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La percée de Strassen : comment peut-on grandement simplifier le calcul de la multiplication matricielle ?
Dans la théorie de la complexité informatique, les circuits arithmétiques sont devenus le modèle standard pour le calcul des polynômes. Ces circuits fonctionnent en prenant des variables ou des nombres en entrée, puis en effectuant des opérations d'addition ou de multiplication, ce qui en fait un moyen formel de comprendre la complexité polynomiale des calculs. Cependant, la question de savoir comment calculer un polynôme particulier le plus efficacement possible mérite toujours d’être réfléchie.
Un circuit arithmétique est un graphe acyclique orienté où chaque nœud avec zéro degré est appelé une porte d'entrée et est étiqueté comme une variable ou un élément de champ.
La taille et la profondeur des circuits arithmétiques sont deux mesures clés de la complexité. La taille d'un circuit est le nombre de ses portes, tandis que sa profondeur est la longueur du plus long chemin dirigé de l'entrée à la sortie. Par exemple, un circuit arithmétique peut calculer des polynômes via des portes d’entrée, puis effectuer des opérations d’addition et de multiplication en fonction des sous-nœuds calculés.
Limites supérieure et inférieure
Lorsque nous explorons la complexité du calcul des polynômes, nous pouvons nous poser la question : comment trouver la meilleure façon de calculer un certain polynôme ? Cela implique d’abord de construire un circuit capable de calculer le polynôme donné, appelé limite supérieure. Montrez ensuite qu’aucun autre circuit ne peut faire mieux, et c’est la borne inférieure.
Bien que les deux tâches de limites supérieures et inférieures soient conceptuellement étroitement liées, la preuve des limites inférieures est généralement plus difficile car tous les circuits possibles doivent être analysés simultanément.
Un exemple notable est l'algorithme de Strathern, qui s'est avéré capable de calculer le produit de deux matrices n×n d'une taille d'environ n2,807. Cela représente une simplification significative par rapport à l’approche traditionnelle O(n3). Les innovations de Strathern découlent principalement de sa méthode astucieuse de multiplication de matrices 2 × 2, qui a jeté les bases d’une multiplication de matrices plus efficace.
Les défis du Nether
Bien que de nombreux circuits intelligents aient été découverts pour trouver des limites supérieures sur des polynômes, la tâche de prouver des limites inférieures est extrêmement difficile. En particulier pour les polynômes de petit degré, la complexité du problème peut être illustrée si l'on peut montrer que certains polynômes nécessitent des circuits de taille superpolynomiale. Cependant, le principal défi est de trouver un polynôme explicite dont on peut prouver qu’il dépasse l’exigence de taille de polynôme, ce qui est devenu l’un des principaux axes de recherche actuels.
Les limites inférieures pour les polynômes tels que x1d + ... + xnd sont données Strathern et al. ont prouvé qu'il s'agissait de Ω(n log d).
Les résultats de recherche présentés par Strathern nous conduisent non seulement à une compréhension plus approfondie des circuits arithmétiques, mais concentrent également avec succès l'attention sur les problèmes de complexité causés par la taille du circuit global requise par les polynômes. Si de tels résultats peuvent être appliqués à une gamme plus large de polynômes, on s’attend à ce qu’ils résolvent de nombreux problèmes non résolus.
Problèmes algébriques P et NP
Un autre sujet qui mérite d’être étudié est le problème P et NP en algèbre. Dans cette question, peut-on résoudre un problème avec la même efficacité que de confirmer si une solution à un problème donné existe ? Il s’agit d’un défi théorique important car il ne s’agit pas seulement de calcul polynomial, mais implique également la question fondamentale de la complexité informatique dans son ensemble.
Le problème VP et VNP proposé par Valiant est un merveilleux problème algébrique impliquant les capacités de calcul et de représentation des polynômes.
Une étude approfondie des problèmes VP et VNP peut fournir des informations uniques sur la complexité des calculs arithmétiques. Alors que la recherche se poursuit, nous attendons avec impatience de nouvelles avancées qui repousseront les limites de la théorie informatique traditionnelle.
Dans ce monde des mathématiques et de l'informatique en constante évolution, à mesure que la théorie progresse et que les applications pratiques se multiplient, la complexité du processus de calcul devrait au moins nous inciter à réfléchir profondément. Les futurs modèles informatiques peuvent-ils être encore optimisés ?
