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El secreto de la computación determinante: ¿cómo resolverlo inteligentemente usando circuitos polinomiales?
En la teoría de la complejidad del cálculo, los circuitos aritméticos se consideran modelo estándar para calcular polinomios.Básicamente, la función de un circuito aritmético es recibir variables o números como entradas, y luego realizar operaciones de adición o multiplicación.Este modelo proporciona una forma formal de comprender la complejidad de los polinomios computacionales.Entonces, ¿cómo calcular de manera efectiva un polinomio dado?Este se ha convertido en uno de los problemas centrales de la investigación.
El circuito aritmético es un gráfico acíclico dirigido con la entrada de cada puerta de entrada cero y marcada como una variable o elemento de campo.Otras puertas están marcadas como puertas de adición o puertas de multiplicación.Cada circuito tiene dos medidas de complejidad: tamaño y profundidad.El tamaño del circuito se refiere al número de puertas en él, y la profundidad del circuito se refiere a la longitud de la ruta dirigida más larga.
El circuito aritmético calcula el polinomio de una manera natural, la puerta de entrada calcula su marcado polinomio, la puerta de adición calcula la suma de los polinomios de sus nodos infantiles y la puerta de multiplicación calcula el producto de los polinomios de los nodos infantiles.
Análisis de límite superior
En el estudio de la complejidad computacional polinomial, se han encontrado algunos circuitos y algoritmos inteligentes.Un ejemplo famoso es el algoritmo de multiplicación de matriz de Strassen.Por lo general, calcular el producto de dos matrices N × N requiere un circuito de aproximadamente tamaño N³, pero Strassen demuestra que se puede usar para calcular usando un circuito de aproximadamente N².807.
Calculación El determinante de la matriz N × N también es una historia interesante.Un método puro requiere circuitos de aproximadamente N!, Pero sabemos que los determinantes se pueden calcular utilizando circuitos de tamaño polinomial, y las profundidades de estos circuitos son lineales.Pero Berkowitz propone una mejora de que el tamaño del circuito sigue siendo polinomio, pero la profundidad se limita a O (log² (n)).
Sin embargo, para una matriz N × N permanente, el tamaño del circuito más conocido es de aproximadamente 2^n, que es la profundidad tres circuitos proporcionados por el teorema de Ryser.
Next Realm Challenge
El conocimiento sobre la prueba del límite inferior es muy limitado, especialmente para polinomios de pequeños grados.Por ejemplo, calcular niveles muy altos de polinomios requiere grandes circuitos, y nuestro objetivo principal es demostrar el límite inferior para los polinomios de pequeños grados.Un problema abierto importante es encontrar ejemplos claros de un circuito con un pequeño grado de polinomio pero que requiere un tamaño superpolinomio.
Aunque los argumentos de contar nos dicen que algunos polinomios de pequeños grados también pueden requerir circuitos de tamaño superpolinomial, estos resultados generalmente no pueden profundizar nuestra comprensión del proceso computacional.
Por ejemplo, el límite inferior hasta ahora solo puede alcanzar la escala de Ω (n log d), que se refleja principalmente en el trabajo de Strassen y Baur y Strassen.
problemas de álgebra P y NP
El problema abierto más notable en la teoría de la complejidad computacional es el problema P vs. NP.El problema de analogía algebraica de Valiant VP vs. VNP es uno de ellos.VP es una analogía del principio de grado polinómico, mientras que VNP puede considerarse como un problema similar al NP.Valiant demuestra que un polinomio permanente es un polinomio completo de la clase VNP.
La importancia de la disminución de la profundidad
En nuestra comprensión de los cálculos polinomiales, la investigación de Valiant y otros académicos proporciona referencias importantes.Muestran que si un polinomio tiene un circuito de tamaño S, su profundidad también se puede reducir a O (log (R) log (s)), lo que proporciona orientación de referencia para resolver otros problemas similares.
Este resultado no solo extiende el método de circuito de Berkowitz, sino que también nos ayuda a comprender mejor el cálculo de los polinomios.
En esta era rápidamente cambiante, ¿podemos encontrar nuevas formas de obtener información sobre la estructura y la complejidad de la informática del circuito para satisfacer los desafíos de las futuras necesidades informáticas?
