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Le secret de l'informatique déterminante: comment le résoudre intelligemment à l'aide de circuits polynomiaux?
Dans la théorie de la complexité de calcul, les circuits arithmétiques sont considérés comme un modèle standard pour calculer les polynômes.Fondamentalement, la fonction d'un circuit arithmétique est de recevoir des variables ou des nombres en entrées, puis d'effectuer des opérations d'addition ou de multiplication.Ce modèle fournit un moyen formel de comprendre la complexité des polynômes de calcul.Alors, comment calculer efficacement un polynôme donné?Cela est devenu l'un des principaux problèmes de la recherche.
Le circuit arithmétiqueest un graphique acyclique dirigé avec l'entrée de chaque porte d'entrée zéro et marqué en variable ou élément de champ.Les autres portes sont marquées comme des portes d'addition ou des portes de multiplication.Chaque circuit a deux mesures de complexité: la taille et la profondeur.La taille du circuit fait référence au nombre de portes, et la profondeur du circuit se réfère à la longueur du chemin dirigé le plus long.
Le circuit arithmétique calcule le polynôme de manière naturelle, la porte d'entrée calcule son polynôme marqué, la porte d'addition calcule la somme des polynômes de ses nœuds pour enfants et la porte de multiplication calcule le produit des polynômes des nœuds pour enfants.
Analyse des limites supérieures
Dans l'étude de la complexité de calcul polynomiale, certains circuits et algorithmes intelligents ont été trouvés.Un exemple célèbre est l'algorithme de multiplication de la matrice de Strassen.Habituellement, le calcul du produit de deux matrices N × N nécessite un circuit d'environ N³, mais Strassen prouve qu'il peut être utilisé pour calculer à l'aide d'un circuit d'environ N².807.
Computer le déterminant de la matrice N × N est également une histoire intéressante.Une méthode pure nécessite des circuits d'environ n!, Mais nous savons que les déterminants peuvent être calculés à l'aide de circuits de la taille du polynôme, et les profondeurs de ces circuits sont linéaires.Mais Berkowitz propose une amélioration que la taille du circuit est toujours polynomiale, mais la profondeur est limitée à O (log² (n)).
Cependant, pour une matrice N × N permanente, la taille du circuit la plus connu est d'environ 2 ^ n, qui est la profondeur trois circuits fournis par le théorème de Ryser.
Next Realm Challenge
La connaissance de la preuve de la borne inférieure est très limitée, en particulier pour les polynômes de petits degrés.Par exemple, le calcul des niveaux très élevés de polynômes nécessite de grands circuits, et notre objectif principal est de prouver la limite inférieure pour les polynômes de petits degrés.Un problème ouvert majeur consiste à trouver des exemples clairs d'un circuit avec un petit degré de polynôme mais nécessitant une taille superpolynomiale.
Bien que les arguments de comptage nous disent que certains polynômes de petits degrés peuvent également nécessiter des circuits de taille superpolynomiale, ces résultats ne parviennent généralement pas à approfondir notre compréhension du processus de calcul.
Par exemple, la limite inférieure jusqu'à présent ne peut atteindre que l'échelle de ω (n log d), qui se reflète principalement dans le travail de Strassen et Baur et Strassen.
Problèmes d'algèbre P et NP
Le problème ouvert le plus notable dans la théorie de la complexité de calcul est le problème P vs NP.Le problème de l'analogie algébrique de Valiant VP vs VNP en fait partie.VP est une analogie du principe du degré polynomial, tandis que le VNP peut être considéré comme un problème similaire à NP.Valiant prouve qu'un polynôme permanent est un polynôme complet de la classe VNP.
La signification de la profondeur décroissante
Dans notre compréhension des calculs polynomiaux, la recherche Valiant et d'autres chercheurs fournit des références importantes.Ils montrent que si un polynôme a un circuit de taille S, sa profondeur peut également être réduite à O (log (r) log (s)), ce qui fournit des conseils de référence pour résoudre d'autres problèmes similaires.
Ce résultat étend non seulement la méthode du circuit de Berkowitz, mais nous aide également à mieux comprendre le calcul des polynômes.
En cette époque en évolution rapide, pouvons-nous trouver de nouvelles façons de mieux comprendre la structure et la complexité de l'informatique de circuits pour répondre aux défis des futurs besoins informatiques?
