Anne Greenbaum

Approximating the inverse of a matrix for use in iterative algorithms on vector processors

Most iterative techniques for solving the symmetric positive-definite systemAx=b involve approximating the matrixA by another symmetric positive-definite matrixM and then solving a system of the formMz=d at each iteration. On a vector machine such as the CDC-STAR-100, the solution of this new system can be very time consuming. If, however, an approximationM−1 can be given toA−1, the solutionz=M−1d can be computed rapidly by matrix multiplication, a fast operation on the STAR. Approximations using the Neumann expansion of the inverse ofA give reasonable forms forM−1 and are presented. Computational results using the conjugate gradient method for the “5-point” matrixA are given.ZusammenfassungDie meisten iterativen Methoden zur Lösung des symmetrischen positiv-definitiven SystemsAx=b enthalten die Näherung der MatrixA durch eine andere symmetrische positiv-definitive MatrixM und anschließend daran die Lösung eines Systems der ArtMz=d bei jeder Wiederholung. Auf einer Vektor-Maschine wie der CDC-STAR-100 kann die Lösung dieses neuen Systems sehr zeitraubend sein. Wenn jedoch eine NäherungM−1 zuA−1 gegeben werden kann, so kann die Lösungz=M−1d sehr schnell durch Matrixmultiplikation errechnet werden. Diese Kalkulation kann auf dem STAR schnell ausgeführt werden. Näherungen, bei denen die Neumann-Entwicklung der Inversen vonA verwendet wird, ergeben angemessene Ausdrücke fürM−1. Diese Ausdrücke sind angeführt. Die mit Hilfe der Konjugierten-Gradienten-Methode errechneten Resultate für die „5-Punk”-MatrixA sind angegeben.

Any Nonincreasing Convergence Curve is Possible for GMRES

Given a nonincreasing positive sequence

Behavior of slightly perturbed Lanczos and conjugate-gradient recurrences

f(0) \geq f(1) \geq \cdots \geq f(n-1) > 0

Comparison of splittings used with the conjugate gradient algorithm

, it is shown that there exists an

Estimating the Attainable Accuracy of Recursively Computed Residual Methods

n

Fast parallel iterative solution of Poisson's and the biharmonic equations on irregular regions

by

Relations Between Galerkin and Norm-Minimizing Iterative Methodsfor Solving Linear Systems

n

Using Nonorthogonal Lanczos Vectors in the Computation of Matrix Functions

matrix

On the numerical solution of the biharmonic equation in the plane

A

NUMERICAL STABILITY OF GMRES

and a vector