aa r X i v : . [ m a t h . C T ] N ov VARIEDADES DE ÁLGEBRASTOPOLÓGICAS
Lucas Taylor Earl
ARIEDADES DE ÁLGEBRASTOPOLÓGICAS
Lucas Taylor Earl
Dissertação para a obtenção do Grau de
Mestre em Matemática
Área de Especialização em
Geometria, Álgebra e Análise
Júri
Presidente:
Maria Manuela Oliveira de Sousa Antunes Sobral
Orientadora:
Maria Manuel Pinto Lopes Ribeiro Clementino
Vogal:
Gonçalo Gutierres da Conceição
Data: 14 de Junho de 2013 esumo
As álgebras topológicas têm propriedades que estendem às dos grupostopológicos [8, 9], mas será que existem produtos semidirectos para álge-bras topológicas, tal como no caso dos grupos? Primeiramente, expressam-se conceitos na linguagem de categorias que capturam as propriedades dosgrupos. A seguir, observam-se resultados sobre grupos topológicos agoraestendidos para variedades topológicas. No final, deduz-se que para álge-bras topológicas que satisfazem determinados axiomas, existem produtossemidirectos e caracterizamo-los como em [17].
Palavras-chave: protomodular, produto semidirecto, álgebra, topologia
Abstract
Topological algebras have properties that extend naturally to thoseof topological groups [8, 9], but is it the case that semi-direct productsexist as in the category of groups? Firstly, we express concepts in ca-tegorical language that capture group properties. We then observe theresults about topological groups now extended to varieties of topologicalalgebras. We conclude showing that for topological algebras obeying cer-tain axioms, there exist semi-direct products which we caracterize like in[17].
Keywords: protomodular, semi-direct product, universal algebra, topologyi gradecimentos
À Professora Doutora Maria Manuel Pinto Lopes Ribeiro Clementinoexpresso o meu sincero agradecimento pelo apoio fundamental, disponi-bilidade na partilha do saber e pelos seus valiosos conselhos. Acima detudo, obrigado por estimular o meu interesse pelo estudo da matemática.Também queria agradecer ao Professor Doutor Andrea Montoli pelasua ajuda no estudo dos monomorfismos normais e no esclarecimento dedúvidas ao longo desta jornada.Ao Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra, agra-deço as condições disponibilizadas para a realização deste trabalho.À minha família, pelos valores morais que sempre me transmitiram epor me ajudarem a crescer pessoal e intelectualmente. Pelo inestimávelapoio apesar da distância, e pela contínua paciência e compreensão.À Mara Sofia da Cruz Antunes, à Teresa Sousa e ao Jason Nobre Bo-lito pelas suas sugestões linguísticas e pela amizade profunda prestada.A todos os demais... i onteúdo GrpTop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Grupos topológicos como uma variedade de álgebra universal . . . . 252.3 Álgebras protomodulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Álgebras topológicas protomodulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5 Functores Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.6 Operação de Maltsev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7 Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Grp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Mónadas e functores monádicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3 Produtos semidirectos em álgebras topológicas . . . . . . . . . . . . . 43
A Epimorfismos e o Teorema de Barr-Kock 49Índice Remissivo 51 iii apítulo 0
Introdução
Álgebra e topologia são dois ramos desenvolvidos na matemática com abordagensdiferentes. A topologia explora as questões de conectividade, compactidão, etc.,de espaços, enquanto que na álgebra se trabalha com estruturas de elementos quesatisfazem axiomas equacionais. Essas estruturas são aplicadas em várias partes damate ´matica aplicada, inclusive à física teórica onde representam partículas, campos,ondas, interacções, etc. Uma questão pertinente que surge é se se pode definirobjectos que são simultaneamente algébricos e topológicos.Em 1891, Sophus Lie abriu o caminho introduzindo os seus «grupos contínuos»que são munidos da estrutura de uma variedade diferenciável, que em particular, éum espaço topológico [21]. Inicialmente os grupos de Lie foram aplicados às equaçõesdiferenciáveis e aos grupos de transformações, porém, estes têm aplicações impor-tantes em vários ramos matemáticos e, em especial, na matemática aplicada. Noentanto, obter-se-ia maior generalidade nas estruturas implementadas. Interessava,por exemplo, estudar os espaços topológicos sobre uma álgebra específica.Grupos topológicos, primeiramente estudados por Schreier em 1925 [26], são umexemplo do poder de uma álgebra topológica, ou seja, um grupo munido de umatopologia «compatível» com este. Os resultados que deles se obtêm são fantásti-cos. Começando com Van Dantzig [28] (que foi o primeiro a usar o termo grupostopológicos ) outras estruturas simultaneamente algébricas e topológicas foram ins-peccionadas: anéis, corpos, módulos.Com o aparecimento da teoria das categorias, foi natural considerar uma álgebrasobre uma teoria algébrica qualquer. Observou-se que para uma teoria qualquer ofunctor de esquecimento preserva limites e colimites. A caracterização de álgebrasprotomodulares levou Borceux e Clementino a um método sistemático para provarresultados clássicos sobre essas álgebras [10].* * *No capítulo 1 apresentam-se ambientes apropriados dentro da teoria das cate-1orias para o estudo da álgebra. Consideramos os conceitos de grupos tais comolemas homológicos, quocientes e relações nesse prisma. Comparamos este ambienteàs categorias abelianas mostrando que as semi-abelianas capturam propriedades degrupos, enquanto que as abelianas representam os grupos abelianos.No capítulo 2, começa-se por expor os grupos topológicos, verificando que se en-caixam no ambiente das categorias homológicas, e portanto, satisfazem os lemas dehomologia. Demonstram-se também os resultados conhecidos dos grupos topológi-cos e introduz-se a noção que estes formam uma variedade de álgebras topológicas.Conclui-se mostrando que os resultados para
GrpTop se estendem para as varieda-des de álgebras topológicas.O capítulo 3 inicia-se apresentando os produtos semidirectos em
Grp . Em se-guida, mostra-se que existe uma generalização desta noção para categorias protomo-dulares que equivale no caso dos grupos. No final demonstra-se que existem produtossemidirectos em álgebras topológicas sobre teorias que satisfazem certos axiomas.2 apítulo 1
Categorias semi-abelianas
As categorias de módulos sobre um anel têm propriedades bem identificadas, que hámais de 50 anos levaram ao conceito de categoria abeliana [23, 22]. No entanto, acategoria
Grp dos grupos e homomorfismos não é abeliana e surge uma questão na-tural de como se podem capturar as propriedades essenciais dos grupos no ambientedas categorias. Durante décadas, investigadores dedicados foram desenvolvendo aospoucos conceitos que representam vários comportamentos de
Grp . Este estudo cul-minou com a noção de categoria semi-abeliana formulada por Janelidze, Márki eTholen [18] que é a junção da noção de categoria exacta de Barr com a de categoriaprotomodular de Bourn [1, 7]. abeliana aditivasemi-abeliana exacta efectivahomológica regularprotomodularpontuada
Diagrama 1.1
Em grupos tal como em variedades universais não se pode menosprezar o conceitode relações de equivalência (denominadas congruências em álgebra universal). Osteoremas de isomorfismo de Emmy Nöther são teoremas sobre essas relações de equi-valência na categoria dos grupos. Na secção 1.4 é apresentado um ambiente mais3eral em que esses teoremas homológicos ainda são válidos–para uma descrição con-ceptual remete-se o leitor para [11].Com esse objectivo, introduz-se a noção interna de relação de equivalência. Paraisso, em primeiro lugar caracterizam-se, em linguagem de categorias, as relações deequivalência na categoria
Conj dos conjuntos e funções. Em
Conj , uma relação doconjunto X no conjunto Y é um subconjunto do seu produto: R ⊆ X × Y . Paraas relações sobre o mesmo conjunto, R ⊆ X × X, pode definir-se uma relação deequivalência, i.e., uma relação que é reflexiva, simétrica e transitiva. No âmbito dateoria das categorias, examinam-se as propriedades de uma relação de equivalênciavisando as suas projecções.Em Conj , a relação ∼ será reflexiva se cada elemento for em relação a si próprio,isto é, a relação R ⇒ X for reflexiva em Conj se, para todo o x ∈ X, ( x, x ) ∈ R, ou seja, se a diagonal de X , ∆ X = { ( x, x ) | x ∈ X } , for um subconjunto de R. Podedizer-se ainda que o morfismo (1 X , X ) se factoriza através de R, como mostra odiagrama seguinte: XRX × XX X. ( d , d ) p p X X d d Para ser simétrica, R satisfará: ( x, y ) ∈ R ⇔ ( y, x ) ∈ R, isto é, se permutar o papel da primeira e segunda componentes a relação manter-se-á.Se R for simétrica, seja σ : R → R ; ( x, y ) → ( y, x ) a função que permuta os papéisdas suas componentes. Devem verificar-se as identidades seguintes: d ◦ σ = d e d ◦ σ = d . Conj significa a implicação: ( x, y ) , ( y, z ) ∈ R ⇒ ( x, z ) ∈ R. Pretende escrever-se esta propriedade também em termos de morfismos. Seja S = { ( x, y, z ) | ( x, y ) , ( y, z ) ∈ R } ; garantidamente existem as projecções: ( x, y, z ) q ( x, y ); e ( x, y, z ) q ( y, z ) , e se R for transitiva define-se ˜ q : S → R ; ( x, y, z ) ( x, z ) ondetodos estes devem satisfazer o diagrama a seguir: ( x, y ) x ( x, y, z ) ( x, z ) z ( y, z ) .q ˜ qq d d d d Pode averiguar-se que o terno ( S, q , q ) assim definido é o produto fibrado de R X R.d d Com estas propriedades, define-se a noção de uma relação de equivalência internanuma categoria qualquer com produtos fibrados, generalizando a noção em
Conj . Definição 1.1.1.
Uma relação d , d : R ⇒ X numa categoria C com produtosfibrados diz-se: • Reflexiva se (1 X , X ) se factorizar através de R ; • Simétrica se existir σ : R → R que satisfaça d ◦ σ = d , e d ◦ σ = d ; • Transitiva se no produto fibrado ( R × X R, q , q ) : R × X R RR X,q q d d existir um morfismo ˜ q : R × X R → R tal que d ◦ q = d ◦ ˜ q e d ◦ q = d ◦ ˜ q. Uma relação numa categoria diz-se de equivalência se for reflexiva, simétrica e tran-sitiva. 5s relações de equivalência internas dentro de uma categoria formam uma cate-goria
Eq(C) , que tem como objectos as relações de equivalência e como morfismosdiagramas comutativos da forma:
R R ′ X × X Y × Y ˜ fd d ′ d d ′ ( f, f ) onde f : X → Y é um morfismo em C .Na matéria que irá ser abordada ainda neste capítulo usaremos relações de equi-valência especiais. Anunciemos a definição do par núcleo de um morfismo. Definição 1.1.2.
O par núcleo de um morfismo f : X → Y é o par das projecçõesno produto fibrado: R [ f ] XX Y.π fπ f Usa-se a notação R [ f ] para designar X × Y X. Proposição 1.1.1.
Para qualquer morfismo f : X → Y em C , o par núcleo R [ f ] Xπ π é uma relação de equivalência.Demonstração. O facto de a relação R [ f ] ser reflexiva e simétrica vem da propriedadeuniversal, como é visível nos diagramas abaixo: X R [ f ] XX Yπ π f f X X R [ f ] R [ f ] XX Yσ π π f fπ π R [ f ] : R [ f ] × X R [ f ] R [ f ] R [ f ] X,ξ ξ π π e aplicando a propriedade universal comprova-se que R [ f ] é transitiva, como o dia-grama a seguir indica: R [ f ] × X R [ f ] R [ f ] XX Y. ˜ ξ π π f fπ ◦ ξ π ◦ ξ Às relações de equivalência que sejam pares núcleos chamam-se efectivas. Nemtoda a relação de equivalência é efectiva. Isto acontece, por exemplo, na categoriados espaços topológicos e nas aplicações contínuas,
Top . Exemplo 1.1.3.
Construir, para cada relação de equivalência, um morfismo quemostra que esta é efectiva é um procedimento directo em muitas categorias como
Conj . Seja d , d : R ⇒ X uma equivalência sobre o conjunto X. Descreve-se aprojecção π : X → X/ ∼ entre X e o conjunto X/ ∼ das classes de equivalência, o queleva cada elemento de X para a sua classe. Deste modo R [ π ] é isomorfa a R. Categorias exactas–definidas pela primeira vez em [1]–são categorias onde existe umsistema «óptimo» de factorização (no caso das categorias abelianas f = im f ◦ coim f )e em que as relações de equivalência internas são sempre pares núcleos, podendo serescritas em termos de aplicações quocientes.Nem todo o homomorfismo de grupos se factoriza através de um núcleo após umconúcleo como acontece no caso de categorias abelianas. Considere-se um homomor-fismo entre grupos f : X → Y. Se f for um homomorfismo entre grupos abelianos, a7magem de f é um subgrupo normal de Y, mas para grupos em geral, nem semprese confirma. Se f ( X ) não for normal, então não se pode definir Y /f ( X ) e, por essemotivo, não é possível factorizar f através da sua imagem.No entanto, existe uma factorização mais fraca em Grp . Forma-se o grupo quo-ciente,
X/f , que consiste nas classes de equivalência na relação gerada por f (i.e., x ∼ x ′ ⇔ f ( x ) = f ( x ′ ) ). Escreve-se então, f = m ◦ e onde m : X/f → Y ; [ x ] f ( x ) e e : X → X/f ; x [ x ] . Esses morfismos estão bem definidos como se podecomprovar. Além disso, m é injectivo e portanto um monomorfismo. O morfismo e : X → X/f é um co-igualizador de ( R [ f ] , π , π ) . Porém, esta factorização (de mo-nomorfismo após epimorfismo regular em
Grp ) deriva de um co-igualizador, razãopela qual é única a menos de isomorfismo.Nesta secção identificam-se, inicialmente, propriedades de categorias que serãoexactamente aquelas com este tipo de factorização única.
Definição 1.2.1.
Uma categoria finitamente completa diz-se regular se:1. Tiver co-igualizadores de pares núcleos;2. Os seus epimorfismos regulares forem estáveis para produtos fibrados.De modo a verificar a utilidade desta definição provaremos que numa categoriaregular qualquer morfismo tem uma factorização canónica tal como no caso dosgrupos.
Proposição 1.2.1.
Numa categoria regular, qualquer morfismo f : X → Y em C tem uma factorização única (a menos de isomorfismo) f = m ◦ e, onde e é umepimorfismo regular e m é um monomorfismo.Demonstração. Considere-se o par núcleo de f,R [ f ] X Y.fπ π Seja e : X → Q o co-igualizador das projecções π e π , então pela propriedadeuniversal do co-igualizador existe um único morfismo m como é evidente no diagramaa seguir: R [ f ] X YQ .fe m m ser um monomorfismo vem do corolário A.0.6 e R [ f ] ∼ = R [ e ] . Definição 1.2.2.
Na demonstração da proposição anterior, o morfismo m : Q → Y que é designado por im( f ) , é chamado de imagem de f. Corolário 1.2.2.
Numa categoria regular os epimorfismos regulares coincidem comos fortes.
Salienta-se mais uma propriedade útil das factorizações em categorias regulares.
Proposição 1.2.3.
Dado um quadrado comutativo numa categoria regular: · ·· · f ′ a f b existe uma factorização através das imagens, isto é, existe um único morfismo θ quetorna o diagrama seguinte comutativo: · · ·· · · .a bee ′ m ′ mθf ′ f ′ Demonstração.
Seja ( α , α ) o par núcleo de f ′ , e como estamos numa categoriaregular o par núcleo de f ′ é exactamente o par núcleo de e ′ . De b ◦ f = m ◦ e ◦ a, decorre m ◦ e ◦ a ◦ α = m ◦ e ◦ a ◦ α . Todavia, como m é um monomorfismo obtém-se e ◦ a ◦ α = e ◦ a ◦ α e então e ◦ a e ′ : I · · ·· · · .a bee ′ mmα α Adiciona-se uma condição à definição de regular para definir uma categoria exactade Barr.
Definição 1.2.3.
Uma categoria C é exacta se for regular e efectiva (toda a suarelação de equivalência interna é efectiva).Nesta altura, afirma-se que a categoria dos conjuntos é exacta. Proposição 1.2.4.
Apesar de ter co-igualizadores quaisquer, a categoria dos espaçostopológicos não é regular.Demonstração.
Epimorfismos em
Top nem sempre são estáveis para produtos fibra-dos. Para ver isso basta um contra-exemplo: Definamos conjuntos subjacentes A = { a , a , a , a } , B = { b , b , b } e C = { c , c , c } ; e funções f : A → C, e g : B → C com a , b c , a , a c , a , b , b c . Se { a , a } e { b , b } pertencerem àstopologias de A e B respectivamente e se a topologia de C for indiscreta, confirma-sede maneira directa que f é uma aplicação quociente mas no produto fibrado: A × C B BA Cπ π gfπ não é um quociente, pois { ( a , b ) } = π − ( { a , a } ) é aberto mas { b } não é.10 .3. Categorias protomodulares A noção de sucessão exacta é uma noção importante no estudo da homologia.Considera-se nesta secção um teorema de homologia bem conhecido, o lema doscinco, que diz:
Teorema 1.3.1.
Lema dos CincoNum diagrama comutativo em
Grp : K [ f ] X YK [ f ′ ] X ′ Y ′ a b cf ′ f ker f ker f ′ sendo f e f ′ epimorfismos regulares, se a e c forem isomorfismos, então b é umisomorfismo. O objectivo principal desta secção é caracterizar as categorias C que satisfazemum teorema mais fraco, o lema cindido dos cinco que, para além das hipóteses dolema dos cinco requer que f e f ′ sejam epimorfismos cindidos. Inicialmente definem-se subcategorias da categoria C ↓ B sobre um objecto B de C , que chamaremosa categoria dos pontos sobre B . Seguidamente define-se a noção de categoria pro-tomodular e mostra-se que esta equivale ao lema cindido dos cinco numa categoriapontuada.Se C é uma categoria finitamente completa, Pt(C) denota a categoria cujosobjectos são os epimorfismos cindidos e cujos morfismos são pares de morfismos (nodiagrama ( γ , γ ) ) que tornam o diagrama comutativo: X X ′ Y Y ′ γ fs γ f ′ s ′ Para cada objecto X, Pt X ( C ) é definida como sendo a categoria cujos objectos os de Pt(C) com codomínio X, e cujos morfismos são os morfismos ( γ , γ ) com γ = 1 X . Cada morfismo v : X → Y em C induz um functor de mudança de base: v ∗ : Pt Y ( C ) → Pt X ( C ) , X × Y B X × Y B ′ B ′ BX Y.v ∗ γ v ∗ g ′ v ∗ g v g ′ g γ (1.1)No diagrama v ∗ γ é o morfismo único garantido pela propriedade universal e osmorfismos: v ∗ g : X × Y B → Xv ∗ g ′ : X × Y B ′ → X são imagens dos epimorfismos cindidos g : B → Y , g ′ : B ′ → Y que são igualmenteepimorfismos cindidos. Definição 1.3.1.
Uma categoria C finitamente completa diz-se protomodular se nodiagrama: A B C A ′ B ′ C ′ a ba ′ f hb ′ g s onde g é um epimorfismo cindido. Se 1 e 1 2 forem produtos fibrados, então 2também o será.Nesta secção mostra-se que ser protomodular equivale a satisfazer o lema cindidodos cinco («split short five lemma»). Proposição 1.3.2.
Numa categoria finitamente completa C , as afirmações seguintesequivalem-se:1. C ser protomodular2. Para todo o morfismo v : X → Y em C , o functor v ∗ : Pt Y ( C ) → Pt X ( C ) ser conservativo (reflectir isomorfismos). emonstração. Sejam C uma categoria protomodular, v : X → Y um morfismo em C e X × Y B B B ′ X Y Yγv g g ′ um diagrama em C . Se v ∗ ( γ ) (o morfismo único entre X × Y B → X × Y B ′ dadopela propriedade de produto fibrado) for um isomorfismo, 1 2 e 1 são produtosfibrados dando a conclusão pretendida.Para provar a outra implicação considere-se o diagrama a seguir: A B B ′ × C ′ C CA ′ B ′ C ′ .af bg b ′ a ′ htλ Tal como no diagrama acima, acrescentamos o produto fibrado B ′ × C ′ C aodiagrama de Definição 1.3.1. Mostre-se que λ é um isomorfismo.Do quadrado comutativo, B ′ CB ′ C ′ ,t ◦ λ ◦ s hb ′ resulta que B ′ × C ′ C → B ′ é cindido que permite aplicar o facto de ( a ′ ) ∗ ser conser-vativo.De 1 2 e 1 serem produtos fibrados deduz-se A ∼ = A ′ × B ′ ( B × C ′ C ) , o queimplica o pretendido.Para uma categoria pontuada (uma categoria que tenha um objecto zero), par-ticulariza-se que protomodularidade implica que, para todo o objecto X em C , ∗ X é conservativo. Esta condição implica protomodularidade porque, para v : X → Y, X = v ◦ Y , logo, ∗ X = 0 ∗ X ◦ v ∗ e v ∗ é conservativo, quando ∗ X e ∗ Y forem. Destacaracterização sai de modo natural o lema cindido dos cinco. Primeiramente deveser definida a noção de núcleo numa categoria pontuada. Definição 1.3.2.
Numa categoria pontuada C o núcleo de um morfismo f : X → Y (denotado por (K[f], ker f )) é o seu produto fibrado com o morfismo zero.Neste caso, escrevendo ker X : Pt X ( C ) → Pt ( C ) em vez de ∗ X obtemos umaparticularidade do diagrama 1.1: K [ f ] K [ f ′ ] X ′ X Y ker X γ !! 0 Y f ′ f γ Se numa categoria todo o functor ker X reflectir isomorfismos, então deduz-se queo teorema seguinte é válido. Teorema 1.3.3.
Uma categoria pontuada C é protomodular se e só se em cadadiagrama da forma: K [ f ] X YK [ f ′ ] X ′ Y ′ ker fa fb cf ′ ker f ′ com f e f ′ epimorfismos cindidos, se a e c forem isomorfismos, então b é um iso-morfismo. Nem toda a variedade de álgebras (no sentido de álgebra universal) é protomo-dular. No entanto, há uma caracterização simples em termos das suas operações(Teorema 2.3.1,[6]). Em particular, as álgebras com uma operação de grupo sãoprotomodulares. 14 .4. Categorias homológicas
O propósito desta secção é demostrar que uma categoria pontuada, regular e pro-tomodular é um ambiente propício para o estudo de homologia. Designam-se taiscategorias homológicas segundo [7].Começa-se por provar o lema dos cinco para uma categoria homológica:
Teorema 1.4.1.
Lema dos CincoSendo C uma categoria homológica, e f um epimorfismo regular: K [ f ] X YK [ f ′ ] X ′ Y ′ a b cf ′ f ker f ker f ′ Se a e c forem isomorfismos, então b é um isomorfismo. Proposição 1.4.2.
Seja C uma categoria homológica. No diagrama seguinte: · · · · · · f g h onde g é regular, o facto de e serem produtos fibrados implica que sejaproduto fibrado.Demonstração. Prova-se, de modo directo, que no diagrama abaixo se o quadradodo lado direito for um produto fibrado, R [ f ] · · R [ g ] · · fg então os quadrados do lado esquerdo também o serão.15omo consequência deste facto no diagrama estendido abaixo R [ f ] R [ g ] R [ h ]3 4 · · · · · · f g h os quatro quadrados 3 e 3 4 são produtos fibrados (pois 1 e 1 2 o são), logo,como a diagonal é uma inversa à direita da projecção de uma relação de equivalência,aplica-se a definição de protomodular para concluir que 4 é um produto fibrado. Aaplicação do teorema de Barr-Kock (Teorema A.0.5) mostra que 2 é um produtofibrado.Termina-se com a demonstração do Lema dos Cinco e outros lemas de homologianuma categoria homológica. Demonstração. (do Lema dos Cinco)No diagrama seguinte: K [ f ] X YK [ f ′ ] X ′ Y ′ f ′ b ker f ker f ′ fa c com f um epimorfismo regular, e a e c isomorfismos, é necessário mostrar que b éum isomorfismo. Em primeiro lugar estendamos o diagrama: K [ f ] 01 K [ f ] X Y K [ f ′ ] X ′ Y ′ .f ′ b ker f ker f ′ fa c ker f a e c são isomorfismos, também é umproduto fibrado. A proposição 1.4.2 diz que 2 é um produto fibrado, logo b é umisomorfismo.Como evidência da utilidade da noção de categoria homológica, tem-se o terceiroteorema de isomorfismo que é válido para categorias homológicas. Definição 1.4.1.
Numa categoria homológica, um subobjecto, X ⊆ Y, diz-se própriose for um núcleo que é designado X ✂ Y. Teorema 1.4.3.
Seja C uma categoria homológica, e sejam H ✂ G e K ✂ G subob-jectos próprios de G , e H ⊆ K um subobjecto de K. Nestas condições vigoram osresultados seguintes:1. H é um subobjecto próprio de K;2. K/H ✂ G/H ;3. ( G/H ) / ( K/H ) ∼ = G/K .Demonstração.
Sejam h : H → G o morfismo H i → K k → G. Considere-se o diagrama seguinte:
H G G/HG/K h qp φ Como H ⊆ K , p ◦ h é o morfismo zero e portanto existe um único morfismo φ : G/H → G/K é o único morfismo que torna o diagrama comutativo.Ora como, φ ◦ q ◦ k ◦ i = φ ◦ q ◦ h = 0 i : H → K é um monomorfismo, obtém-se uma factorização através dos núcleos: H K ker φH G G/H G/K G/Kjih k qp φ
Como as colunas são exactas e as últimas linhas também o são, um caso especialdo lema dos nove, anunciado e demonstrado a seguir, justifica o resultado.
Lema 1.4.4.
Caso particular do Lema dos NoveNum diagrama comutativo × , se as últimas duas linhas e todas as colunas sãoexactas então a primeira linha também é exacta. A B CA ′ B ′ C ′ A ′′ B ′′ C ′′ f gf ′ g ′ f ′′ g ′′ aa ′ bb ′ cc ′ Demonstração.
Como as primeiras colunas são exactas e f ′′ ser um monomorfismoimplica que o primeiro quadrado A ∼ = A ′ × B ′ B é um produto fibrado. Daí vemque f = ker g . Verifica-se ainda que g é um epimorfismo regular, razão pela qual aprimeira linha é exacta. A definição de categoria semi-abeliana como proposta em [18] é uma combinação daspropriedades que estudámos até agora. Especificamente, uma categoria pontuada18 diz-se semi-abeliana se for cocompleta, exacta e protomodular. Como exemploimediato têm-se as categorias abelianas.
Exemplo 1.5.1.
Toda a categoria abeliana é semi-abeliana.
Demonstração.
Uma categoria abeliana é, por definição, uma categoria pontuada,finitamente completa e cocompleta, com núcleos e conúcleos, e onde todo o mono-morfismo é um núcleo e todo o epimorfismo é um conúcleo.Uma categoria abeliana satisfaz o lema dos cinco que é mais forte do que serprotomodular. Extrai-se directamente do facto de ser semi-abeliana que é regular:existe uma factorização de cada morfismo f = im f ◦ coim f, única a menos de iso-morfismo. Por fim, a categoria é exacta, pois cada relação R é isomorfa a R [ q ] , arelação efectiva gerada pelo seu co-igualizador q .As categorias abelianas têm a propriedade de que as suas opostas também sãoabelianas. No caso das semi-abelianas já não acontece, porém tem-se: Proposição 1.5.1.
Uma categoria C semi-abeliana e cuja categoria oposta C op sejasemi-abeliana é abeliana.Demonstração. Remetemos o leitor para [18].Por fim, consideramos outras aplicações de categorias semi-abelianas. Na tese[29], é notável que as categorias semi-abelianas formam um ambiente propício para oestudo de homologia e homotopia. O artigo [13] revela que se pode estudar a teoriados comutadores nas categorias semi-abelianas.190 apítulo 2
Álgebras topológicas
Este capítulo trata os espaços topológicos munidos de uma estrutura algébrica ge-neralizando propriedades clássicas de grupos topológicos para álgebras topológicas.Com esse fim, recordam-se brevemente os resultados conhecidos dos grupos topológi-cos nos contextos da teoria das categorias e da álgebra universal. De seguida, usa-seum resultado de Bourn e Janelidze [6] para provar as generalizações dos resultadosde
GrpTop como em [10].
GrpTop
Grupos topológicos são simultaneamente espaços topológicos e grupos com uma con-dição de compatibilidade: as operações de grupo são contínuas. No entanto, podemdefinir-se da maneira seguinte.
Definição 2.1.1.
Um grupo topológico é um par ( X, T ) onde X é um grupo cujoconjunto subjacente é munido de uma topologia tal que φ : X × X → X ; ( x, y ) xy − é uma aplicação contínua (em X × X considera-se a topologia produto).Um morfismo de grupos topológicos é um homomorfismo de grupos que sejacontínuo como aplicação entre os seus espaços.As topologias de grupos topológicos são muito próprias, como mostra o lemaseguinte. Lema 2.1.1.
Todo o grupo topológico é um espaço homogéneo.Demonstração.
Seja X um grupo topológico, e sejam a, b ∈ X. Mostre-se que aaplicação X → X ; t ba − t , que a a atribui b , é um homeomorfismo. É umaaplicação contínua, pois a multiplicação é uma operação contínua, e X → X ; t ab − t , a sua inversa, é igualmente contínua. Corolário 2.1.2.
Seja X um grupo topológico. Se uma propriedade topológica P éválida numa vizinhança aberta do elemento neutro de X , então é válida em X . emonstração. Sabe-se que os homeomorfismos entre espaços topológicos preservamas suas propriedades topológicas. Seja f : X → X um homeomorfismo de grupostopológicos que a atribui x ∈ X . Se P for válida numa vizinhança aberta U de , então, f ( U ) é uma vizinhança aberta de x onde P é ainda válida. Proposição 2.1.3.
Os grupos topológicos e homomorfismos de grupo contínuos entregrupos topológicos constituem uma categoria finitamente completa que se designa
GrpTop . Demonstração.
Construam-se os produtos binários e igualizadores explicitamente.Se X e Y são objectos de GrpTop , o produto de X e Y em Grp será o conjunto { ( x, y ) : x ∈ X, y ∈ Y } munido do produto ( x, y ) · ( x ′ , y ′ ) = ( xx ′ , yy ′ ) , com asprojecções canónicas. X X × Y Yp X p Y Verifica-se que a topologia produto X × Y torna-o num grupo topológico, pois omorfismo (( x , x ) , ( y , y )) ( x x − , y y − ) é contínuo em cada componente. As projecções são contínuas, pois verifica-se que p − X ( U ) = U × Y. O que é o igualizador de f, g : X → Y ? O igualizador I X Y,i fg será o subgrupo topológico de X cujos elementos são os elementos x tal que f ( x ) = g ( x ) . Averigua-se que é um subgrupo e a inclusão é um homomorfismo contínuo.Para facilitar o uso de produtos fibrados em
GrpTop , escreve-se o produto fi-brado de dois morfimos em GrpTop de uma forma explícita. Sejam
X, Y e Z grupostopológicos com morfismos X f → Z g ← Y. O produto fibrado X × Z Y YX Z.p p f g | X × Z Y | = { ( s, t ) ∈ | X × Y | : f ( s ) = g ( t ) } , e a topologia é induzida pela topologia produto. Proposição 2.1.4.
GrpTop é finitamente cocompleta.Demonstração.
Um coproduto de grupos topológicos é o produto livre dos gruposmunido da topologia gerada pela união disjunta das topologias. Para mais porme-nores, remetemos o leitor para [8].O co-igualizador
Q X Y Q.qfg é dado pelo quociente
Y / ∼ onde ∼ é a menor relação de equivalência compatível comas operações ( ∗ , − , e ) que satisfaz f ( x ) ∼ g ( x ) para x ∈ X, e é munido da topologiaquociente. Esta estrutura é naturalmente um grupo topológico.Para posteriormente compararmos com as técnicas mais sofisticadas (que se em-pregam para estudar álgebras topológicas), incluem-se aqui alguns resultados funda-mentais da teoria dos grupos topológicos. Como o foco são os métodos, as demons-trações são completas. Esta matéria pode ser encontrada em várias fontes, veja-se,por exemplo, [16, 3].O objecto com um único elemento é o objecto zero, portanto, GrpTop é pontu-ada. Para economizar espaço, omitimos provar que
GrpTop é regular e protomo-dular. Segue das demonstrações dos Teoremas 2.7.2 e 2.7.3.
Proposição 2.1.5.
A categoria dos grupos topológicos é homológica.
Contra-exemplo 2.1.2.
O primeiro teorema de isomorfismo para grupos não é vá-lido em
GrpTop . Isso é uma consequência do facto de uma bijecção contínua nemsempre ser um isomorfismo em
GrpTop (Os isomorfismos em
GrpTop são simul-taneamente homeomorfismos de espaços topológicos e homomorfismos de grupos):Considere-se o morfismo de inclusão dos conjuntos, f : G = ( S , P ( S )) → H = ( S , top. ind. por R / Z ) . O uso do teorema de isomorfismo canónico em f implica G ∼ = H o que é absurdo,sendo as topologias diferentes. 23 eorema 2.1.6. (1 o Teorema de Isomorfismo em
GrpTop ) Sejam f : X → Y um morfismo de grupos topológicos, ( K [ f ] , ker f ) o núcleo de f e N ✁ X. Então, N ⊂ K [ f ] se e somente se existir um morfismo único ˜ f : X/N → Y que torne o diagrama seguinte comutativo: X X/NY .πf ˜ f Demonstração.
A demonstração é uma cópia traduzida da demonstração habitualdo teorema em
Grp . Corolário 2.1.7. (1 o Teorema de Isomorfismo em
GrpTop ) Nas condições do teorema anterior,
X/K [ f ] ∼ = im f se e somente se f for umaaplicação aberta.Demonstração. ˜ f : X → im f é bijectiva e contínua, mas ˜ f − é contínua se e só se f for aberta ( ˜ f ( U + K [ f ]) = f ( U ) ). Teorema 2.1.8.
Se um grupo topológico tiver um sistema de vizinhanças numerávelda identidade, então é metrizável.Demonstração.
Um espaço topológico que tenha um sistema de vizinhanças nume-rável em cada ponto (isto é, que satisfaça o primeiro axioma de numerabilidade) émetrizável. Deste modo, basta verificar no elemento neutro.
Proposição 2.1.9.
Um subgrupo K ≤ X é normal em GrpTop se e só se a inclusão i : K ֒ → X for um núcleo.Demonstração. ( ⇒ )Seja K ✁ X um subgrupo normal de X. Mostre-se que a inclusão de K em X é um núcleo. Forma-se o grupo X/K (o qual juntamente com a projecção naturalé o conúcleo de i : K → X, munido da topologia quociente). Seja f : Y → X ummorfismo com π ◦ f = 0 . Existe a única função t : Y → K, que torna o diagrama24omutativo: K X X/KY .πi ft
De modo a averiguar que t é um morfismo em GrpTop , seja U ⊆ K um aberto.Existe um aberto V ⊂ X tal que U = V ∩ K, portanto f − ( V ) = ( i ◦ t ) − ( V ) = t − ( i − ( V )) = t − ( U ) , do qual sai que t é contínuo.( ⇐ )Se i : K → X é o núcleo de q : X → Q obtém-se q ( x − kx ) = q ( x − ) q ( k ) q ( x ) = q ( x ) − q ( x ) = e Q , e daí x − kx pertence ao núcleo de i , portanto K ✁ X. Teorema 2.1.10.
Seja H ≤ X um subgrupo de X. Se H for aberto, então é tambémfechado.Demonstração. Se H é aberto, então xH é aberto também para x ∈ X, porém, X \ H = [ x H xH que é uma reunião de abertos, é aberto. Logo, H é fechado. Teorema 2.1.11.
Seja H ≤ X um subgrupo topológico, então H é também umsubgrupo topológico. Além disso, se H for normal então H também será.Demonstração. Directa. Prova-se que as operações se estendem de forma naturalpara operações contínuas em H. Estruturas algébricas são conjuntos munidos de operações que satisfazem certas con-dições tal como associatividade e comutividade. A álgebra universal tem como objec-tivo formalizar essas estruturas num estudo abrangente, unificando todos os ramosde álgebra moderna. É útil no contexto de álgebra topológica porque todas as ál-gebras topológicas podem ser modeladas como álgebras universais internas em
Top , Haus , etc. 25 efinição 2.2.1.
Uma estrutura algébrica (ou álgebra ) é um par ordenado A =( A, F ) , onde A , o universo de A , é um conjunto e F = { ω A : A n ω → A | ω ∈ Ω } consiste nas operações finitas de A indexadas pelo conjunto Ω . A aridade de umaoperação ω B é o número natural n ω . A assinatura de A é a função τ : Ω → N ; ω → n ω . As operações de aridade n formam um conjunto Ω n . De modo a economizar espaço, daqui em diante omitiremos especificar a função τ : Ω → N e só irá ser referida uma álgebra de assinatura Ω . Uma determinada espécie de álgebras, por exemplo, os grupos, têm em comumas suas operações. Há uma correspondência directa entre essa determinada espécie,e as suas operações com as leis que as regem.As operações de aridade n ou as operações n -árias designam-se elementos de Ω n . Utiliza-se o termo constante para as operações de aridade . Definição 2.2.2. Um homomorfismo de álgebras de assinatura Ω é uma função f : A → B entre os universos das álgebras A e B que satisfaz, para cada operação ω ∈ Ω n , f ω A ( a , . . . , a n ) = ω B ( f ( a ) , . . . , f ( a n )) . Considera-se útil definir as classes de álgebras que satisfaçam uma lista de axio-mas. Incluímos os grupos, por exemplo, que satisfazem os três axiomas habituais.Para tal, definimos o conjunto dos termos T ( X ) . Definição 2.2.3.
O conjunto dos termos nas variáveis, X , de assinatura Ω é definidorecursivamente (suponha-se que X ∩ Ω = ∅ ): • Os termos constantes c ∈ Ω e as variáveis x ∈ X pertencem a T ( X ) ; • f ( t , . . . , t n ) ∈ T ( X ) quando t i ∈ T ( X ) e f ∈ Ω n .Define-se a avaliação dos termos de forma natural.Com estes termos definimos os axiomas como sendo equações : t i ≈ t j , e diz-se queuma álgebra de assinatura Ω satisfaz t i ≈ t j se t i ( a ) = t j ( a ) , ∀ a. Usa-se o símbolo ≈ para realçar a diferença entre equações e a igualdade de elementos do universo.Neste momento já se consegue definir um dos conceitos centrais de álgebra uni-versal, a variedade. 26 efinição 2.2.4. Uma variedade V de álgebras universais é a categoria de toda aálgebra sobre uma assinatura Ω que satisfaz um conjunto de leis E, cujas variáveis sãoelementos de X , bem como os morfismos entre elas. Designa-se uma teoria algébricapelo terno T = (Ω , X, E ) . Como exemplo intuitivo, tem-se a variedade dos grupos:
Exemplo 2.2.5.
Sejam Ω = { z } , Ω = {−} e Ω = { + } e seja X = { a, b, c } . Osaxiomas escritos em a, b e c são E = { a + ( b + c ) ≈ ( a + b ) + c, a + z ≈ a, z + a ≈ a, a + ( − a ) ≈ z, ( − a ) + a ≈ z } . T = (Ω , X, E ) é a teoria dos grupos e a variedade correspondente (que se designapor Alg ( T ) ) é isomorfa a Grp . Proposição 2.2.1.
Seja qual for a teoria algébrica, a variedade
Alg ( T ) é exacta.Demonstração. Dado um morfismo f : A → B em Alg ( T ) , mostre-se que existe afactorização da proposição 1.2.1. Como Conj é regular, existe a factorização:
A BQ, | f | e m em Conj . Mostremos que essa factorização é compatível com as operações de T . Seja τ uma operação de aridade n ; da equação | f | ◦ τ = τ ◦ | f | n advém o seguintediagrama comutativo em Conj : A n S n B n A S Bτ A τ B e n e m n m Para levantar o diagrama acima à variedade é necessário que e : A → S e m : S → B definam morfismos em Alg ( T ) . Primeiro mostramos que e n é um epimorfismoregular. Basta considerarmos e × e. Como a composição de epimorfismos regulares é regular e o produto fibrado deum epimorfismo regular é um epimorfismo regular o produto fibrado que se seguemostra que e × e = (1 × e ) ◦ ( e × é um epimorfismo regular.27 × B S × BA Se × p e p Como os monomorfismos são igualmente estáveis para produtos fibrados, a Pro-posição 1.2.3 mostra que a normalidade de
Conj implica que exista uma funçãoúnica τ S : S n → S tornando o diagrama 2.2 comutativo. Assim, pode levantar-se afactorização de | f | para Alg ( T ) , motivo pelo qual é normal.Seja r , r : R → X uma relação de equivalência em Alg ( T ) . Em Conj podemosescrever q = coig( | r | , | r | ) e portanto, como Conj é exacta, | r | , | r | : R → X é o parnúcleo de q : X → Q. Verifica-se ainda que | r | n , | r | n : R n → X n é o par núcleo de q n (o produto de um epimorfismo regular é regular). Decorre que Q pode ser munidoda estrutura de álgebra sobre T e, então, R ⇒ X é uma relação de equivalência em Alg ( T ) . As álgebras internas, de uma determinada teoria algébrica, são objectos de umacategoria cujas operações são morfismos na categoria. Por exemplo,
GrpTop podeser visto como a categoria cujos objectos são os de
Top munidos das operações degrupo que são aplicações contínuas. Para uma teoria qualquer, escreve-se C T paradenotar a categoria de todas as álgebras sobre T em C . Continuamos a chamar-lhesvariedades. (Note-se que
Conj T é exactamente Alg ( T ) . )Utilizar álgebra universal neste contexto supõe certas vantagens: 1) a álgebrauniversal em si tem muitas ferramentas poderosas ao nosso dispor, 2) é um caminhoeficiente para estudar diferentes álgebras topológicas em simultâneo e 3) a ligação en-tre a álgebra universal e a teoria das categorias já estabelecida permite-nos aproveitaras vantagens da linguagem de categorias. Anuncie-se um resultado muito conveniente sobre teorias protomodulares (Bourn-Janelidze [5]) cuja demonstração omitimos.
Teorema 2.3.1.
Uma variedade
Alg ( T ) é protomodular quando para algum númeronatural n , a teoria contém: . n constantes e , . . . , e n ;2. n termos binários α , . . . , α n com α i ( x, x ) = e i ;3. um termo θ com θ ( α ( x, y ) , . . . , α n ( x, y ) , y ) = x . Do teorema deduz-se o que se segue.
Corolário 2.3.2.
Uma variedade
Alg ( T ) é semi-abeliana quando, para algum nú-mero natural n , a teoria contém:1. uma constante e ;2. n termos binários α , . . . , α n com α i ( x, x ) = e ;3. um termo θ com θ ( α ( x, y ) , . . . , α n ( x, y ) , y ) = x .Demonstração. Uma variedade é pontuada precisamente quando exista uma cons-tante única.
Conj T é exacta (Proposição 2.2.1). Definição 2.3.1.
Diz-se que uma teoria é protomodular (semi-abeliana, abeliana,etc.) quando
Conj T (= Alg ( T ) ) é protomodular (semi-abeliana, abeliana, respecti-vamente).Prove-se de uma forma sucinta que GrpTop é protomodular e pontuada. A teoriados grupos é uma teoria protomodular e pontuada. Examinámos anteriormente queos limites em
GrpTop provêm dos limites em
Grp , motivo pelo qual
GrpTop éigualmente protomodular.
Exemplo 2.3.2.
Qualquer teoria que inclua as operações do grupo é semi-abeliana.
Demonstração.
Na caracterização de Bourn-Janelidze basta tomar n = 1 , α ( x, y ) = xy − e θ ( x, y ) = xy . Contra-exemplo 2.3.3.
As operações de
Mon –a variedade dos monóides–são
Ω = { e, ⋆ } com uma constante, e , e um termo binário, ⋆ . Sendo X = { a, b, c } as leis demonóides são: E = { a ⋆ e ≈ a, e ⋆ a ≈ a, ( a ⋆ b ) ⋆ c ≈ a ⋆ ( b ⋆ c ) } . Mon não é protomodular. 29 .4. Álgebras topológicas protomodulares
No caso de
Top T extrai-se o resultado seguinte como corolário ao Teorema 2.3.1 queirá ser uma base de apoio, como em [9]. Corolário 2.4.1.
Seja A uma álgebra sobre uma teoria protomodular T e sejam e i , α i e θ como no Teorema 2.3.1. Para cada elemento a ∈ A existem aplicaçõescontínuas, ι a : A A n , x ( α ( x, a ) , . . . , α n ( x, a )) ,θ a : A n → A, ( a , . . . , a n ) θ ( a , . . . , a n , a ) tais que θ a ◦ ι a = id A e ι a ( a ) = ( e , . . . , e n ) ∈ A n . Demonstração.
Directa.
Lema 2.4.2.
Dado um elemento a de uma álgebra sobre uma teoria protomodular,os conjuntos n \ i =1 α i ( − , a ) − ( U i ) , onde os U i são as vizinhanças abertas das constantes e i , constituem um sistemafundamental de vizinhanças abertas de a, e consequentemente se uma propriedadeestável para limites que é válida numa vizinhança de cada constante é válida numavizinhança de cada ponto.Demonstração. Obtém-se o resultado aplicando ι − ao sistema fundamental de vi-zinhanças abertas de ( e , . . . , e n ) o conjunto { U × · · · × U n | e i ∈ U i , U i aberto } . Corolário 2.4.3.
Se uma álgebra topológica sobre uma teoria protomodular tiver umsistema de vizinhanças numerável de cada constante, então é metrizável.
Proposição 2.4.4. Se T é uma teoria protomodular, então cada A ∈ Obj(
Top T ) éregular.Demonstração. Basta verificar regularidade numa vizinhança de cada constante, e i .Seja V uma vizinhança aberta de e i . Dado que θ e i : A n +1 → A é contínua, θ e i ( U × · · · × U n × U ) ⊆ V, onde U k ∈ V e k e U ∈ V e i . Mostre-se que U ⊆ V. Seja a ∈ U .
Como o conjunto n \ k =1 ( α k ( − , a )) − ( U k )
30 aberto, a intersecção U T ( α k ( − , a )) − ( U k ) não é vazia. Seja b um elemento daintersecção, como α k ( a, b ) ∈ U k ,a = θ e i ( α ( a, b ) , . . . , α n ( a, b ) , b ) ∈ θ e i ( U × · · · × U n × U ) ⊆ V. Proposição 2.4.5.
Sejam T uma teoria protomodular e A uma álgebra sobre T . Osconjuntos { e i } são fechados se e só se A for de Hausdorff.Demonstração. ( ⇒ ) { e i } fechado ⇒ T + regular ⇒ de Hausdorff. Teorema 2.4.6.
Seja B ≤ A uma subálgebra sobre uma teoria protomodular T . Se B for aberta como subespaço de A então B é fechada também.Demonstração. Seja a ∈ A \ B. Define-se um subconjunto especial de A , U = \ i α i ( a, − ) − ( B ) .a pertence a U porque para ≤ i ≤ n , α i ( a, a ) = e i ∈ B. Se existisse b ∈ U ∩ B então a = θ ( α ( a, b ) , . . . , α n ( a, b ) , b )) ∈ B. Teorema 2.4.7.
Seja B ≤ A uma subálgebra sobre T , então, B também é umasubálgebra sobre T . Demonstração.
Seja τ uma operação de aridade n, em A. Mostra-se que se restringede modo natural para a operação em
B,τ ( B n ) = τ ( B n ) ⊂ τ ( B n ) ⊆ B. Nesta secção pretendemos discutir como se constroem os colimites em
Top T , most-rando que é cocompleta. Para alcançar esse objectivo apresenta-se sumariamente anoção de functor topológico, o qual reflecte colimites. Definição 2.5.1.
Seja C uma categoria. Uma fonte em C é um par da forma ( X, ( f i : X → X i ) i ∈ I ) . A fonte ( X, ( f i : X → X i ) i ∈ I ) diz-se inicial relativamente ao31unctor F : C → D se, para cada outra fonte ( X ′ , ( f ′ i : X ′ → X i ) i ∈ I ) e morfismo g : F X ′ → F X que torna comutativo (para todo o i ∈ I ) o diagrama seguinte, F X i F X ′ F Xg F f i F f ′ i existir um morfismo único γ : X ′ → X que satisfaça F γ = g e que o torne comutativo X i X ′ X ∃ ! γ f i f ′ i para todo o i ∈ I. O conceito de functor topológico sugere a noção de aplicação inicial nas aplicaçõescontínuas entre espaços topológicos.
Definição 2.5.2.
Um functor F : C → D diz-se topológico quando, para toda afonte em D da forma ( D, ( d i : D → F X i ) i ∈ I ) para uma família específica ( X i ) i ∈ I de objectos em C , existir uma fonte inicial ( X, ( δ i : X → X i ) i ∈ I ) relativa ao functor F , e um isomorfismo λ : D → F X com
F δ i ◦ λ = d i , como no diagrama: F X i F X ′ F X D.F δ ′ i g F δ i λ ∼ = d i Apresentamos os resultados suficientes para alcançar o nosso objectivo: mostrarque
Top T é cocompleta. Demonstrações completas são omitidas. Lema 2.5.1.
Seja F : C → D um functor topológico. Se D for cocompleta, C igualmente o será. emonstração. Este lema encontra-se em [15] onde é designado por Corolário 6.4.
Teorema 2.5.2.
O functor de esquecimento U : Top T → Conj T é topológico.Demonstração. Seja ( S, ( g i : S → U X i ) i ∈ I ) uma fonte em Conj T onde ( X i ) i sãoálgebras topológicas e S ∈ Conj T . Na definição de functor topológico, basta tomar ( X, (˜ g i : X → X i ) i ∈ I ) onde X é S munido da topologia quociente dos g i , e os ˜ g i sãomúnidos da estrutura de morfismo de álgebras topológicas. Corolário 2.5.3.
Seja T uma teoria algébrica. A variedade de álgebras topológicas Top T é cocompleta e os seus colimites são construidos usando os colimites em Conj T . É demonstrado em [27] que
Top T é cocompleta (e completa) envolvendo functoresadjuntos. Todavia, esta abordagem é bastante abstracta e não mostra uma formadirecta de calcular os limites em Top T . Nas álgebras que pretendemos estudar existem operações particulares que permitemgeneralizar resultados de
GrpTop . Definição 2.6.1.
Uma operação de Maltsev é uma aplicação p : X → X tal que p ( x, x, y ) = y ; p ( y, y, z ) = z. Uma variedade de álgebras universais diz-se de Maltsev se existir uma operaçãode Maltsev nas operações da sua teoria.Em [19] é demonstrado que em álgebras topológicas com uma operação de Maltsevmuitos resultados que vimos anteriormente são ainda válidos.Incluímos um resultado clássico.
Proposição 2.6.1.
As condições seguintes equivalem-se, para uma variedade V : V ser de Maltsev;2. Toda a relação reflexiva em V ser de equivalência;3. RR ′ = R ′ R para todas as relações de equivalência sobre cada objecto de V . emonstração. (1. ⇒ T uma teoria e seja p um termo de Maltsev rela-cionado com T . Uma relação R em Conj T é um subobjecto R X × X onde X éuma álgebra sobre T . Por R ser reflexiva, ( x, x ) , ( y, y ) ∈ R, portanto se ( x, y ) ∈ R tem-se ( p ( x, x, y ) , p ( x, y, y )) = ( y, x ) ∈ R. (2. ⇒ R e R ′ relações de equivalência sobre um objecto X, então: ( x, z ) ∈ RR ′ ⇔ ( z, x ) ∈ R ′ R ⇔ ( z, y ) ∈ R, ( y, x ) ∈ R ′ para algum y ∈ X ⇔ ( x, y ) ∈ R ′ , ( y, z ) ∈ R para algum y ∈ X ⇔ ( x, z ) ∈ R ′ R. (3. ⇒ L ( S ) é a álgebra sobre T livre gerada pelo conjunto desímbolos S. Mostre-se que T é de Maltsev. Sejam f : L ( x, y, z ) → L ( b, c ) e g : L ( x, y, z ) → L ( a, b ) os morfismos definidos por f ( x ) = f ( y ) = b, f ( z ) = c, e g ( x ) = a, g ( y ) = g ( z ) = b. Os seus pares núcleos definem uma operação de Maltsev: ( x, y ) ∈ R [ f ] , ( y, z ) ∈ R [ g ] ⇔ ( x, z ) ∈ R [ g ] R [ f ] ⇔ ∃ m ( x, m ) ∈ R [ g ] , ( m, y ) ∈ R [ f ] . Identificando m = p ( x, y, z ) provém das propriedade de f e g que p ( x, y, z ) é deMaltsev.Generalizando para quaisquer categorias: Definição 2.6.2.
Uma categoria é de Maltsev se for finitamente completa e cadarelação reflexiva for de equivalência.
Começamos por provar um teorema de Maltsev (em [24]).
Proposição 2.7.1.
Seja T uma teoria que contenha uma operação de Maltsev entreos termos de T . Se q : X ։ Q for um epimorfismo regular em Top T é um morfismoaberto.Demonstração. Seja U um aberto e considere-se x ∈ q − q ( U ) . Existe u ∈ U com q ( u ) = q ( x ) , e como p ( x, x, u ) = x e p : X → X é contínua (e p ( − , x, u ) é emparticular uma aplicação contínua entre espaços topológicos) existe uma vizinhança V ∈ V x tal que p ( V, x, u ) ⊂ U. Verifica-se facilmente que V ⊆ q − ( q ( U )) , dando opretendido. 34 eorema 2.7.2. Quando T for protomodular, os epimorfismos regulares em Top T serão exactamente os morfismos sobrejectivos e abertos.Demonstração. Como T admite uma operação de Maltsev, a proposição anteriordiz-nos que os epimorfismos regulares de Top T são abertos. Através do modo deconstrução, é visível que um co-igualizador topológico é sobrejectivo. R [ f ] X YZ.π π fz g A necessidade da condição prova-se mostrando que um morfismo aberto e so-brejectivo f : X → Y é o co-igualizador do seu par núcleo. Se z : X → Z foroutro morfismo com π ◦ f = π ◦ f basta provar-se que a função entre os con-juntos subjacentes é contínua. Essa afirmação é válida porque para cada aberto U de Z, f − ( g − ( U )) = z − ( U ) é aberto, logo, porque f é aberto e sobrejectivo g − ( U ) = f ( f − ( g − ( U ))) é aberto. Teorema 2.7.3.
A variedade
Top T é regular para toda a teoria protomodular T . Demonstração.
Top T tem todos os co-igualizadores e um co-igualizador é uma apli-cação que é contínua, aberta e sobrejectiva. Seja f : X → Z um epimorfismo regulare seja o quadrado a seguir um produto fibrado: X × Z Y YX Z.π π gf Mostre-se que π é um epimorfismo regular também. Basta fazer isso na categoria Top . Como os epimorfismos são estáveis para produtos fibrados, π é sobrejectivo.Uma base da topologia de X × Z Y são os conjuntos U = π − ( A ) ∩ π − ( B ) , onde A ⊆ X e B ⊆ Z são abertos. O conjunto π ( U ) = { y ∈ B |∃ x ∈ A : f ( x ) = g ( y ) } = B ∩ g − ( f ( A )) é um aberto ( f é uma aplicação aberta). Como π ( U ) é aberto para todos os ele-mentos de uma base de X × Z Y , π é uma aplicação aberta.356 apítulo 3 Produtos semidirectos
O objectivo deste capítulo centra-se na caracterização dos produtos semidirectos emvariedades das álgebras topológicas. Recorda-se primeiramente a noção de produtosemidirecto em
Grp e extrai-se as suas propriedades. Em seguida, introduz-se anoção de functor monádico, que é utilizado para definir os produtos semidirectosem categorias como em [5]. Conclui-se averiguando que um resultado em [17] para
Alg ( T ) é ainda válido para álgebras topológicas. Grp
Recorde-se a definição do produto directo em
Grp : Um grupo G diz-se um produtodirecto se tiver dois subgrupos normais: N, N ′ ✁ G, tal que N ∩ N ′ = { e } e N N ′ = G. O conceito do produto semidirecto provém de um relaxamento desta definição–requerendo somente que um dos subgrupos seja normal.
Definição 3.1.1.
Um grupo G diz-se um produto semidirecto se tiver dois subgrupos K, Q ≤ G com um subgrupo normal K que se complementam , i.e., K ∩ Q = { e } e KQ = G. Teorema 3.1.1.
O grupo G é o produto semidirecto de K por Q se e só se existir asucessão exacta curta cindida em Grp : K G Q,sk q (3.1)
Demonstração.
Supondo que k e s sejam inclusões de grupos, e que G é o produtosemidirecto de K por Q prova-se que 3.1 é exacta. Por definição, K é um núcleo,pelo que basta mostrar que Q ∼ = G/K . Seja π : G → G/K a projecção canónica, eseja ̟ : Q → G/K a restrição π | Q . Como K ∩ Q = { e } , ̟ é injectiva. De facto, ̟ é um isomorfismo, pois é sobrejectivo: se g ∈ G então g = ab onde a ∈ K e b ∈ Q ,logo G/K ∋ gK = abK = bK ∈ im( ̟ ) . ̟ é um isomorfismo, defina-se s como ̟ − cujo codomínio é agora esten-dido a G (supondo ainda que Q ≤ G ) . Verifica-se, então, que s satisfaz q ◦ s = 1 Q . ( ⇐ ) Seja x ∈ K ∩ Q. Como q ◦ k ( x ) = e, x é o elemento neutro. Um elemento g ∈ G tem sempre a factorização g = ( s ◦ q ( g )) · ( s ◦ q ( g − ) g ) . O primeiro factor, s ◦ q ( g ) pertence a Q , e o segundo pertence a K : q ( s ◦ q ( g − ) g ) = q ( g − g ) = e. Esta factorização é única, pois se g = a b = a b com a , a ∈ K e b , b ∈ Q, então a − a = b − b ∈ K ∩ Q = { e } . Proposição 3.1.2.
Dado grupos K e Q e uma acção ϕ : Q → Aut( K ) quaisquer,existe o produto semidirecto de K por Q tal que para a ∈ K e b ∈ Q , ba = ϕ b ( a ) b ,que é único a menos de isomorfismo.Demonstração. Para b ∈ Q designe-se ϕ ( b ) : K → K por ϕ b . Seja K ⋊ ϕ Q o conjunto | K | × | Q | munido da operação de grupo ( a, b ) · ( a ′ , b ′ ) =( aϕ b ( a ′ ) , bb ′ ) . Mostre-se que Q ⋊ ϕ K é um grupo. • Identidade: (1 , satisfaz ( a, b )(1 ,
1) = ( a, b ) = (1 , a, b ) . • Associatividade: (cid:0) ( a, b )( a ′ , b ′ ) (cid:1) ( a ′′ , b ′′ ) = ( aϕ b ( a ′ ) ϕ b ( ϕ b ′ ( a ′′ )) , bb ′ b ′′ ) = ( a, b ) (cid:0) ( a ′ , b ′ )( a ′′ , b ′′ ) (cid:1) • Invertibilidade: ( a, b )( ϕ b − ( a − ) , b − ) = (1 ,
1) = ( ϕ b − ( a − ) , b − )( a, b ) . Como K → K ⋊ ϕ Q ; x (1 , x ) e Q → K ⋊ ϕ Q ; x ( x, são homomorfismosinjectivos pode pensar-se que K e Q são subgrupos de K ⋊ ϕ Q. Decorre da definiçãoque eles são subgrupos complementares.Mostre-se que K ✁ K ⋊ ϕ Q :(1 , b )( a, , b ) − = ( ϕ b ( a ) , . A unicidade desta contrução é uma consequência da factorização de cada elementonum elemento de K e de Q . Definição 3.1.2.
Seja ( G, · ) um grupo, um outro grupo ( X, +) é chamado um G -grupo se tiver uma acção ϕ : G → Aut( X ) . ρ : X → Y , (que além de serem ho-momorfismos de grupos devem satisfazer ρ ( ϕ Xg ( x )) = ϕ Yg ( ρ ( x )) , ∀ g ∈ G, x ∈ X ),formam uma categoria, a qual se designa Grp ( G ) . Cada objecto de
Grp ( G ) define um ponto sobre G : X ⋊ G G.ps
Além disso, um homomorfismo desses grupos, ρ : X → Y corresponde a ummorfismo de pontos sobre G :˜ ρ : X ⋊ G → Y ⋊ G ; ( x, g ) ( ρ ( x ) , g ) . Como pode verificar-se, esse procedimento é functorial.
Teorema 3.1.3.
Existe uma equivalência entre as categorias
Grp ( G ) e Pt G ( Grp ) . Demonstração.
Nesta demonstração é subentendido que a operação binária é escritaaditivamente.Seja
Φ :
Grp ( G ) → Pt G ( Grp ) anteriormente definido. É um functor: para ρ : X → Y e σ : Y → Z : Φ( σ ◦ ρ ) = (cid:16) ( X ⋊ G ⇄ G ) ˜ ρ → ( Y ⋊ G ⇄ G ) ˜ σ → ( Z ⋊ G ⇄ G ) (cid:17) = Φ( X ) → Φ( Z ) , e Φ(1 X ) = 1 X ⋊ G ⇄ G . Por outro lado, existe um functor que atribui a cada ponto sobre G um objectode Grp ( G ) : Γ : ( p, s : X ⇄ G ) K ⋊ ϕ G, onde ϕ g ( x ) é o elemento único, x ′ ∈ K com ker p ( x ′ ) = s ( g ) + ker p ( x ) − s ( g ) e K = K [ p ] . Confirma-se intuitivamente que, no cálculo
ΓΦ(
X, ϕ : G → Aut( X )) = ( X, ˜ ϕ ) , ˜ ϕ g ( x ) = ϕ g ( x ) , para todo o g ∈ G, x ∈ X. Inversamente, confirme-se que
ΦΓ( p, s : X ⇄ G ) é o diagrama: K ⋊ ˜ ϕ G Gπ G ι G onde K = K [ p ] . Confirme-se que ( p, s ) e ( π G , ι G ) são objectos isomorfos de Pt B ( Grp ) . u : X → K ⋊ ˜ ϕ G ; u ( x ) = ( x , p ( x )) , onde x é o único elemento de K que verifica κ ( x ) = x − ι G π G ( x ) . A função u torna odiagrama seguinte comutativo: K X GK K ⋊ ψ G Gκi u π G ι G ps Mostre-se que u é um homomorfismo entre grupos. Tem-se u ( x + y ) = ( p ( x + y ) , z ) , com κ ( z ) = x + y − s ◦ p ( x ) − s ◦ p ( y ) . Por outro lado, tem-se u ( x ) + u ( y ) = ( p ( x ) , x ) + ( p ( y ) , y ) = ( p ( x ) + p ( y ) , x + ˜ ϕ p ( x ) y ) portanto, u é um homomorfismo entre grupos se z = x + ˜ ϕ p ( x ) y , ou seja, se severifica κ ( z ) = κ ( x ) + κ ( ˜ ϕ p ( x ) y ) , que é um cálculo directo: x + y − sp ( y ) − sp ( x ) | {z } κ ( z ) = x − sp ( x ) | {z } κ ( x ) + s ( x ) + κ ( y ) − sp ( x ) | {z } κ ( ˜ ϕ p ( x ) y ) . Como u é um homorfismo entre grupos e s ◦ π G é o seu inverso, u é um isomorfismode grupos. Apresentam-se brevemente as definições e os resultados sobre functores monádicos,os quais serão proveitosos para definir produtos semidirectos, na sua globalidade.
Definição 3.2.1.
Uma mónada T é um terno ( T, η, µ ) , onde T : C → C é umendofunctor, e η : T ⇒ C , e µ : T ⇒ T são transformações naturais, que satisfazemos diagramas que se seguem: T T T TT µµT µµ T T TT .ηT T ηµ efinição 3.2.2. Seja T = ( T, η, µ ) uma mónada numa categoria C . Uma álgebrade tipo T é um diagrama: T ( X ) Xζ designado simplesmente por ( X, ζ ) e tal que T X T X XT X X .µ X T ζ ζ ζ η X Um morfismo entre álgebras ( X, ζ ) → ( Y, ξ ) é um morfismo Ξ : X → Y tal que: T X T YX Y.T Ξ ζ Ξ ξ Estas álgebras e os seus respectivos morfismos formam uma categoria que se designa C T , que é por sua vez chamada de categoria de Eilenberg-Moore. Teorema 3.2.1.
Qualquer mónada surge de um par de functores adjuntos e vice-versa.
Nota 3.2.3.
Note-se que, dada uma mónada, o teorema acima diz que se podeconstruir uma adjunção que define essa mesma mónada, no entanto, o teorema nãodiz nada acerca da unicidade de uma adjunção com esta propriedade. De facto, podehaver várias adjunções que definem a mesma mónada.
Demonstração.
Seja ( T, η, µ ) uma mónada. Definam-se os functores: U T : C T → C ; U T ( A, α ) = A e F T : C → C T ; F T C = ( T C, µ C ) . Confirma-se que T = U T ◦ F T e que são functores adjuntos.Por outro lado, se ( F, U, µ, ǫ ) é uma adjunção, atendendo à definição de mónada,confirma-se que T = ( U F, η, U ǫF ) é uma mónada.41onsidere-se a «diferença» entre uma adjunção F ⊣ U, e a adjunção induzidapela categoria de Eilenberg-Moore da mónada: T = ( U ◦ F, ǫ, µ ) . Especificamente,podemos questionar quais são as condições sobre os functores adjuntos em que A T ∼ = B . Para isso define-se o functor de «comparação» que se segue.
Definição 3.2.4.
Sejam C ⊥ D FU uma adjunção e C T a categoria de Eilenberg-Moore associada a esta adjunção. Aofunctor J : D → C T que leva cada D na álgebra ( U ( D ) , U ( ǫ D )) , e cada morfismo f na sua imagem para U chama-se functor de comparação .Veja-se o diagrama comutativo de functores: D C T C .JUF F T U T Definição 3.2.5. Um par reflexivo é um par de morfismos f, g : X → Y tal queexista s : Y → X com f ◦ s = 1 Y = g ◦ s. Anuncia-se o célebre critério de Beck cuja demonstração se encontra na disserta-ção de Jonathan Beck [2].
Teorema 3.2.2.
Com a mesma notação acima, o functor de comparação é umaequivalência entre categorias se e só se1. U reflectir isomorfismos;2. C tiver co-igualizadores de pares reflexivos;3. U preservar esses. Definição 3.2.6.
Um functor Q : C → D chamar-se-á monádico se tiver um adjuntoà esquerda e se o functor de comparação associado for uma equivalência de categorias.Como exemplo inclui-se o functor ∗ G cuja demonstração se encontra em [5].42 eorema 3.2.3. O functor (1.3), ker G : Pt G ( Grp ) → Grp , é monádico.
Em [5], Dominique Bourn e George Janelidze definem produtos semidirectos numcontexto generalizado e mostram que em
Grp a sua construção é idêntica ao produtosemidirecto clássico.
Definição 3.2.7.
Seja C uma categoria pontuada finitamente completa e cocom-pleta.1. Diz-se que C tem produtos semidirectos se, para todo o objecto B de C , ofunctor de esquecimento ker B = U B : Pt B ( C ) → C for monádico.2. Chama-se à mónada correspondente ao functor U B por T B , cujas álgebrasdesignar-se-ão álgebras de tipo B.
3. O produto semidirecto ( X, ξ ) ⋊ B é o diagrama correspondente em Pt B ( C ) de T B ( X ) X.ξ
Exemplo 3.2.8.
Em [5] é demonstrado que em
Grp essa noção de produto semidi-recto é equivalente à noção que se apresenta no início deste capítulo. Os grupoidestambém são um exemplo de uma categoria com produtos semidirectos como é dadoem [25].
Em [9] é mostrado que para T semi-abeliana Top T possui produtos semidirectos.Caracterizemo-los num caso particular. Lema 3.3.1. Se C é uma categoria pontuada e finitamente completa e cocompletapara cada objecto B de C os functores F B : C → Pt B ( C ) U B : Pt B ( C ) → C X ([0 , , ι B : X + B ⇄ B ) ( p, s : A ⇄ B ) K [ p ] , são adjuntos, com F B ⊣ U B . emonstração. Obtém-se por cálculo directo: U B F B ( X ) = K [ X + B [0 , −→ B ] que se designa B♭X.
Define-se a transformação natural η : id C ⇒ U B F B dos mor-fismos únicos nos diagramas da forma: B♭X X + B BB♭X X B.κ X ι X η X [0 , ι B Mostre-se que a propriedade universal é válida:Seja u : X → K [ p ] um morfismo em C . Prove-se que existe um único f : X + B → A que satisfaz a propriedade universal para u. O morfismo U B ( f ) é o único que torna o diagrama seguinte comutativo: B♭X X + BK [ p ] A,U B f κ X ker( p ) f do qual se simplifica a condição universal: ker p é um monomorfismo u = U B ( f ) η X se e somente se verifica ker( p ) u = ker( p ) U B ( f ) η X = f κ X η X . Como κ X η X = ι X , obtém-se ainda uma condição universal da adjunção maissimplificada: ker( p ) u = f ι X . Ora, a existência de tal f equivale à comutatividade do seguinte: X + B AB ,f s pι B [0 , isto é, pf = [0 , e f ι B = s. f como o único morfismo que torna o diagrama comutativo: B X + B XA K [ p ] .ι B s ι X u ker( p ) f De f ι B = s e f ι X = ker( p ) u obtém-se: p ( f ι B ) = ps = 1 B = [0 , ι B , e de modo igual pf ι X = [0 , ι X , do qual se conclui que a propriedade universal: XU B F B ( X ) K [ p ] F B ( X ) ( A p ⇄ s B ) η X uU B ff é válida.Generaliza-se de modo directo o Teorema 2.2.1 de [17] para álgebras topológi-cas. Este teorema revela que, para variedades semi-abelianas que satisfazem certosaxiomas (que são designadas Ω - loops em [17]), os produtos semidirectos são umageneralização directa de produtos semidirectos em Grp . Teorema 3.3.2.
Seja T uma teoria pontuada (com constante ) que contenha + e − entre as suas operações binárias que satisfazem os axiomas: x + 0 = x ; 0 + x = x ;( x + y ) − y = x ; ( x − y ) + y = x. O produto semidirecto em
Top T ( X, ξ ) ⋊ B onde B é um objecto de Top T e ( X, ξ ) é uma álgebra sobre T B é o espaço topológico X × B munido da estrutura ω (( x , b ) , . . . , ( x n , b n )) = ( ξ ( ω ( x + b , . . . , x n + b n ) − ω ( b , . . . , b n )) , ω ( b , . . . , b n )) para cada operação ω ∈ Ω e elementos b i , x i de B e X , respectivamente. emonstração. Considere-se o diagrama em
Top T : X A B,κ ps onde κ é o núcleo de p e ps = 1 B . Nesta demonstração está subentendido que osnúcleos escritos com κ são inclusões de álgebras e, assim, podemos evitar escrevê-lossempre. Definem-se as funções ( p ( a − sp ( a )) = p ( a ) − p ( a ) = 0 ): ζ : X × B → A ; ( x, b ) → κ ( x ) + s ( b ) ,χ : A → X × B ; a → ( κ − ( a − sp ( a )) , p ( a )) , que são contínuas: ζ é uma composição de funções contínuas. Prova-se que χ é uma aplicação aoseleccionar um aberto U em X × B. Como X × B está contido em A × B , existe umaberto V em A × B com U = ( X × B ) ∩ V. Como β : A → X × B ; a ( a − βp ( a ) , p ( a )) é contínua χ − ( U ) = χ − ( V ) = κ − ( β − ( V )) é aberta.Tem-se que χ e ζ são inversas uma da outra, isto é, A e X × B são álgebrasbijectivas.O diagrama seguinte é comutativo como se pode verificar: X X × B BX A B.< , >κ ζ χ psπ B < , > Caracterizem-se as álgebras sobre a mónada T B = ( T B , η, µ ) , onde T B = U B F B , η é como foi definida no teorema anterior e µ é definida pela unicidade do morfismoentre as linhas exactas em: B♭ ( B♭X ) (
B♭X ) +
B B B♭X X + B B . [ κ B,X , ι B ] κ B,B♭X [0 , κ B,X [0 , µ BX T B é uma mónada. Seja t um termo de aridade n . Da construçãode X + B obtém-se que cada elemento do coproduto é da forma t ( x , . . . , x n , b , . . . , b n ) . Temos então T B X = B♭X = K [ X + B [0 , −→ B ]= { t ( x , . . . , x n , b , . . . , b n ) | [0 , t (0 , . . . , , b , . . . , b n )) = 0 } = { t ( x , . . . , x n , b , . . . , b n ) | t (0 , . . . , , b , . . . , b n ) = 0 } . O ponto A p ⇄ s B corresponde à álgebra ( X, ξ ) que satisfaz B♭X X + B BX A B.ξ κ
B,X κ [ s, κ ] ps [0 , i B Verifique-se a expressão no teorema. Aplicando χζ = 1 vem ω (( x , b ) , . . . ( x n , b n )) = χ ( ω ( ζ ( x , b ) , . . . , ζ ( x n , b n )))= χ ( ω ( x + s ( b ) , . . . , x n + s ( b n ))) e agora escrevendo ω ( y ) para ω ( y , . . . , y n ) , e f y para ( f ( y ) , . . . , f ( y n )) e avaliando χ explicitamente tem-se: χ ( ω ( x + s b ) = ( ω ( x + s b ) − spω ( x + s b ) , pω ( x + s b )) . Obtemos também pω ( x + s b ) = ω ( p x + ps b ) = ω ( b ) , e ainda se verifica ω ( x + s b ) − spω ( b ) = [ s, κ ]( ω ( x + s b ) − ω ( b )) . Esta expressão juntamente com oúltimo diagrama permite-nos fazer as últimas simplificações: ω (( x , b )) = ([ s, κ ]( ω ( x + s b ) − ω ( b )) , ω ( b ))= ( ξ ( ω ( x + s b ) − ω ( x + b ) − ω ( x + s b ) − ω ( b )) , ω ( b )) .
47m [14] prova-se que esta descrição de produtos semidirectos é válida numa va-riedade se e só se ela é uma variedade de Ω -loops. Os resultados de [14, 17] levarama uma descrição mais geral de produtos semidirectos em variedades topológicas en-volvendo produtos que generalizam esta (veja-se [12]).
Corolário 3.3.3.
O produto semidirecto de dois grupos topológicos é o produto se-midirecto dos grupos subjacentes munido da topologia produto. pêndice A Epimorfismos e o Teorema deBarr-Kock
Para definir categorias semi-abelianas, não se pode prescindir algumas classes deepimorfimos definidas em seguida.
Definição A.0.1.
Seja f : A → B um morfismo em C • f diz-se um e pimorfismo forte se, em qualquer quadrado comutativo A BC Dft hg m onde m é um monomorfismo, existir um único t que torne o diagrama comu-tativo. • f diz-se u m epimorfismo regular se for um co-igualizador de um par de mor-fismos. • f diz-se e pimorfismo cindido se tiver inversa à direita. • f diz-se um epimorfismo forte (regular, cindido, resp.) e stável para produ-tos fibrados se o seu produto fibrado ao longo de qualquer morfismo for umepimorfismo forte (regular, cindido, respectivamente). Proposição A.0.4.
Numa categoria C temos as inclusões: epi . cindidos ⊂ epi . regulares ⊂ epi . fortes ⊂ epimorfismos Demonstração.
A demonstração é concisamente ilustrada nas figuras que se seguem.49m epimorfismo cindido é regular:
X X YZs ◦ f X fsz z ◦ s Um epimorfismo regular é forte: · · ·· · r r fz m ⇒ m ◦ z ◦ r = m ◦ z ◦ r ⇒ · · ·· · r r fz m Um epimorfismo forte é um epimorfismo: u ◦ f = v ◦ f · · ·· · uvfv ◦ f u ∃ ! Unicidade ⇒ u = v. De acordo com o pretendido nesta dissertação, foi indispensável a introdução doteorema de Barr-Kock como [7].
Teorema A.0.5.
Teorema de Barr-KockSeja R [ f ] X Y R [ f ′ ] X ′ Y ′ γ g hff ′ um diagrama qualquer numa categoria com produtos fibrados.1. Se ( g, γ ) é tal que é um produto fibrado e f é um epimorfismo forte estávelpara produtos fibrados, então, é um produto fibrado.2. Além disso, se g é um monomorfismo, então, h também é. Corolário A.0.6.
Seja C uma categoria finitamente completa. Se f : X → Y se factoriza como f = m ◦ e, onde e é um epimorfismo forte estável para produtosfibrados, então, R [ e ] ≃ R [ f ] se e só se m é um monomorfismo. ibliografia [1] Michael Barr, Exact Categories, em: Springer Lecture Notes in Mathematics 236,(1971) pp. 1-120.[2] Johnathon Mock Beck,
Triples, Algebras and Cohomology , Dissertação de douto-ramento, Columbia University, 1967, TAC reprint 2 (2003) pp. 1-59.[3] N. Bourbaki. Éléments de Mathématique, Springer-Verlag Berlin Beidelberg2007. Hermann, Paris, 1972, N. Bourbaki, 1981.[4] Dominique Bourn,
Normalization Equivalence, Kernel Equivalence and AffineCategories,
Springer Lecture Notes in Mathematics 1488, 1991, 43-62.[5] Dominique Bourn, George Janelidze,
Protomodularity, descent, and semidirectproducts,
Theory Appl. Cat., 4 (1998), 37-46.[6] Dominique Bourn, George Janelidze.
Characterization of protomodular varietiesof universal algebra,
Theory Appl. Cat. 11 (2003) 143-147.[7] Dominique Bourn, Marino Gran.
Regular, Protomodular and Abelian Categories ,IV, Categorical Foundations, Cambridge University Press, 2004, pp. 165-211.[8] Francis Borceux, Handbook of Categorical Algebra, Cambridge University Press,1994.[9] Francis Borceux, Maria Manuel Clementino.
Topological semi-abelian algebras ,Adv. Math., 190 (2004) pp. 425-453.[10] Francis Borceux, Maria Manuel Clementino.
Topological protomodular algebras ,Topology Appl., 153 (2006) pp. 3085-3100.[11] Maria Manuel Clementino.
Towards categorical behaviour of groups , CIM Bul-letin, 23 (2007) pp. 7-12. 5112] Maria Manuel Clementino, Andreia Montoli, Lurdes Souza,
Semidirect productsof (topological) semi-abelian algebras , em preparação.[13] Tomas Everaert, Tim Van der Linden.
Relative Commutator Theory in Semi-Abelian Categories , J. Pure Appl. Algebra, 216 (2012) 1791-1806.[14] J.R.A. Gray, Nelson Martins Ferreira.
On algebraic and more general categorieswhose split epimorphisms have underlying product projections , arXiv:1208.2032v1(2012).[15] Herrlich,
Topological functors,
Gen. Topology Appl. (1974), 125-142.[16] P.J. Higgins, An Introduction to Topological Groups, Cambridge UniversityPress, 1974.[17] Edward Buhuru Inyangala. Categorical semi-direct products in varieties ofgroups with multiple operators
Tese de PhD, UCT, 2010.[18] George Janelidze, László Márki, e Walter Tholen.
Semi-abelian categories , J.Pure Appl. Algebra, 168, (2002), pp. 367-386.[19] P.T. Johnstone, M.C. Pedicchio.
Remarks on Continuous Mal’cev Algebras ,Rend. Instit. Mat. Univ. Trieste (1993) pp. 277-297.[20] F.W. Lawvere.
Functorial semantics of algebraic theories , Proc. Nat. Acad. Sci.U.S.A. 50, 869-873 (1963).[21] Sophus Lie,
Vorlesungen über differentialgleichungen mit infinitesimalen Trans-formationen
Leipzig 1891.[22] Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, Springer, 1998,pp. 191-210.[23] Saunders Mac Lane
Duality for groups , Bull. Amer. Math. Soc. 56 (1950) 485-516.[24] A.I. Maltsev,
On the general theory of algebraic systems,
Mat. Sb. Semidirect products of internal groupoids , J.Pure Appl. Algebra, no. 214, (2010), pp. 1854-1861.[26] Otto Schreier
Abstrakte kontinuierliche Gruppen.
Abh. Math. Sem., Univ. Ham-burg 4 (1925) 15-32. 5227] Oswald Wyler,
On the categories of general topology and topological algebra,
Arch. Math., 22 (1971) 7-17.[28] Van Dantzig
Zur Topologischen Algebra I.
Math. Ann. 107 (1932) 587-626.[29] Tim Van der Linden,
Homology and homotopy in semi-abelian categories, arXiv:math/0607100v1, (2006). 53arXiv:math/0607100v1, (2006). 53