B. Heinrich Matzat

Inverse Galois theory

I. The Rigidity Method.- II. Applications of Rigidity.- III. Action of Braids.- IV. Embedding Problems.- V. Rigid Analytic Methods.

Algorithmic Algebra and Number Theory

The aim of this article is to describe a computational approach to the study of the arithmetic of modular curves Xo(N) and to give applications of these computations.

Realisierung der Mathieugruppen M11 und M12 als Galoisgruppen über Q

Abstract We prove that the Mathieu groups M11 and M12 occur as Galois groups over Q (t). Moreover, we construct a polynomial f(t,X) ∈ Q (t)[X] with Gal (f(t, X))≅ M12 and compute specializations t → τ ∈ Q such that Gal(f(τ, X)) ≅ M12.

Realisierung endlicher Gruppen als Galoisgruppen

A talk at the 1984 Oberwolfach meeting on Algebraic Number Theory will be summarized. It surveyed some new results on the realization of finite groups as Galois groups over the fields ℚ and ℚab, where ℚab is the maximal abelian extension field of ℚ.

A Database of Invariant Rings

We announce the creation of a database of invariant rings. This database contains a large number of invariant rings of finite groups, mostly in the modular case. It gives information on generators and structural properties of the invariant rings. The main purpose is to provide a tool for researchers in invariant theory.

FROBENIUS MODULES AND GALOIS GROUPS

In these notes some basic facts on Frobenius modules are collected. Frobenius modules are finite-dimensional vector spaces over fields with a Frobenius endomorphism O, provided with an injective O-semilinear Frobenius operator Ф.

Der Kenntnisstand in der konstruktiven Galoisschen Theorie

Vorliegender Ubersichtsartikel versteht sich als eine Fortsetzung der Zusammenfassung im Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung ([1988]). Dort war der erstmals von [1977] beschrittene mehrdimensionale Zugang auf Grund der ungelosten arithmetischen Probleme weitgehend ausgeklammert worden. In der Zwischenzeit konnten bei der Losung dieser Probleme deutliche Fortschritte erzielt werden (sowohl bei der Ausgrenzung der auseren Automorphismen der Galoisgruppe als auch bei der Suche nach rationalen Punkten), so das sich nunmehr dieser Weg fur einen Bericht uber den derzeitigen Kenntnisstand in der konstruktiven Galoisschen Theorie anbietet. Daruber hinaus konnten inzwischen mit den neuen arithmetischen Rationalitatskriterien auch Gruppen als Galoisgruppen uber ℚ nachgewiesen werden, fur die der Nachweis mit den im DMV-Bericht dargestellten algebraischen Rationalitatskriterien nicht gelang.

Rationality Criteria for Galois Extensions

Some rationality criteria for finite Galois extensions overℂ(t)are explained. The first rationality criterion and the second rationality criterion, together with the corresponding examples are contained in the forthcoming lecture notes [27] (see also [23—25]). The rationality criteria in sections 4 and 5, the braid orbit theorem, and the twisted braid orbit theorem, are new. With the last one, the Mathieu group M24 is realized as Galois group over ℚ.

Kanonische Codes auf einigen überdeckungskurven

ZusammenfassungKürzlich habenPellikaan, Shen undvan Wee in [5] gezeigt, daß jeder lineare Code ein schwach algebraisch-geometrischer Code (in ihrer Bezeichnungsweise) oder kürzer einarithmetischer Code ist. Damit stimmt die Klasse der linearen Codes mit der der arithmetischen Codes überein, und jeder lineare Code besitzt diverse Darstellungen als arithmetischer Code.Für ihren Beweis benutzten sie spezielle Überdeckungskurven im mehrdimensionalen projektiven Raum über endlichen Körpern, deren zugehörige Funktionenkörper durch einen Turm von Artin-Schreier-Erweiterungen erzeugt werden. In dieser Schrift werden nun in kanonischer Weise definierte Codes auf diesen Überdeckungskurven beziehungsweise in diesen Artin-Schreier-Türmen untersucht. Diese sind unter anderem deswegen interessant, weil das Geschlecht dieser Codes nur einen Bruchteil des Geschlechts der definierenden Kurve beträgt. Insbesondere findet man unter ihnen auch Familien von Codes, deren Parameter erheblich besser als die der korrespondierenden Hermiteschen Codes sind. Bei dieser Gelegenheit werden im letzten Abschnitt die vonStichtenoth in [8] ausgesparten Minimaldistanzen der kanonischen Hermiteschen Codes nachgetragen.

Zopfgruppen und Einbettungsprobleme

ZusammenfassungDiese Schrift ergänzt die Arbeit [9] im Hinblick auf die Darstellung fast einfacher Gruppen als Galoisgruppen über Hilbertkörpern. Dabei wird unter einer fast einfachen Gruppe eine Zwischengruppe von einer nicht abelschen einfachen GruppeG und ihrer Automorphismengruppe Aut(G) verstanden. Unter geeigneten Voraussetzungen an die Darstellung von Aut(G) als Galoisgruppe erhält man eine sogenannte GAR-Darstellung, aus deren Existenz die Lösbarkeit von Einbettungsproblemen mit dem KernGn unmittelbar folgt (vergleiche [7] bzw. [8, IV]). Die beiden resultierenden Sätze werden an einigen linearen Gruppen PSLn(q) erprobt. Hierbei wird festgestellt, daß zum Beispiel auch die Gruppen PSL3(3) und PSL3(4) GAR-Darstellungen über ℚ besitzen.