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26 groupes étranges : que sont les soi-disant « groupes sporadiques » ? Qu'ont-ils de si spécial ?
En mathématiques, le théorème de classification des groupes simples finis, souvent appelé « théorème énorme », est un résultat important de la théorie des groupes. Ce théorème stipule que tous les groupes simples finis peuvent être classés soit comme groupes cycliques, groupes alternés, ou appartenant à une classe infinie générale de groupes de type Lie, etc., soit comme vingt-six exceptions spéciales. Les groupes sont appelés groupes sporadiques. Derrière cette conclusion complexe se cachent des dizaines de milliers de pages et des centaines d’articles scientifiques, rédigés progressivement entre 1955 et 2004 par une centaine d’auteurs.
Les groupes simples peuvent être considérés comme les éléments de base de tous les groupes finis, tout comme les nombres premiers des nombres naturels.
La preuve de l’ensemble du théorème de classification est très fastidieuse et longue, couvrant de nombreux concepts mathématiques, tels que le théorème de Jordan-Hölder, qui souligne que l’analyse structurelle des groupes ordonnés peut être réduite au problème des groupes simples. Contrairement à la factorisation entière, ces « blocs de construction » ne déterminent pas nécessairement un groupe unique, puisque de nombreux groupes non isomorphes peuvent avoir la même série constituante, ce qui fait que le problème de développement n'a pas de solution unique.
Énoncé du théorème de classification
Le théorème de classification a des applications dans de nombreux domaines des mathématiques, en particulier dans l'analyse de la structure des groupes finis et de leurs effets sur d'autres objets mathématiques, où les problèmes peuvent souvent être simplifiés en groupes simples finis. Grâce au théorème de classification, ces questions peuvent être répondues en examinant chaque classe de groupes simples et chaque groupe sporadique. L'annonce de Daniel Gorenstein en 1983 selon laquelle tous les groupes simples finis avaient été classés était prématurée, car les informations qu'il avait obtenues sur la classification des groupes quasi-minces étaient incorrectes.
Aperçu de la preuve du théorème de classification
Deux ouvrages de Gorenstein en 1982 et 1983 ont décrit les propriétés exotiques et de bas rang de la preuve, tandis qu'un troisième volume de Michael Aschbacher et al. en 2011 a couvert l'ensemble des propriétés exotiques et de bas rang de la preuve. Autres cas avec caractéristique 2 sont inclus. L'ensemble du processus de preuve peut être divisé en plusieurs parties principales, notamment des petits groupes de rang 2, des groupes de types de composants et des groupes de caractéristique 2.
Petits groupes de rang 2
La plupart des petits groupes simples de rang 2 sont des groupes de Lie de petit rang avec des propriétés particulières et comprennent également cinq groupes alternés et plusieurs groupes sporadiques. Par exemple, pour les groupes de rang 2 0, ceux-ci sont tous de rang impair et résolubles, comme le montre le théorème de Feit-Thompson.
Groupe de types de composants
Lorsque le centralisateur C d'un groupe possède un noyau (O(C)) par rapport à une inversion, il est considéré comme un groupe de type composant. La plupart de ces groupes sont des groupes de Lie particuliers de haut rang et des groupes d’alternance.
Les caractéristiques sont des groupes de 2 types
Si chaque sous-groupe d'ajustement généralisé F*(Y) d'un sous-groupe 2-local Y est un 2-groupe, alors le groupe est classé comme un groupe de type caractéristique 2. Ce groupe est principalement dérivé de groupes de Lie particuliers et de quelques groupes entrelacés et sporadiques.
Histoire de la preuve
Au fil du temps, Gorenstein a proposé en 1972 un plan pour compléter la classification des groupes simples finis. Ce plan comprend jusqu'à 16 étapes, couvrant un large éventail de situations allant de la classification des groupes de rang 2 inférieur aux niveaux supérieurs. Argument. Après une longue période de travail acharné, la preuve finale a été produite et l’existence et le caractère unique de divers groupes ont été confirmés.
Perspectives d'avenir
Alors que la communauté universitaire continue de progresser, les recherches de suivi sur le théorème de classification sont toujours en cours et la deuxième génération de preuves a commencé à apparaître, ce qui signifie que les mathématiciens travaillent toujours dur pour trouver des preuves plus concises, en particulier pour les niveaux supérieurs. rang Le problème de la classification des groupes.
Alors que de nouvelles technologies et méthodes continuent de se développer, serons-nous un jour en mesure de trouver une méthode de classification plus claire pour simplifier cet énorme résultat ?
