Andrejs Matvejevs

Valuation of European Call Option via Inverse Fourier Transform

Abstract Very few models allow expressing European call option price in closed form. Out of them, the famous Black- Scholes approach sets strong constraints - innovations should be normally distributed and independent. Availability of a corresponding characteristic function of log returns of underlying asset in analytical form allows pricing European call option by application of inverse Fourier transform. Characteristic function corresponds to Normal Inverse Gaussian (NIG) probability density function. NIG distribution is obtained based on assumption that time series of log returns follows APARCH process. Thus, volatility clustering and leptokurtic nature of log returns are taken into account. The Fast Fourier transform based on trapezoidal quadrature is numerically unstable if a standard cumulative probability function is used. To solve the problem, a dampened cumulative probability is introduced. As a computation tool Matlab framework is chosen because it contains many effective vectorization tools that greatly enhance code readability and maintenance. The characteristic function of Normal Inverse Gaussian distribution is taken and exercised with the chosen set of parameters. Finally, the call price dependence on strike price is obtained and rendered in XY plot. Valuation of European call option with analytical form of characteristic function allows further developing models with higher accuracy, as well as developing models for some exotic options.

Estimation and Calculation Procedures of the Technical Provisions for Outstanding Insurance Claims

Abstract The paper presents algorithms for insurance technical provisions taking into account losses, which are incurred but not reported. Evaluation of insurance technical provisions for the kinds of insurance, such as Motor Third Party Liability (MTPL) Insurance, Property Insurance and some others, have difficulties in assessing the impact of the losses from insurance claims incurred requiring a longer time for the settlement of insurance claims. These insurance requirements are mainly associated with health insurance in the MTPL Insurance, losses related to compensation for moral injuries, as well as on life care and life-long pension. To run these payments, you need to know the financial indicators for the period of settlement of loss (such as the effective interest rate, investment income, etc.) In the article the procedures for the most accurate forecast possible losses for the expected excess of loss amount for a treaty year are provided, using the loss experience of the previous years of the occurrence with their development. However, certain adjustments should be made to take account of the impact of losses from previous years for the current period. This article describes how outstanding losses have to be projected on a year of reporting, so that they are correspond to the current values

Nano-Accelerometers for Acceleration Measurement of Objects Moving in the Rarefied Gaseous Environments

Abstract Solution of the nano-acceleration problem of solid body in the diluted gas environment is considered. To resolve the problem, the interaction effect principle of kinematic solid bodies in sparse atmosphere is used. The bodies differ by weights, midsection areas, and facing resistances in the environment, while there is a variety of moving options for the interaction of solid bodies in sparse atmosphere in general. A brief mathematical survey of algorithms, which determine accelerations of moving objects in the diluted gas environment, is presented. The nano-accelerometer algorithm for the object with two solid bodies in case, where the body weights are constants or changed occasionally in time, is studied. Specifications of the body orbit under external forces in the sparse gas environment are received depending on the orbit correction intervals. Modelling of the object with nano-accelerometer is presented by means of MatLab/Simulink software. Investigation results confirm the effectiveness of using nano-accelerometer for this class of real-world objects in the diluted gas environment. Rakstā tiek apskatīta cieta ķermeņa, kas kustas retinātā gāzē, nanopaārtinājuma problēmas risināšana. Par retināto vidi, kas pretojas objekta kustībai, pieņem Zemes augšējo retināto slāņu analogu augstuma diapazonā no 1500 km un augstāk. Par pētījuma galvenajiem objektiem, uz kuriem orientēta izstrādāto metožu sistēma, tiek ņemti dažādu mērķu kosmiskie aparāti. Šīs problēmas atrisināšanai izmanto principiāli jaunu metodi, kā noteikt objekta kustības retinātā gāzē paātrinājumu. Pamatā ir kinemātiski saistītu cietu ķermeņu, kas pārvietojas retinātā gāzē un atšķiras ar masu, „zelta” šķēluma laukumu un pretestības koeficientiem savstarpējās iedarbības princips. Turklāt, vispārīgā gadījumā var būt ļoti dažādi cieto ķermeņu savstarpējās iedarbības varianti. Rakstā sniegts īss tāda algoritma matemātiskais pamatojums, ar kuru var noteikt objekta, kas atrodas retinātā gāzē, paātrinājumu. Veikta nanoakselerometra algoritma izpēte objektam no diviem cietiem ķermeņiem, kad objekta masa ir nemainīga vai mainās nejaušos laika momentos. Iegūti pētāmā objekta, kas atrodas retinātā gāzē ārējo spēku iedarbībā, kustības orbītas izmaiņu raksturlielumi, kas atkarīgi no laika intervāla starp orbītas automātiskās korekcijas režīmiem. Modelējot ar dotās klases nanoakselerometru pētāmā objekta funkcionēšanas īpatnības, tika izmantotas MatLab funkcijas un Simulink. Pētīšanas rezultāti apstiprina dotās klases nanoakselerometru izmantošanas efektivitāti reāliem objektiem, kas funkcionē retinātā gāzē. Ar nanoakselerometru noteiktie paātrinājumi tiks izmantoti objekta kustības korekcijai dotajā orbītā pie jebkādiem izmaiņas veidojošiem faktoriem. Šīs klases nanoakselerometri var izmantot kosmosa aparātu, kuru kustību orbītas atrodas lielā attālumā no Zemes, vadības sistēmās. Tāds aparāts varētu būt elektriskā saules bura, kuras kustību pa doto orbītu galvenokārt nodrošina saules radiācija. В статье рассматривается решение проблемы определения нано-ускорения движения твёрдого тела в разреженной газовой среде. При этом в качестве разреженных сред, оказывающих сопротивление движению объектов, рассматриваются аналоги разреженных слоёв верхней атмосферы Земли в диапазоне высот до 1500 км и более, а в качестве основных объектов исследования, на которые ориентирована система разработанных методов, выступают космические аппараты различного целевого назначения. Для решения данной проблемы используется принципиально новый способ определения ускорения движения объектов в разреженных газовых средах. В его основе лежит принцип эффекта взаимодействия кинематически связанных твёрдых тел, движущихся в разреженной газовой среде и отличающихся между собой массой, площадью миделевого сечения и коэффициентами лобового сопротивления этой среде. При этом, в общем случае, возможны самые разнообразные варианты взаимодействия твёрдых тел в разреженной газовой среде. В статье дано краткое математическое обоснование алгоритмов определения ускорения движения объектов в разреженной газовой среде. Проведено исследование алгоритма нано-акселерометра для объекта с двумя твердыми телами для случаев, когда масса исследуемого тела постоянна или изменяется случайно во времени. Получены характеристики изменения орбиты исследуемого тела под воздействием внешних сил в разреженной газовой среде в зависимости от интервала времени между режимами автоматической коррекции орбит. Моделирование особенностей функционирования исследуемого объекта с нано-акселерометром данного класса проводилось с применением функций МАТЛАВ и Симулинк. Результаты исследований подтверждают эффективность использования нано-акселерометров данного класса для реальных объектов, функционирующих в разреженной газовой среде. Измеренное нано- акселерометром ускорение будет использоваться для коррекции движения объекта на заданной орбите при любых изменениях возмущающих факторов. Нано-акселерометры данного класса могут найти применение в системах управления космических объектов, орбиты движения которых могут находиться на больших расстояниях от Земли. В качестве такого объекта может выступать электрический солнечный парус. Особенность функционирования такого солнечного паруса заключается в том, что основной силой, обеспечивающей его движение на заданной орбите, является солнечная радиация.

The Evaluation of Financial Assets with Autocorrelations in Returns

Abstract In this paper, we will describe an analytical solution to a problem of pricing financial assets with autocorrelations in returns. We will develop a continuous diffusion model for the case of autocorrelation in stock returns, obtain the European call option pricing formula written on a stock with autocorrelation in returns and show that even small levels of predictability due to autocorrelation can give a substantial deviation from the results obtained by Black-Sholes formula. Also, we will calculate the modified sensitivities of the value of European call option and show how in risk management widely used option hedging parameters depend on assumptions made about correlation in underlying asset returns. Finally, we will show convergence time for the stationary solution of the derived continuous diffusion model and test its distribution. Šajā rakstā tiek aprakstīts analītiskais risinājums finanšu aktīvu cenu noteikšanas problēmai ar autokorelēto ienesīgumu. Par darba pamatu kalpo dažādu zinātnieku pētījumu rezultāti [1], [2] un [3], kas tika veltīti akciju indeksa autokorelācijai, kad šajā indeksā tika iekļautas mazās kapitalizācijas kompānijas. Rezultāti parāda, ka eksistē pozitīva korelācija, kad ir iekļauts indeksā liels mazlikvīdo akciju skaits. Dažreiz indeksa patiesā cena ir deformēta tāpēc, ka akciju cenas bieži nemainās. Tādējādi, lai modelētu tādas akciju tirgus parādības, ekonometristi attīstījuši ARCH tipa modeļus, kuros nosacītā dispersija varētu mainīties laikā. Bet, kad diskrētais modelis satur nenovērojamo mainīgo (piem., nosacīto dispersiju), varētu būt grūti atrast ticamības funkciju nelineārai stohastisko vienādojumu sistēmai, definētai diskrētos intervālos. Nelsons [4] bija pirmais, kas attīstīja nosacījumus, pie kuriem diferenču tipa ARCH modelis konverģē pēc varbūtības uz Ito procesu, kad diskrēto laika intervālu garums samazinās līdz nullei. Savukārt visa iepriekšminētā ideja tika izstrādāta gadījumā, ja aktīvu ienesīgums nav autokorelēts, bet reālajā situācijā šī korelācija pastāv, kas būtiski varētu izmainīt novērtējumu. Līdz ar to šajā darbā tiek izstrādāts nepārtraukts difūzijas modelis (kura pamatā ir J.Carkova darbi par diferenču vienādoju aproksimāciju ar stohastisko diferenciālvienādojumu skat. [6]) gadījumā, kad akciju ienesīgums ir sērijveidā autokorelēts, iegūts Eiropas tipa opcijas cenu noteikšanas vienādojums, kurš ņem vērā autokorelāciju, kā arī tiek parādīts, ka nelielas sērijveida autokorelācijas līmeņa izmaiņas varētu novirzīt opcijas cenu no rezultāta, iegūta ar Black-Sholse formulas palīdzību. Šajā darbā tiek izskaitļotas Eiropas tipa opcijas cenu jutīguma izmaiņas un parādīts, ka opciju cenu noteikšanas risku vadībā plaši izmantotie hedžēšanas parametri (Greeks) ir atkarīgi no aktīvu korelācijas. Tādējādi, izmantojot plaši pazīstamos opciju cenu svārstības riska ierobežojošos rādītājus - Greeks, varētu būt gadījumi, kad opciju izrakstītājs nenovērtā iespējamās izmaiņas bāzes aktīvā, kā rezultātā šī nepareizā rīcība varētu novērst pie zaudējumiem vai pat līdz finanšu institūcijas bankrotam. Bez tam brīvi izvēlētam nepārtrauktam difūzijas modelim atrisinājuma konverģences laiks tiek noteikts uz stacionāru un izveidoti statistiskie testi uz stacionārā atrisinājuma sadalījumu. В этой статье описаны исследования для аналитического решения проблемы ценообразования финансовых активов с автокоррелированными доходностями. В основе работы лежат труды различного периода о поведении финансовых рынков [1], [2] и [3], которые в основном посвящены автокорреляции индекса акций. Результаты трудов показывают, что существует позитивная автокорреляция, когда в индекс включено большое количество малоликвидных акций. Таким образом, настоящая цена индекса деформирована, потому что цены акций редко меняются. Поэтому, для моделирования таких процессов эконометристы используют ARCH модели, в которых условная дисперсия может меняться во времени, но когда дискретная модель содержит ненаблюдаемую переменную, могут появиться сложности с оценкой параметров нелинейной модели. Нельсон [4] был первый, кто предложил условия сходимости по вероятности ARCH модели на процесс Ито, когда интервал дискретного времени стремится к нулю. Вся вышеупомянутая теория разработана на случай отсутствия автокорреляции, что не всегда согласуется с реальностью. Мы разработали непрерывные модели диффузии для случая серийной корреляции доходностей акций (более подробно с принципами аппроксимации и её сходимости можно ознакомиться в работе Е.Царькова [6]), получили уравнение для цены европейского опциона, которое учитывает автокорреляцию, а также показали, что даже небольшие уровни серийной автокорреляции могут дать существенное отклонение от результатов, полученных при помощи формулы Блэка- Шоулса. В работе вычислено изменение чувствительности стоимости европейского опциона call и показано, что в области управления рисками ценообразования опционов, широко используемые параметры допустимости хеджирования (Greeks) зависят от предположений о корреляции, лежащих в основе доходности активов. Таким образом, используя показатели рыночного риска опционов (так называемые - Greeks) как основу управления позициями в портфеле активов либо обязательств, для устранения колебаний цены опциона от изменения рыночной конъюнктуры основного актива, необходимо учесть автокорреляцию доходностей, что уменьшает вероятность потерь при продаже опционов. Наконец, мы показали время сходимости для стационарного решения производной непрерывной диффузионной модели и сделали статистические тесты на его распределение