Andreas Helfrich-Schkarbanenko

HiFlow 3 : A Hardware-Aware Parallel Finite Element Package

The goal of this paper is to describe the hardware-aware parallel C++ finite element package HiFlow3. HiFlow3 aims at providing a powerful platform for simulating processes modelled by partial differential equations. Our vision is to solve boundary value problems in an appropriate way by coupling numerical simulations with modern software design and state-of-the-art hardware technologies. The main functionalities for mapping the mathematical model into parallel software are implemented in the three core modules Mesh, DoF/FEM and Linear Algebra (LA). Parallelism is realized on two levels. The modules provide efficient MPI-based distributed data structures to achieve performance on large HPC systems but also on stand-alone workstations. Additionally, the hardware-aware cross-platform approach in the LA module accelerates the solution process by exploiting the computing power from emerging technologies like multi-core CPUs and GPUs. In this context performance evaluation on different hardware-architectures will be demonstrated.

Einführung und Grundlagen

Wir eroffnen den zweiten Teil des Buches mit dem Generator zu quadratischen Gleichungen im Kapitel 5.1, dessen programmiertechnische Umsetzung im Kapitel 4.2 bereits vorgestellt wurde. Daruber hinaus werden die Themen Bruchrechnung im Kapitel 5.2 sowie das Losen von (Un-)Gleichungen mit Betragsfunktionen im Kapitel 5.3 behandelt. Die ersten drei Generatoren sind somit thematisch im Ubergangsbereich Schule-Hochschule anzusiedeln. Ab Kapitel 6 werden klassische Themen der Hochschulmathematik behandelt.

Motivation und Einführung

Wir eroffnen das Buch mit einem Anwendungsszenario. So erhalten Sie einen Vorgeschmack auf das, was unter „Mathematik auf Knopfdruck“ verstanden werden kann. Anschliesend erfahren Sie im Abschnitt 1.2 die Zielgruppen sowie das Leistungsspektrum von MATEX und wie Sie damit Zeit einsparen konnen. Am Ende dieses Kapitels wird im Abschnitt 1.3 MATEX im Kontext aktueller Entwicklungen im Bereich der robotergesteuerten Prozessautomatisierung thematisiert. Abschliesend geben wir zur Orientierung einen Uberblick uber die Struktur dieses Werks im Abschnitt 1.4 und unterstreichen dabei die Rolle der MATEX-Webschnittstelle, der externen Links bzw. der praktischen QR-Codes.

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Kapitel 10 dieses Werkes befasst sich mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung bzw. Statistik, einem Teilgebiet der Mathematik, das aus der Untersuchung von Zufallsgeschehen hervorgegangen ist. Die zentralen Objekte derWahrscheinlichkeitstheorie sind zufallige Ereignisse, Zufallsvariablen und stochastische Prozesse. Es wird gezeigt, dass mit MATEX auch Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung aufgestellt und gelost werden konnen.

Komponenten und Schnittstellen von MATEX

In diesem Kapitel werden die grundlegende Struktur des Software- Roboters MATEX sowie die Arbeiten, die er Ihnen abnehmen kann, beschrieben. Unter anderem werden in den Kapiteln 2.2 – 2.4 die Grundpfeiler MATLAB, Symbolic Math Toolbox und LATEX, auf denen MATEX aufbaut, jeweils mit ihrer elementaren Funktionalitat und ihrer Historie kurz vorgestellt. Nach der Einfuhrung des zentralen Begriffs des Aufgabengenerators in Kapitel 2.5 werden abschliesend in Kapitel 2.6 die Webschnittstelle und die Interaktionsmoglichkeiten mit MATEX eingehend beleuchtet sowie auf die Creative-Common-Lizenz fur MATEX hingewiesen.

Analysis einer reellen Variablen

In diesem Kapitel stellen wir einige Generatoren zu Aufgaben aus dem Bereich der eindimensionalen reellen Analysis vor. Es beginnt mit den elementaren Themen Folgen im Kapitel 6.1 sowie Reihen und Potenzreihen im Kapitel 6.2 bzw. 6.3. Danach geht es von Anwendungen der Differentialrechnung, vertreten durch die Generatoren zur Kurvendiskussion rationaler Funktionen im Kapitel 6.4 und zur Taylor- Entwicklung im Kapitel 6.5 uber partielle Integration mit und ohne Parameter in den Kapiteln 6.6 und 6.7 zu den linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten in 6.9.

Analysis mehrerer reeller Variablen

In diesem Kapitel behandeln wir exemplarisch einige typische Aufgabenstellungen aus dem Bereich der mehrdimensionalen reellen Analysis. Um Anwendungen der mehrdimensionalen Differentialrechnung geht es bei den Generatoren zu Extremwertaufgaben, zur Taylor-Entwicklung und zum Satz uber implizite Funktionen in den Kapiteln 8.1 bis 8.3. Danach folgen in den Kapiteln 8.4 und 8.5 Aufgabengeneratoren zu Kurvenintegralen erster und zweiter Art. Die Aufgaben zur Konservativitat von Vektorfeldern in Kapitel 8.6 verbinden schlieslich die mehrdimensionale Integration mit der Differentiation.

MATEX trifft auf digitale Lehre

Dieses Kapitel zeigt, wie MATEX sich in das Spannungsfeld zwischen Lehre und digitale Medien einordnen lasst. Da der Fokus der entwickelten Software auf Aufgaben – wichtigen Werkzeugen der Mathematikunterrichtsplanung – liegt, wird auf diesen Begriff und seine Bedeutung in Kapitel 3.2 naher eingegangen. Insbesondere wird hier MATEX als Bindeglied zwischen Unterrichtsinhalten, dem prozeduralen Wissen sowie halboffenen Aufgaben dargestellt. Eine Auswahl von fur MATEX relevanten E-Learning-Methoden sowie ihre mogliche Anbindung an diese Software findet man in Kapitel 3.3. Die in Kapitel 3.4 skizzierten Einsatzszenarien von Aufgabengeneratoren sind darauf ausgerichtet, das Lernen aktiver, individualisierter und motivierender zu gestalten. Abschliesend wird auf Lehrerfahrungen mit MATEX in Kapitel 3.5 eingegangen.

Handgriffe und Programmieraufgaben

Die Fahigkeit, mit einem Rechner zu kommunizieren und Computer- programme zu schreiben, ist eine Grundfahigkeit in der heutigen Gesellschaft. Wenn Menschen lernen, Programme zu schreiben, lernen sie wichtige Strategien zum Losen von Problemen, zum Entwerfen von Projekten und zum Vermitteln von Ideen „Lerne zu programmieren. Programmiere, um zu lernen.“