Christian Petersen

Lösung transzendenter und algebraischer Gleichungen

Zentrale Aufgabe jeder Schwingungsuntersuchung ist die Berechnung der Eigenfrequenzen. Das lauft in vielen Fallen auf die Losung transzendenter oder algebraischer Gleichungen hinaus, d. h. auf die Bestimmung ihrer Nullstellen (Wurzeln). Die Gleichungen sind von „nichtlinearem“ Typ wie beispielsweise.

Darstellung harmonischer Schwingungen in der komplexen Zahlenebene

Wirkt auf ein schwingungsfahiges System eine ausere Erregung (Eingang, actio, input), antwortet das System mit Schwingungen (Ausgang, reactio, Output), Abb. 30.1. Sowohl actio wie reactio sind Funktionen der Zeit, z. B. Erregerkraft F = F (t ) und Schwingungen y = y(t ).

Fourier-Integralentwicklung aperiodischer Funktionen

Wie in Abschn. 31 gezeigt, lasst sich eine periodische Funktion x(t) mit der Periode T unter sehr allgemeinen Bedingungen in eine Fourier-Reihe entwickeln.

Einfreiheitsgradschwinger mit nichtlinearen Systemeigenschaften

Wie im vorangegangenen Abschnitt gezeigt, wird der Bewegungszustand y = y(t) eines Einfreiheitsgradschwingers (EFS) mit linearen (und zeitinvarianten) Eigenschaft en durch die Differenzialgleichung

Bewertung von Vibrationen infolge von Schall, Erschütterungen und Stößen

Vibrationen pflanzen sich in festen, flussigen und gasformigen Medien in Form von Wellen, z. B. als Schall- oder Schwingungsenergie, fort. Die der Wellenfortpflanzung zugrunde liegende Physik hat in der Bautechnik im Schall-, Larm- und Erschutterungsschutz auf der einen und in der Bauakustik auf der anderen Seite Bedeutung. Im ersten Falle geht es darum, die Lastigkeit storender Schall-, Larmund Erschutterungsquellen aktiv oder passiv zu dammen (Bauphysik), im anderen, die Horbarkeit von Sprache und Musik in geschlossenen und offenen Raumen in definierter Weise zu beeinflussen (Bauakustik).

Turmartige Bauwerke und Anlagen

Unter turmartigen Bauwerken werden hier freistehende Schornsteine, Turme, Hochhauser, Wolkenkratzer u. a. verstanden. Wind und in seismischen Zonen Erdbeben sind die masgebenden Einwirkungen. Bei solchen Tragwerken handelt es sich um Sonderbauwerke. Sie werden sowohl statisch wie dynamisch mit numerischen Methoden berechnet.

Schwingungen von Seilabspannungen und Seiltragwerken

Seile und Seilkonstruktionen kommen in vielen Bereichen des Ingenieurwesens zur Anwendung. Aufgrund ihrer fehlenden Biegesteifigkeit sind sie in Verbindung mit ihrer geringen Masse haufig schwingungsanfallig. Einen Uberblick uber die historische Entwicklung von Seiltheorien gibt [1]. Im Folgenden werden die klassischen analytischen Verfahren zur Untersuchung von Seilschwingungen behandelt.

Numerische Differenziation und Integration

Im erstgenannten Falle lasst sich die zu differenzierende bzw. integrierende Funktion beliebig eng berechnen. Im zweitgenannten Falle ist das i. Allg. nur dann moglich, wenn die Funktion das Ergebnis einer numerischen Berechnung ist. Allerdings gibt es diesbezuglich Grenzen, die rechenzeitbedingt sind.

Diskrete Fourier-Transformation und Fast Fourier Transform

Handelt es sich bei der Zeitfunktion x = x(t) um eine analytisch nicht darstellbare Funktion, lasst sich die Fourier-Transformation nur numerisch bewerkstelligen. Voraussetzung ist, dass x(t) eine periodische Funktion ist (Abb. 33.1). Handelt es sich bei x(t) um eine aperiodische Funktion, gelingt nur eine Naherung, indem eine fiktive Periode T eingefuhrt wird.

Matrizen, Determinanten, Eigenwerte und Eigenvektoren

Fuhren lineare baustatische oder baudynamische Probleme auf Gleichungssysteme hoherer Ordnung, lassen sich diese mithilfe der Matrizenalgebra besonders ubersichtlich und computerorientiert formulieren. Die folgende Formelsammlung enthalt hierzu die wichtigsten Rechenregeln und eine Reihe von Prozeduren. Bezuglich Beweise und Erweiterungen wird auf die einschlagige Literatur verwiesen [1–10].