Arthur Linder

Das lineare Modell

Alle in diesem Buche verwendeten Modelle sind Spezialfalle des linearen Modelies; wir wollen hier diese Theorie in knapper Weise darstellen, um Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen Varianzanalyse, Regression und Kova-rianzanalyse deutlich hervortreten zu lassen. Fur ausfuhrlichere und weitergehende Darstellungen verweisen wir auf die Werke von Rao (1965), Searle (1971) und Seber (1977).

Das Chiquadrat- Prüfverfahren

Wie im Kapitel 3 dargelegt worden ist, folgen beobachtete Haufigkeiten unter gewissen Umstanden theoretischen Verteilungen. Ueberdies konnen beobachtete Anzahlen gelegentlich, wie etwa in genetischen Untersuchungen, bestimmten festen Verhaltnissen entsprechen. In allen diesen Fallen benutzt man die sogenannte χ2-Verteilung um zu prufen, inwiefern beobachtete Anzahlen von den theoretisch zu erwartenden Werten abweichen.

Schätz- und Prüfverfahren

Mit Hilfe der statistischen Verfahren bearbeiten wir eine Menge von Einzelwerten — eine Stichprobe — die aus Versuchen, Beobachtungen oder statistischen Erhebungen gewonnen worden sind. Den Versuch oder die Beobachtung konnen wir wiederholen; rein theoretisch betrachtet, lassen sie sich unendlich oft wiederholen. Diese unendlich vielen Versuche oder Beobachtungen, die im wesentlichen unter gleichen Bedingungen zustande kommen wurden, bilden die Grundgesamtheit.

Regression und Korrelation

Im Kapitel 4 ist gezeigt worden, wie Abhangigkeiten bei qualitativen Merkmalen mittels χ2 untersucht werden konnen. Bei quantitativen — oder messbaren — Merkmalen kommt man ebenfalls in die Lage, Abhangigkeiten zu untersuchen. Je nach der Frage, die zu beantworten ist, muss man zu verschiedenen Verfahren greifen. In diesem Kapitel erlautern wir die einfache lineare Regression und die Korrelation.

Häufigkeitsverteilung, Lage- und Streuungsmasse

Eine erste Aufgabe der Statistik besteht darin, Ergebnisse von Beobachtungen derart zusammenzufassen, dass sie auf einfache Art dargestellt werden konnen. Weiter hat die Statistik zur Aufgabe, diese Ergebnisse in moglichst knapper, aber trotzdem das Wesenliche erfassender Art zahlenmassig zu kennzeichnen; dies geschieht durch die statistischen Masszahlen, von denen der Durchschnitt und die Streuung am haufigsten verwendet werden.

Beurteilen von Anzahlen

Das Rohmaterial, welches statistisch zu bearbeiten ist, besteht entweder aus Messwerten, oder aus Anzahlen. In diesem Kapitel und im Kapitel 4 zeigen wir, wie man bei der statistischen Analyse von Anzahlen vorgeht.

Einfache lineare Regression; mehrere Regressionsgeraden

In 3.1 wird die Theorie fur das Testen von Parallelitat und Abstand bei mehreren Regressionsgeraden entwickelt. Die dabei auftretenden Probleme werden zuerst am einfacheren Fall von zwei Geraden diskutiert; in 3.12 und 3.13 folgen sodann allgemeinere Verfahren. Diese Aufteilung wird durch den Schwierigkeitsgrad der gestellten Aufgabe nahegelegt. Bei zwei Geraden konnen die Testgrossen fur Parallelitat und Abstand auf einfache und anschauliche Art hergeleitet werden. Fur viele Anwender ist dies auch der wichtigste Fall; als typisches Beispiel sei der Vergleich eines Standardpraparates mit einer Testsubstanz genannt.

Einfache lineare Regression; eine einzige Regressionsgerade

Im Kapitel 2 werden zuerst die theoretischen Grundlagen des Schatzens und Testens bei der linearen Regression mit Anteilen entwickelt. Die Schatzungen basieren alle auf dem Maximum-Likelihood-Prinzip. In 2.14 wird der Zusammenhang mit der fruher ublichen Methode, die auf den Rechenwerten beruht, hergestellt.

Mehrfache Regression; allgemeines lineares Modell

Im Abschnitt 4.1 wird eine allgemeine Formulierung der mehrfachen Regression gegeben. Um die Ubersicht zu erleichtern wird mit Vektoren und Matrizen gerechnet.

Einweg- und Mehrwegklassifikation; Streuungszerlegung

Hier werden die im Kapitel 4 entwickelten Methoden auf Modelle der Einweg- und Mehrwegklassifikation angewendet.