Bertram Huppert

Solvable groups, all of whose irreducible representations in characteristic p have prime degrees☆

In [6], Isaacs and Passman determined all finite groups G with the property that the degrees of all irreducible representations of G over C are 1 or prime numbers. We call such a group an Isaacs-Passman group. By [6], Isaacs-Passman groups are solvable, more precisely G”’ = E and there are at most two primes among the degrees of the irreducible representations of G. In this paper let K always be an algebraically closed field of characteristic p > 0. By cd,(G) (resp. cd,(G)) we denote the set of the degrees of the irreducible representations of G over K (resp. C). Our main result is the following theorem:

Ein Satz von l. Schur über vertauschbare matrizen

Abstract We give a new proof of a theorem of I. Schur, describing all commutative subalgebras of maximal dimension of the matrix ring n .

Nilpotente Gruppen und p-Gruppen

Die Sylowschen Satze zeigen, das die Gruppen von Primzahl-potenzordnung in der Theorie der endlichen Gruppen eine ausgezeichnete Rolle spielen. Freilich ist der Aufbau einer endlichen Gruppe aus ihren Sylowgruppen meist eine sehr schwierige Aufgabe. Im Falle der auflosbaren Gruppen gibt die Theorie der Sylowsysteme von P. Hall und die Theorie der p-Lange von P. Hall und G. Higman wichtige Einblicke; darauf gehen wir in Kapitel VI ein. Bei einfachen Gruppen steht die Einsicht in den Aufbau der Gruppe aus ihren Sylowgruppen noch in den Anfangen. Die Arbeiten von Thompson uber einfache Gruppen haben jedoch schon wichtige Einblicke gegeben und die Theorie der p-Gruppen in neue Bahnen gelenkt.

Normalformen von Matrizen

Wir beginnen dieses Kapitel mit der Einfuhrung von Polynomen. Die arithmetischen Eigenschaften des Polynomrings K[x] sind entscheidend fur die spateren Untersuchungen. In 5.2 fuhren wir den Idealbegriff ein, welcher ubersichtliche Beweise gestattet. Fur Hauptidealringe, wie etwa K[x] oder auch ℤ, entwickeln wir in 5.3 eine ausfuhrliche Theorie. Die Begriffe groster gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches und Primfaktorzerlegung erhalten hier ihre systematische Fundierung. Abschnitt 5.4 uber das charakteristische Polynom und Eigenwerte ist der erste Schritt zu einem genauen Studium von linearen Abbildungen. In physikalischen und technischen Anwendungen sind Eigenwerte unerlaslich, werden doch die Frequenzen schwingungsfahiger Systeme in Mechanik und Elektrodynamik als Eigenwerte von Matrizen ermittelt. Wir kommen darauf in 8.5 zuruck. Kaum weniger wichtig ist die in 5.5 entwickelte Theorie des Minimalpolynoms, denn sie liefert Kriterien fur die Diagonalisierbarkeit von Matrizen.

Lineare Abbildungen und Matrizen

Nutzliche Abbildungen auf Mengen mit algebraischen Strukturen sind solche, die die gegebenen Strukturen respektieren. Fur die Vektorraume sind dies die linearen Abbildungen bzw. deren ubersetzung in die Sprache der Matrizen. Nach einer eingehenden Behandlung der Theorie gehen wir auf stochastische Matrizen als erste Anwendung ein. Diese spielen eine wichtige Rolle bei der Behandlung von sogenannten stochastischen Prozessen, etwa bei Mischprozessen, Glucksspielen und Modellen zur Genetik. Nach kurzen Abschnitten uber Spur, Projektionen und die zugehorigen Vektorraumzerlegungen folgt eine Einfuhrung in die Codierungstheorie, die sich mit der Korrektur von zufalligen Fehlern bei der Datenubertragung beschaftigt. Neben den bis hierher entwickelten Grundtatsachen der Linearen Algebra spielen elementare Abzahlungen eine wichtige Rolle. Das Kapitel schliest mit der Behandlung von elementaren Umformungen von Matrizen. Dies liefert Algorithmen zur Rangbestimmung und zum Losen von linearen Gleichungssystemen, die uns immer wieder in den Anwendungen begegnen werden.

Euklidische Vektorräume und orthogonale Abbildungen

Mit den Hilbertraumen von endlicher Dimension uber ℝ, den euklidischen Vektorraumen, sind wir bei der klassischen Geometrie angekommen. Hier gibt es neben Langen auch Winkel zwischen Vektoren. Ausfuhrlich behandeln wir die Isometrien euklidischer Vektorraume, die orthogonalen Abbildungen. Am Spezialfall der orthogonalen Gruppen schildern wir die Methode der infinitesimalen Abbildungen, die in der Lieschen Theorie eine zentrale Rolle spielt. Als Nebenprodukt erhalten wir einen naturlichen Zugang zum vektoriellen Produkt im ℝ3. Wir fuhren den Schiefkorper der Quaternionen ein und untersuchen mit seiner Hilfe die orthogonalen Gruppen in der Dimension drei und vier. Zum Abschlus bestimmen wir alle endlichen Untergruppen der orthogonalen Gruppe in der Dimension drei, wobei sich reizvolle Zusammenhange mit den platonischen Korpern ergeben.

Mengen und Abbildungen

In diesem kurzen Kapitel fuhren wir in die Sprache der Mengenlehre ein und behandeln einige Grundbegriffe uber Abbildungen und Mengen. Der abschliesende Abschnitt ist dem Abzahlen gewidmet. Hier stehen Methoden (Inklusions-Exklusions-Prinzip, doppeltes Abzahlen) im Vordergrund, die sich als sehr nutzlich erweisen werden und die der Anfanger fruhzeitig erlernen sollte.

Vektorräume mit Skalarprodukt

In diesem Kapitel fuhren wir Skalarprodukte auf Vektorraumen uber beliebigen Korpern ein. Dies fuhrt zu einem Orthogonalitatsbegriff und orthogonalen Zerlegungen. Auf die klassischen ℂ- oder ℝ-Vektorraume mit definitem Skalarprodukt gehen wir dann in den Kapiteln 8 und 9 ausfuhrlich ein. Ab 7.3 interessieren uns Vektorraume mit isotropen Vektoren. Dazu geben wir zwei ganz verschiedene Anwendungen. In 7.4 verwenden wir fur endliche Korper K das kanonische Skalarprodukt auf \( K^n \), um den Dualen eines Codes C ≤ \( K^n \) zu definieren. Dies liefert weitere Beispiele von interessanten Codes und allgemeine Strukturaussagen. In 7.5 versehen wir den Vektorraum ℝ4 mit einem indefiniten Skalarprodukt. Dies fuhrt zum Minkowskiraum und seinen Isometrien, den Lorentz-Transformationen. Diese Ergebnisse wenden wir in 7.6 an, um die geometrischen Grundlagen der speziellen Relativitatstheorie von Einstein darzustellen. Die spezielle Relativitatstheorie von 1905 steht neben der Quantentheorie am Anfang der grosen Revolutionen in der Physik des 20. Jahrhunderts, die die Vorstellungen von Raum und Zeit grundlegend verandert haben.

Hilberträume und ihre Abbildungen

Auf Vektorraumen uber ℝ oder ℂ mit definitem Skalarprodukt definieren wir uber das Skalarprodukt eine Norm. Damit sind die Ergebnisse der Kapitel 6 und 7 verfugbar. Dies fuhrt zur reichen Theorie der Hilbertraume. Unsere algebraischen Methoden erzwingen freilich weitgehend eine Beschrankung auf Hilbertraume endlicher Dimension, denn dann ist die Komplettheit automatisch gegeben. Fur Hilbertraume von endlicher Dimension betrachten wir eingehend lineare Abbildungen, die bezuglich des Skalarproduktes ein spezielles Verhalten zeigen, namlich die normalen, unitaren und hermiteschen Abbildungen. Die Eigenwerttheorie der hermiteschen Matrizen findet in 8.5 und 8.6 Anwendung bei der technisch wichtigen Behandlung linearer Schwingungen. Hier kommen die Ergebnisse dieses Kapitels mit den Satzen uber lineare Differentialgleichungen aus 6.4 zusammen. Um langere physikalische Ausfuhrungen zu vermeiden, beschranken wir uns bei der Behandlung linearer Schwingungen auf Beispiele aus der Mechanik.

Normierte Vektorräume und Algebren

Auf Vektorraumen uber ℝ oder ℂ fuhren wir einen Langenbegriff ein, eine Norm. Dies fuhrt zum Grenzwertbegriff auf solchen Vektorraumen. Der Normbegriff ist noch sehr allgemein. Neben dem Langenbegriff der euklidischen Geometrie enthalt er eine den stochastischen Matrizen angepaste Norm. Jede Norm auf Vektorraumen induziert eine Norm fur lineare Abbildungen und Matrizen. So wird End(V) eine normierte Algebra. Die wichtigsten Ergebnisse im Abschnitt 6.2 sind der Ergodensatz 6.2.8 uber Kontraktionen und die Formel 6.2.10 fur den Spektralradius. Als Anwendung beweisen wir in 6.3 den Satz von Perron-Frobenius uber nichtnegative Matrizen, der Aussagen uber den Spektralradius und die zugehorenden Eigenvektoren macht. Ferner studieren wir in 6.4 die Exponentialfunktion von Matrizen und losen Systeme von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. In 8.5 und 8.6 kommen wir darauf zuruck und behandeln, dann ausgerustet mit der Eigenwerttheorie symmetrischer Matrizen, lineare Schwingungen. Mit Hilfe des Ergodensatzes bringen wir in 6.5 die Theorie der stochastischen Matrizen zu einem Abschlus und behandeln weitere Beispiele (Mischprozesse, Irrfahrten).