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Il fascino della stima di massima verosimiglianza: come lasciare che siano i dati a parlare?
In statistica, la stima di massima verosimiglianza (MLE) è un metodo per stimare i parametri di una distribuzione di probabilità ipotizzata a partire da dati osservati. Questo metodo massimizza una funzione di verosimiglianza per garantire che la verosimiglianza dei dati osservati sia massimizzata nel modello statistico assunto. Il punto nello spazio dei parametri in cui la funzione di verosimiglianza raggiunge il suo valore massimo è la stima di massima verosimiglianza. Questa logica non è solo intuitiva ma anche flessibile e per questo è diventata un mezzo diffuso di inferenza statistica.
La stima della massima verosimiglianza non rende più silenziosi i dati, ma risveglia le informazioni nascoste nei dati attraverso l'adeguamento dei parametri.
Il principio di base della stima di massima verosimiglianza è quello di considerare un insieme di osservazioni come campioni casuali provenienti da una distribuzione di probabilità congiunta sconosciuta. L'obiettivo è determinare i valori dei parametri che danno la più alta probabilità congiunta di osservare i dati.
Rappresentiamo i parametri che controllano l'allocazione congiunta come un vettore θ = [θ1, θ2, ..., θk ] in modo che rientri in una famiglia di parametri {f(⋅; θ) | θ ∈ Θ}, dove Θ è lo spazio dei parametri, un sottoinsieme di dimensione finita dello spazio euclideo.
Quando valutiamo la densità congiunta y = (y1, y2, ..., yn) sui dati osservati campione Quando , possiamo ottenere una funzione a valori reali, che è chiamata funzione di verosimiglianza Ln(θ) = Ln(θ; y). Per variabili casuali indipendenti e distribuite identicamente, la funzione di verosimiglianza è il prodotto delle funzioni di densità univariate.
Lo scopo della stima di massima verosimiglianza è trovare il valore del parametro che minimizza la funzione di verosimiglianza nello spazio dei parametri.
Questo processo può essere compreso intuitivamente. La chiave per la stima della massima verosimiglianza è selezionare valori di parametro che rendano più probabile che i dati osservati si verifichino. Dal punto di vista computazionale, un approccio comune è quello di utilizzare il logaritmo naturale della funzione di verosimiglianza, chiamato logaritmo-verosimiglianza.
Calcolando la cosiddetta funzione di verosimiglianza, possiamo trovare il valore massimo possibile. Per alcuni modelli, queste equazioni possono essere risolte esplicitamente, ma in generale non esiste una soluzione in forma chiusa, quindi è necessario affidarsi all'ottimizzazione numerica per trovare la stima di massima verosimiglianza.
Nell'analisi dei dati, l'MLE non è solo una formula matematica, ma l'arte di lasciare che siano i dati a parlare.
Oltre all'ottimizzazione numerica, è anche importante notare che per campioni finiti potrebbero esserci più soluzioni. Se la soluzione da noi identificata sia effettivamente un massimo (locale) dipende dalla matrice delle derivate del secondo ordine, chiamata matrice hessiana.
Di solito, la stima di massima verosimiglianza può anche corrispondere all'inferenza bayesiana. In una distribuzione a priori uniforme, la MLE può approssimare la stima a posteriori massima (MAP). Ciò è particolarmente importante quando si eseguono inferenze statistiche e si costruiscono modelli.
La magia della stima di massima verosimiglianza risiede nella sua capacità non solo di caratterizzare i dati stessi, ma anche di fornire una base significativa per il processo decisionale. Pertanto, sia in economia, medicina o altre ricerche scientifiche, l'MLE occupa una posizione indispensabile.
Infine, dobbiamo riflettere sul fatto che il potere dei dati risiede nel processo di comprensione degli stessi. Abbiamo sfruttato appieno i dati per spiegare le storie che stanno dietro di essi?
