Anna-Maria von Pippich

Applications of Kronecker’s limit formula for elliptic Eisenstein series

We develop two applications of the Kronecker’s limit formula associated to elliptic Eisenstein series: A factorization theorem for holomorphic modular forms, and a proof of Weil’s reciprocity law. Several examples of the general factorization results are computed, specifically for certain moonshine groups, congruence subgroups, and, more generally, non-compact subgroups with one cusp. In particular, we explicitly compute the Kronecker limit function associated to certain elliptic fixed points for a few small level moonshine groups.RésuméDans cet article nous développons deux applications de la formule limite de Kronecker associée aux series d’Eisenstein elliptiques: Un théorème de factorisation pour des formes modulaires holomorphes et une preuve de la loi de réciprocité de Weil. Plusieurs exemples de notre résultat général de factorisation sont donnés, particulièrement pour quelques groupes de type moonshine, groupes de congruence et, plus généralement, pour des groupes non-cocompactes à une seule pointe. En particulier, nous calculons la fonction limite de Kronecker associée à certains points elliptiques pour des groupes de type moonshine de petit niveau.

The Real Numbers

This chapter starts by giving the decimal expansion of rational numbers. It turns out that such a development either terminates or is periodic. This raises the question whether there exists an extension of the rationals that contains all possible decimal expansions. The answer to this question leads to the domain of real numbers which can be obtained as the quotient ring of rational Cauchy sequences modulo the ideal of rational null sequences. It is shown that set of real numbers is a field which is complete and can be identified with the set of numbers represented by infinite decimals. Towards the end of the chapter we discuss equivalent notions of completeness as well as the identification of the real numbers with the real number line. The appendix to this chapter provides an alternative completion of the rational numbers that leads to the field of p-adic numbers and discusses number theoretical applications.

The Natural Numbers

This chapter starts by establishing the natural numbers with the help of Peano’s axioms. Using the axiom of mathematical induction, addition and multiplication of the natural numbers are introduced. In the second part of the chapter, we develop the concept of divisibility of natural numbers. The main result of this part is the proof of the fundamental theorem of arithmetic. The chapter ends with a section on the division with remainder, by means of which the decimal representation of natural numbers is provided. The appendix to this chapter exhibits a selection of deep results and unsolved conjectures on prime numbers such as the Riemann hypothesis and the twin prime conjecture.

Hamilton’s Quaternions

This chapter deals with the search for fields that extend the field of complex numbers to an even more encompassing field. Since we can view the set of complex numbers as a two-dimensional real vector space, it makes sense to begin by looking for a field that arises from a three-dimensional real vector space. It turns out, however, that no such field exists. In contrast, we discover that a field arising from a four-dimensional real vector space exists, provided that we abandon commutativity of multiplication. In this way, we are led to the construction of the skew field of Hamilton’s quaternions. In the appendix to the last chapter, we ask whether there can exist a number system that even extends Hamilton’s quaternions. It turns out that also giving up associativity of multiplication, there is precisely one additional extension, Cayley’s octonions, which brings to a close our investigation of number systems.

The Rational Numbers

The operations addition and multiplication on the domain of integers lead to the algebraic concept of a ring. The study of the fundamental aspects of ring theory is the subject of this chapter. We study rings, subrings, ideals, ring homomorphisms, and quotient rings, and discover special classes of rings known as integral domains and fields, which again play an important role in the construction of number systems. We show that every integral domain can be enlarged essentially uniquely to a field. Since the ring of integers turns out to be an integral domain, we are thus able to enlarge it to the field of rational numbers. The appendix to this chapter studies the problem of the existence of rational solutions to polynomial equations leading to classical questions in arithmetic geometry, which in part were resolved only recently and some of which are topics of current research.

The Complex Numbers

The motivation for this chapter concerns the solvability of equations of degree larger than one which is only partly possible in the domain of real numbers. For example, no negative real number has a real square root. By postulating that the number -1 obtains a square root, we are led to the field of complex numbers. As a consequence we prove that every polynomial equation with complex coefficients has complex roots, which is the content of the fundamental theorem of algebra. In the second part of the chapter we investigate algebraic and transcendental numbers. The chapter closes with a proof of the transcendence of Euler’s number e = 2.71828…. The appendix to this chapter discusses the search for solution formulas of polynomial equations by means of radicals. For this we elaborate on Abel’s theorem and provide an overview on Galois theory.

On Scattering Constants of Congruence Subgroups

Let Γ be a congruence subgroup of level N. The scattering constant of Γ at two cusps is given by the constant term at s = 1 in the Laurent expansion of the scattering function of Γ at these cusps. Scattering constants arise in Arakelov theory when establishing asymptotics for Arakelov invariants of the modular curve associated to Γ, as the level N tends to infinity. More precisely, in the known cases, scattering constants essentially contribute to the leading term of the asymptotics for the self-intersection of the relative dualizing sheaf. In this article, we prove an identity relating the scattering constants of Γ to certain scattering constants of the principal congruence subgroup (overline {Gamma }(N)). Providing an explicit formula for the latter, in case that N = 2 or N ≥ 3 is odd and square-free, we thereby present a systematic way of computing the scattering constants of Γ in these cases.

Die reellen Zahlen

Zu Beginn des vierten Kapitels ubertragen wir die Dezimaldarstellung ganzer Zahlen auf die im dritten Kapitel konstruierten rationalen Zahlen. Wir erhalten damit die Dezimalbruchentwicklung rationaler Zahlen. Es stellt sich dabei heraus, dass diese Entwicklungen entweder abbrechend oder periodisch sind. Es ergibt sich unmittelbar die Frage nach einem umfassenderen Zahlbereich, der „Zahlen“ mit beliebiger Dezimalbruchentwicklung enthalt. Wie sich zeigen wird, ist dies der Bereich der reellen Zahlen. Mit Hilfe des Faktorrings der rationalen Cauchyfolgen modulo dem Ideal der rationalen Nullfolgen konstruieren wir dazu zunachst einen ℚ umfassenden Korper. Wir stellen fest, dass dieser Korper vollstandig ist, d. h. dass jede Cauchyfolge mit Elementen aus diesem Korper einen Grenzwert in diesem Korper besitzt. Mit dieser Kenntnis gelingt uns die Erkenntnis, dass sich dieser abstrakt konstruierte Korper mit der Menge der unendlichen Dezimalzahlen (ohne 9er-Perioden) identifizieren lasst. Damit sind wir zum Korper ℝ der reellen Zahlen gefuhrt. Im letzten Teil des Kapitels thematisieren wir alternative Charakterisierungen der Vollstandigkeit von ℝ, wie z. B. die Existenz des Supremums einer nach oben beschrankten Teilmenge von ℝ. Ein weiterer wesentlicher Punkt zum Abschluss dieses Kapitels ist die Identifikation von ℝ mit der Zahlengeraden, welche erst moglich wird, nachdem die klassischen Axiome der Euklidischen Geometrie um ein Axiom erweitert werden, welches sozusagen die Luckenlosigkeit der Zahlengeraden postuliert.

Die Hamiltonschen Quaternionen

Im sechsten und letzten Kapitel besteht das Ziel, nach Korpern zu suchen, die den Korper der komplexen Zahlen ℂ zu einem noch umfassenderen Korper erweitern. Da man ℂ als 2-dimensionalen reellen Vektorraum auffassen kann, ist es naheliegend, in einem ersten Schritt nach einem Korper zu suchen, der aus einem 3-dimensionalen reellen Vektorraum hervorgeht. Es stellt sich aber heraus, dass ein solcher Korper nicht existiert. Sucht man nun nach einem Korper, der aus einem 4-dimensionalen reellen Vektorraum gewonnen werden kann, so werden wir feststellen, dass dies moglich ist, sobald wir die Forderung nach der Kommutativiat der Multiplikation aufgeben. Wir sind so auf die Konstruktion des Schiefkorpers der Hamiltonschen Quaternionen gefuhrt, mit deren Untersuchung wir unseren Aufbau der Zahlbereiche beschliesen.

Die natürlichen Zahlen

Im Rahmen unserer axiomatischen Herangehensweise knupfen wir an den Ordinalzahlaspekt an und begrunden die naturlichen Zahlen zu Beginn des ersten Kapitels mit Hilfe der Peano-Axiome. Mit Hilfe des funften Peano-Axioms, dem Axiom der vollstandigen Induktion, definieren wir Addition und Multiplikation naturlicher Zahlen und leiten die ublichen Rechengesetze her. Im zweiten Teil des ersten Kapitels entwickeln wir die Teilbarkeitslehre naturlicher Zahlen; das Hauptergebnis dieses Teils ist der Beweis des Fundamentalsatzes der Arithmetik. Das erste Kapitel schliest mit einem Abschnitt zur Division mit Rest, welche fur die Dezimaldarstellung von Zahlen eine wichtige Rolle spielt.