Alexander Leitsch

On the efficiency of subsumption algorithms

The costs of subsumption algorithms are analyzed by an estimation of the maximal number of unification attempts (worst-case unification complexity) made for deciding whether a clause <italic>C</italic> subsumes a clause <italic>D</italic>. For this purpose the clauses <italic>C</italic> and <italic>D</italic> are characterized by the following parameters: number of variables in <italic>C</italic>, number of literals in <italic>C</italic>, number of literals in <italic>D</italic>, and maximal length of the literals. The worst-case unification complexity immediately yields a lower bound for the worst-case time complexity. First, two well-known algorithms (Chang-Lee, Stillman) are investigated. Both algorithms are shown to have a very high worst-case time complexity. Then, a new subsumption algorithm is defined, which is based on an analysis of the connection between variables and predicates in <italic>C</italic>. An upper bound for the worst-case unification complexity of this algorithm, which is much lower than the lower bounds for the two other algorithms, is derived. Examples in which exponential costs are reduced to polynomial costs are discussed. Finally, the asymptotic growth of the worst-case complexity for all discussed algorithms is shown in a table (for several combinations of the parameters).

Fast Subsumption Algorithms

Subsumption algorithms are used in resolution oriented theorem proving to eliminate redundant clauses from the search space. In a recent paper, the authors have introduced a new subsumption algorithm DC (Division into Components) which is much more efficient than the standard algorithms. In the present paper two new results are stated. First, an exponential lower bound for DC is presented. It is shown, that in certain cases DC is exponential in time, while IDC is only polynomial. However we prove when DC has polynomial time complexity, then also IDC is polynomial.

Eine Methode zur automatischen Problemreduktion

Bereits in fruhen Beitragen zum Automatischen Beweisen (ATP) wurde die Bedeutung der Problemreduktion erkannt; so spielt diese z.B. im Geometrieprogramm von Gelernter [Gel 59] eine wichtige Rolle. Wahrend das vorher genannte Programm ein spezieller Beweiser ist, gibt es auch entsprechende Beitrage zur Problemreduktion fur ATP-Programme, die auf der Pradikatenlogik 1.Stufe basieren. In einer Arbeit von Bledsoe [Bl 71] sind einige wichtige Reduktionsmethoden fur das ATP aufgelistet, in [Bl,Br 74] wird auf die Bedeutung der Problemreduktion im interaktiven Beweisen hingewiesen, G.W.Ernst [E 76] befaste sich mit Problemreduktion im Fall von Systemen mit zahlreichen Axiomen. In allen genannten Arbeiten spielt die Reduktion eine Rolle des Preprocessing; ist dieses durchgefuhrt, konnen die ublichen Deduktionsmethoden (z.B. Resolution uber Clausenmengen) angewandt werden. Indessen ist die Reduktion auf Unterprobleme nicht nur fur das ATP, sondern auch fur die Automatische Programmsynthese von Bedeutung (Procedure DEPEND in Bibel [Bi 78]).

Fiducial intervals for the waiting time in batch and time-sharing systems

In this paper error-estimates for fiducial intervals for the waiting time are analyzed, the intensity and the mean CPU-time being submitted to variations; this is done for a batch-system withn CPUs. Moreover we consider fiducial intervals for the conditional exspectationW(x)=E(waiting time‖CPU-time=x) in the case of the Round-Robin algorithm. Especially we focus on the dependence of the fiducial intervals forW(x) upon the distribution of the CPU-time (Erlang- versus exponential distribution). The results are derived as equations or inequalities including the possibility of numerical computation.ZusammenfassungDie vorliegende Arbeit befaßt sich mit Fehlerabschätzungen für Fiduzialintervalle ([0,a] heißt Fiduzial-Intervall zu (1-K) 100% Wahrscheinlichkeit fürW, fallsP {W>a}=K) für die Wartezeit bei Schwankungen der mittleren CPU-Zeit und der Intensität. Dies wird für ein Batch-System mitn CPUs durchgeführt. Weiters werden für den Round-Robin-Algorithmus die Fiduzialintervalle für die bedingte ErwartungW(x)=E (Wartezeit‖CPU-Zeit=x) untersucht. Hierbei wird die Abhängigkeit der Fiduzial-Intervalle fürW(x) von der Verteilung der CPU-Zeiten analysiert (Erlangverteilung versus Exponentialverteilung). In allen Fällen werden Gleichungen oder Ungleichungen hergeleitet, die eine konkrete Berechnung gestatten.