Language
Country/Area
No result found
Pièce mathématique incroyablement longue : pourquoi la preuve de groupes simples finis nécessite-t-elle cent mille pages de papier ?
Dans l'histoire des mathématiques, le théorème de classification des groupes simples finis est communément appelé le « théorème géant ». Son apparition a révolutionné le développement de la théorie des groupes. Le théorème stipule que tous les groupes simples finis sont soit cycliques, soit alternés, soit appartiennent à une large classe infinie appelée types de Lie, soit à l'un des vingt-six cas particuliers, les groupes dits sporadiques. Trouvé sa figure dans. La complexité de cette démonstration est stupéfiante, et de nombreux mathématiciens y ont consacré des efforts inlassables. Au moment de sa publication en 2004, la littérature sur le sujet dépassait les 100 000 pages.
Essentiellement, les groupes simples sont les éléments de base de tous les groupes finis, et leur rôle est similaire à celui des nombres premiers dans les nombres naturels. Cependant, une caractéristique des groupes simples est que ces « éléments de base » n’identifient pas toujours de manière unique un groupe, car il peut y avoir de nombreux groupes non isomorphes différents qui ont tous la même série de combinaisons. Daniel Gorenstein et son équipe travaillent désormais à simplifier et à réviser cette preuve massive.
« La classification des groupes simples finis est une réalisation unique en mathématiques, qui a eu un impact profond sur de nombreuses branches des mathématiques. »
Énoncé du théorème de classification
Le théorème de classification a une valeur pratique dans de nombreux domaines des mathématiques, car lorsqu’il s’agit de problèmes impliquant la structure de groupes finis, l’étude peut souvent être réduite au problème des propriétés de groupes simples finis. Grâce à la dérivation de ce théorème de classification, certains problèmes connexes peuvent même être résolus en examinant chaque groupe simple et chaque groupe spontané.
Cependant, dans les années 1960, Gorenstein a annoncé en 1983 que la classification des groupes simples finis avait été achevée, mais cela était prématuré en raison d'une mauvaise compréhension de certaines preuves importantes. La pièce manquante n'a été officiellement comblée qu'en 2004, avec la publication d'une épreuve de 1 221 pages par Aschbacher et Smith.
Aperçu de la certification
Le processus de preuve peut être divisé en plusieurs parties principales. Par exemple, dans la classification des groupes de petit ordre 2, la plupart des groupes sont des groupes de type Lie de petit ordre, plus cinq groupes alternés, sept groupes caractéristiques de type 2 et neuf groupes spontanés. En particulier, lorsque l'ordre 2 est 0, de tels groupes sont résolubles, un résultat lié au théorème de Feit-Thompson.
En ce qui concerne la classification des petits groupes d'ordre 2, nous devons considérer de nombreuses situations : il existe non seulement 26 groupes spontanés, mais aussi 16 groupes de type Lie, et de nombreux autres comportements particuliers des groupes d'ordre 2, qui doivent être pris en compte. considéré différemment Traitez chaque cas un par un. Selon la décomposition du second ordre du groupe, il est nécessaire de le diviser en un groupe de type élément et un groupe de type caractéristique 2.
« Ce processus de classification de grande envergure est comme un marathon difficile pour les mathématiques, et chaque détail doit être soigneusement élaboré. »
Histoire de la preuve
En 1972, Gorenstein a lancé un projet pluriannuel visant à achever la classification des groupes simples finis. Le projet comprenait 16 étapes, axées sur les propriétés et la structure de différents types de groupes. Au fur et à mesure que les travaux progressent, la classification de la plupart des groupes a été pratiquement achevée, mais il reste encore un petit nombre de groupes qui nécessitent une discussion et une confirmation plus approfondies.
En 1985, la première génération de preuves avait été achevée, mais comme elles étaient trop lourdes, la communauté mathématique a commencé à réviser le processus de preuve. Cette démonstration dite de deuxième génération a pour but de reformuler cet énorme théorème de manière plus concise et plus claire. La plupart des membres concernés ont une riche expérience et des connaissances qui ouvrent la voie à de nouvelles démonstrations.
Bien que les progrès soient lents, le projet compte déjà dix volumes et devrait atteindre à terme cinq mille pages. Cette longueur est en partie due au fait que la nouvelle preuve utilise un style plus détendu plutôt que le formalisme soigné sur lequel la preuve précédente était basée.
En fin de compte, ce mouvement de classification est devenu une étape importante dans la communauté mathématique et a fourni une base solide pour le développement mathématique futur. Alors, quel impact profond cette énorme preuve mathématique a-t-elle sur notre compréhension des mathématiques ?
