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Il segreto della massima verosimiglianza: perché questo metodo statistico è così popolare?
In statistica, la stima di massima verosimiglianza (MLE) è un metodo per stimare i parametri di una distribuzione di probabilità ipotizzata sulla base di dati osservati. Questo processo si ottiene massimizzando la funzione di verosimiglianza, in modo che i dati osservati abbiano la massima probabilità di verificarsi secondo il modello statistico assunto. Perché allora questo metodo è diventato uno strumento diffuso per l'inferenza statistica?
La logica della stima di massima verosimiglianza non è solo intuitiva, ma anche flessibile, ed è per questo che occupa una posizione così importante nella statistica.
Innanzitutto, il principio di base della stima di massima verosimiglianza è che modelliamo un insieme di osservazioni come campioni casuali da una distribuzione di probabilità congiunta sconosciuta e questa distribuzione congiunta è descritta sotto forma di un insieme di parametri. Il nostro obiettivo è determinare questi parametri in modo che i dati osservati abbiano la massima probabilità congiunta.
In questo processo, i parametri che consideriamo sono solitamente espressi come un vettore, come θ = [θ1, θ2, …, θk]T. Questi parametri definiscono una distribuzione di probabilità nello spazio dei parametri Θ, che ci consente di valutare la verosimiglianza di queste osservazioni tramite una funzione di verosimiglianza.
Massimizzando la funzione di verosimiglianza è possibile trovare i parametri del modello che meglio spiegano i dati osservati, un processo che solitamente comporta un'ottimizzazione numerica.
Quando si ha a che fare con variabili casuali indipendenti e distribuite in modo identicamente, il calcolo della funzione di verosimiglianza comporta il prodotto delle funzioni di densità univariate di queste variabili. Trovando i valori dei parametri che massimizzano la funzione di verosimiglianza, possiamo ottenere la spiegazione del modello più appropriata.
Sebbene il metodo di stima della massima verosimiglianza abbia solide basi teoriche, può incontrare delle difficoltà nelle applicazioni pratiche. Ad esempio, per alcuni modelli potrebbero esserci più soluzioni all'equazione di verosimiglianza e per determinare quale sia la soluzione locale ottimale è necessaria un'ulteriore verifica mediante la matrice hessiana della derivata del secondo ordine.
Inoltre, sarebbe utile stimare l'esistenza se la funzione di verosimiglianza è continua nello spazio dei parametri. La stima di massima verosimiglianza risultante è in genere una funzione dello spazio campione, il che ne sottolinea ulteriormente la flessibilità e la gamma di applicazioni. Vale la pena notare che l'utilizzo della funzione di verosimiglianza naturale può spesso semplificare il processo di calcolo perché la sua soluzione per il valore massimo è la stessa della funzione di verosimiglianza originale.
Il metodo di stima della massima verosimiglianza può essere trovato in molti modelli statistici diversi, tra cui la regressione lineare, la regressione logistica, ecc. Lo sviluppo di questi modelli ha beneficiato di questa teoria.
Inoltre, la stima della massima verosimiglianza ha anche una sottile connessione con l'inferenza bayesiana. In alcuni casi, questo approccio può essere visto come una stima massima a posteriori (MAP), in cui la distribuzione a priori è uniforme nella regione di interesse. Un simile confronto dimostra che, che si tratti di frequentismo o di visione bayesiana, la posizione fondamentale della stima di massima verosimiglianza in statistica rimane incrollabile.
Soprattutto in molte applicazioni pratiche, che si tratti di biostatistica, analisi finanziaria o ricerca in scienze sociali, i metodi di massima verosimiglianza hanno dimostrato una forte adattabilità e scalabilità. Se si dispone di dati sufficienti, questo approccio fornisce generalmente stime affidabili dei parametri, il che continua a renderlo prezioso nel nostro moderno mondo basato sui dati.
Tuttavia, dovremmo anche chiederci: un simile approccio può continuare a mantenere la sua affidabilità quando i dati sono incompleti o le ipotesi del modello non sono valide?
