Language
Country/Area
No result found
Terobosan Strassen: Bagaimana perhitungan perkalian matriks dapat disederhanakan?
Dalam teori kompleksitas komputasional, rangkaian aritmatika telah menjadi model standar untuk menghitung polinomial. Rangkaian ini bekerja dengan mengambil variabel atau angka sebagai input dan kemudian melakukan operasi penjumlahan atau perkalian, menjadikannya cara formal untuk memahami kompleksitas polinomial dari perhitungan. Namun, pertanyaan tentang cara menghitung polinomial tertentu dengan paling efisien masih layak untuk direnungkan.
Rangkaian aritmatika adalah grafik asiklik berarah di mana setiap simpul dengan derajat masuk nol disebut gerbang input dan diberi label sebagai variabel atau elemen medan.
Ukuran dan kedalaman rangkaian aritmatika adalah dua ukuran kompleksitas utama. Ukuran rangkaian adalah jumlah gerbangnya, sedangkan kedalamannya adalah panjang jalur terarah terpanjang dari input ke output. Misalnya, rangkaian aritmatika dapat menghitung polinomial melalui gerbang input dan kemudian melakukan operasi penjumlahan dan perkalian berdasarkan subsimpul yang dihitung.
Batas Atas dan Bawah
Saat mengeksplorasi kompleksitas penghitungan polinomial, kita dapat bertanya pada diri sendiri: Bagaimana kita menemukan cara terbaik untuk menghitung polinomial tertentu? Ini melibatkan pertama-tama membangun rangkaian yang dapat menghitung polinomial yang diberikan, yang disebut batas atas. Kemudian tunjukkan bahwa tidak ada rangkaian lain yang dapat melakukannya dengan lebih baik, dan ini adalah batas bawah.
Meskipun dua tugas batas atas dan bawah secara konseptual saling terkait erat, pembuktian batas bawah biasanya lebih menantang karena semua rangkaian yang mungkin perlu dianalisis secara bersamaan.
Contoh penting adalah algoritme Strathern, yang terbukti menghitung produk dari dua matriks n×n dengan ukuran sekitar n2,807. Ini merupakan penyederhanaan yang signifikan atas pendekatan O(n3) tradisional. Inovasi Strathern terutama berasal dari metode cerdiknya untuk mengalikan matriks 2×2, yang meletakkan dasar bagi perkalian matriks yang lebih efisien.
Tantangan Nether
Meskipun banyak rangkaian cerdik telah ditemukan untuk menemukan batas atas pada polinomial, tugas untuk membuktikan batas bawah sangatlah sulit. Khususnya untuk polinomial dengan derajat kecil, kompleksitas masalah dapat diilustrasikan jika dapat ditunjukkan bahwa beberapa polinomial memerlukan rangkaian berukuran superpolinomial. Namun, tantangan utamanya adalah menemukan polinomial eksplisit yang dapat dibuktikan melampaui persyaratan ukuran polinomial, yang telah menjadi salah satu fokus utama penelitian saat ini.
Batas bawah untuk polinomial seperti x1d + ... + xnd diberikan oleh Strathern et al. membuktikannya sebagai Ω(n log d).
Hasil penelitian yang disajikan oleh Strathern tidak hanya membawa kita pada pemahaman yang lebih mendalam tentang rangkaian aritmatika, tetapi juga berhasil memfokuskan perhatian pada masalah kompleksitas yang disebabkan oleh ukuran rangkaian global yang dibutuhkan oleh polinomial. Jika hasil tersebut dapat diterapkan lebih lanjut pada rentang polinomial yang lebih luas, diharapkan dapat memecahkan banyak masalah yang belum terpecahkan.
Masalah Aljabar P dan NP
Topik lain yang perlu diperhatikan adalah masalah P dan NP dalam aljabar. Dalam pertanyaan ini, dapatkah seseorang memecahkan masalah dengan efisiensi yang sama seperti mengonfirmasi apakah solusi untuk masalah yang diberikan ada? Ini adalah tantangan teoritis yang penting karena tidak hanya tentang komputasi polinomial, tetapi juga melibatkan masalah inti kompleksitas komputasi secara keseluruhan.
Permasalahan VP dan VNP yang diajukan oleh Valiant merupakan permasalahan aljabar yang luar biasa yang melibatkan kemampuan komputasi dan representasi polinomial.
Studi mendalam tentang permasalahan VP dan VNP dapat memberikan wawasan unik tentang kompleksitas komputasi aritmatika. Seiring dengan berlanjutnya penelitian, kami menantikan lebih banyak terobosan di masa mendatang yang akan menantang batasan teori komputasi tradisional.
Dalam dunia matematika dan komputasi yang berubah dengan cepat ini, seiring dengan kemajuan teori dan perluasan aplikasi praktis, kompleksitas proses perhitungan setidaknya harus membuat kita berpikir secara mendalam. Dapatkah model komputasi masa depan dioptimalkan lebih lanjut?
