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슈트라센의 획기적인 발견: 행렬 곱셈 계산을 크게 단순화할 수 있는 방법은 무엇일까?
계산 복잡도 이론에서 산술 회로는 다항식을 계산하는 표준 모델이 되었습니다. 이러한 회로는 변수나 숫자를 입력으로 받아서 덧셈이나 곱셈 연산을 수행함으로써 계산의 다항식적 복잡도를 이해하는 공식적인 방법이 됩니다. 그러나 특정 다항식을 가장 효율적으로 계산하는 방법은 무엇인가라는 질문은 여전히 고민할 가치가 있습니다.
산술 회로는 각 노드의 입력 차수가 0인 경우 입력 게이트라고 하며 변수 또는 필드 요소로 표시되는 방향성 비순환 그래프입니다.
산술 회로의 크기와 깊이는 복잡성을 측정하는 두 가지 주요 기준입니다. 회로의 크기는 게이트의 수이고, 깊이는 입력에서 출력까지의 가장 긴 방향 경로의 길이입니다. 예를 들어, 산술 회로는 입력 게이트를 통해 다항식을 계산한 후 계산된 하위 노드를 기반으로 덧셈 및 곱셈 연산을 수행할 수 있습니다.
상한 및 하한
다항식 계산의 복잡성을 탐구할 때, 우리는 다음과 같은 질문을 할 수 있습니다: 특정 다항식을 계산하는 가장 좋은 방법을 어떻게 찾을 수 있을까요? 이는 먼저 주어진 다항식을 계산할 수 있는 회로를 만드는 과정인데, 이를 상한이라고 합니다. 그런 다음 다른 회로는 더 나은 성능을 낼 수 없음을 보여주세요. 이것이 하한입니다.
하한과 상한을 증명하는 두 가지 과제는 개념적으로 밀접한 관련이 있지만, 하한을 증명하는 과제는 모든 가능한 회로를 동시에 분석해야 하기 때문에 보통 더 어렵습니다.
주목할 만한 예로는 스트래던 알고리즘이 있는데, 이는 크기가 약 n2.807인 두 개의 n×n 행렬의 곱을 계산하는 것으로 나타났습니다. 이는 기존의 O(n3) 접근 방식에 비해 상당히 단순화된 것입니다. 스트래던의 혁신은 주로 2×2 행렬을 곱하는 그의 독창적인 방법에서 비롯되었으며, 이는 더 효율적인 행렬 곱셈의 기반을 마련했습니다.
네더의 도전
다항식의 상한을 찾기 위해 많은 똑똑한 회로가 발견되었지만, 하한을 증명하는 작업은 극히 어렵습니다. 특히 작은 차수의 다항식의 경우, 일부 다항식이 초다항식 크기의 회로를 필요로 한다는 것을 증명할 수 있다면 문제의 복잡성을 설명할 수 있습니다. 그러나 가장 큰 과제는 다항식 크기 요구 사항을 초과하는 것으로 입증 가능한 명시적인 다항식을 찾는 것인데, 이는 현재 연구의 주요 초점 중 하나가 되었습니다.
x1d + ... + xnd와 같은 다항식의 하한은 다음과 같습니다. Strathern 등은 이것이 Ω(n log d)임을 증명했습니다.
Strathern이 발표한 연구 결과는 우리가 산술 회로에 대해 더 깊이 이해할 수 있도록 도울 뿐만 아니라, 다항식에 필요한 전역 회로 크기로 인해 발생하는 복잡성 문제에 주목하게 하는 데에도 성공했습니다. 이러한 결과를 더 넓은 범위의 다항식에 적용할 수 있다면, 많은 미해결 문제가 해결될 것으로 기대됩니다.
대수 P 및 NP 문제
주목할 만한 또 다른 주제는 대수학의 P와 NP 문제입니다. 이 문제에서, 주어진 문제에 대한 해결책이 존재하는지 확인하는 것과 동일한 효율성으로 문제를 해결할 수 있을까요? 이는 다항식 계산에 대한 것일 뿐만 아니라 전체적인 계산 복잡성의 핵심 문제를 포함하고 있기 때문에 중요한 이론적 과제입니다.
발리언트가 제안한 VP와 VNP 문제는 다항식의 계산 및 표현 능력을 포함하는 훌륭한 대수 문제입니다.
VP와 VNP 문제에 대한 심층 연구는 산술 계산의 복잡성에 대한 독특한 통찰력을 제공할 수 있습니다. 연구가 계속됨에 따라 앞으로는 기존 컴퓨팅 이론의 경계를 뛰어넘는 더 많은 획기적인 발견이 이루어지기를 기대합니다.
이처럼 빠르게 변화하는 수학과 컴퓨팅 세계에서 이론이 발전하고 실제 응용 프로그램이 확장됨에 따라 계산 과정의 복잡성은 적어도 우리가 깊이 생각하게 만들어야 합니다. 미래의 컴퓨팅 모델을 더욱 최적화할 수 있을까요?
