Arnd Meyer

The approximate Dirichlet domain decomposition method. Part I: an algebraic approach

We present a new approach to the construction of Domain Decomposition (DD) preconditioners for the conjugate gradient method applied to the solution of symmetric and positive definite finite element equations. The DD technique is based on a non-overlapping decomposition of the domain Ω intop subdomains connected later with thep processors of a MIMD computer. The DD preconditioner derived contains three block matrices which must be specified for the specific problem considered. One of the matrices is used for the transformation of the nodal finite element basis into the approximate discrete harmonic basis. The other two matrices are block preconditioners for the Dirichlet problems arising on the subdomains and for a modified Schur complement defined over all nodes on the coupling boundaries between the subdomains. The relative spectral condition number is estimated. Relations to the additive Schwarz method are discussed. In the second part of this paper, we will apply the results of this paper to two-dimensional, symmetric, second-order, elliptic boundary value problems and present numerical results performed on a transputer-network.ZusammenfassungIn der vorliegenden Arbeit wird ein neuer Zugang zur Konstruktion von Vorkonditionierungsoperatoren auf der Basis von Gebietsdekompositionstechniken (DD Techniken) beschrieben. Anwendungen finden diese DD Vorkonditionierungen im Verfahren der konjugierten Gradienten zur iterativen Lösung von symmetrischen und positiv definiten Finiten-Elemente Gleichungen. Die DD Technik basiert auf einer Zerlegung des Gebietes Ω inp sich nicht überlappende Teilgebiete, die später denp Prozessoren eines MIMD Rechners zugeordnet sind. Die DD Vorkonditionierung enthält drei Blockmatrizen, die für ein konkretes Anwendungsproblem jeweils zu spezifizieren sind. Eine dieser Matrizen wird genutzt, um die Knotenbasis in eine näherungsweise diskret harmonische Basis zu transformieren. Die anderen beiden Matrizen können als Blockvorkonditionierungen für die in jedem Teilgebiet entstehenden Dirichlet-Probleme und für ein modifiziertes Schurkomplement auf den Knoten der Koppelränder zwischen den Teilgebieten interpretiert werden. Die relative spektrale Konditionszahl wird abgeschätzt. Eine direkte Verbindung der vorgeschlagenen DD Vorkonditionierung zu einer Additiven Schwarzschen Methode kann gezeigt werden. Im zweiten Teil dieser Artikelserie werden die Resultate dieser Arbeit auf ebene, symmetrische Randwertprobleme für partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung angewandt und die numerischen Resultate, die auf einem Transputer-Hypercube erzeugt wurden, diskutiert.

A parallel preconditioned conjugate gradient method using domain decomposition and inexact solvers on each subdomain

We describe a preconditioned conjugate gradient solution strategy for a multiprocessor system with message passing architecture. The preconditioner combines two techniques, a Schurcomplement preconditioning over “coupling boundaries” between the subdomains and an arbitrary choice of classic preconditioning for the inner degrees of freedom on each subdomain. All computational work on the single subdomains is carried out in parallel by distributing the subdomain data over the processor network before starting the finite element solution process (including generating the element matrices and assemblying the local subdomain stiffness matrix).The resulting spectral condition number of the entire preconditioner is estimated. For the important example of choosing MIC(0)-*-preconditioning on the subdomains, the condition number obtained is essentially the product of the two condition numbers involved.ZusammenfassungEine Strategie zum Einsatz des Verfahrens der konjugierten Gradienten mit Vorkonditionierung für Multiprozessorsysteme der ‘message passing’-Architektur wird beschrieben. Zur Vorkonditionierung werden die Techniken Schur-Komplement-Vorkonditionierung für “Koppelränder” zwischen Teilgebieten und beliebige Wahl einer klassischen Vorkonditionierung für die inneren Freiheitsgrade der Teilgebiete diskutiert. Der gesamte Arithmetikaufwand für die einzelnen Teilgebiete ist vollständig parallelisiert durch die Verteilung aller Teilgebietsdaten über das Prozessornetzwerk vor dem Beginn des FEM-Lösungsprozesses (incl. Generieren der Elementmatrizen, Assemblieren der Teilsteifigkeitsmatrix).Die resultierende spektrale Konditionszahl der wirkenden Vorkonditionierungsmatrix wird abgeschätzt. Für ein wichtiges Beispiel (MIC(0)*-Vorkonditionierung in jedem Teilgebiet) ergibt sich die Konditionszahl im wesentlichen als Produkt der beiden Konditionszahlen der benutzten Vorkonditionierungstechniken.

The approximate Dirichlet domain decomposition method. Part II: applications to 2nd-order elliptic B.V.P.s

In the first part of this article series, we had derived Domain Decomposition (DD) preconditioners containing three block matrices which must be specified for specific applications. In the present paper, we consider finite element equations arising from the DD discretization of plane, symmetric, 2nd-order, elliptic b.v.p.s and specify the matrices involved in the preconditioner via multigrid and hierarchical techniques. The resulting DD-PCCG methods are asymptotically almost optimal with respect to the operation count and well suited for parallel computations on MIMD computers with local memory and message passing. The numerical experiments performed on a transputer hypercube confirm the efficiency of the DD preconditioners proposed.ZusammenfassungIm ersten Teil dieser Artikelserie haben wir auf Basis von Gebietsdekompositionstechniken (DD Techniken) Vorkonditionierungsoperatoren konstruiert. Diese DD Vorkonditionierungen enthalten drei Blockmatrizen, die für spezifische Anwendungsfälle zu konkretisieren sind. In der vorliegenden Arbeit betrachten wir Finite-Elemente-Gleichungen, die bei der DD Diskretisierung von ebenen, symmetrischen, elliptischen Randwertproblemen für partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung entstehen. Zur Definition der oben genannten Blockmatrizen werden Mehrgitter-und hierarchische Techniken herangezogen. Die entstehenden DD-PCCCG Verfahren sind bezüglich des arithmetischen Aufwands asymptotisch fast optimal und bestens zur Parallelrechnung auf MIMD-Computern mit lokalem Speicher und Botschaftenaustausch geeignet. Die auf einem Transputer-Hypercube durchgeführten numerischen Experimente belegen nachhaltig die Effektivität der vorgeschlagenen DD Vorkonditionierungen.

Parallelisierung und Vorkonditionierung des CG-Verfahrens durch Gebietszerlegung

Gebietszerlegungstechniken eroffnen eine Vielzahl von Moglichkeiten zur Entwicklung paralleler Losungsstrategien fur Finite-Elemente (F.E.) Gleichungen groser Dimension. Die auf der nichtuberlappenden Gebietszerlegung beruhende F.E. Substrukturtechnik und die damit verbundene Datenverteilung fuhrt zu einer Parallelisierung des CG-Verfahrens, die sich besonders fur Mehrprozessorrechner mit lokalem Speicher und Botschaftenaustausch uber Links eignet. Fur diese parallelisierte Version des CG-Verfahrens werden im vorliegenden Beitrag vier verschiedene Vorkonditionierungen vorgeschlagen, mit denen die Konvergenz des CG-Verfahrens erheblich beschleunigt werden kann, ohne das im Vergleich zur nichtvorkonditionierten Variante zusatzliche Kommunikation entsteht. Die auf einem Transputerhypercube durchgefuhrten numerischen Experimente zeigen die Effektivitat der vorgeschlagenen Vorkonditionierungen.

A modern approach to the solution of problems of classic elastoplasticity on parallel computers

The numerical solution of non-linear problems in solid mechanics (e.g., elastic–plastic problems) may be very expensive in the case of the use of fine discretizations. There is a requirement for efficient numerical algorithms and very fast hardware. Modern parallel computers in combination with modern numerical techniques, such as the parallel preconditioned conjugate gradient method for solving large linear systems and the consequent use of a consistent linearization of the non-linear problem, may lead to a superlinear speed up in comparison with equivalent single processor machines. The authors have developed a parallel experimental computer code using both techniques. The code is used for scientific investigations in the area of the identification of mechanical material parameters of metals.

The concept of special inner products for deriving new conjugate gradient-like solvers for non-symmetric sparse linear systems

Yserentants and Bramble/Pasciak/Xus hierarchical preconditioners only require the hierarchical node connection of a finite element grid. So they could be applied to nonsymmetric FE-systems too, having a symmetric preconditioner. We investigate the question whether this fact could be useful in the CG-like iterative methods. The main key is the consideration of an appropriate choice of the inner product defined in the N-vector space. It is shown, how the inner product influences the formulas of the methods, the rate of convergence and some other properties.

Array-Based Reduction Operations for a Parallel Adaptive FEM

For many applications of scientific computing, reduction operations may cause a performance bottleneck. In this article, the performance of different coarse- and fine-grained methods for implementing the reduction is investigated. Fine-grained reductions using atomic operations or fine-grained explicit locks are compared to the coarse-grained reduction operations supplied by OpenMP and MPI.

Parallel Large Scale Finite Element Computations

From Amdahl’s Law, the efficient use of parallel computers can not mean a parallelization of some single steps of a larger calculation, if in the same time a relatively large amount of sequentiell work remains or if special convenient data structures for such a step have to be produced with the help of expensive communications between the processors. From this reason, our basic work on parallel solving partial differential equations was directed to investigating and developing a natural fully parallel run of a finite element computation — from parallel distribution and generating the mesh — over parallel generate / assembly step — to parallel solution of the resulting large linear systems of equation and post-processing.

On the Numerical Simulation of Coupled Transient Problems on MIMD Parallel Systems

The proposed algorithms for coupled transient flow and transport problems are based on stabilized FE-discretizations of the governing equations, semiimplicit time-stepping and a pressure projection method for the flow problem. Preconditioned conjugate gradient solvers for symmetrical and non-symmetrical linear systems are applied.

Coating-Substrate-Simulation with an Advanced Adaptive Finite Element Code

The stability of coating-substrate-systems in uences the chip formation and the surface integrity of the new generated workpiece surface, too. Using FE simulation, deformations, strains and stresses in coated tools, caused by external and internal loads, can be computed on a microscopic scale. Since both, the whole macroscopic tool (in mm-scale) and the microscopic coating layers (in m-scale up to nm-scale) must be included in the same geometrical simulation model, graded high-resolution FE meshes must be used. Nevertheless, the number of nodes in the 3-D computational FE grid reaches some millions, leading to large computational time and storage requirements. For this reason, an Advanced Adaptive Finite Element (AAFEM) software has been developed and used for the simulation.