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Du fini à l’infini : connaissez-vous la véritable signification des nombres transfinis ?
Dans le monde des mathématiques, l’infini est souvent présenté comme un sujet fascinant. Cependant, lorsqu’il s’agit de « nombres transfinis », la profondeur et l’étendue de ce concept déroutent souvent de nombreuses personnes. Les nombres transfinis sont des nombres « infinis » qui sont plus grands que tous les nombres finis. Ils comprennent les cardinaux transfinis (nombres utilisés pour quantifier la taille d'ensembles infinis) et les ordinaux transfinis (nombres utilisés pour représenter des ensembles infinis). nombres triés). Cet article explorera ces concepts en profondeur et vous donnera un aperçu du charme des nombres transfinis.
Le terme « transfini » a été inventé en 1895 par le mathématicien Georg Cantor, qui voulait éviter les connotations ambiguës du mot « infini », bien que ces nombres ne soient pas intrinsèquement finis.
Par définition mathématique, tout nombre naturel fini peut être utilisé d'au moins deux manières : comme nombre ordinal et comme cardinalité. La cardinalité est utilisée pour spécifier la taille d'un ensemble, par exemple, « cinq billes », tandis que les nombres ordinaux sont utilisés pour spécifier la position d'un membre d'un ensemble ordonné, comme « troisième à partir de la gauche » ou « le premier membre de Janvier". Vingt-septième jour". Lorsque ces concepts sont étendus aux nombres transfinis, il n’y a plus de correspondance bijective entre les deux. Une cardinalité transfinie décrit la taille d'un ensemble infini, tandis qu'un ordinal transfini décrit la position d'un nombre dans un grand ensemble ordonné.
Les ordinaux et cardinaux les plus célèbres parmi les entiers transfinis sont ω (Omega) et ℵ₀ (Aleph-null), qui représentent le point de départ de l'infini.
Tout d’abord, ω est l’ordinal transfini le plus petit, qui est généralement utilisé pour représenter le type ordinal des nombres naturels. ℵ₀ est le premier cardinal transfini, et c'est aussi le cardinal des nombres naturels. Si l'axiome du choix est vrai, alors le cardinal supérieur suivant est ℵ₁. Si ce n’est pas vrai, il peut alors y avoir des cardinalités supérieures à ℵ₁ mais pas égales à ℵ₀. Il convient de noter que l’hypothèse du continu propose qu’il n’y a pas de cardinalité intermédiaire entre ℵ₀ et le cardinal de l’ensemble des nombres réels. Cette hypothèse ne peut pas être prouvée dans la théorie des ensembles de Zermelo-Frankel, ni par elle-même ni par sa négation.
Regardons quelques exemples concrets. Dans la théorie des nombres ordinaux de Cantor, chaque entier a son successeur. Le premier entier infini après tous les entiers réguliers est nommé ω. Plus précisément, ω+1 est supérieur à ω, et ω·2, ω² et ω^ω sont également des nombres plus grands. Dans ces contextes, les expressions arithmétiques impliquant ω spécifient un nombre ordinal qui peut être considéré comme l’ensemble de tous les entiers jusqu’à ce nombre.
Pour la représentation d'entiers infinis, la forme standard de Cantor fournit une séquence de données finie pour la représenter, mais tous les entiers infinis ne peuvent pas être représentés à l'aide de cette forme standard.
Pour compliquer encore les choses, certains entiers infinis ne peuvent pas être représentés sous forme de Cantor, et le premier de ces entiers est ω^(ω^(ω...)), appelé ε₀. Il s'agit d'un nombre auto-récursif, où chaque solution ε₁, ..., εₖ, etc. rend le nombre ordinal plus grand. Ce processus peut être poursuivi jusqu'à ce qu'une limite soit atteinte, à savoir ε_(ε_(ε...)), qui est la première solution de ε_α=α, ce qui signifie que lors de la spécification de tous les entiers transfinis, un nom infini doit être imaginé.
En résumé, le concept de nombres transfinis remet en question notre compréhension des nombres et nous fait réfléchir à la nature de l’infini. Il ne s’agit pas seulement d’utiliser des outils mathématiques, mais cela implique également une réflexion philosophique approfondie. Nous ne pouvons nous empêcher de nous demander, face à l’infini, jusqu’où peuvent aller les limites de notre pensée ?
