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Il mistero dell'analisi del luogo delle radici: come esplorare graficamente il movimento dei poli di un sistema?
Nel campo della teoria del controllo e dell'analisi della stabilità, l'analisi del luogo delle radici è un metodo grafico che mira a esplorare la radice di un sistema in funzione delle variazioni di un certo parametro del sistema (solitamente il guadagno in un sistema di feedback). Questa tecnica deriva dalla teoria del controllo classico sviluppata da Walter R. Evans e può determinare efficacemente la stabilità del sistema.
Il grafico del luogo delle radici mostra la variazione dei poli della funzione di trasferimento a circuito chiuso sul piano s complesso.
Il luogo delle radici può essere utilizzato non solo per determinare la stabilità del sistema, ma anche per aiutare a progettare il rapporto di smorzamento (ζ) e la frequenza naturale (ωn) del sistema di feedback. Tracciando linee rette con rapporto di smorzamento fisso, che si irradiano dall'origine, e archi con frequenza naturale fissa, che si irradiano dall'origine, è possibile selezionare un punto per determinare il guadagno di sistema K richiesto. In questo modo, il progettista può raggiungere la stabilità e le prestazioni dinamiche richieste, che vengono discusse in dettaglio in vari manuali di controllo.
La definizione del luogo delle radici è la rappresentazione grafica dei poli ad anello chiuso del sistema sul piano s complesso al variare dei valori dei parametri specifici.
Nel complesso, l'analizzatore del luogo delle radici consente agli ingegneri di controllo di identificare graficamente e prevedere il comportamento di un sistema. Il metodo del luogo delle radici è particolarmente efficace quando il sistema di feedback progettato presenta evidenti coppie di poli dominanti. Nelle applicazioni reali, molti sistemi potrebbero non soddisfare pienamente questa ipotesi. Pertanto, è importante eseguire la verifica della simulazione dopo aver completato la progettazione per garantire che i requisiti effettivi siano soddisfatti.
Principi dell'analisi del luogo delle radici
Il principio di funzionamento dell'analisi del luogo delle radici si basa sulle condizioni angolari e di ampiezza dello strumento. Se è presente un sistema di feedback con segnale di ingresso X(s) e segnale di uscita Y(s), la funzione di trasferimento del percorso in avanti può essere espressa come G ( s), e la funzione di trasferimento del percorso di feedback è H(s). La funzione di trasferimento a circuito chiuso è quindi T(s) = Y(s) / X(s) = G(s) / (1 + G(s)H(s)).
Ciò significa che i poli del circuito chiuso rispetto alle radici dell'equazione caratteristica sono
1 + G(s)H(s) = 0.
Naturalmente, quando non c'è un ritardo puro nel sistema, il prodotto di G(s)H(s) può essere espresso sotto forma di polinomio razionale. Attraverso questa analisi, combinata con tecniche vettoriali per calcolare gli angoli dei poli e degli zeri, possiamo ottenere informazioni sul comportamento e sulla dinamica del sistema.
Disegno dei luoghi delle radici
Quando si traccia il luogo delle radici, è necessario innanzitutto contrassegnare i poli e gli zeri del circuito aperto e contrassegnare la porzione dell'asse reale a sinistra di tutti i poli e gli zeri. Un'analisi più approfondita mostra che sottraendo il numero di poli P dal numero di zeri Z, si ottiene un asintoto della quantità P-Z. Questo asintoto intersecherà l'asse reale nel centro di gravità e l'angolo verso l'esterno può essere calcolato con la seguente formula:
φ_l = 180° + (l - 1) * 360° / (P - Z),α = Re(ΣP - ΣZ) / (P - Z)
Inoltre, è necessario confermare la fase del punto di prova per individuare l'angolo di partenza e il punto di ingresso. Questi processi dimostrano pienamente la potenza e il potenziale applicativo del metodo del luogo delle radici e ci spingono a esplorare più a fondo la stabilità del sistema.
Conclusione
La rappresentazione grafica e l'analisi dei luoghi delle radici consentono agli ingegneri dei sistemi di controllo di estrarre informazioni chiave da calcoli complessi. Questa non è solo una discussione teorica, ma anche un'abilità essenziale nella pratica. Di fronte alle sfide tecnologiche future, l'analisi del luogo delle radici può aiutarci a scoprire i misteri più profondi della dinamica dei sistemi?
