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Le voyage fantastique des mathématiques : que sont les nombres cardinaux transfinis et les nombres ordinaux ?
Dans le vaste univers des mathématiques, les deux concepts de « nombres cardinaux transfinis » et de « nombres ordinaux » brillent comme des étoiles, mais sont insaisissables. Ils proviennent du jeune esprit du mathématicien Georg Cantor, qui a introduit pour la première fois le terme « transfini » à la fin du XIXe siècle pour décrire des quantités qui transcendent tous les nombres finis. Ces nombres transfinis remettent non seulement en question les limites des mathématiques traditionnelles, mais nous offrent également une nouvelle perspective sur la compréhension de la nature de l’infini.
"Les nombres transfinis sont des nombres dont la taille dépasse tout nombre fini."
Les nombres transfinis incluent les « nombres cardinaux transfinis » et les « nombres ordinaux transfinis ». Les cardinaux transfinis sont utilisés pour quantifier la taille d'ensembles infinis, tandis que les ordinaux transfinis sont des outils qui fournissent l'ordre des éléments dans des ensembles ordonnés. Ces nombres ne sont pas seulement des concepts abstraits en mathématiques, ils déclenchent également d’innombrables réflexions philosophiques, telles que la nature et l’essence de l’infini.
Dans la théorie de Cantor, chaque entier a un successeur. Le premier entier infini qu’il a appelé était « ω » (Oméga), et son expansion arbitraire nous permet de définir des ordres et des cardinalités supérieurs. Ici, ω + 1 est évidemment plus grand que ω, et ω ⋅ 2, ω² et ω^ω sont encore plus grands. Ces expressions ne sont pas de simples nombres, elles représentent un concept numérique complètement nouveau.
"ω est le premier nombre ordinal transfini, qui n'est équivalent à aucun nombre ou séquence fini."
Dans ce monde de nombres, les deux définitions du « nombre cardinal » et du « nombre ordinal » sont différentes. Les nombres cardinaux nous donnent la taille d'ensembles infinis, tandis que les nombres ordinaux nous donnent l'idée de position dans une séquence. Cette différence permet qu'il n'y ait plus de correspondance terme à terme entre nombres cardinaux transfinis et nombres ordinaux. Parmi elles, la base transfinie la plus familière est ℵ₀ (Aleph-null), qui est la base des nombres naturels, et ℵ₁ est la première base supérieure à ℵ₀.
"La cardinalité est la taille de l'ensemble infini, et le nombre ordinal définit l'ordre des éléments."
Cependant, tout cela n’est pas que théorique. L’application et l’influence des nombres transfinis se retrouvent dans tous les domaines des mathématiques. Par exemple, dans la théorie des ensembles, les propriétés des ensembles infinis et la relation entre ces nombres cardinaux et les nombres ordinaux ont été largement étudiées, et la proposition de « l'hypothèse de continuité » a amené les gens à réfléchir profondément : existe-t-il d'autres nombres cardinaux entre ℵ₀ et des chiffres réels ? La réponse est encore en suspens, mais elle illustre la complexité et la profondeur des nombres transfinis.
En conclusion, les nombres cardinaux transfinis et les nombres ordinaux ne sont pas seulement des concepts abstraits en mathématiques, ils nous permettent également de repenser le sens de l'infini. Grâce à l’exploration de ces nombres, nous acquérons une compréhension approfondie de la structure de l’infini et de son rôle important dans la théorie mathématique. Et tout cela signifie-t-il que notre compréhension du monde réel va également changer ?
