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결정적인 컴퓨팅의 비밀 : 다항식 회로를 사용하여 그것을 영리하게 해결하는 방법?
계산 복잡성 이론에서 산술 회로는 다항식 계산을위한 표준 모델로 간주됩니다.기본적으로 산술 회로의 기능은 변수 또는 숫자를 입력으로 수신 한 다음 추가 또는 곱셈 작업을 수행하는 것입니다.이 모델은 계산 다항식의 복잡성을 이해하는 공식적인 방법을 제공합니다.그렇다면 주어진 다항식을 효과적으로 계산하는 방법은 무엇입니까?이것은 연구의 핵심 문제 중 하나가되었습니다.
산술 회로는 각 입력 게이트 0의 흡입구가있는 지시 된 acyclic 그래프이며 변수 또는 필드 요소로 표시됩니다.다른 게이트는 추가 게이트 또는 곱셈 게이트로 표시됩니다.각 회로에는 크기와 깊이의 두 가지 복잡성 측정이 있습니다.회로의 크기는 그것의 게이트 수를 의미하고 회로의 깊이는 가장 긴 지시 된 경로의 길이를 나타냅니다.
산술 회로는 다항식을 자연스럽게 계산하고, 입력 게이트는 표시된 다항식을 계산하고, 추가 게이트는 어린이 노드의 다항식의 합을 계산하며, 곱셈 게이트는 어린이 노드의 다항식의 생성물을 계산합니다.
상한 분석
다항식 계산 복잡성에 대한 연구에서 일부 영리한 회로와 알고리즘이 발견되었습니다.유명한 예는 Strassen의 행렬 곱셈 알고리즘입니다.일반적으로 2 개의 n × n 매트릭스의 생성물을 계산하려면 약 n³ 크기의 회로가 필요하지만 Strassen은 약 n².807 크기의 회로를 사용하여 계산하는 데 사용될 수 있음을 증명합니다.
N × N 매트릭스의 결정 요인을 계산하는 것도 흥미로운 이야기입니다.순수한 방법은 약 n!의 회로를 필요로하지만, 우리는 다항식 크기의 회로를 사용하여 결정 요인을 계산할 수 있으며,이 회로의 깊이는 선형임을 알고 있습니다.그러나 Berkowitz는 회로의 크기가 여전히 다항식이라는 개선을 제안하지만 깊이는 O (log² (n))로 제한됩니다.
그러나 영구적 인 N × N 매트릭스의 경우 가장 잘 알려진 회로 크기는 약 2^N이며, 이는 Ryser의 정리가 제공하는 깊이 3 회로입니다.
다음 영역 챌린지
하한 증명에 대한 지식은 특히 작은 정도의 다항식에 대해 매우 제한적입니다.예를 들어, 매우 높은 수준의 다항식을 계산하려면 큰 회로가 필요하며, 우리의 주요 목표는 작은 정도의 다항식의 하한을 입증하는 것입니다.주요한 열린 문제는 다항식 정도가 적지 만 슈퍼 폴리 언어 크기가 필요한 회로의 명확한 예를 찾는 것입니다.
인수 계수는 작은 정도의 다항식이 초 폴리 동맥 크기의 회로를 요구할 수 있다고 말하지만, 이러한 결과는 일반적으로 계산 프로세스에 대한 우리의 이해를 심화시키지 못합니다.
예를 들어,지금까지 하한은 ω (n log d)의 스케일에만 도달 할 수 있으며, 이는 주로 Strassen과 Baur 및 Strassen의 작업에 반영됩니다.
대수 P 및 NP 문제
계산 복잡성 이론에서 가장 눈에 띄는 개방 문제는 P 대 NP 문제입니다.Valiant의 대수 비유 문제 VP 대 VNP는 그 중 하나입니다.VP는 다항식 정도 원리의 유추이며, VNP는 NP와 유사한 문제로 간주 될 수 있습니다.Valiant는 영구 다항식이 VNP 클래스의 완전한 다항식이라는 것을 증명합니다.
깊이 감소의 중요성
다항식 계산에 대한 이해에서 Valiant 및 기타 학자의 연구는 중요한 참고 문헌을 제공합니다.다항식의 크기 S 회로가있는 경우 깊이가 O (log (r) log (S))로 줄어들 수 있으며, 이는 다른 유사한 문제를 해결하기위한 참조 지침을 제공합니다.
이 결과는 Berkowitz의 회로 방법을 확장 할뿐만 아니라 다항식 계산을 더 잘 이해하는 데 도움이됩니다.
이 빠르게 변화하는 시대에, 우리는 미래의 컴퓨팅 요구의 도전을 충족시키기 위해 회로 컴퓨팅의 구조와 복잡성에 대한 통찰력을 얻는 새로운 방법을 찾을 수 있습니까?
