ha sido posible directamente en var-ios trabajos recientes [24–27]. De esta manera, tenemos una6 Figure 24: Arriba: Visi´on general de un reloj cu´antico de iones atra-pados desarrollado por el grupo de Rainer Blatt en el laboratorio dela Universidad de Innsbruck. Es un prototipo compacto que ocupaun espacio funcional reducido y es comercializado por la empresaAlpine Quantum Technologies [47]. Abajo: detalle de la parte cen-tral del reloj donde se muestra la trampa donde se confinan los ionesusando campos electromagn´eticos. (Cr´edito: Rainer Blatt Lab). visi´on unificada de todas las unidades del SI bas´andonos en lapropiedad fundamental que poseen tanto la energ´ıa, la materiay la informaci´on: su naturaleza discreta en nuestro universo.Para la realizaci´on experimental del kelvin se han prop-uesto varias t´ecnicas [3, 4]: a) mediante termometr´ıa ac´usticacon gases, b) termometr´ıa radiom´etrica de banda espectral, c)termometr´ıa de gas polarizante y d) termometr´ıa de ruido deJohnson.Menci´on aparte merece la s´eptima unidad b´asica del SI em-pleada para medir la eficacia luminosa de una fuente. Es unamedida de la bondad de una fuente de luz cuando su luz visi-ble se percibe por el ojo humano. Es claramente convencionaly subjetiva. Se utilizan valores promedio del comportamientodel ojo humano. Se cuantifica mediante la relaci´on del flujoluminoso a la potencia, medida en l´umenes (lm) por vatio enel SI. No hay una ley universal de la f´ısica asociada a estaunidad, porque la fuente de luz no tiene por qu´e estar en equi-librio termodin´amico. El concepto b´asico para la candela semantiene en el nuevo SI: candela : “La candela, s´ımbolo cd, es la unidad SI de intensi-dad luminosa en una direcci´on dada. Se define tomando elvalor num´erico fijo de la eficacia luminosa de la radiaci´onmonocrom´atica de frecuencia × Hz, K c d , como 683cuando se expresa en la unidad lm W − , que es igual a cd srW − , o cd sr kg − m − s , donde el kilogramo, el metro y elsegundo se definen en t´rminos de h, c y ∆ ν Cs ”. (cid:3) Esta definici´on se basa en tomar el valor exacto para la con- stante K cd = 683 cd sr kg − m − s , (65)para una raciaci´on monocrom´atica de frecuencia ν = 540 × Hz. Como consecuencia, una candela es la intensidadluminosa, en una direcci´on dada, de una fuente que emite ra-diaci´on monocrom´atica de frecuencia ν = 540 × Hz ytiene una intensidad radiante en esa direcci´on de (1/683) W/sr.Para la realizaci´on experimental de la candela se han prop-uesto varias t´ecnicas [3, 4] como la realizaci´on pr´actica deunidades radiom´etricas, empleando dos tipos de m´etodos pri-marios: los basados en detectores patr´on como el radi´ometroel´ectrico de sustituci´on y fotodiodos de eficiencia cu´anticapredecible, y los basados en fuentes patr´on como el radiadorde Planck y la radiaci´on de sincotr´on. En la pr´actica se utilizam´as habitualmente una l´ampara patr´on con dise˜no optimizadopara emitir en una direcci´on definida y a larga distancia desdeel detector.
B. Metrolog´ıa Cu´antica y el Nuevo SI
El establecimiento de las leyes de la mec´anica cu´antica enel primer cuarto del siglo XX permitı’o comprender la nat-uraleza a escala at´omica. Como consecuencia de esa mejorcomprensi´on del mundo at´omico surgieron aplicaciones enforma de nuevas tecnolog´ıas cu´anticas. A este primer per´ıodose le conoce como la primera revoluci´on cu´antica y ha pro-ducido tecnolog´ıas tan innovadoras como el transistor y ell´aser. Incluso los ordenadores cl´asicos actuales son conse-cuencia de estos avances cu´anticos de primera generaci´on.Con el comienzo del siglo XXI estamos viendo emergernuevas tecnolog´ıas cu´anticas de segunda generaci´on [28] queconstituyen lo que se conoce como la segunda revoluci´oncu´antica. Ambas revoluciones se basan en explotar aspectosconcretos de las leyes de la mec´anica cu´antica. As´ı, podemosclasificar estas revoluciones tecnol´ogicas en dos grupos:
Primera Revoluci´on Cu´antica : se basa en el car´acter dis-creto de las propiedades del mundo cu´antico: los cuantos deenerg´ıa (como los fotones), los cuantos de momento angular,etc. Esta naturaleza discreta de las magnitudes f´ısicas es loprimero que sorprende en la f´ısica cu´antica (ver Fig.20). (cid:3)
Segunda Revoluci´on Cu´antica : se basa en el principio desuperposici´on de estados cu´anticos, en los cuales se puedeguardar y procesar informaci´on como consecuencia de suspropiedades de entrelazamiento cu´antico (ver Fig.21). (cid:3)
En la segunda revoluci´on cu´antica se han identificado cinco´areas de trabajo que dar´an lugar a nuevos desarrollos tec-nol´ogicos. Enumeradas de menor a mayor complejidad son:metrolog´ıa cu´antica, sensores cu´anticos, criptograf´ıa cu´antica,simulaci´on cu´antica y ordenadores cu´anticos.La metrolog´ıa cu´antica est´a considerada una de las tec-nolog´ıas cu´anticas de desarrollo m´as inmediato. Es la partede la metrolog´ıa que se ocupa de c´omo realizar medidasde par´ametros f´ısicos con gran resoluci´on y sensibilidad us-ando la mec´anica cu´antica, especialmente explotando suspropiedades de entrelazamiento. Una pregunta fundamentalen metrolog´ıa cu´antica es c´omo escala la precisi´on, medida en7
Figure 25: Comparativa de la evoluci´on temporal reciente de lasincertidumbres en relojes at´omicos de cesio (microondas) y relojescu´anticos (´opticos), de iones y de ´atomos neutros en redes ´opticas.Claramente se observa un cambio de tendencia con una gananciade exactitud en los relojes cu´anticos. (Cr´edito: Reproducido porcortes´ıa de la Societ`a Italiana di Fisica de N. Poli et al. [40]). t´erminos de la variancia ∆ m , con que se estima un par´ametrof´ısico con el n´umero N de part´ıculas empleadas o repeticionesdel experimento. Resulta que con los interfer´ometros cl´asicosno se puede superar el llamado l´ımite bal´ıstico est´andar [31–33] dado por ∆ m ≥ √ N , (66)mientras que con metrolog´ıa cu´antica de segunda generaci´onse puede el l´ımite de Heisenberg dado por ∆ m ≥ N . (67)Un ejmplo de aplicaci´on muy importante de la metrolog´ıacu´antica a la ciencia b´asica lo constituye la detecci´on de on-das gravitacionales por experimentos como el LIGO (LaserInterferometer Gravitational-Wave Observatory), [34] (verFig.22), donde se necesita medir distancias entre masas sepa-radas del orden de unos kil´ometros con una alt´ısima precisi´on(mil´esima parte del di´ametro de un prot´on). Estas variacionesen distancia se producen en las longitudes de los brazos de losinterfer´ometros cuando pasa una onda gravitacional por ellos.Utilizando ‘luz comprimida’, una forma de ´optica cu´antica[36], se puede conseguir mejorar la sensibilidad de los inter-fer´ometros de acuerdo con el l´ımite cu´antico (67) [37–39].Las medidas de experimentos tipo LIGO pueden tener otraaplicaci´on b´asica para tratar de elucidar la controversia queha surgido recientemente con la llamada constante de Hub-ble H . En el modelo cosmol´ogico est´andard denotado por Λ CDM ( Λ =energ´ıa oscura, CDM=materia oscura fr´ıa) H mide la velocidad con que se expande actualmente el universode acuerdo con la ley de Hubble. Es un par´ametro de capi-tal importancia en cosmolog´ıa. Hay dos fuentes de medidas Figure 26: Balanza de Kibble NIST-4 empleada para medir la con-state de Planck h con una incertidumbre de 13 partes en mil millonesen 2017, contribuyendo a la redefinici´on del kilogramo como unidadde masa den el nuevo SI en 2019.(Cr´edito: NIST). que dan valores discrepantes. Por una lado, el valor propor-cionado por el sat´elite Planck en 2018 analizando el fondode radiaci´on de microondas del universo temprano y extrap-olando el par´ametro de Hubble a su valor actual con el modeloest´andar Λ CDM da un valor de H = 67 . ± . kil´ometrospor segundo y por megaparsec de distancia [41]. Por otrolado, medidas realizadas en el universo actual utilizando es-caleras de distancias basadas en cefeidas y supernovas de tipo1a da como resultado H = 74 . ± . kms − Mpc − [42].Esta discrepancia supone una confidencia estad´ıstica de 4.4sigmas (desviaciones est´andar), muy cercana a la barrera delas 5 sigmas que se considera como clara evidencia de queson resultados distintos y supondr´ıa ser que hay nueva f´ısicaque el modelo est´andar no ha tenido en cuenta (ver Fig.23).Adem´as, para aumentar la controversia, tambi´en existe unamedida del universo actual con otra escalera de distanciasque arroja un valor intermedio entre los dos discrepantes, H = 69 . kms − Mpc − [44]. Todas las medidas realizadascon el universo actual dan valores por encima de los val-ores obtenidos con el universo temprano y el modelo est´andar.Luego, o se trata de errores sistem´aticos, o puede ser el indi-cio de nueva f´ısica m´as all´a del modelo cosmol´ogico vigente,como por ejemplo la existencia de energ´ıa oscura din´amica,por citar solo un ejemplo [43].8Los experimentos tipo LIGO pueden ser muy ´utiles en elfuturo para elucidar ensta controversia, una m´as, sobre la con-stante de Hubble. No se trata de analizar colisiones de agu-jeros negros como en el descubrimiento original de las ondasgravitacionales, sino de las colisiones de estrellas binarias deneutrones. Resulta que cuando dos estrellas de neutrones sefusionan, las ondas gravitacionales resultantes pueden usarsepara obtener informaci´on sobre la posici´on de las estrellas,y por ende de las galaxias donde se encuentran. Haciendoestad´ıstica de con al menos 50 sucesos de estas colisiones sepodr´ıa tener una medida directa de la constante de Hubble conuna exactitud no lograda hasta la fecha y resolver la contro-versia [45]. Y resultados recientes mejoran estas expectativas.Ya se ha podido detectar un suceso de fusi´on de estrellas deneutrones con el que estimar la constante de Hubble, cuyovalor resultante es precisamente H = 70 kms − Mpc − conuna indeterminaci´on del orden de ∼ [46]. Se estima quecon 15 sucesos se pod´ra reducir el error al 1% y empezar aresolver la discrepancia.Veamos a continuaci´on tres ejemplos importantes de apli-caciones de la metrolog´ıa cu´antica al nuevo SI, tanto de tec-nolog´ıas cu´anticas de primera y segunda revoluci´on.
1. Relojes Cu´anticos
El mecanismo b´asico de un reloj consiste en un sistemade oscilaciones per´ıodicas muy estables donde cada per´ıododefine la unidad de tiempo y el reloj cuenta esos per´ıodospara medir el tiempo. En el pasado se han usado movimien-tos per´ıodicos naturales como el de la Tierra alrededor de sueje o del sol, osciladores mec´anicos como p´endulos o reson-adores de cristal de cuarzo. En los a˜nos 60 del siglo pasadose empez´o a usar oscilaciones at´omicas para medir el tiempousando ´atomos de cesio por su mayor exactitud y estabili-dad que los sistemas mec´anicos. La referencia actual paradefinir el est´andar de tiempo es el cesio 133 donde se usa lafrecuencia de resonancia correspondiente a la diferencia deenerg´ıa entre los dos niveles hiperfinos de su estado funda-mental (ver X A). Los relojes at´omicos de cesio pueden medirel tiempo t´ıpicamente con una exactitud de un segundo en 30millones de a˜nos. En general, la exactitud y estabilidad de unreloj at´omico es mayor cuanto m´as alta es la frecuencia de latransici´on at´omica y menor es la anchura de la l´ınea de tran-sici´on electr´onica. Si hacemos la frecuencia del oscilador m´asgrande podemos aumentar la resoluci´on del reloj al hacersem´as peque˜no el per´ıodo que usamos como referencia.Los relojes at´omicos han permitido mejorar m´ultiples de-sarrollos tecnol´ogicos a los que estamos acostumbrados ennuestra vida diaria: controlar la frecuencia de las ondas de lasemisiones de televisi´on, los sistemas mundiales de navegaci´onpor sat´elite como el GPS, transacciones financieras, internet,tel´efonos m´oviles etc.Los nuevos relojes cu´anticos son un tipo de relojesat´omicos donde el aumento de su exactitud se debe a utilizarfrecuencias de transici´on at´omicas en el rango ´optico en vezdel rango de microondas usado por los relojes de cesio. Lasfrecuencias ´opticas de la luz visible son como cinco ´ordenes de magnitud mayores que las microondas. Para conseguir dareste salto se necesit´o utilzar trampas de iones (ver Fig.24)con t´ecnicas de l´ogica cu´antica empleadas en la computaci´oncu´antica [48, 49] que forma parte de las tecnolog´ıas cu´anticasde la segunda revoluci´on [50–52]. Los relojes cu´anticos con-siguen una incertidumbre de solo una parte en s, lo queequivale a un segundo de error en un reloj cu´antico que hu-biese empezado a medir la edad del universo actual de 13.700millones de a˜nos. Un reloj de iones basado en l´ogica cu´anticaes un ejemplo de cooperaci´on entre dos iones donde cadauno proporciona cualidades complementarias. Por ejemplo,el ion del aluminio Al + tiene una frecuencia de transici´onen el rango ´optico que es ´util para la frecuencia de referen-cia del reloj. Sin embargo, su estructura de niveles le haceun mal candidato para enfriarlo a las temperaturas necesariaspara estabilizarlo. En cambio, esto s´ı es posible con el ion deberilio Be + . Usando protocolos de computaci´on cu´antica, lainformaci´on sobre el estado interno del ion espectrosc´opicoAl + despues de sondear su transici´on con un l´aser, puede serfielmente transferido al ion l´ogico Be + , en donde esta infor-maci´on puede ser detectada con eficiencia casi del 100% [53].Cada especie de ion aporta una funcionalidad distinta, la fre-cuencia de referencia o el m´etodo de enfriamiento, y el entre-lazamiento cu´antico entre los estados de ambos iones permiteal conjunto funcionar como un reloj cu´antico.Los relojes cu´anticos actuales utilizan, o bien a) uno o dosiones atrapados, o bien b) ´atomos ultrafr´ıos confinados encampos electromagn´eticos en forma de redes ´opticas.Cada una de estas realizaciones tiene sus ventajas y su in-convenientes. Los relojes de iones tienen una exactitud muyalta pues pueden confinar al ion enfri´andolo en una trampa deforma que nos acercamos mucho al ideal de un sistema ais-lado de las perturbaciones exteriores. Sin embargo, al utilizarsolo un ion para la se˜nal de absorci´on se consigue menos es-tabilidad pues se reduce la raz´on de la se˜nal frente al ruido ex-terno. Por el contrario, los relojes de ´atomos en redes ´opticaspueden trabajar con un gran n´umero de ´atomos consiguiendouna mayor estabilidad y mejor se˜nal frente al ruido externo.Diferentes equipos trabajando con ambas opciones est´andesarrollando t´ecnicas para conseguir versiones cada vezmejores. El record m´as reciente lo tienen los iones atrapadoscon una incertidumbre de . × − s [54]. Los relojes de´atomos en redes ´opticas tambi´en consiguen los − s de ex-actitud. Todav´ıa queda tiempo para decidir cu´al de las dos re-alizaciones se escoger´a para realizar un futuro nuevo segundo,o si las dos son complementarias (ver Fig.25).Las mejoras en la medici´on del tiempo proporcionadas porlos relojes cu´anticos tambi´en tienen importantes aplicaciones.Las aplicaciones tecnol´ogicas son similares a las anterior-mente citadas y es de gran inter´es poder enviar uno de estosrelojes cu´anticos en misiones espaciales y para mejorar los sis-temas de navegaci´on. Otra aplicaci´on es la medida con granprecisi´on del campo gravitatorio pues de acuerdo con la rela-tividad general de Einstein, existe una dilataci´on temporal porefectos gravitatorios adem´as de la debida a la velocidad. Conun reloj cu´antico se pueden distinguir campos gravitatorios desolo 30 cm de altura [55], e incluso menos. Estas medidasvan a permitir definir mejor las alturas por encima del nivel9 Figure 27: Balanza de Kibble funcionando en modo pesada. Expli-caciones en el texto. (Cr´edito: Robinson-Schlamminger [63]). del mar, ya que ´este no se mide de igual manera en distin-tas partes del mundo y es crucial para conocer la actividad delos oc´eanos. De forma similar se pueden aplicar estos disposi-tivos cu´anticos a geodesia, hidrolog´ıa, sincronizaci´on de redesde telescopios.La ciencia b´asica es una de las primeras aplicaciones funda-mentales de ellos. Comparando el funcionamiento de variosrelojes cu´anticos a lo largo del tiempo podemos descubrir sialguna de las constantes fundamentales de la f´ısica cambiancon el tiempo, lo cual es fundamental para encontrar nuevaf´ısica y para la definici´on de las unidades b´asicas de acuerdocon el nuevo SI (ver X A). Ejemplos de constantes funda-mentales que se pueden sondear su dependencia temporal sonla constante de estructura fina electromagn´etica α (40) y laraz´on de las masas del prot´on y el electr´on µ := m p /m e . Enel pasado ha habido controversia sobre posibles variacionestemporales de α y µ detectadas mediante medidas de tran-siciones at´omicas en cu´asares distantes comparadas con lasmedidas actuales en el laboratorio [56, 57]. Como sucede quetodas las transiciones at´omicas dependen funcionalmente de α y tambi´en las transiciones hiperfinas dependen sensiblementede la raz´on µ , resulta que los relojes cu´anticos permiten mejo-rar las cotas de variaci´on de estas constantes fundamentales.Con estos experimentos, se ha podido medir la raz´on de fre-cuencias ´opticas entre iones de Al + y Hg + proporcionandouna cota a la variaci´on temporal en α de − . ± . × − por a˜no, y con el ion yterbio Yb + se obtiene una cota para µ de . ± . × − por a˜no, las cuales son mejores en unfactor diez que las medidas astrof´ısicas [58, 59]. Estos resul-tados negativos para la variaci´on temporal de las constantesfundamentales sirven de justificaci´on para el nuevo sistemade unidades SI y su universalidad independientemente del es-pacio y del tiempo, al menos mientras los experimentos siganconfirmando tales resultados. Figure 28: Balanza de Kibble funcionando en modo velocidad. Ex-plicaciones en el texto. (Cr´edito Robinson-Schlamminger [63]).
2. Balanza de Kibble
La balanza de Kibble es la realizaci´on experimental actualde la unidad de masa a trav´es de la via cu´antica en el nuevo SI[60–63]. De este modo se sigue la nueva metodolog´ıa de sep-arar definiciones de unidades de su materializaci´on pr´actica(ver VIII). Mientras que la definici´on del nuevo kilo vincu-lado a la constante de Planck ha sido ya explicada en X A,ahora veremos c´omo realizarlo en el laboratorio con la tec-nolog´ıa actual.La realizaci´on del ‘kilo cu´antico’ consiste en dos partesbien diferenciadas: a) la balanza de Kibble y b) la determi-naci´on cu´antica de la potencia el´ectrica. La balanza de Kibble(ver Fig.26) tiene por objetivo establecer la equivalencia deuna potencia mec´anica en potencia el´ectrica. Despues ´esta serelaciona con la constante de Planck mediante procedimientosde metrolog´ıa de la primera revoluci´on cu´antica: efectos Hallcu´antico entero y efecto Josephson.Empecemos por la balanza de Kibble. Aunque se presentauna discusi´on simplificada de ella, es suficiente para entendersus fundamentos. Se parece a una balanza ordinaria en quetambi´en tiene dos brazos, pero mientras que en la balanza or-dinaria se comparan dos masas, una patr´on y otra inc´ognita,en la de Kibble se comparan fuerzas mec´anicas gravitatoriascon fuerzas electromagn´eticas. Su funcionamiento consta dedos modos de funcionamiento: i/ Modo Pesada y ii/ ModoVelocidad.
Modo Pesada : Se dispone en uno de los brazos una masa m de prueba, que podr´ıa ser por ejemplo el patr´on IPK. En elotro plato se monta un circuito de cables el´ectricos por dondese hace pasar una corriente I (ver Fig.27). El circuito est´asuspendido en un campo magn´etico muy fuerte creado porimanes con un campo estacionario y permanente B . La longi-tud del circuito es L . Entonces, la corriente induce un campoelectromagn´etico que interacciona con el campo magn´eticoconstante del im´an. La fuerza electromagn´etica vertical resul-0 Figure 29: Un ejemplo de dispositivo de efecto Hall cu´antico en-tero empleado por el NIST para medir resistencias. Esta barra Hallutiliza componentes con grafeno que aparecen delineadas por l´ıneasblancas. La fuente y el drenaje de electrones est´an en los extremosizquierdo y derecho de la barra. No se muestran los contactosel´ectricos que hay encima y debajo de la barra. (Cr´edito: NIST). tante se iguala al peso de la masa prueba,
BLI = mg. (68)Durante este modo de funcionamiento, se mide la intensidadde corriente el´ectrica continua de forma muy precisa medianteinstrumentos apropiados (efecto Hall cu´antico entero), y quees proporcional a la fuerza vertical. La corriente se ajusta paraque la fuerza resultante iguale al peso de la masa prueba. (cid:3) Modo Velocidad : Este es un modo de calibraci´on que esnecesario pues la cantidad BL es muy dif´ıcil de medir conprecisi´on. Si no fuera por esto, bastar´ıa con el modo pesada.Se usa un motor el´ectrico para mover el circuito de cablesverticalmente a trav´es del campo magn´etico externo a una ve-locidad constante v (ver Fig.28). Este movimiento induce unvoltaje V en el circuito cuyo origen es tambi´en una fuerza deLorentz y est´a dado por, BLv = V. (69)Durante este modo de funcionamiento, se mide el voltaje deforma muy precisa mediante instrumentos apropiados (efectoJosephson), y por ende el campo magn´etico que es propor-cional. Tambi´en se usan sensores l´aser para monitorizar elmovimiento vertical del circuito el´ectrico mediante interfer-ometr´ıa. Con esto se pueden detectar variaciones en posici´ondel orden de la semi-longitud de onda del l´aser empleado. Contodo esto se asegura que el movimiento vertical sucede a ve-locidad constante y se puede medir el campo magn´etico con-stante. (cid:3) El efecto Hall cu´antico entero permite medir resistenciascon una indeterminaci´on de unas pocas partes en − de Figure 30: Vista de cerca de una uni´on Josephson moderna em-pleada en el NIST. Las uniones de Josephson se forman en lospozos circulares de color verde donde las dos capas superconduc-toras se superponen. Ver explicaci´on en texto. (Cr´edito: M. Mal-nou/NIST/JILA). ohmio. Por esta raz´on se utiliza para realizar el patr´onest´andar de resistencia [1–3].El resultado de comparar el modo de pesada con el modode velocidad, eliminando la cantidad BL , es la equivalenciaentre potencias mec´anica y el´ectrica: mgv = IV. (70)Aunque es habitual llamar a la balanza de Kibble como bal-anza de potencia o de watt, sin embargo, n´otese que la bal-anza de Kibble no mide potencias reales, sino virtuales. Estepunto es de crucial importancia en metrolog´ıa: si la potenciamec´anica se midiera realmente, entonces el dispositivo estar´ıasujeto a p´erdidas por fricci´on incontrolables; otros´ı, si se mi-diera la potencia el´ectrica directamente, entonces estar´ıa su-jeta a disipaci´on por calor. Vemos que el modo velocidad esesencial y proporciona la calibraci´on adecuada.Resulta que experimentalmente es m´as preciso medir re-sistencias que intensidades de corriente. Usando la ley deOhm, podemos despejar la masa en la balanza de Kibble enfunci´on de medidas de resistencia y de voltaje: m = V R VgvR , (71)donde V R y V son las dos mediciones del voltaje necesarias.En la segunda parte de la realizaci´on experimental del ‘kilocu´antico’ necesitamos relacionar la potencia el´ectrica en (70)con la constante de Planck h . Esto se hace a trav´es de la me-dida de la intensidad el´ectrica I en el modo pesada y el voltaje V en el modo velocidad de la balanza de Kibble. Para ello seutilizan los siguientes efectos cu´anticos. Efecto Hall Cu´antico Entero : cuando una muestra bidimen-sional contiene electrones constre˜nidos a moverse en dicho1
Figure 31: Ejemplo de un dispositivo de transporte mono-eletr´onico(TME) empleado en el NIST para la definici´on del amperio. Lainteracci´on entre los electrodos (puertas) azul y verde controla elmovimiento de electrones individuales dentro y fuera de una “isla”en el centro. Explicaciones en el texto. Los colores son solo ilustra-tivos. (Cr´edito: NIST). plano sujetos a un campo el´ectrico coplanar alineado lon-gitudinalmente y un campo magn´etico constante B muy in-tenso aplicado perpendicularmente a la muestra (ver Fig.29),y adem´as la muestra electr´onica se somete a temperaturaspr´oximas al cero absoluto, el sistema se aparta de la ley deOhm cl´asica y entra en un r´egimen cu´antico. Al igual que enel caso cl´asico, aparece una corriente electr´onica transversalque induce un voltaje transversal llamado voltaje de Hall V H .El sistema de electrones entra en un nuevo comportamientocu´antico caracterizado por la aparici´on de saltos y mesetas enla relaci´on entre la corriente transversal y el campo magn´etico[64]. En particular, la resistencia Hall R H asociada a dichopotencial Hall est´a cuantizada R H = 1 n (cid:48) he , (72)donde n (cid:48) es un n´umero entero, dando lugar a dichas mesetasaparecen en las curvas de la resistividad Hall. Se define laconstante de von Klitzing R K como R K := he , (73)que tiene dimensiones de resistencia y es la resistencia ele-mental. (cid:3) Efecto Josephson : cuando un cable superconductor se inter-rumpe en un punto con un contacto hecho de material aislanteque une dos porciones superconductoras, la corriente super-conductora puede mantenerse debido a un efecto t´unel de lospares de Cooper del superconductor. Esto se conoce como unauni´on Josephson (ver Fig.30). En estas circunstancias, si seaplica una radiaci´on de radiofrecuencia ν se induce un poten-cial V a trav´es de la uni´on que es proporcional a la frecuenciay est´a cuantizado [65, 66]: V J = n h e ν, (74) Figure 32: Tri´angulo metrol´ogico cu´antico: relaci´on esquem´atica en-tre las constantes universales del efecto Hall (73), efecto Josephson(75) y la carga del electr´on en un dispositivo TME. El tri´angulo es-tablece una ligadura entre ellas y las constantes de Planck h y la cargaelemental e . (Cr´edito: Piquemal et al. [67]). donde n es un entero, e es la carga del par de Cooper y sedefine la constante de Josephson como K J := 2 eh . (75)Este es el llamado efecto Josephson de corriente continua(CC) y las uniones Josephson se pueden realizar con puntosmet´alicos o con constricciones, adem´as de aislantes. Permitemedir voltajes con una indeterminaci´on de − , − voltios,es decir, del orden de nano voltios o menos. Por esta raz´on seutiliza para la realizaci´on el patr´on est´andar de voltaje [1–3]. (cid:3) Ahora podemos relacionar la masa prueba (71) que se em-plea en el modo pesada con la constante de Planck que apareceal medir la resistencia tambi´en en el modo pesada y el voltajeen el modo velocidad. Usando el efecto Hall cu´antico entero(72) para medir la resistencia y el efecto Josepshon (74) paramedir los voltajes V R y V , obtenemos la relaci´on deseada m = (cid:18) n (cid:48) n n ν ν gv (cid:19) h, (76)donde los n´umeros enteros que aparecen provienen delas mediciones concretas de los correspondientes efectoscu´anticos. Para medir g se utiliza un grav´ımetro absoluto dealta precisi´on y v con m´etodos interferom´etricos. Con todasestas medidas de alta precisi´on, la expresi´on (76) tiene unauna utilidad ambivalente: por un lado, dada una masa patr´on m como la del antiguo IPK podemos determinar h con granprecisi´on. Por otro lado, dado que h se puede medir con estem´etodo con mucha precisi´on, podemos fijar este valor de h como exacto y definir la unidad de masa en funci´on de h : con-seguimos as´ı realizar la v´ıa del ‘kilo cu´antico’ y desvincular ala unidad de masa del artefacto kilo IPK.2
3. Tri´angulo Metrol´ogico Cu´antico
La nueva definici´on del amperio vincul´andose al valor de lacarga elemental del electr´on e resalta por su claridad y simpli-cidad comparada con la vetusta definici´on basada en la ley deAmpere y una construcci´on irrealizable utilizando hilos con-ductores infinitos y de grosor nulo [4]. Pero tambi´en conllevala necesidad de materializarlo de alguna manera, y no es nadaf´acil pues el n´umero de electrones en un sistema ordinario esinmensamente grande. El BIPM ha aprobado tres m´etodospara la realizaci´on pr´actica del amperio [2–4]. Uno de elloshace uso de la definici´on direacta de amperio A = C/s y deun dispositivo de transporte mono-electr´onico (TME), que hade enfriarse hasta temperaturas cercanas al cero absoluto (verFig.31). Por un TME, los electrones pasan desde una fuentehasta un drenaje. El TME consta de una regi´on hecha de sili-cio, llamada isla, entre dos puertas que sirven para manipularel´ectricamente la corriente. La isla almacena temporalmentelos electrones provenientes de la fuente usando otra puerta devoltaje. Mediante el control de los voltajes en las dos puertas,se puede conseguir que un solo electr´on permanezca en la islaantes de pasar al drenaje. Repitiendo este proceso muchas ve-ces y muy r´apidamente, se consigue establecer una corrientede la que se pueden contar sus electrones.El sector el´ectrico es el m´as cu´antico de todas las unidadesen el SI. Ahora que el amperio ha sido redefinido en el nuevoSI vincul´andolo a un valor fijo de la carga del electr´on, esposible relacionar las tres magnitudes que aparecen en la leyde Ohm, V = IR , en t´erminos de solo dos constantes univer-sales, h y e . Esto se visualiza mediante el llamado tri´angulometrol´ogico cu´antico (ver Fig.32). Este tri´angulo representauna ligadura experimental que deben cumplir los patrones devoltaje, resistencia e intensidad, de modo que los tres no sonindependientes. As´ı, si medimos la constante de Josephson(75) por un lado y la de von Klitzing (73) por otro, nos per-miten obtener valores para la unidad de carga e del electr´onque debe ser compatible, dentro de las indeterminaciones ex-perimentales, con el valor de e obtenido con un transportemono-electr´onico. Y lo mismo para cualquier pareja de mag-nitudes que tomemos en el tri´angulo. Por tanto, el tri´angulometrol´ogico cu´antico nos permite comprobar experimental-mente a medida que se consiguen mejores exactitudes y preci-siones, si las constantes h y e son realmente constantes comose ha supuesto en el nuevo SI. Las indeterminaciones en es-tas constantes deben ser compatibles usando estas tres real-izaciones experimentales. Si en alg´un momento estas inde-terminaciones no se solapan, entonces esto es un indicio denueva f´ısica pues afectar´ıa a los fundamentos de la mec´anicacu´antica o de la electrodin´amica cu´antica como se explic´oen la secci´on IX. De nuevo, esto es un ejemplo de c´omo lametrolog´ıa no solo sirve para mantener patrones de unidades,sino para abrir nuevos caminos hacia nuevas leyes fundamen-tales de la naturaleza. XI. UNA ‘ANOMAL´IA GRAVITACIONAL’ EN EL SI
A pesar de que el nuevo sistema de unidades SI supone lavinculaci´on completa de las unidades base a constantes fun-damentales de la naturaleza, no deja de ser llamativo la ausen-cia de una de las constantes universales m´as antiguas de laF´ısica: la constante de la gravitaci´on universal de Newton G (ver Fig.33), llamada coloquialmente la G grande, en contra-posici´on a la g peque˜na que representa la aceleraci´on local dela gravedad en un punto terrestre.La principal raz´on para excluir a G del nuevo sistema SI deunidades es la falta de precisi´on suficiente para poder definiruna unidad de masa. Como se explic´o en X A, este es el ori-gen de la ‘v´ıa cu´antica’ para la definici´on del kilo cuando sequiere desvincularlo de un artefacto material como el cilin-dro del kilo IPK. Este hecho est´a relacionado con el llamado‘Problema de la G grande de Newton’ [68–71]. Este problemaconsiste en la fata de compatibilidad de las medidas de G enlos ´ultimos treinta a˜nos. Diversos laboratorios de metrolog´ıade todo el mundo han tratado de medir G con dispositivos ex-perimentales dise˜nados para conseguir reducir la incertidum-bre en el valor de G . El resultado es sorprendente: los val-ores de G no convergen a un valor ´unico consistente y susincertidumbres no se solapan de forma compatible. Esto sepuede apreciar en la Fig.34, donde se muestran los resultadosde m´ultiples experimentos y una zona vertical donde se eligeun valor de G de compromiso. La situaci´on se ha vuelto de-sesperante y la NSF (National Science Foundation) ha lanzadouna iniciativa mundial para tratar de esclarecer el problema[72].Surge entonces una pregunta fundamental: ¿Cu´al es el ori-gen del problema de la G grande de Newton? La soluci´onm´as natural es que sea debido a posibles errores sistem´aticosen los experimentos. A favor de esta interpretaci´on est´a el he-cho de que, a pesar de la cada vez mayor sofistificaci´on paratratar de medir G con mayor precisi´on, todos los m´etodos ex-perimentales empleados son variantes de la c´elebre balanzade Cavendish [73, 74]. Sin embargo, en la Fig.34 aparece unvalor [75] cuyo m´etodo experimental es completamente difer-ente de los m´etodos basados en la balanza de Cavendish. Setrata de un m´etodo cu´antico de medir G . Su dispositivo utilizauna t´ecnica basada en interferometr´ıa at´omica con ´atomos ul-trafr´ıos. Con ella, se hace uso de la naturaleza cu´antica de los´atomos a temperaturas cercanas al cero absoluto, para obteneruna medida precisa de la aceleraci´on de la gravedad.El m´etodo de los ´Atomos Fr´ıos en Gravedad (AFG) constade 2 pasos: Paso 1: medida de la constante g peque˜na: valorde la gravedad local terrestre. Paso 2: medida de la constante G grande.La t´ecnica consiste en voltear ´atomos fr´ıos verticalmente,arriba y abajo, de forma repetida. Esto sirve para sondearla gravedad terrestre con una nube de ´atomos de rubidio Rben ca´ıda libre. Con esto se consigue medir la fuerza de lagravedad entre un ´atomo de Rb y una masa de referencia de516 kg. El resultado es una medida de G con una incertidum-bre relativa del . . Es la primera vez que un m´etodocu´antico es admitido a formar parte del conjunto de valoresque sirven para determinar G .3 Figure 33: El esquema de las dependencias de las constantes natu-rales y las unidades b´asicas del nuevo SI en la Fig.19 presenta unaausencia notable: la constante G de la graviaci´on universal de New-ton. El tri´angulo engloba a la excluida G con las unidades de lasque depende (52) que son las mismas que la constante h de Planck(51), pero en otra proporci´on. (Cr´edito: Emilio Pisanty/Wikipedia(adapted)). Esta anomal´ıa gravitacional no deja de ser un reflejo delgran problema que afecta a la f´ısica moderna: la falta de com-patibilidad entre las dos grandes teor´ıas de nuestro tiempo, lamec´anica cu´antica y la relatividad general. Una observaci´onimportante (ver Conclusiones) es que el m´etodo AFG es unm´etodo indirecto de medici´on para la G grande de Newton:se hace a trav´es de medir primero g peque˜na. Esto contrastacon los m´etodos c´asicos basados en la balanza de Cavendishdonde se puede medir G directamente. Una medida cu´anticadirecta de G ser´ıa un primer indicio experimental de efectoscu´anticos en la gravedad y un primer paso para una teor´ıa degravedad cu´antica. Como se ve en la Fig.34, el valor de AFGtodav´ıa queda fuera de la zona vertical sombreada del valorrecomendado m´as reciente para G . Esto puede ser indicativode que el m´etodo AFG no sufre de los posibles errores sis-tem´aticos en los m´etodos cl´asicos de medida de G y podr´ıaser el comienzo para la soluci´on del problema de la G grandede Newton. La manera de confirmar esta hip´otesis es fomentarla realizaci´on de m´as experimentos tipo AFG en m´as labora-torios independientes y usar t´ecnicas de metrolog´ıa cu´anticapara disminuir sus incertidumbres. Si el reultado de todos es-tos nuevos experimentos cl´asicos y cu´anticos fuera que no ex-isten errores sistem´aticos, entonces la conclusi´on ser´ıa todav´ıam´as emocionante pues ser´ıa de nuevo una puerta abierta porla metrolog´ıa a una nueva f´ısica.M´etodos directos para medir G no se conoce ninguno. Dehecho, hay pocas ecuaciones de la f´ısica donde G y h aparez-can juntas. Una de ellas nos puede servir para ver las difi-cultades de conseguir un m´etodo cu´antico directo para medir G . Se trata de la ecuaci´on del l´ımite de Chandrasekhar parael radio de una estrella enana blanca. Si pens´aramos ingenu-amente en producir un condensado gravitatorio de nucleones Figure 34: Diagrama comparativo de las mediciones de la constante G a lo largo del tiempo utilizando m´etodos cl´asicos basados en vari-antes de la balanza de torsi´on, salvo el de Rossi et al. [75] que empleael m´etodo de los ´Atomos Fr´ıos en Gravedad (AFG). (Cr´edito: NIST[68]). (fermiones) que fuera el resultante de compensar la presi´ongravitatoria de N nucleones de masa M con la presi´on dedegeneraci´on debido al principio de exclusi´on de Pauli, us-ando mec´anica cu´antica no-relativista y gravitaci´on newtoni-ana para simplificar, se obtiene [76] un valor del radio de equi-librio dado por R = (cid:18) π (cid:19) / (cid:126) q / GmM N / , (77)donde N es el n´umero de nucleones y q el n´umero de elec-trones por nucle´on con masa m . Se ha supuesto que la densi-dad del condensado esf´erico es uniforme. Para hacer una es-timaci´on sencilla, consideremos un sistema de solo neutrones( q = 1 , m = M = m n masa del neutr´on), y sustityendo losvalores experimentales conocidos, obtenemos R = 5 . × N − / m . (78)Si queremos tener un sistema de fermiones condensado en unaesfera con un radio del orden de un metro para ser manipula-ble en un laboratorio terrestre, podemos estimar el n´umero deneutrones necesarios que se obtiene con (78) en algo del ordende N ∼ , una cantidad intratable si tenemos en cuentaque el n´umero de ´atomos en el universo observable es del or-den de . Esta dificultad es un reflejo de la disparidad deescalas donde act´ua la gravedad frente a los efectos cu´anticos. XII. CONCLUSIONES
La adopci´on del nuevo SI de unidades trae consigo variasventajas concretas respecto al anterior sistema: resuelve elproblema del amperio y las unidades el´ectricas que se hab´ıan4quedado fuera del SI, elimina la dependencia del kilo conel artefacto del kilo IPK, conceptualmente es m´as satisfacto-rio definirlas en t´erminos de constantes naturales, las futurasmejoras tecnol´ogicas no afectar´an m´as a las definiciones etc.El nuevo SI de unidades no tiene repercusiones directas enla vida cotidana, pero s´ı en los laboratorios de investigaci´ony en los centros nacionales de metrolog´ıa donde se necesitanmedidas de gran exactitud y precisi´on para realizar esas inves-tigaciones y para custodiar y diseminar los patrones primariosde las unidades. Como siempre sucede, a la larga esos nuevosdescubrimientos resultan en aplicaciones que s´ı modifican amejor nuestra vida diaria.Por tanto, es un gran reto conceptual explicar y transmitirlo que supone y hay detr´as del nuevo sistema de unidades.En X A se ha presentado una visi´on com´un de todas lasnuevas definiciones utilizando como principio unificador lanaturaleza discreta de la energ´ıa, la materia y la informaci´onen las leyes fundamentales de la F´ısica y la Qu´ımica a lasque aparecen vinculadas cada una de las unidades. Curiosa-mente, lo ´unico que queda sin discretizar es el espacio-tiempo.Una ventaja del nuevo SI es que facilita la explicaci´on de lasnuevas definiciones al no necesitar explicar los aparatos demedida necesarios para realizar dichas unidades.La metrolog´ıa tiene una doble misi´on: 1) Mantener los pa-trones de las unidades y su definiciones compatibles con lasleyes actuales de la f´ısica. 2) Medir cada vez con mayor exac-titud y precisi´on abriendo nuevas puertas a descubrir nuevasleyes de la f´ısica.En cuanto a su misi´on m´as tradicional 1), la adopci´ondel nuevo SI permite deshacerse de un artefacto materialpara definir el kilo, que era un objetivo largamente so˜nado.Con ello, es posible materializar patrones primarios de lasunidades b´asicas en centros de metrolog´ıa nacionales distin-tos por primera vez. En particular, la metrolog´ıa cu´antica vaa cambiar dr´asticamente la diseminaci´on y trazabilidad de lasunidades de medida al conseguir que las unidades se puedanmaterializar aut´onomamente sin necesidad de tener un ´unicopatr´on.Es interesante hacer notar que en el transcurso de la con- strucci´on del nuevo SI han aparecido las tres balanzas m´asfamosas de la f´ısica: Cavendish [73, 74], E¨otv¨os [19] y Kib-ble [63]. Como tambien han sido fundamentales los art´ıculosde Einstein en su annus mirabilis de 1905 [7, 14, 16, 17].En cuanto a la segunda misi´on, hemos visto c´omo el nuevoSI utiliza cinco constantes universales de la naturaleza. Deellas, tres tienen un estatus especial, c, h y e , pues est´an aso-ciadas a principios de simetr´ıa del universo como el principiode relatividad, unitariedad y simetr´ıa gauge. Las otras dos sonla constante de Botzmann k y la constante de Avogadro N A ,las cuales no tiene ninguna simetr´ıa asociada.Ahora que las unidades f´ısicas est´an definidas por la f´ısicafundamental del universo, y no por una maquinaci´on humanausando artefactos, las constantes fundamentales del universo,¿son una maquinaci´on de algo? ¿porqu´e son las que son? ¿yhasta cu´ando? Hemos llegado as´ı a las preguntas m´as funda-mentales de la f´ısica. Por eso la metrolog´ıa realmente va m´asall´a de mantener los patrones de medida. Acknowledgments
Estas notas son el resultado de varias conferencias impar-tidas durante 2017, 2018 y 2019. Mi agradecimiento a losorganizadores Jos´e Manuel Bernab´e y Jos´e ´Angel Robles delCentro Espa˜nol de Metrolog´ıa (CEM) por su invitaci´on al o Congreso Espa˜nol de Metrolog´ıa (2017), al o SeminarioIntercongresos de Metrolog´ıa (2018) y al Congreso del 30Aniversario del CEM (2019); a Alberto Galindo y ArturoRomero de la Real Academia de Ciencias Exactas, F´ısicas yNaturales de Espa˜na por su invitaci´on al Ciclo Ciencia paraTodos (2018) y la Jornada sobre “La revisi´on del Sistema In-ternacional de Unidades, (SI). Un gran paso para la ciencia”(2019); a Federico Finkel y Piergiulio Tempesta por su in-vitaci´on al acto homenaje de Artemio Gonz´alez L´opez conmotivo de su 60 aniversario. M.A.M.-D. agradece el apoyofinanciero del MINECO grant FIS2015-67411, del consor-cio de investigaci´on de la CAM QUITEMAD+, Grant No.S2013/ICE-2801 y en parte por el U.S. Army Research Of-fice a trav´es de Grant No. W911N F- 14-1-0103. https://physics.nist.gov/cuu/pdf/wall_2018.pdf . [6] D B Newell1, F Cabiati, J Fischer, K Fujii, S G Karshenboim,H S Margolis, E de Mirand´es, P J Mohr, F Nez, K Pachucki, TJ Quinn, B N Taylor, M Wang, B M Wood and Z Zhang; “TheCODATA 2017 values of h, e, k, and N A for the revision of theSI”. Metrologia, Volume 55, Number 1, (2018).[7] A. Einstein; “Zur Elektrodynamik bewegter K¨oper” [On theElectrodynamics of Moving Bodies]. Annalen der Physik (inGerman). 17 (10): 891-921, (1905).[8] Richard P. Feynman; “Six Easy Pieces”. Perseus, New York2011.[9] Robert P Crease; “The most beautiful experiment”; PhysicsWorld, Volume 15, Number 9, p.15 (2002).[10] Steven Weinberg; “Precision Tests of Quantum Mechanics”.Phys. Rev. Lett. 62, 485 (1989).[11] J. J. Bollinger, D. J. Heinzen, W. M. Itano, S. L. Gilbert, andD. J. Wineland; “Test of the linearity of quantum mechanics byrf spectroscopy of the 9Be+ ground state” Phys. Rev. Lett. 63, https://qt.eu/app/uploads/2018/04/93056_Quantum-Manifesto_WEB.pdf + Quantum-Logic Clock with a Systematic Uncertainty be-low − . Phys. Rev. Lett. 123, 033201, (2019).[55] C.W. Chou, D.B. Hume, T. Rosenband and D.J. Wineland, Sci-ence 329, 1630 (2010).[56] J. K. Webb, J. A. King, M. T. Murphy, V. V. Flambaum, R.F. Carswell, and M. B. Bainbridge, “Indications of a SpatialVariation of the Fine Structure Constant”; Phys. Rev. Lett. 107,191101 (2011).[57] J. Bagdonaite, P. Jansen, C. Henkel, H. L. Bethlem, K. M.Menten, and W. Ubachs, “A Stringent Limit on a DriftingProton-to-Electron Mass Ratio from Alcohol in the Early Uni-verse”; Science 339, 46 (2012) .[58] N. Huntemann, B. Lipphardt, Chr. Tamm, V. Gerginov, S. Wey-ers, and E. Peik, “Improved Limit on a Temporal Variation ofmp/me from Comparisons of Yb + o R115. o Congreso Espa˜nol de Metrologia. San Fernando de Cadiz.(2017).[72] National Science Foundation. “Ideas Lab: Mea-suring ‘Big G’ Challenge”. Disponible en red:https://nsf.gov/pubs/2015/nsf15591/nsf15591.htm[73] A. Moreno; “
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