Language
Country/Area
No result found
Rahasia Ukuran dan Kedalaman Sirkuit: Apa Cara Terbaik untuk Menghitung Polinomial?
Dalam teori kompleksitas komputasional, rangkaian aritmatika adalah model standar untuk menghitung polinomial. Rangkaian aritmatika mampu mengambil input dari variabel atau angka dan menghitung hasil dari ekspresi yang dihitung sebelumnya melalui penjumlahan atau perkalian. Model ini memungkinkan kita untuk memahami secara metafisik kompleksitas perhitungan polinomial.
Pertanyaan mendasar dari sebuah rangkaian adalah "Bagaimana menghitung polinomial tertentu dengan cara yang paling efisien?"
Sebuah rangkaian aritmatika tersusun dari grafik asiklik terarah. Setiap simpul dalam grafik dengan derajat nol disebut gerbang input dan diberi label sebagai variabel atau elemen dalam domain. Gerbang lainnya adalah gerbang penjumlahan atau gerbang perkalian. Rumus aritmatika adalah rangkaian di mana derajat keluar setiap gerbang adalah satu, membentuk pohon terarah. Ada dua ukuran kompleksitas penting untuk rangkaian: ukuran dan kedalaman. Ukuran rangkaian mengacu pada jumlah gerbang, sedangkan kedalaman mengacu pada panjang jalur terarah terpanjang di rangkaian.
Rangkaian aritmatika memiliki cara alami untuk menghitung polinomial. Gerbang masukan menghitung polinomial berlabelnya; gerbang penjumlahan menghitung jumlah polinomial yang dihitung oleh anak-anaknya, dan gerbang perkalian menghitung hasil perkalian polinomial yang dihitung oleh anak-anaknya. Mengambil gambar sebagai contoh, gerbang masukan menghitung x1, x2 dan 1 secara berurutan, gerbang penjumlahan menghitung x1 + x2 dan x2 + 1, dan gerbang perkalian menghitung nilai (x1 + x2) x2 (x2 + 1).
Gambaran Umum
Ketika kita dihadapkan dengan polinomial f, pertanyaannya adalah bagaimana cara terbaik untuk menghitungnya - misalnya, untuk menghitung ukuran minimum rangkaian satuan. Pertanyaan ini biasanya terdiri dari dua bagian. Bagian pertama adalah menemukan rangkaian yang menghitung polinomial, yang disebut kompleksitas batas atas; bagian kedua adalah membuktikan bahwa rangkaian lain tidak dapat mencapai kinerja yang lebih baik, yang disebut kompleksitas batas bawah.
Meskipun kedua tugas tersebut saling terkait erat, membuktikan batas bawah umumnya lebih sulit karena semua rangkaian perlu dibahas secara bersamaan.
Penting untuk dicatat di sini bahwa kita membahas perhitungan formal polinomial, bukan fungsi yang didefinisikan oleh polinomial. Misalnya, perhatikan polinomial x2 + x dalam domain biner. Polinomial ini merepresentasikan fungsi nol pada domain ini, tetapi bukan polinomial nol. Ini adalah salah satu perbedaan antara studi rangkaian aritmatika dan studi rangkaian Bollinger, dan alasan mengapa kompleksitas Bollinger lebih sulit daripada kompleksitas aritmatika.
Batas atas
Dalam studi penghitungan kompleksitas polinomial, beberapa rangkaian atau algoritma pintar ditemukan. Misalnya, algoritma perkalian matriks Strassen yang terkenal menggunakan ukuran rangkaian sekitar n2,807, yang sangat mengurangikompleksitasnya dibandingkan dengan n3 yang sederhana. Kisah menarik lainnya adalah tentang perhitungan determinan matriks n × n. Meskipun metode perhitungan asli memerlukan sirkuit berukuran n!, kita tahu bahwa determinan dapat dihitung dengan sirkuit berukuran polinomial, meskipun kedalaman sirkuitnya linier dengan n.
Sementara itu, tantangan serupa ada untuk menghitung ukuran sirkuit permanen untuk matriks n × n, dengan sirkuit optimal berukuran sekitar 2n.
Batas bawah
Pengetahuan kita saat ini tentang pembuktian batas bawah sangat terbatas. Misalnya, menghitung polinomial dengan derajat yang sangat besar sering kali memerlukan sirkuit yang besar; misalnya, polinomial dengan derajat 2^2n memerlukan ukuran sirkuit sekitar 2n. Masalah utamanya terletak pada pembuktian batas bawah untuk polinomial dengan derajat kecil, terutama ukuran polinomial n.
Masalah terbuka utama saat ini adalah menemukan polinomial eksplisit sedemikian rupa sehingga ukuran rangkaian yang diperlukan untuk perhitungannya melebihi tingkat polinomial.
Aljabar P dan NP
Masalah terbuka yang paling menarik dalam teori kompleksitas komputasional adalah masalah P versus NP. Secara kasar, pertanyaannya adalah apakah menentukan solusi untuk suatu masalah dapat semudah membuktikan keberadaannya. Valiant mengusulkan analogi aljabar dari masalah VP dan VNP, yang melibatkan hubungan antara ukuran polinomial dan ukuran rangkaian.
Penyederhanaan mendalam
Tolok ukur penting untuk pemahaman kita tentang perhitungan polinomial adalah karya Valiant, Skyum, Berkowitz, dan Rackoff. Mereka menunjukkan bahwa jika polinomial berderajat r memiliki sirkuit berukuran s, maka polinomial tersebut juga memiliki sirkuit berukuran polinomial r dan s.
Hasil ini dianggap salah mengingat hasil yang serupa di bawah pengaturan Bollinger. Salah satu akibat wajar dari hasil ini adalah bahwa simulasi sirkuit yang melibatkan polinomial adalah rumus yang relatif kecil; dalam kasus ini, polinomial berderajat r untuk sirkuit berukuran s akan memerlukan rumus berukuran s^ (O(log(r))).
Ringkasan
Desain, ukuran, dan kedalaman sirkuit aritmatika merupakan elemen kunci untuk menghitung polinomial. Mempelajari elemen-elemen ini bukan hanya tantangan teoretis dalam matematika, tetapi juga terkait erat dengan aplikasi praktis. Dalam perhitungan yang rumit ini, apakah kita dapat menemukan metode yang lebih efisien untuk memecahkan masalah yang lebih besar akan menjadi salah satu arah penelitian di masa mendatang.
