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El gran avance de Strassen: ¿Cómo se puede simplificar enormemente el cálculo de la multiplicación de matrices?
En la teoría de la complejidad computacional, los circuitos aritméticos se han convertido en el modelo estándar para calcular polinomios. Estos circuitos funcionan tomando variables o números como entrada y luego realizando operaciones de suma o multiplicación, lo que los convierte en una forma formal de comprender la complejidad polinomial de los cálculos. Sin embargo, aún vale la pena reflexionar sobre la cuestión de cómo calcular un polinomio particular de la manera más eficiente.
Un circuito aritmético es un gráfico acíclico dirigido donde cada nodo con grado de entrada cero se denomina puerta de entrada y está etiquetado como una variable o elemento de campo.
El tamaño y la profundidad de los circuitos aritméticos son dos medidas clave de complejidad. El tamaño de un circuito es el número de sus puertas, mientras que su profundidad es la longitud del camino dirigido más largo desde la entrada hasta la salida. Por ejemplo, un circuito aritmético puede calcular polinomios a través de puertas de entrada y luego realizar operaciones de suma y multiplicación en función de los subnodos calculados.
Límites superior e inferior
Al explorar la complejidad del cálculo de polinomios, podemos preguntarnos: ¿Cómo encontramos la mejor manera de calcular un determinado polinomio? Esto implica primero construir un circuito que pueda calcular el polinomio dado, lo que se denomina límite superior. Luego demuestre que ningún otro circuito puede hacerlo mejor y este es el límite inferior.
Si bien las dos tareas de límites superiores e inferiores están conceptualmente relacionadas, probar límites inferiores suele ser más desafiante porque todos los circuitos posibles deben analizarse simultáneamente.
Un ejemplo notable es el algoritmo de Strathern, que demostró calcular el producto de dos matrices n×n con un tamaño de aproximadamente n2,807. Esto representa una simplificación significativa respecto del enfoque tradicional O(n3). Las innovaciones de Strathern surgieron principalmente de su inteligente método para multiplicar matrices de 2×2, que sentó las bases para una multiplicación de matrices más eficiente.
Desafíos del Nether
Si bien se han descubierto muchos circuitos inteligentes para encontrar límites superiores en polinomios, la tarea de demostrar límites inferiores es extremadamente difícil. Especialmente para polinomios de pequeño grado, la complejidad del problema se puede ilustrar si se puede demostrar que algunos polinomios requieren circuitos de tamaño superpolinomial. Sin embargo, el desafío principal es encontrar un polinomio explícito que pueda demostrar que supera el requisito de tamaño del polinomio, lo que se ha convertido en uno de los focos clave de la investigación actual.
Los resultados de investigación presentados por Strathern no sólo nos llevan a una comprensión más profunda de los circuitos aritméticos, sino que también centran con éxito la atención en los problemas de complejidad causados por el tamaño del circuito global requerido por los polinomios. Si estos resultados se pueden aplicar a una gama más amplia de polinomios, se espera que se resuelvan muchos problemas no resueltos.Se dan los límites inferiores para polinomios como x1d + ... + xnd Strathern et al. demostraron que es Ω(n log d).
Problemas algebraicos de P y NP
Otro tema al que vale la pena prestar atención es el problema P y NP en álgebra. En esta pregunta, ¿se puede resolver un problema con la misma eficiencia que confirmar si existe una solución a un problema dado? Este es un desafío teórico importante porque no sólo se trata del cálculo polinomial, sino que también involucra la cuestión central de la complejidad computacional en su conjunto.
El problema VP y VNP propuesto por Valiant es un maravilloso problema algebraico que involucra las capacidades de cálculo y representación de polinomios.
El estudio en profundidad de los problemas VP y VNP puede proporcionar conocimientos únicos sobre la complejidad de los cálculos aritméticos. A medida que continúa la investigación, esperamos más avances en el futuro que desafiarán los límites de la teoría informática tradicional.
En este mundo de las matemáticas y la informática que cambia rápidamente, a medida que avanza la teoría y se amplían las aplicaciones prácticas, la complejidad del proceso de cálculo debería, al menos, hacernos reflexionar profundamente. ¿Se pueden optimizar aún más los modelos informáticos futuros?
