Bernd Dreseler

On the Charshiladze-Lozinski theorem for compact topological groups and homogeneous spaces

This paper is concerned with an extension of the Charshiladze-Lozinski theorem to compact (not necessarily abelian) topological groups G and symmetric compact homogeneous spaces G/H. The proof is based on a generalized Marcinkiewicz — Berman formula. As an application, some divergence theorems for expansions of continuous resp. integrable complex — valued functions on Euclidean spheres and projective spaces in series of polynomial functions on these spaces are established.

Estimates from below for Lebesgue constants of Fourier series on compact Lie groups

In this paper the Lebesque constants (LRK(G))R>0 of Fourier series on compact Lie groups G corresponding to general one-dimensional groupings on the dual object G^ are estimated from below by the associated (abelian) Lebesgue constants (LRK(T))R>0 on a maximal torus T in G. For spherical groupings this leads to the estimate LR⊙(G)≧const.R(l-1)/2, l=dimT≧2.

Harmonische Analyse auf der n-dimensionalen Torusgruppe T n

Viele Vorgange, die man in der Natur beobachtet, sind zeitlich oder raumlich periodisch. Man denke etwa an den Tag-Nacht-Rhythmus, an die Gezeiten oder an die Bewegungen der Planeten. Ebenso haufig treten zeitlich oder raumlich periodische Vorgange in der Technik auf: Vom Winkel, den ein Schwerependel mit der Vertikalen bildet bis zur zeitlichen Feldstarkenanderung einer sich in einem isotropen Isolator ausbreitenden elektromagnetischen Welle. Regelmasige zeitliche Schwankungen von Zustandsgrosen werden in der Physik als Schwingungen bezeichnet. Das Modell zur mathematischen Beschreibung von Schwingungen sind die periodischen Funktionen.

Das Haar-Maß auf lokalkompakten topologischen Gruppen

In den Uberlegungen der Kapitel I und II spielen die Gruppenalgebren L1(T n ) und L1(R n ) eine wichtige Rolle. Die multiplikative Verknupfung dieser kommutativen komplexen Banach-Algebren ist die Faltung, deren Eigenschaften — darauf wurde mehrfach hingewiesen — eng mit der Translationsinvarianz der Mase dx auf T n bzw. \( \frac{1}{{{{\left( {2\pi } \right)}^{n/2}}}}dx \) dx auf R n verknupft sind. Da T n und R n (additive abelsche) lokalkompakte topologische Gruppen sind, stellt sich die Frage, ob auf jeder derartigen Gruppe G translationsinvariante Radon-Mase existieren. Das diese Frage sogar fur alle (nicht notwendig abelschen) lokalkompakten topologischen Gruppen bejaht werden kann, hat nicht nur fur die harmonische Analyse weitreichende Konsequenzen. Erwahnt seien an dieser Stelle lediglich die Zahlentheorie und die Integralgeometrie, fur die translationsinvariante Radon-Mase ebenfalls wichtige Hilfsmittel darstellen.

Harmonische Analyse und Gelfand-Paare

Eine nutzliche Erweiterung der harmonischen Analyse auf kompakten topologischen Gruppen, wie sie in Kap. IV entwickelt worden ist, kann dadurch erzielt werden, das man die unitaren Darstellungen kompakter Untergruppen in die Uberlegungen mit einbezieht. Dies fuhrt zu einem genaueren Verstandnis (Satz 1.3) von linearen Darstellungen, welche auf Raumen von Funktionen auf homogenen Mannigfaltigkeiten operieren und zum Begriff des Gelfand-Paares, der sich auch fur die harmonische Analyse auf lokalkompakten topologischen Gruppen als fruchtbar erweist (Abschn. 3).

Harmonische Analyse auf kompakten topologischen Gruppen

Aufgrund von Satz I.2.4 sind die irreduziblen unitaren Darstellungen der abelschen topologischen Gruppen G stets eindimensional, konnen also mit Hilfe der Charaktere von G (Definition I.2.3) vollstandig beschrieben werden. Im Falle G = T n ist die Menge \({\hat T^n}\) der Charaktere so reichhaltig, das sie ein totales Orthonormalsystem im komplexen Hilbert-Raum L2(T n ) bilden (Satz I.3.3). Dies hat zur Folge (vgl. das Diagramm (I.3.26)), das die regulare Darstellung τ von T n in L2(T n ) in eindimensionale Darstellungen „zerfallt“. Das Ziel des vorliegenden Abschnitts ist zu zeigen, das die irreduziblen unitaren Darstellungen der kompakten topologischen Gruppen G endlich dimensional sind und das sich jede unitare Darstellung einer kompakten topologischen Gruppe G aus endlich dimensionalen, irreduziblen, unitaren Darstellungen „zusammensetzt“. Insbesondere gilt dies fur die linksregulare Darstellung γ : s ⇝ (f ⇝ e s * f) von G: Der komplexe Hilbert-Raum L2 (G) ist eine Hilbert-Summe endlich dimensionaler, gegen y stabiler Untervektorraume, die aus stetigen Funktionen G → C bestehen. Ihre direkte Summe kann als Ersatz fur die trigonometrischen Polynome im abelschen Fall (Definition I.2.5) betrachtet werden.

On the Fourier transformation on spaces of (p,q)-multipliers

LetG denote a locally compact abelian topological group. The aim of the present paper is to prove an “intermediate” result between two well-known results ofL. Hörmander andG. I. Gaudry concerning the structure of the spaces ℱGℳμℓtp,q(G).