Cora S. Lüdde

A First Survey

Mechanics deals with ’ordinary objects’ moving at ’moderate velocities’ (as for example colliding steel balls or planets orbiting around the sun). Elementary particle physics, a topic that will only be discussed very briefly in this introductory course, addresses the properties of minute particles moving in general at much higher velocities. These statements suggest that the areas, which are of interest in physics, can be fitted into a diagram which is characterized by a length and a velocity scale1 (Fig. 1.1). The concept of length (L) has to be interpreted relatively loosely. As a length one should consider the size of objects (e.g. the diameter of elementary particles, of atoms or of the steel balls and planets mentioned above) as well as the specification of wavelengths (e.g. of water waves, sound waves or electromagnetic waves) or the distances between celestial objects.

Grundlagen der statistischen Mechanik und Quantenmechanik

Die Ensemblemittelung ist das Werkzeug, das statistische Aspekte ins Spiel bringt. Sie fuhrt, im Fall von klassischen Systemen, auf die Definition der Verteilungsfunktion, einer Wahrscheinlichkeitsdichte, mit deren Hilfe man alle Systemeigenschaften bestimmen kann. Verteilungsfunktionen werden auch in anderen Bereichen eingesetzt, so zum Beispiel die Gausverteilung in der Messfehleranalyse. Das Quantenaquivalent der Verteilungsfunktion ist, entsprechend der Struktur der Quantenmechanik, der statistische Dichteoperator. Einen Einblick in die Struktur der statistischen Mechanik von Systemen, die durch eine Hamiltonfunktion oder einen Hamiltonoperator charakterisiert werden, vermittelt das Theorem von Liouville.

Reale Systeme: Vielteilchenquantensysteme

Die Berechnung der thermischen Eigenschaften wird infolge der Operatorstruktur der Theorie im Quantenfall weiter erschwert. Die Standardmethode ist hier Storungstheorie in der Starke der Wechselwirkung auf der Basis von temperaturabhangigen Greenschen Funktionen. Die Sortierung basiert auf der Anwendung des Wickschen Theorems und einer Darstellung der Beitrage durch Diagramme. Als Alternative bietet sich der Zugang uber die Dichtefunktionaltheorie an, in der das Vielteilchenproblem auf einen aquivalenten Satz von Einteilchenproblemen abgebildet wird. Die temperaturabhangige Variante, die noch in der Entwicklung ist, wird hier – neben einer knappen Zusammenfassung der Theorie fur T = 0 – skizziert.

Definition und Diskussion der statistischen Ensembles

Das Muster, das zu der Definition der verschiedenen statistischen Ensemble fuhrt, lautet: Betrachte ein Vielteilchensystem (klassisch oder quantenmechanisch), das in ein ’Bad’ eingebettet ist. Man unterscheidet die folgenden Situationen:

Reale Systeme: Klassische Vielteilchensysteme

Berucksichtigt man die Wechselwirkung zwischen den Systemteilchen, so ist die Auswertung der statistischen Formulierung wesentlich schwieriger. Im Fall von klassischen Systemen ist die ’Standardmethode’ die Clusterentwicklung. Sie setzt voraus, dass die (effektive) Wechselwirkung zwischen den Systemteilchen kurzreichweitig ist, so dass nur benachbarte Konstituenten zu berucksichtigen sind. Die Struktur der Verteilungsfunktionen fuhrt auf eine Vereinfachung: Cluster mit freien Teilchen tragen bei der Auswertung nicht bei. Dies ist der Inhalt des Theorems verbundener Cluster. Auf der Basis dieser Aussage ist es moglich, eine Virialentwicklung, eine Entwicklung nach Potenzen der Dichte, anzugeben. Zur Sortierung der genannten Entwicklungen benutzt man jeweils Darstellungen der Details durch Graphen.

A Safari Through Density Functional Theory

Density functional theory is widely used to treat quantum many body problems in many areas of physics and related fields. A brief survey of this method covering foundations, functionals and applications is presented here.

Dynamics I: Axioms and Conservation Laws

Three axioms, first formulated by Newton, are the foundation of classical mechanics. The first axiom addresses the question of appropriate systems of reference (inertial systems) for the discussion of mechanical problems, the second introduces the basic equations of motion. The third axiom can be considered as an attempt to comment on the fundamental interactions that are found in nature.

General Formulation of the Mechanics of Point Particles

The second axiom of Newton implies, that the time development of the motion of a point particle or a system of point particles can be calculated, if the forces acting on the particle are known. Besides the fact that the solution of the equations of motion is not necessarily a simple matter, difficulties can arise from different quarters. It is possible that the forces (in the form of a force field or as a function of time or …) are not known explicitly. The motion can be restricted by constraints, which are expressed in the form of geometrical conditions. A simple example of this kind of restriction is the motion on an inclined plane. The pressure, which an object (a mass point) exerts on the surface of the plane, generates a counter pressure which compensates in part the effect of gravitation. This constraining force can be determined by simple means in the case of the inclined plane.

Application of the Lagrange Formalism

Only a few selected examples of the many possibilities to apply the Lagrange equations of the second kind can be presented here. Two subjects will be treated more extensively besides the discussion of systems of coupled harmonic oscillators. These are rotating coordinate systems, a prime example for noninertial systems, and the motion of rigid bodies, the theory of spinning tops

Dynamics II: Problems of Motion

Newton’s equations of motion allow, at least in principle, the calculation of the time development of a system of mass points. The prerequisite is that all forces of the system (e.g. as functions of the position of the particles) and the initial conditions for all masses are known. Independent of the technical realisation of such calculations, a distinction is necessary between integrable or chaotic systems. This point will be addressed in Chap. 5.4.3. A system is called integrable if initial conditions that are infinitesimally close will lead to solutions that are infinitesimal close. The solution diverges (exponentially) even for infinitesimally close initial conditions in the case of chaotic systems.