Andreas Büchter

Einige spannende Probleme – ein Schnupperkurs

Zum Einstieg beschaftigen wir uns in diesem Kapitel mit drei uberschaubaren, spannenden Problemstellungen, um so das Interesse an zahlentheoretischen Fragestellungen zu wecken: Zahlen mit genau vier Teilern: Konnen wir diese Zahlen vollstandig und moglichst effizient finden? Primzahlen: Lassen sich alle naturlichen Zahlen als Summe zweier Primzahlen darstellen, wie beispielsweise \(8=3+5\)? Konnen wir jede Primzahl gar als Differenz von Quadratzahlen notieren wie \(11=36-25\)? Pharmazentralnummer: Wie wirkungsvoll sind die Medikamentenbestellungen durch Apotheken beim Groshandel gegen gangige Fehler wie Vertauschen von Ziffern oder Drehfehler abgesichert?

Systematisches Zählen – Grundaufgaben der Kombinatorik

Zu den grundlegenden Kompetenzen, die Schulerinnen und Schuler bereits in der Grundschule erwerben sollen und auf denen in der Sekundarstufe aufgebaut wird, gehort das systematische Zahlen. Kombinatorische Aufgabenstellungen sind in nahezu allen Schulbuchern der Klassen 3 oder 4 vertreten.

Die natürlichen Zahlen als Kardinalzahlen

Wir haben uns in diesem Band bislang schon intensiv mit den naturlichen Zahlen unter verschiedenen Gesichtspunkten beschaftigt. In diesem Kapitel stellen wir zunachst die Frage: Was ist eigentlich eine naturliche Zahl? Die Antwort hierauf gestattet es uns, das (nichtschriftliche) Rechnen und die Kleinerrelation im Bereich der naturlichen Zahlen auf „feste Fuse“ zu stellen. Wir stellen diese Frage erst hier und nicht schon im ersten Kapitel, da die Antwort hierauf nicht ganz leicht ist und wir in diesem Zusammenhang auf verschiedene Begriffsbildungen und Satze aus den vorhergehenden Kapiteln zuruckgreifen. Ferner ist es wichtig, dass man vor der Prazisierung eines Begriffs zunachst reichhaltige Erfahrungen mit den zugrunde liegenden Objekten gesammelt hat. Dies entspricht auch dem historischen Weg: Vor der Prazisierung der naturlichen Zahlen, die auch noch heutigen mathematischen Anforderungen genugt, haben Menschen schon uber Jahrtausende mit naturlichen Zahlen Mathematik betrieben.

Relationen und Funktionen

Wir haben in diesem Band bislang schon haufig dasWort Relation im Zusammenhang mit der Teilbarkeits- und Vielfachenrelation benutzt – ohne diesen Begriff naher zu erlautern. Wir definieren daher in diesem Kapitel zunachst allgemein den Begriff der Relation und gehen auf Veranschaulichungsmoglichkeiten ein. Anschliesend erarbeiten wir spezielle Eigenschaften von Relationen. Diese Eigenschaften fuhren uns zu zwei wichtigen Klassen von Relationen, namlich zu den Ordnungs- und Aquivalenzrelationen. Wie schon im Abschn. 4.3 erwahnt, ist die Teilbarkeitsrelation eine Ordnungsrelation. Die dort gemachten Aussagen erlautern und begrunden wir jetzt in einem breiteren Kontext. Den Begriff der Aquivalenzrelation und die Kenntnis der Aussage, dass hierdurch stets eine Klasseneinteilung bewirkt wird, benotigen wir im achten Kapitel als Grundlage fur die Einfuhrung der naturlichen Zahlen als Kardinalzahlen. Dort benotigen wir auch den Begriff der Abbildung oder Funktion, den wir in diesem Kapitel auf zwei unterschiedlichen Wegen erarbeiten. Speziell interessieren uns dort bijektive Abbildungen oder Funktionen, die wir im letzten Abschnitt dieses Kapitels behandeln.

Teilbarkeits- und Vielfachenrelation

Wir haben die naturlichen Zahlen im zweiten Kapitel unter dem Blickwinkel ihrer Schreibweise in Stellenwertsystemen sowie im dritten Kapitel unter dem Blickwinkel der schriftlichen Rechenverfahren genauer kennengelernt. In diesem Kapitel – und auch in den beiden folgenden – untersuchen wir die naturlichen Zahlen unter dem Blickwinkel der Beziehungen ist Teiler von und ist Vielfaches von.

Natürliche Zahlen und Stellenwertsysteme

Wir beschaftigen uns in diesem zweiten Kapitel mit unserer Zahlschrift. Hierzu fragen wir uns zunachst: Was sind Zahlen?, und beantworten die Frage an dieser Stelle nur auf einem recht vorlaufigen Niveau. Differenziertere Antworten aus mathematischer Sicht geben wir an spaterer Stelle (vgl. Kap. 8 und 9). Anschliesend vergleichen wir – nach einem kurzen geschichtlichen Abriss – unser vertrautes dezimales Stellenwertsystem mit der vollig anders aufgebauten romischen Zahlschrift. Gleichzeitig stellen wir die Frage, ob fur unsere sehr effiziente Zahlschrift die Basis 10 zwingend notwendig oder nur eine unter vielen verschiedenen, gleichwertigen Moglichkeiten ist. Wir betrachten hierzu die Zahlschrift exemplarisch auch in anderen Basen als zehn, also in nichtdezimalen Stellenwertsystemen.

Teiler- und Vielfachenmengen/Mengenoperationen

Wir beschaftigen uns in diesem Kapitel zunachst mit samtlichen Teilern und Vielfachen gegebener naturlicher Zahlen, also mit ihren Teiler- und Vielfachenmengen. Ausgehend von Sachsituationen interessieren wir uns sodann fur gemeinsame Teiler bzw. gemeinsame Vielfache in zwei oder mehr Teiler- bzw. Vielfachenmengen und ihre Veranschaulichung durch Venn-Diagramme. In diesem Kontext gehen wir auf den Begriff der Menge sowie in diesem Zusammenhang naheliegende Mengenoperationen ein.

Praktische Anwendungen – Prüfziffernverfahren

Wir beenden diesen Band mit einem Kapitel uber praktische Anwendungen der Arithmetik/Zahlentheorie. Die in den Supermarkten an (fast) allen Artikeln vorfindbaren Europaischen Artikelnummern EAN (erster Abschnitt), die bei Buchern eingesetzten Internationalen Standardbuchnummern ISBN (zweiter und dritter Abschnitt; ISBN-13 und ISBN-10) sowie die bei Medikamenten benutzte Pharmazentralnummer PZN (vierter Abschnitt) bewirken im Handel eine starke Rationalisierung. Wir zeigen in diesem Kapitel auf, wie dennoch haufige Ablese- oder insbesondere Eingabefehler bei diesen drei – und analog auch bei vielen anderen – Nummerierungssystemen durch relativ leichte Prufziffernverfahren mehr oder weniger haufig aufgedeckt werden. Hierbei erweisen sich das ISBN-10- und das PZN-Prufziffernverfahren als wesentlich sicherer als das ISBN-13- und das EAN-Verfahren. Bei der Begrundung der Aussage uber die Sicherheit dieser Verfahren greifen wir nur auf einfache, in den vorhergehenden Kapiteln abgeleitete Satze zuruck.

Primzahlen – Bausteine der natürlichen Zahlen

Oft gibt es viele verschiedene Moglichkeiten, gegebene naturliche Zahlen als Produkte von zwei, drei oder mehr naturlichen Zahlen zu schreiben. Beim ubersichtlichen Aufschreiben verschiedener multiplikativer Zerlegungen sind Zerlegungsbaume sehr informativ und hilfreich. Durch den Vergleich verschiedener Zerlegungsbaume einer fest vorgegebenen Zahl sowie durch weitere Argumente problematisieren wir im weiteren Verlauf des ersten Abschnitts dieses Kapitels die Frage, ob wir bei allen multiplikativen Zerlegungen einer festen Zahl – trotz der unterschiedlichen Zwischenergebnisse und des z. T. auserlich vollig verschiedenen „Aussehens“ der Zerlegungsbaume – stets zu derselben Primfaktorzerlegung gelangen.

Die natürlichen Zahlen als Ordinalzahlen – eine knappe Skizze

In diesem Kapitel skizzieren wir die Einfuhrung der naturlichen Zahlen als Ordinalzahlen. Wir behandeln die Peano-Axiome und das Prinzip der vollstandigen Induktion und skizzieren, wie auf dieser Grundlage die vier Rechenoperationen und die Kleinerrelation eingefuhrt werden konnen.