Bernd Klein

FEM-Ansatz für Dynamische Probleme

Zuvor wurde die Anwendung der Finite-Element-Methode in der Elastostatik begrundet. Viel mehr Probleme des Maschinen- und Fahrzeugbaus sind aber dynamischer Natur, d. h. zeitabhangigen Belastungen (textbf{F}(t)), (textbf{p}(t)) und/oder (textbf{q}(t)) unterworfen. Demzufolge sind auch die auftretenden Verschiebungen (text{u}(text{x},text{y},text{z};t)), (text{v}(text{x},text{y},text{z};t)), (text{w}(text{x},text{y},text{z};t)) nicht nur Funktionen des Ortes, sondern auch der Zeit. Zwangslaufig gilt dies dann auch fur die Verzerrungen (boldsymbol{varepsilon}(text{x},text{y},text{z};t)) und die Spannungen (boldsymbol{sigma}(text{x},text{y},text{z};t)). Unter Berucksichtigung dieser Zeitverlaufe wollen wir nachfolgend einige einfache Grundprobleme der Dynamik und deren Bearbeitung mit der Finite-Element-Methode (s. auch [PRZ68]) aufgreifen.

Grundgleichungen der linearen Finite-Element- Methode

Wie zuvor schon angesprochen, ist die FE-Methode eine computerorientierte Berechnungsmethode, da deren Ablauf gut programmierbar ist. Dies setzt voraus, dass alle wesentlichen Gleichungen in eine bestimmte Form gebracht werden mussen. Als besonders zweckmasig hat sich hierbei die Matrizenformulierung erwiesen, weshalb wir die bekannten Gleichungen der Elastizitatstheorie neu formulieren mussen. Das Ziel besteht in der Aufstellung der finiten Grundgleichungen und der Ermittlung von Zusammenhangen zwischen den Steifigkeiten, Massen, Kraften und Verschiebungen.

Das Konzept der Finite-Element-Methode

Im nachfolgenden Kapitel soll das Konzept der FEM unter verschiedenen Gesichtspunkten betrachtet werden, und zwar n n nbezuglich der praktischen Anwendung, n n nder beispielhaften mathematischen Formulierung und n n ndes methodischen Gesamtablaufs.

Grundregeln der FEM-Anwendung

Im Nachgang zu den bisherigen theoretischen Darlegungen zur FE-Methode sollen abschliesend einige Grundprinzipien der Anwendung diskutiert werden, deren Nichtbeachtung entweder zu Fehlern oder unnotigem Nachbesserungsaufwand fuhrt. Da in der Praxis die Anwendungsgesichtspunkte und damit Probleme naturgemas sehr vielschichtig sind, konnen die folgenden Ausfuhrungen nur als Erfahrungsquerschnitt /KLE 94b/ verstanden werden.

Die Matrix-Steifigkeitsmethode

Ein vom Verstandnis der Vorgehensweise guter Einstieg in die Finite-Element-Methode stellt die von der Tragwerksberechnung her bekannte Matrix-Steifigkeitsmethode /HAH 75/ dar. Wie man spater erkennen wird, ist der ablaufende Formalismus dem der FE-Methode vollig identisch.

Elementkatalog für elastostatische Probleme

Die kommerziell verfugbaren FEM-Programmsysteme bieten eine Vielzahl von Elementen an, die in Stab-, Balken-, Scheiben-, Platten-, Schalen-, Volumen- und Kreisring-Elemente charakterisiert werden konnen. Diese Elemente werden uberwiegend dreidimensional beschrieben und durch Sperren einzelner Freiheitsgrade dann ein- oder zweidimensionalen Problemen angepasst. Im Folgenden wollen wir uns exemplarisch mit einigen Elementen auseinandersetzen, um grundsatzliche Prinzipien zu erkennen. Aus diesem Grund sind hier unterschiedliche Beschreibungsmoglichkeiten gewahlt worden.

Wahl der Ansatzfunktionen

Auf die Bedeutung der Verschiebungsansatze wurde in den vorausgegangenen Betrachtungen zur Methode schon hingewiesen. Vor diesem Hintergrund stellt sich einem Anwender somit die Frage, nach welchen Regeln erfullende Ansatze zu bilden sind.

Gestaltungsprinzipien im Leichtbau

Die Natur bedient sich innerhalb der Schopfung von Pflanzen und Lebewesen vielfaltig innovativer Prinzipien. So ist nachweisbar, dass biologische Bauweisen stets mit moglichst geringster Energie hergestellt werden, stets massearm und langlebig sind. Dies ist auch insofern notwendig, da der Materialaufwand jeweils mit der Stoffwechselleistung produziert wird, fur die erforderliche Beweglichkeit eine gunstige Massenverteilung und abgestimmte Steifigkeiten anzustreben sind.

Energie- und Arbeitsprinzip

Die Anwendung des Energie- und Arbeitssatzes auf Strukturen erfolgt in der Hauptsache zur Ermittlung der Verformungen und Schnittkrafte /15.1/. Im folgenden sollen die grundlegenden Beziehungen, basierend auf der Vorstellung der virtuellen Arbeit, dargelegt werden.

Kriterien für die Werkstoffauswahl

Das Spektrum der im modernen Leichtbau zum Einsatz kommenden Werkstoffe ist mittlerweile sehr gros. Traditionell wurden immer hochfeste Stahle und Aluminiumlegierungen eingesetzt. Mit den gewachsenen Anforderungen haben aber auch Magnesium- und Titanlegierungen Bedeutung erlangt. Derzeit werden gerade grose Anstrengungen unternommen, mit Verbundwerkstoffen bestimmte Anwendungen zu erschliesen. Um insgesamt zu einem zweckgerechten Werkstoffeinsatz zu gelangen, bedarf es eines fruhzeitigen Uberblicks uber die Ausnutzbarkeit der verschiedenen Werkstoffe. Hierzu mussen quantifizierende Grosen und Auswahlkriterien definiert werden.