Carl Ludwig Siegel

Lectures on celestial mechanics

The Three-Body Problem: Covarinace of Lagarangian Derivatives.- Canonical Transformation.- The Hamilton-Jacobi Equation.- The Cauchy-Existence Theorem.- The n-Body Poblem.- Collision.- The Regularizing Transformation.- Application to the Three-Bdy Problem.- An Estimate of the Perimeter.- An Estimate of the Velocity.- Sundmans Theorem.- Triple Collision.- Triple-Collision Orbits.- Periodic Solutions: The Solutions of Lagrange.- Eigenvalues.- An Existence Theorem.- The Convergence Proof.- An Application to the Solution of Lagrange.- Hills Problem.- A Generalization of Hills Problem.- The Continuation Method.- The Fixed-Point Theorem.- Area-Preserving Analytic Transformations.- The Birkhoff Fixed-Point Theorem.- Stability: The Function-Theoretic Center Problem.- The Convergence Proof.- The Poincare Center Problem.- The Theorem of Liapunov.- The Theorem of Dirichlet.- The Normal Form of Hamiltonian Systems.- Area-Preserving Transformations.- Existence of Invariant Curves.- Proof of Lemma.- Application to the Stability Problem.- Stability of Equilibrium Solutions.- Quasi-Periodic Motion and Systems of Several Degrees of Freedom.- The Recurrence Theorem.

Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen

Die bekannte einfache Schlusweise, das bei einer Verteilung von mehr als n Dingen auf n Facher in mindestens einem Fach mindestens zwei Dinge gelegen sind, enthalt eine Verallgemeinerung des euklidischen Algorithmus, welche sich durch die Untersuchungen von Dirichlet, Hermite und Minkowski als die Quelle wichtiger arithmetischer Gesetze erwiesen hat. Sie liefert speziell eine Aussage daruber, wie genau sich mindestens die Zahl o durch eine lineare Verbindung

Lectures on the geometry of numbers

I Minkowskis Two Theorems.- Lecture I.- Lecture II.- Lecture III.- Lecture IV.- II Linear Inequalities.- Lecture V.- Lecture VI.- Lecture VII.- Lecture VIII.- Lecture IX.- III Theory of Reduction.- Lecture X.- Lecture XI.- Lecture XII.- Lecture XIII.- Lecture XIV.- Lecture XV.- References.

Approximation algebraischer Zahlen

ersetzt werden kann. Mit YIilfe hiervon bewies dann Thue seinen bekannten Satz: Bedeutet U (x, y) eine homogene biniire Form mit rationalen Koeffizienten, die nieht Potenz einer linearen oder indefiniten quadratischen Form ist, so hat die Diophantische Gleichung U ( x , y ) k fiir jedes rationale k + 0 nut endlich, viele LSsungen in ganzen rationalen x, y. Bereits Thue wies auf eine naheliegende Erweiterung dieses Satzes hin, die dann yon Ma i l l e t (Mail let 2) 1916 ausgefiihrt wurde. Ist niimlieh n der Grad yon U(x,y) u n d V(x,y) irgendein zu U(x,y) teiler-

The volume of the fundamental domain for some infinite groups

Let Q be any region in m-dimensional euclidean space which is invariant under a group F of real homogeneous linear transformations of the coordinates. The group F has a fundamental domain F on Q if F is mapped by the different transformations of F into a set of domains which completely fill out Q without overlapping one another. It is obvious that then F is countable. If all the substitutions of the group have the determinant ? 1, the volume v of F is uniquely determined by Q and F. The reciprocal value of v is a certain measure for the order of F; in fact, if F, is a subgroup of F with the index g, the volume of the fundamental domain of F, is exactly gv. It is known from the analytic theory of quadratic forms how to find v if F is the group of automorphisms of a quadratic form with integer coefficients. Minkowski, in his last investigations on the theory of numbers, determined the value of v in another case, which also has interesting applications to the problem of the closest packing of n-dimensional spheres. Let Zk lSklXkXl be any positive definite quadratic form of n variables and Q that part of the space of the n(n+1)/2 coefficients Ski (1 <?k <l<) where the determinant I ski I is not greater than a fixed positive number q. By applying any substitution Xk=Z nCklyl with integer coefficients whose determinant is ?1, a linear transformation of the Ski is induced which leaves Q invariant. The group F of these transformations of the quadratic form is obviously isomorphic to the factor-group of the group of all unimodular substitutions of n variables with respect to the subgroup of order 2 generated by Xk= -yk (k = 1, * * * , r6). A fundamental domain of F on Q is the region F of the reduced positive definite quadratic forms of n variables whose determinant is not greater than q. Minkowski proved that F is bounded by a finite number of planes and the surface I Ski I = q. Moreover, he calculated explicitly the volume of F as a function of n and q, namely,

A simple proof of η(— 1/τ)= η(τ)√τ/i

This functional equation for Dedekinds has been established in many different ways; however, it seems that the following proof, a straightforward application of the theorem of residues, has not been observed before. Since it suffices to prove that

Mittelwerte arithmetischer Funktionen in Zahlkörpern

in der t alle ganzen Zahlen von K durchlaufe, fur welche der zugeordnete Punkt Q in G liegt. Bei einigen Untersuchungen in der Zahlentheorie ist es notig, eine asymptotische Annaherung von F zu finden, wenn G in gewisser Weise unendlich wird. Hierbei kann die im folgenden hergeleitete Formel von Nutzen sein, die eine Art Verallgemeinerung der bekannten Formel fur die Summe der Coefficienten einer Dirichletschen Reihe ist. Ihre Anwendung wird dann an dem Beispiel des Teilerproblems erlautert. Zwecks einfacherer Darstellung soll nur der Specialfall des reellen quadratischen Kdrpers behandelt werden. Die Jbertragung auf den Fall eines total reellen Korpers beliebigen Grades bietet keine gedanklichen Schwierigkeiten.

Die Modulgruppe in einer einfachen involutorischen Algebra

Durch die Untersuchungen von Gauss, Dedekind und Klein gehort die elliptische Modulgruppe zum klassischen Bestande der Mathematik. Die Ubertragung der Theorie auf algebraische Zahlkorper wurde nach Hilberts Vorarbeiten von Blumenthal und Hecke durchgefuhrt, wahrend eine andere Verallgemeinerung, die Modulgruppe n-ten Grades, erst in neuerer Zeit behandelt wurde. Die folgende Betrachtung fast den Begriff der Modulgruppe in moglichster Allgemeinheit und klart damit auch die Grundlagen, auf denen die fruheren Ergebnisse beruhen. Von Wichtigkeit ist hierbei der Zusammenhang mit der entsprechenden Verallgemeinerung der von Minkowski begrundeten Reduktionstheorie der positiven quadratischen Formen von n Veranderlichen.

Zu Den Beweisen Des Vorbereitungssatzes Von Weierstrass

Ich stamme noch aus dem grosen neunzehnten Jahrhundert und hatte dann das weitere Gluck, wahrend meiner Studienzeit in Berlin und Gottingen durch hervorragende Personlichkeiten in der damals lebendigen Tradition aus der Glanzzeit der Mathematik erzogen zu werden. Von diesen akademischen Lehrern hat mich besonders Edmund Landau beeinflust, dessen Sorgfalt in der Vorbereitung von Vorlesungen und schriftlichen Veroffentlichungen mir dauernd ein unerreichtes Vorbild geblieben ist. „Er war der pflichttreueste von uns allen“ sagte Hilbert zu mir, als ich 1938 die Nachricht vom Tode Landaus uberbrachte. Jetzt, 30 Jahre spater, seien die folgenden Zeilen seinem Andenken gewidmet.

The Three-Body Problem

Ours, according to Leibniz, is the best of all possible worlds, and the laws of nature can therefore be described in terms of extremal principles. Thus, arising from corresponding variational problems, the differential equations of mechanics have invariance properties relative to certain groups of coordinate transformations. Because this is particularly important for celestial mechanics, in the preliminary sections we will develop as much of the transformation theory for the Euler-Lagrange and the Hamiltonian equations as is desirable for our purposes.