Allan E. G. Stuart

On a new mode of description in physics

We explore the possibilities of a new informal language, applicable to the microdomain, which enables such characteristics as superposition and discreteness to be introduced without recourse to the quantum algorithm. In terms of new notions that are introduced (e.g. ‘potentiation’ and ‘ensemblation’), we show that an experiment need no longer be thought of as a procedure designed to investigate a property of a ‘separately existing system’. Thus, the necessity of a sharp separation between the ‘system under observation’ and the ‘apparatus’ is avoided. Although the new language is very different from that of classical physics, classical notions appear as a special limiting case.This new informal language leads to a mathematical formalism which employs the descriptive terms of a cohomology theory with values in the integers. Thus our theory is not based on the use of a space-time description, continuous or otherwise. In the appropriate limit, the mathematical formalism contains certain features similar to those of classical field theories. It is therefore suggested that all the field equations of physics can be re-expressed in terms of our theory in a way that is independent of their spacetime description. This point is illustrated by Maxwells equations, which are understood in terms of cohomology on a discrete complex. In this description, the electromagnetic four-vector potential and the four-current can be discussed in terms of an ‘ensemblation’ of discontinuous hypersurfaces or varieties. Since the cohomology is defined on the integers the charge is naturally discrete.

On the separability of the sine‐Gordon equation and similar quasilinear partial differential equations

The separability of the sine‐Gordon equation (SGE) is defined and studied in detail. We find a general class of dependent‐variable transformations under which the SGE is separable. This class may be reduced to a two‐parameter generalization of the usual transformation adopted, by requiring the transformations to reduce to the identity in the linear limit of the SGE (i.e., the Klein–Gordon equation). The method developed for studying the separability of the SGE is then applied to more general quasilinear equations and a discussion of the limitations of the method, and of separable solutions in general, is also given.

Separable solutions of the two-dimensional sine-Gordon equation

Abstract We discuss the reduction of the two-dimensional sine-Gordon equation to a pair of uncoupled, ordinary differential equations.

Complex solitons and poles of the sine-Gordon equation

We discuss the implications of a recently established equivalence between the lynamics of interacting sine-Gordon solitons and the motions of poles of the corresponding Hamiltonian density. The connection is traced to the existence of a ‘complex soliton’ whose limiting forms are the real soliton and a singular form.

Solitions and separable elliptic solutions of the sine-Gordon equation

We point out that the two-soliton (antisoliton) solutions of the sine-Gordon equation may be obtained as limiting cases of a separable, two-parameter family of elliptic solutions. The solitons are found on the boundary of the parameter space for the elliptic solutions when the latter are considered over their usual complex domain.

Separable solutions of the sine-Gordon equation in terms of a Painlevé transcendent

Abstract We show that, when expressed in characteristic coordinates, the two-dimensional sine-Gordon equation may be reduced to a separable form via the use of a fifth Painleve transcendent.

On the separability of the sine‐Gordon equation and similar quasilinear partial differential equations. II. Dependent‐ and independent‐variable transformations

In an earlier paper, we investigated the separability of the sine‐Gordon equation (SGE), and of similar quasilinear partial differential equations, under transformations of the dependent variable (i.e, of the codomain). We found, in particular, that there is a general class of dependent‐variable transformations which leads to separable forms of the SGE. In this paper, we extend our previous analysis to include independent‐ as well as dependent‐variable transformations (i.e., transformations of both the domain and codomain) and treat, in detail, constant coefficient equations of the first and second orders. We illustrate our method by applying it to the SGE and find combinations of domain and codomain transformations which reduce the equation to separable forms. Some of these transformations lead to known solutions of the SGE, but others give new solutions expressible in terms of a fifth Painleve transcendent. Our method can, in principle, be used to map out the space of separable solutions of the SGE and ...

A classification of the separable solutions of the two-dimensional sine-Gordon equation and of its Laplacian variant

SummaryIn this paper we define, develop and classify a set of separable solutions of the sine-Gordon equation in one space and one time dimension and of its Laplacian or elliptic variant. The solutions we obtain depend, in general, on two real parameters and are classified under the following boundary conditions: i) degeneracy with respect to the parameters, ii) position in the complex-solution space and iii) periodicity with respect to the independent variables. We find three structural groups:a) a one-soliton sector containing the single soliton and antisoliton,b) a two-soliton sector which includes the doublet solutions andc) a general sector in which the solutions are products of Jacobian elliptic functions with coupled periods. By extending the solutions from each of these sectors into a complex domain, we find a generic set of complex solitons whose limiting forms include the real solitons. Furthermore, the existence of the complex doublets enables us to establish a continuous connection between the general sector and the real twosoliton solutions, so that the latter now form part of the boundary of the general sector. Since the vacuum state also lies on this boundary, this has implications for the stability of the two-soliton sector. Additionally, the real solutions of the sine-Gordon equation in this general sector are expressed in standard computable forms. Finally, we discuss the usefulness of the solutions together with questions relating to their stability in the case of the Laplacian variant.RiassuntoIn questo lavoro, si definisce, sviluppa e classifica una serie di soluzioni separabili dell’equazione del seno di Gordon in una dimensione di spazio e una di tempo e della sua variante laplaciana e ellittica. Le soluzioni ottenute dipendono, in generale, da due parametri reali e sono classificate secondo le seguenti condizioni al contorno: i) degenerazione rispetto ai parametri, ii) posizione nello spazio delle soluzioni complesse, iii) periodicità rispetto alle variabili indipendenti. Si trovano tre gruppi strutturali:a) un settore a un solitone che contiene il solitone singolo e l’antisolitone,b) un settore a due solitoni che comprende le soluzioni a doppietta,c) un settore generale in cui le soluzioni sono prodotti delle funzioni ellittiche jacobiane con periodi accoppiati. Estendendo le soluzioni da ciascuno di questi settori in un dominio complesso, si trova un gruppo generico di solitoni eomplessi le cui forme limite comprendono i solitoni reali. Inoltre, l’esistenza di doppietti eomplessi permette di stabilire una connessione continua tra il settore generale e le soluzioni reali a due solitoni, cosieché queste formano ora parte del confine del settore generale. Poiché anche lo stato di vuoto è su questo confine, ciò ha implicazioni per la stabilità del settore a due solitoni. In più, le soluzioni reali dell’equazione del seno di Gordon in questo settore generale sono espresse in forme standard calcolabili. In fine si discute l’utilità delle soluzioni insieme con gli interrogativi riguardo alla loro stabilità nel caso della variante laplaciana.РезюмеB Этой статье мы определяем, развиваем и классифицируем систему сепарабельных решений уравнения синyс-Гордона c одной пространственной и одной временной переменными, а также Эллиптического варианта Этого уравнения иварианта c оператором Лапласа. Мы получаем, что решения в общем случае зависят от двух веществеНныХ параметров. Решения классифицируются в зависимости от граничных условий: 1) вырождение по указанным параметрам; 2) положение 1) вырождение по указанным параметрам; 2) положение в комплексном пространстве решений; и 3) периодичность по независимым переменным. Мы получаем три структу комплексном пространстве решений; и 3) периодичность по независимым переменным. Мы получаем три структурных группы:a) одно-солитонный сектор, содержащий изолированный солитон и антисолитон;b) двух-солитонный по независимым переменным. Мы получаем три структурных группы:a) одно-солитонный сектор, содержащий изолированный солитон и антисолитон;b) двух-солитонный сектор, который включает дублеты солитонов; с) общий сектор, где решени я представлD ют структурных группы:a) одно-солитонный сектор, содержащий изолированный солитон и антисолитон;b) двух-солитонный сектор, который включает дублеты солитонов; с) общий сектор, где решения представляют содержащий изолированный солитон и антисолитон;b) двух-солитонный сектор, который включает дублеты солитонов; с) общий сектор, где решения представляют двух-солитонный сектор, который включает дублеты солитонов; с) общий сектор, где решения представляют солитонов; с) общий сектор, где реD ения представляют произведения эллиптических функций Якоби со связанными периодами. Продолжая решения из каждого сектора в комплексную область, мы получаем общую систему комплексных солитонов, предельные выражения которых включают в солитонов, предельные выражения которых включают вещественные солитоны. Кроме того, существование комплексных дубле ков позколяет нам установить н вещественные солитоны. Кроме того, существование комплексных дублетов позволяет нам ъстановить непр нрывную связь между общим сектором и вещественными двух-солитонными решениями, так что последни комплексных дублетов позволяет нам уу тановить непрерывную связь между общим сектором и вещественными двух-солитонными решениями, так что последние образуют часть границы общего сектора. Так как состояние вакууа а лежит на этой границе, то оно пр непрерывную связь между общим сектором и вещественными двух-солитонными решениями, так что последние образуют часть границы общего сектора. Так как состояние вк куума лежит на этой границе, то оно причастно вещественными двух-солитонными решениями, так что последние образуют часть границы общего сектора. Так как состояние вакуума лежит на этой границе, то оно причастно последние образуют часть границы общего сектора. Так как состояние вакуума лежит на этой границе, то оно причастно как состояние вакуума лежит на этой границе, то оно причастно причастно к устойчивости двух-солитонного сектора. Кроме того, вещественные решения урв внения синyс-Гос дона в этом общем секторе выражаются в стандартной вычисляемой общем секторе выражаются в стандартной вычисляемой форме. B заключение, мы обсуждаем полезность полученных решений форме. B заключение, мы обсуждаем полезность полученных решений полученных решений и вопрос устойчивости рвшвний в случае варианта рассматриваемого уравнения c оператором Лапласа.

Superposition formulae for sine-Gordon multisolitons

SummaryWe present nonlinear and linear superposition formulae for multisoliton solutions of the sine-Gordon equation. These formulae are constructed for the general case, that is for multisolitons which contain any combination of solitons, antisolitons and breathers. The nonlinear superposition is constructed from these components, whereas the linear superposition is in terms of accelerating and oscillating kinks. We argue that the latter provide a more consistent interpretation of a multisoliton solution as an interaction between its asymptotic components.RiassuntoSi presentano formule di sovrapposizione non lineari e linear! per le soluzioni del multisolitone dell’equazione di sine-Gordon. Queste formule sono composte per il caso generale, cioè per multisolitoni che contengono qualsiasi combinazione di solitoni, antisolitoni e «breathers». La sovrapposizione non lineare si costruisce da questi componenti, mentre la sovrapposizione lineare è in termini di kink di accelerazione e oscillazione. Si afferma che questi ultimi forniscono un’interpretazione piú coerente di una soluzione del multisolitone come un’interazione tra i suoi componenti asintotici.РезюмеМы предлагаем формул ь нелинейной и линейной суперпозиц ии для многосолитонных реш ений уравнения сайн-Г ордона. Эти формулы конструирую тся в общем случае, т.е. для мн огосолтонных решени й, которые содержат любую комбинацию солитоно в, антисолитонов и бри зеров. Из этих компонент конструируется нели нейная суперпозиция, тогда как линейная суперпозиц ия конструется в термин ах ускоренных и осцил лиркющих частицеподобных реш ений. Мы показываем, что пре дложенная линейная суперпозиция обеспе чивает более последовательную ин терпретацию многосо литонного решения, как взаимоде йствие между его асимптотич ескими компонентами.

Superposition formulae for multisolitons. II. - The modified Korteweg-de Vries equation

SummaryFollowing our work on the sine-Gordon equation we present nonlinear and linear superposition formulae for multisoliton solutions of the modified Korteweg-de Vries equation.RiassuntoIn seguito al nostro lavoro sull’equazione di sine-Gordon si presentano formule di sovrapposizione nonlineari e lineari per le soluzioni del multisolitone dell’equazione modifieata di Korteweg-de VriesРезюмеСледуя нашей предыду щей работе для уравнения сайн-Гордо на, мы предлагаем формулы н елинейной и линейной суперпозиции для мно госолитонных решений модифициров анного уравнения Kорт евега-де Фриза.