Christian Bohn

Technical Communique: The application of matrix differential calculus for the derivation of simplified expressions in approximate non-linear filtering algorithms

It is shown how matrix differential calculus can be used to obtain simplified expressions for higher-order terms that appear in standard approximate non-linear filtering algorithms such as the first-order bias-corrected filter, the truncated second-order filter, and the modified Gaussian second-order filter. These terms are much simpler and more compact than the standard expressions given in the literature; particularly, no element-by-element computations are necessary. For comparison, the approximate version of the Daum filter is also included.

Identifikation linearer Systeme anhand nichtparametrischer Modelle im Zeit- und Frequenzbereich

In diesem Kapitel werden verschiedenen Verfahren zur Identifikation linearer dynamischer Systeme mit nichtparametrischen Modellen vorgestellt. Neben den allgemeinen Zusammenhangen, die der nichtparametrischen Identifikation zugrunde liegen, werden Methoden im Zeit- und im Frequenzbereich betrachtet. Im Zeitbereich werden verschiedene Ansatze zur Bestimmung der Ubergangsfunktion (normierte Sprungantwort) und der Gewichtsfunktion (normierte Impulsantwort) behandelt, wie z.B. die Bestimmung der Ubergangsfunktion aus der Antwort auf Testsignale und die Korrelationsanalyse. Im Frequenzbereich wird die Approximation des gemessenen Frequenzgangs durch rationale Funktionen behandelt sowie die Bestimmung des Frequenzgangs aus der Anregung mit deterministischen Testsignalen.

Verfahren zur Identifikation nichtlinearer Systeme

In diesem Kapitel werden verschiedene Verfahren zur Identifikation nichtlinearer Modelle dargestellt. Zunachst erfolgt ein Uberblick uber verschiedenen Verfahren und es werden verschiedenen Einteilungskriterien angegeben. Als explizite Verfahren werden anschliesend die Bestimmung von Kernen fur Volterra- und Wienerreihen und die direkte Least-Squares-Schatzung bei affin parameterabhangigem Modellfehler behandelt. Als implizite Verfahren werden die rekursive Least-Squares-Schatzung bei affin parameterabhangigem Modellfehler, das Backpropagationsverfahren fur die Identifikation mit kunstlichen neuronalen Netzen und die rekursive Parameterschatzung fur nichtlineare Zustandsraummodelle vorgestellt. Abschliesend werden verschiedenen Methoden fur die Strukturprufung nichtlinearer Systeme behandelt, also Verfahren, mit denen eine geeignete Modellstruktur zur Beschreibung eines nichtlinearen dynamischen Systems bestimmt werden kann.

Kanonische Beobachtbarkeitsnormalform eines Mehrgrößensystems

In diesem Anhang wird die kanonische Beobachtbarkeitsnormalform eines Mehrgrosensystems hergeleitet, welche im Zusammenhang mit der im funften Kapitel behandelten Darstellung eines linearen Mehrgrosensystems mit Polynommatrizen benotigt wird.

Herleitung gewichteter rekursiver Parameterschätzverfahren

In diesem Anhang finden sich die Herleitungen des gewichteten rekursiven Least-Squares-Verfahrens und des gewichteten rekursiven Hilfsvariablen-Verfahrens, welche im dritten Kapitel behandelt werden.

Identifikation unter Verwendung zeitkontinuierlicher Modelle

In der Systemidentifikation werden meist zeitdiskrete Modelle zur Beschreibung des Systemverhaltens verwendet. In einigen Fallen ist jedoch ein zeitkontinuierliches Modell erforderlich oder vorteilhaft. So haben bei zeitkontinuierlichen Modellen die Modellparameter oftmals eine physikalisch Bedeutungen, die bei der Umrechnung in zeitdiskrete Modelle verloren geht. Weiterhin konnen bei der Identifikation mit zeitdiskreten Modellen numerische Probleme auftreten, wenn eine zu niedrige Abtastzeit gewahlt wird. In diesem Kapitel werden daher Verfahren zur Identifikation mit zeitkontinuierlichen Modellen vorgestellt. Hierunter fallen Verfahren, bei der die in den Modellbeschreibungen auftretende Differentiation der Eingangs- und Ausgangsignale durch spezielle Ansatze umgangen bzw. durch Integration ersetzt werden kann. Daneben wird ein Verfahren mit selbstanpassendem Modell behandelt sowie die Identifikation unter Verwendung der δ-Transformation, die gegenuber der z-Transformation gewisse numerische Vorteile bietet.

Strukturprüfung für lineare Eingrößensysteme

Fur die experimentelle Systemidentifikation ist eine geeignete Modellstruktur auszuwahlen, mit der das betrachtete dynamische System ausreichend gut beschrieben werden kann. Fur die im vorangegangenen Kapitel behandelte Parameterschatzung bei linearen, zeitdiskreten Eingrosensystemen bedeutet dies die Bestimmung der Modellordnung. Dies kann mit sogenannten Strukturprufverfahren erfolgen, die in diesem Kapitel behandelt werden. Es wird dabei unterschieden zwischen Verfahren zur A-priori-Ermittlung der Ordnung, Verfahren zur Beurteilung der Ausgangssignalschatzung und Verfahren zur Beurteilung der geschatzten Ubertragungsfunktion. Die Verfahren werden vorgestellt und anhand eines Beispiels verdeutlicht.

Modelle für nichtlineare dynamische Systeme

Fur die Identifikation nichtlinearer dynamische Systeme sind entsprechend nichtlineare Modell erforderlich. Im Gegensatz zu linearen Systemen, bei denen alle Modelle (im Zeit- und Bildbereich) prinzipiell ineinander uberfuhrbar sind, existieren fur nichtlineare Systeme eine Vielzahl unterschiedlicher Modelle, die z.T. auch nur zur Beschreibung spezieller nichtlinearerer Systeme geeignet sind. In diesem Kapitel werden zunachst Kriterien fur eine allgemeine Einteilung dynamische Modelle diskutiert. Darauf aufbauend werden als Eingangs-Ausgangs-Modelle die Volterra- und die Wiener-Reihe, Differentialgleichungen und Modulationsfunktionsmodelle, Differenzengleichungen und NARMAX-Modelle, das Kolmogorov-Garbor-Polynom, das bilineare zeitdiskrete Eingangs-Ausgangs-Modell, blockorientierte Modelle sowie kunstliche neuronale Netze und Fuzzy-Modelle ausfuhrlich dargestellt. Anschliesend werden Zustandsraummodelle behandelt, wobei als Spezialfalle das steuerungslineares Modell, das zustandslineare Modell, das bilineare Modell und blockorientierte Modelle betrachtet werden.

Identifikation linearer Eingrößensysteme mittels Parameterschätzverfahren

Fur die Bestimmung von zeitdiskreten parametrischen Modellen (Ubertragungsfunktionen bzw. Differenzengleichungen) fur lineare Eingrosensysteme werden meist Parameterschatzverfahren verwendet. In diesem Kapitel wird die hierbei betrachtete Problemstellung beschrieben sowie die der Parameterschatzung zugrunde liegende Modellstruktur eingefuhrt. Darauf aufbauend werden verschiedene Verfahren fur die Parameterschatzung im Zeitbereich vorgestellt, wobei nichtrekursive und rekursive Verfahren betrachtet werden. Anschliesend wird auf die Schatzung zeitvarianter Parameter und auf die Identifikation im Frequenzbereich eingegangen. Gelegentlich muss die Parameterschatzung im geschlossenen Kreis durchgefuhrt werden, was gewisse Probleme und Fragestellungen nach sich zieht. Daher wird abschliesend auch auf die Identifikation im geschlossenen Kreis eingegangen.

Grundlagen der statistischen Behandlung linearer Systeme

Dieser Anhang fasst die fur die statistische Behandlung linearer Systeme erforderlichen Grundlagen aus Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik zusammen. Dargestellt werden einige Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, stochastische Prozesse und deren Beschreibung im Zeit- und Frequenzbereich uber Korrelationsfunktionen und Leistungsdichten. Abschliesend werden die statistischen Eigenschaften von Parameterschatzverfahren behandelt.