Colette Mœglin

Construction of discrete series for classical p- adic groups

In this paper the authors complete the classification of irreducible square integrable representations of classical

Stabilite pour les representations elliptiques de reduction unipotente; le cas des groupes unitaires

p

Correspondances de Howe sur un corps p-adique

-adic groups, assuming a natural assumption which is expected to hold in general. This classification implies a parameterization of irreducible tempered representations of these groups and it implies a classification of the non-unitary duals of these groups (modulo cuspidal data).

Spectral decomposition and Eisenstein series : une paraphrase de l'écriture

Soit F un corps local p-adique et soit E/F une extension non ramifiée de degré 2. Soit encore V un E-espace vectoriel de dimension n. Il y a 2 classes de formes hermitiennes sur un tel espace qui sont distinguées par la parité de la valuation du déterminant de la forme; si cette valuation est paire, on note < , >iso une forme de cette classe et si cette valuation est impaire on la note < , >an. On note G] le groupe d’une telle forme, où ] = iso ou an suivant le contexte. On vérifie que la multiplication de la forme par une uniformisante entrâıne que Giso est isomorphe à Gan dans le cas où n est impaire; par contre ces groupes sont formes intérieures l’un de l’autre si n est paire, Giso est quasi-déployé. On note suivant la coutume OE l’anneau des entiers de E et

Paquets stables de représentations tempérées et de réduction unipotente pour SO(2n+1)

E une uniformisante de E. Soit L un réseau de V ; pour ] = iso ou an, on note L ∗ ] le dual de L pour la forme < , >]. On suppose que L est presque autodual c’est-à-dire que

Décomposition spectrale et séries d'Eisenstein : une paraphrase de l'écriture

EL ∗ ] ⊂ L ⊂ L ∗ ] et on pose: ` := L/

Sur les conjectures de Gross et Prasad

EL ∗ ] ; d ′ := dimF q2 ` ` := L]/L; d ′′ := dimF q2 `. Alors si ] = iso d est pair tandis que si ] = an, d est impair. C’est le moyen que nous prenons de distinguer les 2 formes. Une représentation de niveau 0 est une représentation ayant des invariant pour l’action du radical pro-punipotent d’un sous-groupe parahorique stabilisant un réseau presque autodual au sens ci-dessus. Comme en [10], on dit qu’une représentation de niveau 0 est de réduction unipotente si quand on regarde l’action du groupe parahorique dans l’espace des invariants évoqué ci-dessus, cette actions se fait par des représentations unipotentes (au sens de Lusztig) (c’est un produit de 2 groupes unitaires sur un corps fini qui opère). Dans cet article, on s’intéresse essentiellement aux séries discrètes de niveau 0 et de réduction unipotente pour les groupes unitaires. Le résultat que nous avons en vue est plutôt technique; il s’agit de calculer en termes de faisceaux caractères la représentation des sous-groupes parahoriques dans l’espace des invariants pour leur radical pro-p-unipotent. On a besoin de ce résultat pour compléter [9] qui décrit les distributions tempérées stables de niveau 0 pour les groupes orthogonaux impairs. Ce résultat se trouve ci-dessous en 7; il est amusant car il fait intervenir une sorte de transformation de Fourier (cf 6) qui intervenait naturellement dans [10] comme un analogue p-adique de la transformation, définie par Lusztig sur les groupes finis et permettant de calculer les faisceaux caractères en terme de représentations irréductibles. Pour les groupes unitaires et sur les groupes finis, le faisceau caractère associé à une représentation irréductible du groupe symétrique est déjà (au signe près) le caractère d’une représentation irréductible du groupe unitaire sur le corps fini. Il n’était donc pas clair qu’une telle transformation ait un rôle à jouer, bien que pour les groupes p-adiques, il n’y ait pas beaucoup de différence dans la description des paramètres des représentations que ce soit pour un groupe unitaire, un groupe symplectique ou un groupe orthogonal. Il est donc rassurant de voir qu’une telle transformation intervient aussi. On aimerait évidemment en avoir d’autres applications qu’uniquement la formule technique de 7 puisque cette application est moralement un passage de la géométrie à la théorie des représentations. Une fois le résultat technique démontré, il est facile d’obtenir la description des combinaisons linéaires stables de séries discrètes de niveau 0 ainsi que leur transfert (pour n pair) entre la forme anisotrope et la forme isotrope; toutefois ici on utilise des résultats d’analyse harmonique qui supposent que p est grand, hypothèse que nous faisons donc. La description des distributions stables à support les représentations tempérées de réduction unipotente est faite en 8.1 mais la démonstration est, en plus simple, celle de [10]. Le résultat est aussi simple qu’en [10], c’est-à-dire que c’est la somme des représentations discrètes dans un paquet qui engendre l’espace des distritutions stables combinaisons linéaires de caractères de représentations elliptiques. Toutefois, il apparait ici un phénomène qui n’apparaissait pas en [10] mais qui était prévu par Arthur; considérons l’ensemble des représentations duales des représentations discrètes de niveau zéro, duales par la